Monotone Drawings of $k$-Inner Planar Graphs
$k$ -内部平面图是具有至多$k$ {内部顶点}的平面图的平面图，即，不位于其图形外表面边界上的顶点。外平面图是$0$ -内平面图。本文给出了如何在$2(k+1)n \times 2(k+1)n$网格上构造$k$ -内平面图的单调图.在特殊情况下的外平面图，我们可以产生一个平面单调画上的$n \times n$网格，改进以前已知的结果。
2018-08-22 cs.CG
Morphing tree drawings in a small 3D grid
我们研究了使用3D的平面树绘图的无交叉网格变形。变形由变形步骤组成，其中顶点以恒定速度沿直线轨迹同时移动。在具有$\mathcal{O}(n)$变形步骤的$n$ -顶点平面图$G$的两个绘图之间已知无交叉变形，并且使用第三维度，对于$n$ -顶点树，它可以被简化为$\mathcal{O}(\log n)$ [Arseneva et al. 2019年]。然而，这些变形不限制一个实际参数，分辨率。通过使用第三维度，在保持分辨率在整个变形过程中有界的同时，步骤的数量是否可以大大减少？我们回答这个问题是肯定的，并提出了一个三维非交叉变形之间的两个平面网格绘制的$n$顶点树的$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log n)$变形步骤。每个中间图形位于多项式体积的$3D$网格中。
2021-10-06 cs.CG
Unbent collections of non-planar $s$-grid-drawing
研究图在非平面$s$-网格绘图中每条边至少在一个绘图中无弯曲的集合，证明两个绘图总是足够（平面绘图有时需要三个），并推广到$s\geq 3$。
2026-06-29 cs.CG cs.DM math.CO
Drawing Planar Graphs with Few Geometric Primitives
我们定义平面图形绘制的\emph{visual complexity}为表示其所有边所需的基本几何对象的数量。具体地，一个对象可以表示多个边缘（例如，只需要一个线段来绘制具有任意数量的边的路径）。设$n$表示图的顶点数。我们表明，树可以画$3n/4$直线段上的多项式网格，并与$n/2$直线段上的准多项式网格。此外，我们提出了一个算法绘制平面3-树与$(8n-17)/3$段上的$O(n)\times O(n^2)$网格。该算法稍加修改也可用于在$O(n)\times O(n^2)$网格上绘制具有$3n/2$边的最大外平面图。我们还研究了用圆弧绘制极大平面图的问题，并给出了一个只用$(5n - 11)/3$圆弧绘制极大平面图的算法。这是显着小于$2n$的下限为线段的非平凡的图形类。
2018-09-06 cs.CG
On Simultaneous Graph Embedding
考虑平面图的同时嵌入问题。这个问题有两种变体，一种是两个图的顶点之间的映射是给定的，另一种是映射是不给定的。特别是，我们表明，没有映射，任何数量的outerplanar图可以同时嵌入在一个$O(n)\times O(n)$网格，和outerplanar和一般平面图可以同时嵌入在一个$O(n^2)\times O(n^3)$网格。如果映射是给定的，我们将展示如何嵌入两个路径上的$n \times n$网格，一个毛虫和路径上的$n \times 2n$网格，或两个毛虫图上的$O(n^2)\times O(n^3)$网格。我们还表明，5条道路，或3毛虫，或两个一般的平面图不能同时嵌入给定的映射。
2002-09-09 cs.CG
Morphing Planar Graph Drawings via Orthogonal Box Drawings
本文提出一种平面图绘制形变算法，通过先变换为正交盒式图再在其间形变，以每条边常数个弯折实现 O(n) 网格、O(n) 个线性形变和 O(n^2) 运行时间。
2024-09-06 cs.CG
On contact graphs of paths on a grid
本文研究网格上的路的接触图（CPG图），即在网格上存在一族与其顶点集一一对应的相邻不相交路，使得两个顶点相邻当且仅当相应的路在网格点处相交。我们的类推广了研究得很好的VCPG图类（见[1]）。我们研究CPG图从结构的角度来看，这导致恒定的上界的团数和色数。此外，我们还研究了CPG的一个子类$B_0$ -CPG的识别和3-着色问题。进一步证明了CPG图不一定是平面图，也不是所有平面图都是CPG图。
2018-09-06 cs.CG
Grid Obstacle Representation of Graphs
网格障碍表示，或者替代地，$\ell_1$ -图形的障碍表示$G=(V,E)$是单射函数$f:V \rightarrow \mathbb{Z}^2$和$\mathbb{Z}^2$的网格点上的一组点障碍$\mathcal{O}$（其中没有映射$V$的顶点）使得$uv$是$G$中的边，当且仅当在$\mathbb{Z}^2$中的$f(u)$和$f(v)$之间存在曼哈顿路径，避免了$\mathcal{O}$和$f(V)$。这一工作表明，平面图允许这样的表示，而存在一些非平面图，不承认这样的表示。此外，我们表明，每个图承认一个网格障碍表示在$\mathbb{Z}^3$。我们还展示了一个$\ell_1$ -障碍表示的点集可嵌入性的NP-硬度结果。
2020-09-26 cs.CG
1-String CZ-Representation of Planar Graphs
在本文中，我们证明了每一个平面4-连通图有一个CZ-表示--一个字符串表示使用路径在一个矩形网格，其中包含最多一个垂直段。此外，每当在$u$和$v$之间存在边时，表示顶点$u,v$的两条路径精确地相交一次。所需的网格大小为$n \times 2n$。
2014-09-19 cs.CG cs.DM
Embedding Trees and Cactus Graphs with Integer Edge Lengths on a Compact Integer Grid
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；John Cabot University（约翰·卡伯特大学）
针对Kleber猜想现有结果多为存在性、无网格规模界限的问题，本文提出多项式时间算法，可在多项式规模整数网格上绘制满足整数边长与顶点位置要求的无交叉树和仙人掌图。
2026-09-25 cs.CG cs.DM
Convex Grid Drawings of Planar Graphs with Constant Edge-Vertex Resolution
我们继续研究了3连通平面图的凸直线网格图的面积要求，这在过去的几十年里已经得到了深入的研究。出于应用程序，如图形编辑器，我们还需要获得的图纸有界边顶点分辨率，也就是说，顶点和任何非入射边之间的最近距离是下界的常数，不依赖于图形的大小。本文提出了一个以n个顶点和f个内面的3连通平面图为输入，在大小为（n-2+a）x（n-2 +a）的整数网格上计算边顶点分辨率至少为1/2的凸直线图的作图算法，其中a=min{n-3，f}.我们的结果改进了Chrobak，Goodrich和Tamassia以前最著名的面积界（3 n-7）x（3 n-7）/2。
2022-05-09 cs.CG cs.DS
Simultaneous Embedding of Two Paths on the Grid
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Williams College（威廉姆斯学院）；University of Perugia（佩鲁贾大学）；Charles University（查理大学）
本文研究了在整数网格上同时嵌入两条无自交路径的问题，证明了最长时间边长度最小化为NP难问题，并在特定条件下提出了高效算法。
2026-09-28 cs.CG
Compact Drawings of 1-Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
我们研究了以下几类超平面图：1-平面图、IC-平面图和NIC-平面图。这些图形分别允许1-平面、IC-平面和NIC-平面绘图。如果一个图的每条边至多相交一次，则该图是1-平面图。如果没有两对相交边共享一个顶点，则1-平面绘图是IC-平面的。如果没有两对相交边共享两个顶点，则单平面图形是NIC平面的。我们研究这些超越平面图类（超越平面图是一个集体术语的主要尝试推广的平面图）的直角交叉（RAC）图，承认紧凑的图纸上的网格很少弯曲的关系。我们提出了四个绘图算法，保持给定的嵌入。首先，我们证明了每个$n$ -顶点NIC-平面图允许一个NIC-平面RAC绘图，在大小为$O(n) \times O(n)$的网格上，每条边最多有一个弯曲。然后，我们证明了每一个$n$ -顶点1-平面图承认1-平面RAC绘图与最多两个弯曲的每边上的大小为$O(n^3) \times O(n^3)$的网格。最后，我们提出了两个已知的算法嵌入保持，用于绘制1-平面RAC图，每边至多一个弯曲和绘制IC-平面RAC图直线。
2019-08-08 cs.CG cs.DM
On Upward Drawings of Trees on a Given Grid
计算一个图的最小面积平面直线图是已知的，是NP-困难的平面图，即使限制到outerplanar图。然而，复杂性问题对树是开放的。在各种约束条件下，如边长或坡度约束，只有少数硬度结果是已知的树的直线图。另一方面，存在用于计算最小宽度的多项式时间算法（分别，树的最小高度）向上的绘图，其中高度（分别，宽度）是无界的。在本文中，我们采取了重大的一步，了解严格向上的树木，这是最常见的风格绘制有根树的面积最小化问题的复杂性。我们证明，给定一个有根树$T$和一个$W\times H$网格，这是NP-难决定是否$T$承认严格向上（无序）的绘图在给定的网格。
2017-08-31 cs.CG
How to Morph a Tree on a Small Grid
本文研究了树的直线平面网格图之间的平面变形。变形由一系列变形步骤组成，其中在变形步骤中，顶点以恒定速度沿着直线轨迹移动。我们将展示如何构建平面变形，同时实现变形步骤和多项式有界的决议减少。我们假设初始和最终的图纸都位于网格上，并且我们确保每个变形步骤都会产生网格图纸;此外，我们考虑了向上绘制的有根树和任意树的图纸。
2019-09-27 cs.CG cs.DM cs.DS
Homotopy height, grid-major height and graph-drawing height
众所周知，图的路宽和外平面度都可以用来得到图的平面直线图的高度的下界。但这两个界限都不符合某些图表。在本文中，我们考虑了另外两个参数，（简单）同伦高度和（简单）网格主要高度。我们讨论了它们之间的关系和其他参数，并认为，他们给下限的直线绘图高度，从来没有比从路径宽度和外平面性得到的更差。
2019-08-26 cs.CG cs.DS
Simultaneous Drawing of Planar Graphs with Right-Angle Crossings and Few Bends
给定两个定义在同一组顶点上的平面图，RAC同时绘图是其中每个图都是平面绘制的，没有边重叠，并且两个图之间的交叉形成直角。几何版本将问题限制在直线图上。然而，已知存在不允许几何RAC同时绘图的轮和匹配。为了扩大允许RAC同时绘图的图的类别，我们允许在所得到的绘图中弯曲。我们证明了两个平面图总是允许RAC同时绘制，每个边有六个弯曲，在二次区域。对于更受限制的平面图类（即，匹配、路径、圈、外平面图和次哈密尔顿图），我们设法显著减少每条边所需的弯曲数，同时保持面积平方。
2016-11-22 cs.CG cs.DS
On the Area Requirements of Planar Greedy Drawings of Triconnected Planar Graphs
本文研究了三连通平面图的平面贪婪图的面积要求。Cao，Strelzoff和Sun展示了三连通平面图的细分族$\cal H$，并声称在$\mathcal H$中的每一个平面图的贪婪绘制都需要指数面积。然而，我们发现，每一个$n$ -顶点图中的$\cal H$实际上有一个平面贪婪图纸尊重规定的平面嵌入在$O(n)\times O(n)$网格。这重新打开的问题是否三连通平面图承认平面贪婪图纸上的多项式大小的网格。此外，我们提供了一个肯定的答案，证明了每个$n$ -顶点Halin图承认一个平面的贪婪绘制上的$O(n)\times O(n)$网格上的上述问题的证据。这两个结果都是通过实际构造凸的和角单调的图来获得的。最后，我们考虑$α$ -施奈德图纸，这是角度单调，因此贪婪，如果$α\leq 30^\circ$，并表明存在平面三角形，每个$α$ -施奈德图纸与固定的$α<60^\circ$需要指数面积的任何决议规则。
2020-03-03 cs.CG cs.DM cs.DS
Strictly convex drawings of planar graphs
每一个有n个顶点的三连通平面图都有一个在O（n^2）x O（n^2）网格上的绘图，其中所有的面都是严格凸多边形。这些图是通过扰动（不严格）凸图在O（n）x O（n）网格上获得的。更一般地说，严格凸绘图存在于大小为O（W）x O（n^4/W）的网格上，对于任意选择的参数W，n<W<n^2。面的边越少，边界越紧。在证明中，我们得到了三角形中本原向量个数的一个显式下界。
2006-06-21 cs.CG cs.DM
Simultaneous straight-line drawing of a planar graph and its rectangular dual
在平面上表示平面图及其对偶的一种自然方法是遵循对偶的定义，因此，将顶点放置在其对应的原始面内，并绘制对偶边，使它们仅与其对应的原始边相交。当原始图和对偶图都要求是直线时，构造这种图的问题有着悠久的传统。我们考虑同样的问题，平面图和它的矩形对偶。我们表明，矩形对偶可以调整大小，主机的平面直线绘制其原始。
2015-05-11 cs.CG cs.DS
Segment representations with small resolution
图的线段表示是将2D中的线段分配给顶点，使得当且仅当对应的顶点相邻时，两个线段相交。并非所有的图都有这样的线段表示，但它们存在，例如，对于所有的平面图。在这篇文章中，我们研究了段表示可以实现的分辨率，假设段的末端必须在整数网格点上。我们表明，任何平面图（更一般地说，任何图形，具有所谓的$L$ -表示）有一个段表示在网格的宽度和高度$4^n$。
2018-10-16 cs.CG
Drawing Partially Embedded and Simultaneously Planar Graphs
我们研究了两个相关问题的问题，即部分嵌入图问题-将子图的直线平面图扩展到整个图的平面图-和同时平面性问题-找到两个图的平面图，它们在共享的顶点和边上重合。在这两种情况下，我们表明，如果所需的平面图纸存在，那么有一个线性数量的弯曲每边的平面图纸，在同时平面性的情况下，每对边缘之间的交叉点的数量恒定。我们的证明提供了有效的算法，如果组合嵌入的图纸。我们的结果部分嵌入图绘制推广了经典的结果由Pach和Wenger，这表明，任何平面图可以画与线性数量的弯曲每边，如果每个顶点的位置是固定的。
2014-10-30 cs.CG cs.DM cs.DS
Strictly-Convex Drawings of $3$-Connected Planar Graphs
小面积$3$ -连通平面图的凸直线图是图论中的一个经典研究课题。目前，最著名的区域是$O(n^2) \times O(n^2)$，如Bárány和Rote通过基于扰动（非严格）凸图的复杂技术所示。不幸的是，在这样的区域边界中的隐藏常数是以$10^4$顺序的。我们提出了一个新的和易于实现的技术，产生严格凸的直线平面图纸$3$连接平面图的大小为$2(n-1) \times (5n^3-4n^2)$的整数网格。
2022-08-29 cs.CG
Grid-Obstacle Representations with Connections to Staircase Guarding
在本文中，我们研究了图的网格障碍表示，我们分配的网格点的顶点和定义的障碍，使得边存在的当且仅当一个$xy$ -单调网格路径连接两个端点，而不会遇到障碍或另一个顶点。以前有人认为，所有平面图在2D中具有网格障碍表示，并且所有图在3D中具有网格障碍表示。在本文中，我们表明，这样的建设是可能的，明显小于以前实现的网格大小。然后，我们研究的变种，顶点不阻塞，并表明，然后网格障碍表示存在的二分图。后者有所谓的楼梯守卫的正交多边形的应用程序，使用我们的网格障碍表示，我们表明，楼梯守卫是\textsc{NP} -硬在2D。
2017-08-29 cs.CG
A Note On Universal Point Sets for Planar Graphs
我们调查的平点集允许同时直线嵌入的所有可平面图上的一个固定数量的顶点。我们首先证明了需要$(1.293-o(1))n$点来找到每个$n$ -顶点可平面图的直线图（顶点被绘制为给定的点）;这改进了Kurowski（2004）以前的最佳常数$1.235$。我们的第二个主要结果是基于穷尽的计算机搜索：我们证明了不存在一个11点的集合，在这个集合上所有的平面11-顶点图可以同时画出平面直线。这加强了Cardinal，Hoffmann和Kusters（2015）的结果，即$n \le 10$顶点上的所有可平面图可以同时绘制在$n$点的特定“通用”集合上，而$n \ge 15$没有通用集合。此外，我们提供了一组49个平面11-顶点图，不能同时绘制在任何一组11个点。事实上，这是迈向（否定）回答问题的又一步，即每两个可平面图是否可以同时绘制--这是Brass、Cenek、Duncan、Efrat、Erten、Ismailescu、Kobourov、Lubiw和Mitchell（2007）提出的问题。
2019-09-25 cs.CG math.CO
A pair of trees without a simultaneous geometric embedding in the plane
任何平面图在平面内都有一条不相交的直线。两个n-顶点图的同时几何嵌入是两个图在一个公共的n个点的集合上的直线绘制，使得每个单独的图内的边不交叉。我们考虑同时嵌入两个标记的树，与预先描述的顶点对应，并提出了这样一个对不能嵌入的实例。此外，我们提供了一个平面图的例子，不能嵌入在一起的路径时，顶点对应。
2005-11-01 cs.CG
k-Planar and Fan-Crossing Drawings and Transductions of Embeddable Graphs
Masaryk University（马萨里克大学）
本文研究了图类通过FO转导定义与特定扇交叉图之间的关系，证明了某些图类无法通过转导定义，从而得出其无法为k-平面图。
2026-09-11 cs.CG cs.LO math.CO
$1$-String $B_2$-VPG Representation of Planar Graphs
在本文中，我们证明了每一个平面图有一个1-字符串$B_2$ -VPG表示--一个字符串表示使用路径在一个矩形网格，其中包含最多两个弯曲。此外，每当在$u$和$v$之间存在边时，表示顶点$u,v$的两条路径精确地相交一次。
2015-12-03 cs.CG cs.DS
An exponential bound for simultaneous embeddings of planar graphs
本文证明了存在 $O(n \cdot 4^{n/11})$ 个 $n$ 顶点平面图无法在任意 $n$ 点集上同时直线嵌入，从而将已知最佳界 $O(n!)$ 显著改进为指数级。
2023-05-25 cs.CG cs.DM math.CO
Planar Earthmover is not in $L_1$
我们表明，任何$L_1$嵌入的运输成本（a.k.a.在网格$\{0,1,...,n\}^2\subseteq \R^2$上支持的概率度量上的（Earthmover）度量导致失真$Ω(\sqrt{\log n})$。我们还使用傅立叶分析技术，构造一个简单的$L_1$嵌入这个空间有失真$O(\log n)$。
2005-09-26 cs.CG math.FA
CPG graphs: Some structural and hardness results
在本文中，我们继续系统地研究网格上路径的接触图（CPG图），该研究始于[Deniz et al.，2018年]。CPG图是指在一个网格上存在一组两两相邻的不相交的路径，它们与其顶点集一一对应，使得两个顶点相邻当且仅当对应的路径在一个网格点处相交。如果每个这样的路径对于某些$k \geq 0$至多有$k$弯曲，则该图被称为$B_k$ -CPG。我们首先证明了，对于任何$k \geq 0$，即使在平面图类中，$B_k$-CPG图类也严格包含在$B_{k+1}$-CPG图类中，从而意味着不存在使每个平面CPG图都是$B_k$ -CPG的$k \geq 0$.本文的主要结果是：用$k \geq 1$识别CPG图和$B_k$图是$\mathsf{NP}$ -完全的.此外，我们表明，即使在平面图类的情况下$k \geq 3$，同样仍然是真实的。然后，我们考虑几个图的问题，仅限于CPG图和显示，特别是，独立集和团覆盖保持$\mathsf{NP}$ -硬$B_0$ -CPG图。最后，我们考虑的相关类$B_k$ -EPG的边相交图的路径与最多$k$弯曲的网格上。虽然它是可能的最佳着色的$B_0$ -EPG图在多项式时间，因为这类与区间图相吻合，我们表明，相比之下，3-着色性是$\mathsf{NP}$ -完全的$B_1$ -EPG图。
2020-01-27 cs.CG
Generalized Deployable Elastic Geodesic Grids
给定一个设计者在三维空间中创建的自由曲面，我们的方法计算一个由完全平面和直的弹性元素组成的网格。只有通过将平面元素的端部固定到适当的位置，2d网格才会弯曲并近似于给定的3d表面。我们的方法是纯粹基于微分几何的曲线和曲面的概念，并避免任何物理模拟。特别是，我们引入了一个定义良好的弹性网格能量功能，允许识别网络的曲线，最大限度地减少弯曲能量，并在同一时间依偎到所提供的输入表面以及。此外，我们推广这种网格的概念的情况下，表面边界不需要是凸的，这允许创建复杂的和视觉上令人愉快的形状。该算法最终确保了2d网格是完美的平面，使得生成的网格壳便宜，易于制造，运输，组装，最后也部署。此外，由于整个结构是预应变的，它也具有承载能力。我们评估我们的方法使用物理模拟，我们还提供了一个完整的制造流水线桌面大小的模型，并提出了多个例子的表面与椭圆和双曲曲率区域。我们的方法是设计师，建筑师和工程师快速原型设计的工具，因为它非常快，可以在几秒钟内获得结果。
2021-11-17 cs.CG cs.GR math.DG
Simultaneous Embedding of Colored Graphs
一组着色图是相容的，如果对每个颜色$i$，每个图中颜色$i$的顶点数相同.同时嵌入的$k$兼容着色的图，每个与$n$顶点，由$k$平面的这些图，使得相同颜色的顶点被映射到一个共同的一组顶点位置。我们证明了同时嵌入的$k\in o(\log \log n)$着色平面图，每个$n$顶点，总是可以计算与一个次线性数的弯曲每边。具体来说，我们显示了$O(\min\{c, n^{1-1/γ}\})$上界的弯曲每边的数量，其中$γ= 2^{\lceil k/2 \rceil}$和$c$是颜色的总数。我们的界限，其由先前已知算法的更好分析产生[Durocher和Mondal，SIAM J. Discrete Math.，32（4），2018]，将$k$的界限以及弯曲复杂性提高了$\sqrt{2}^{k}$的系数。该算法可以推广到求着色图的小泛点集。我们证明，$n\lceil c/b \rceil$顶点位置，其中$b\ge 1$，足以嵌入任何一组兼容着色$n$ -顶点平面图弯曲复杂性$O(b)$，其中$c$是颜色的数量。
2021-01-17 cs.CG
Snapping Graph Drawings to the Grid Optimally
在地理信息系统中以及在为具有有限计算资源的小型设备生成数字地图时，人们常常想要将坐标舍入为更粗糙的网格。这将删除不必要的细节，并减少空间消耗以及计算时间。这个过程被称为捕捉到网格，并已从计算几何的角度进行了彻底的研究。本文在平面图的组合嵌入必须保持和边画成直线的限制下，对给定的平面图的图，研究了同样的问题。我们表明，这个问题是NP-难的几个目标，并提供了一个整数线性规划制定。给定一个平面图G和一个正整数w，如果可能的话，我们的ILP也可以用来在宽度为w且高度最小的网格上画G的直线。
2016-08-31 cs.CG
Simultaneous Time-Space Upper Bounds for Certain Problems in Planar Graphs
在本文中，我们证明了，给定一个加权的，有向平面图$G$，和任何$ε>0$，存在一个多项式时间和$O(n^{\frac{1}{2}+ε})$空间算法，计算两个固定顶点之间的最短路径$G$。我们还考虑了{ \RB }问题，即给定一个图$G$，其边被着色为红色或蓝色，并且在$G$中有两个固定顶点$s$和$t$，是否存在从$s$到$G$中的$t$的路径，该路径在红色和蓝色边之间交替。平面DAG中的{ \RB }问题是{ \NL }完全的。我们展示了一个多项式时间和$O(n^{\frac{1}{2}+ε})$空间算法（对于任何$ε>0$）的{ \RB }问题的平面DAG。在本文的最后一部分中，我们考虑了平面二部图中存在的完美匹配的判定和构造问题，以及一个类似的问题，即在平面二部图中找到一个Hall障碍。证明了这两个问题的时空界与平面有向图中最短路问题的时空界相同。
2015-02-07 cs.CC cs.CG cs.DS
Simultaneous Orthogonal Planarity
我们介绍和研究的$\textit{OrthoSEFE}-k$问题：给定$k$平面图的最大程度4和相同的顶点集，他们承认一个OrthoSEFE，也就是说，是否有一个分配的顶点的网格点和边缘的路径上的网格，使相同的边缘在不同的图被分配相同的路径，并使分配诱导每个$k$图的平面正交绘图？我们证明了这个问题是NP-完全的$k \geq 3$，即使共享图是一个哈密尔顿圈，并有向日葵交叉和$k \geq 2$，即使共享图由一个循环和孤立的顶点。而当并图的最大度为5且共享图是双连通时，对于$k=2$，该问题是多项式时间可解的。此外，当共享图是双连通的，并有向日葵交叉，我们证明了每一个积极的情况下，有OrthoSEFE与最多三个弯曲每边。
2016-08-30 cs.CG cs.DS
The Impossibility of Simultaneous Time and I/O Optimality for The Planar Maxima and Convex Hull Problems
Aarhus University（奥胡斯大学）；University of Hawai’i at Mānoa（夏威夷大学马诺阿分校）
本文证明了对于平面凸包和极值问题，不存在同时最优时间复杂度和I/O复杂度的确定性输出敏感算法，解释了为何之前的最佳算法在I/O界上最优但时间复杂度次优。此外，本文还提出了简单的确定性算法，提供时间与I/O之间的权衡，并通过简单修改得到一个同时达到最优时间复杂度和期望I/O复杂度的随机算法。
2026-05-20 cs.CG cs.DS
Identifying Cluttering Edges in Near-Planar Graphs
本文提出一种启发式方法，通过识别近平面图中的杂乱边并调整其权重，显著提升弹簧类图绘制算法在增广网格图、增广三角剖分和深度三角剖分上的布局质量。
2023-04-17 cs.CG cs.DS
Optimal Polygonal Representation of Planar Graphs
本文考虑用边相接的多边形表示图的问题。我们表明，至少有六个边每个多边形是必要的，通过构建一类平面图，不能表示的五边形。我们还表明，下界的六个方面是匹配的上界的六个方面与线性时间算法表示任何平面图接触六边形。此外，我们的算法产生凸多边形的边缘有最多三个斜坡和所有的顶点躺在一个O（n）xO（n）的网格。
2011-04-08 cs.CG math.CO
Simultaneous Embeddings with Vertices Mapping to Pre-Specified Points
本文讨论了图在平面上的嵌入问题，并给出了顶点映射的限制条件。特别是，我们介绍了一种技术，用于绘制平面图与固定的顶点映射，边界的次数边弯曲。这种技术的直接结果是，任何平面图都可以用固定的顶点映射来绘制，以便边映射到分段线性曲线，每个曲线最多有$3n + O(1)$弯曲。通过考虑均匀随机平面图，我们证明了平均每条边的$2n + O(1)$弯曲是足够的。为了进一步利用我们的技术，我们考虑同时嵌入的$k$均匀随机平面图的顶点映射到一个固定的，共同的点集。我们解释了如何实现这样的绘图，使边缘映射到分段线性曲线与$O(n^{1-1/k})$弯曲，这与压倒性的概率。对于$k \geq 2$的情况，这个结果改进了以前最好的结果，即每条边的弯曲次数为O（n）。此外，我们给出了一个下界的弯曲的数量匹配我们的上限，证明我们的结果是最优的。
2012-06-04 cs.CG math.CO
Monotone Simultaneous Embedding of Directed Paths
研究了平面向上有向图的单调同时嵌入问题，即每个有向图的图都是平面向上的，且不同图的向上方向不同的同时嵌入问题.我们首先考虑有向图是有向路的特殊情况，与已知的两条有向路同时单调嵌入的结果相反，存在三条路不同时单调嵌入的例子。我们证明，如果单调同时嵌入的三条路径存在，那么它也存在任何可能的选择方向的单调性。我们提供了一个多项式时间算法，给定三条路径，决定是否存在单调同时嵌入，并在存在的情况下，也构造这样的嵌入。另一方面，我们已经证明了对于三条路径，任何单调的同时嵌入可能需要一个指数网格（w.r.t.顶点的数目）大小。对于三个以上的路径，我们提出了一个多项式时间算法，给定任何数量的路径和预定义的方向的单调性，决定是否承认的路径单调同时嵌入相对于给定的方向，包括建设的解决方案，如果它存在。此外，我们展示了我们的结果对一般向上平面有向图的单调同时嵌入的几个影响。最后，我们讨论与我们的问题相关的复杂性问题。
2014-02-28 cs.CG cs.DS
Grid Vertex-Unfolding Orthogonal Polyhedra
多面体的边展开是通过沿着边切割并将面展平为一个 * 网 *（一个没有重叠的连接平面片）而产生的。一个 * 网格展开 * 允许额外的削减沿网格边缘诱导坐标平面通过每个顶点。顶点展开允许网络中的面在单个顶点处连接，而不必沿着边连接。我们证明了亏格为零的正交多面体都有网格顶点开折。（有些正交多面体不能进行顶点展开，因此需要对面进行某种类型的“网格化”。）对于任意n个顶点的正交多面体P，我们描述了一个在O（n^2）时间内对P进行顶点展开的算法。为了解释这个算法，我们提出了一个更简单的顶点展开算法，需要一个3 × 1的顶点网格细化。
2006-09-27 cs.CG cs.DM
Simultaneous Embeddings with Few Bends and Crossings
两个平面图$R$和$B$的固定边同时嵌入（SEFE）是当限制到$R$和$B$的公共顶点和边时，$R$和$B$的一对平面图重合。证明了当$R$和$B$允许一个SEFE时，它们也允许一个SEFE，其中每条边是一条几乎没有弯曲的多边形曲线，每对边几乎没有交叉。具体而言：（1）如果$R$和$B$是树，则每个边一个弯曲和每个边对四个交叉就足够了（并且有时需要每个边一个弯曲），（2）如果$R$是平面图并且$B$是树，则每个边六个弯曲和每个边对八个交叉就足够了，以及（3）如果$R$和$B$是平面图，则每个边六个弯曲和每个边对十六个交叉就足够了。我们的结果改进了Grilli等人（GD'14）的论文，该论文证明了每条边有9个弯曲就足够了，改进了Chan等人（GD'14）的论文，该论文证明了每条边对有24个交叉就足够了。
2015-08-31 cs.CG cs.DS math.CO
Lower Estimates for $L_1$-Distortion of Transportation Cost Spaces
University of North Carolina at Charlotte（北卡罗来纳大学夏洛特分校）；St. John’s University（圣约翰大学）
研究了平面网格的$L_1$-扭曲下界，证明其为$Ω(\log n)$，并提出新的索伯列夫型不等式作为关键工具。
2026-02-16 cs.CG math.CO math.FA
