Asymmetric Quantum Codes on Toric Surfaces
非对称量子纠错码是定义在偏置量子信道上的量子码：量子位翻转和相移错误可以具有相等或不同的概率。码的构造是基于两个线性码的Calderbank-Shor-Steane构造。我们提出了家庭的复曲面，复曲面码和相关的非对称量子纠错码。
2017-08-09 cs.CR math.AG quant-ph
Quantum Error Correction with the Toric-GKP Code
我们研究的性能的单模GKP代码和它的级联与复曲面代码的噪声模型的高斯位移，或位移误差。我们展示了如何可以优化的GKP码的重复噪声纠错中的错误跟踪。我们这样做，通过检查这个设置的最大似然问题，并将其映射到一个一维欧几里德路径积分建模粒子在随机余弦电位。我们证明了效率的最小能量解码策略作为代理的路径积分评价。在本文的第二部分，我们分析和数值评估的GKP码与复曲面码的级联。当复曲面码测量值和GKP纠错测量值都是理想的时，我们发现通过使用GKP错误信息，复曲面码的阈值从$10\%$提高到$14\%$。当仅GKP误差校正测量是完美的时，我们观察到在$6\%$处的阈值。在更现实的设置时，所有的错误信息是嘈杂的，我们展示了如何表示的极大似然解码问题的复曲面GKP代码作为一个3D紧凑的QED模型中存在的淬火随机规范场，随机格元规范模型的复曲面代码的扩展。我们提出了一个新的解码器，这个问题表明存在的噪声阈值在移位误差标准偏差$σ_0 \approx 0.243$复曲面码测量，数据错误和GKP附属错误。如果误差仅来自不完美的GKP态，则这对应于仅具有4个或更多光子的状态。我们的最后一个结果是一个不去的结果，线性振荡器代码，编码振荡器到振荡器。对于高斯位移误差模型，我们证明了编码对应于压缩位移误差。这表明，线性振荡器码是无用的量子信息保护高斯移位错误。
2018-10-15 quant-ph
Efficient color code decoders in $d\geq 2$ dimensions from toric code decoders
我们介绍了一个有效的解码器的颜色代码在$d\geq 2$维，限制解码器，它使用任何$d$维复曲面码解码器结合本地提升过程中找到一个恢复操作。我们证明了限制解码器成功地纠正错误的颜色代码，当且仅当相应的复曲面码解码成功。我们还数值估计限制解码器阈值的颜色代码在二维和三维的位翻转和相位翻转噪声与完美的症状提取。我们报告说，二维彩色代码阈值$p_{\textrm{2D}} \approx 10.2\%$的正方形八边形晶格上的复曲面代码阈值的正方形晶格上的。
2023-02-16 quant-ph
Single-shot quantum error correction with the three-dimensional subsystem toric code
我们引入了一种新的拓扑量子码--三维子系统复曲面码（3D STC），它是稳定子复曲面码的推广。三维STC可以通过在具有开边界条件的立方晶格上测量权重至多为3的几何局部奇偶校验来实现。我们证明了单次量子纠错（QEC）是可能的与三维STC，即，一轮局部奇偶校验测量足以执行可靠的QEC，即使存在测量误差。我们还提出了一个有效的单次QEC战略的三维STC，并调查其性能。特别是，我们在数值上估计所得到的存储阈值对独立的位翻转，相位翻转和测量误差是$p_\text{STC} \approx 1.045\%$。这样的高阈值与小权重的局部奇偶校验测量一起使得3D STC对于实现容错量子计算特别有吸引力。
2021-06-04 cond-mat.str-el quant-ph
Single-Shot Quantum Error Correction in Intertwined Toric Codes
构造三维交织Toric码(ITC)实现单次量子纠错，其物理起源明确、逻辑算符直观且相图简单，校验子与Kubica-Vasmer码相似并可用其解码方案，揭示了与Walker-Wang模型及测量基量子计算的联系。
2024-08-27 cond-mat.str-el quant-ph
Efficiently decoding the 3D toric codes and welded codes on cubic lattices
近年来，人们对三维（3D）量子码的兴趣越来越大。最早提出的3D量子码之一是3D复曲面码。已经表明，3D颜色代码可以映射到3D复曲面代码。立方晶格上的三维复曲面代码也是迄今为止能量势垒最高的焊接代码的构建块。尽管众所周知，但尚未对3D复曲面代码的性能进行广泛研究。在本文中，我们提出了有效的解码算法的三维环面码的立方晶格与无边界，并报告其性能的各种量子信道。我们观察到对于位翻转错误的阈值为$\gtrsim 12\%$，对于相位翻转错误的阈值为$\approx 3\%$，以及对于擦除信道的阈值为$ 24.8\%$。我们还研究了焊接三维环面码在量子擦除信道上的性能。我们没有观察到擦除通道上焊接代码的阈值。
2018-08-09 cs.IT math.IT quant-ph
Toric Codes, Multiplicative Structure and Decoding
有限域上复曲面簇构造的长线性码及其乘法结构和译码。主要的主题是在环面码的内在乘法结构。乘法结构允许\emph{decoding}，类似于里德-所罗门码的解码，并且与通过纠错对的解码对齐。我们利用复曲面码上的乘法结构，通过Massey的构造推广了由Reed-Solomon码构造的Shamir线性秘密共享方案，利用\emph{strong multiplication}构造了线性秘密共享方案。我们用Calderbank-Shor-Steane方法构造了复曲面量子纠错码。
2017-02-20 cs.IT math.AG math.IT
Fault-Tolerant Constant-Depth Clifford Gates on Toric Codes
针对2D环面码，提出并模拟了结合折叠横向门、Dehn扭转和单次逻辑Pauli测量的容错常深度逻辑门组，其能生成完整Clifford群并具备容错性与常深度特性。
2024-11-27 quant-ph
Single-shot error correction on toric codes with high-weight stabilizers
本文为环面码实现了基于高斯消元法的单次校验算符，在含噪测量模型下达到5.62%的阈值，优于传统多轮测量方案，但在基于门的错误模型中未发现单次阈值行为。
2023-10-24 quant-ph
On measurement-based quantum computation with the toric code states
我们研究了基于测量的量子计算（MQC）使用的量子资源的二维正方形晶格上的平面代码状态（平面模拟的复曲面代码）。它表明，MQC与平面代码状态可以有效地模拟在经典计算机上，如果在MQC的每一步的测量和未测量的量子比特的集合对应于连接的子集的晶格。
2006-10-19 quant-ph
Noise Thresholds for the [[4, 2, 2]]-concatenated Toric Code
我们分析了通过将[[4，2，2]]代码与复曲面/表面码连接，或者通过从2D正方形-八边形或4.8.8颜色代码中删除检查运算符而得到的2D拓扑代码的性质。我们表明，由此产生的代码具有基于电路的噪声阈值$\sim 0.41\%$（相比之下，在类似的情况下，复曲面代码的$\sim 0.6\%$），这是高于任何已知的二维彩色代码。我们相信，这种构造可能对硬件感兴趣，其中人们希望使用远程双量子位门以及小量子位簇之间的短程门。
2016-08-18 quant-ph
Minimal instances for toric code ground states
十年前，Kitaev的Toric代码模型建立了拓扑量子计算的新范式。由于理论和实验的显著进展，对这种复杂的多体系统进行量子模拟已经成为可能。在这里，我们考虑的问题，在何种程度上的基态的小复曲面代码系统不同于LU-等效图形状态。我们认为，简单化（虽然实验上有吸引力）的设置抹煞的复曲面代码和等价的图形状态之间的差异，因此，我们寻找最小的设置上的正方形和三角形晶格，这样的准局部性的复曲面代码哈密顿成为一个显着的特点。为此，一个纯粹的几何程序来转换一个给定的复曲面代码设置到LC-等效图形状态。结合LC-等价图状态的算法计算，我们发现正方形晶格上的最小非平凡设置包含5个格元和16个量子比特;在三角形晶格上，格元和量子比特的数量分别减少到4和9。
2012-06-29 quant-ph
Efficient encoding of the 2D toric code logical state using local Clifford gates
University of Cambridge（剑桥大学）
提出一种仅用局域 $CX$ 和 $H$ 门、深度 $2L+1$ 的电路高效编码二维环面码逻辑态的算法。
2025-10-16 quant-ph
Non-Abelian statistics with mixed-boundary punctures on the toric code
复曲面码是一个简单且精确可解的拓扑序实现阿贝尔任意子的例子。然而，它被证明支持非局部晶格缺陷，即扭曲，表现出非阿贝尔的任何离子行为[1]。受此结果的启发，我们研究了在复曲面代码上具有来自穿孔缺陷的非阿贝尔统计的潜力。我们证明了一个编码与混合边界穿刺再现伊辛融合，和一个逻辑泡利- $X$后，他们的编织。我们的构造为局部晶格缺陷展现出可用于量子信息任务的非阿贝尔性质铺平了道路。
2021-12-01 quant-ph
Threshold error rates for the toric and surface codes
用于量子计算的表面码方案以最近邻耦合量子比特的2D阵列为特征，但声称阈值错误率接近1%（NJoP 9：199，2007）。该结果是针对复曲面代码获得的，从复曲面代码导出表面码，并且超过了限制于2d最近邻结构的所有其他已知代码几个数量级。我们详细描述了环面和表面码，这是基于多项式时间图匹配技术的纠错过程，并有效地实现为经典的前馈处理步骤在一个真正的量子计算机。通过直接模拟这种纠错方案，我们确定的阈值错误率为两个代码（不同的只是在他们的边界条件）的理想和非理想的综合征提取的情况。我们验证了复曲面编码在理想伴随式提取下的渐近阈值为p = 15.5%，在非理想情况下的渐近阈值为p = 7.8 10^-3，这与先前的工作一致。对表面码的模拟表明，阈值接近复曲面码的阈值。
2009-05-05 quant-ph
Almost any quantum spin system with short-range interactions can support toric codes
受到Kitaev的论点，物理误差校正是可能的相互作用的任意子系统的启发，我们证明了这种“自我校正”是相当常见的自旋系统与经典的哈密顿承认佩尔斯参数和错误的量子微扰建模。
2002-01-07 cond-mat.stat-mech quant-ph
Majorana Edge States for Z2 Topological Orders of the Wen-plaquette Model and the Toric-code Model
本文研究了Z2拓扑序的Wen-plaquette模型和Toric-code模型的对称保护Majorana边态，并计算了Majorana边态的色散。对于具有平移对称性的系统，Majorana边缘态是无带隙的，并且在k=0和k=pi处有节点。对于没有平移对称性的环面码模型的边缘态，边缘模变为带隙模。
2012-09-25 cond-mat.str-el quant-ph
Gapless Hamiltonians for the toric code using the PEPS formalism
我们研究的哈密顿Kitaev的复曲面代码作为基态，并展示如何构建一个哈密顿共享的复曲面代码的地面空间，但它有一个连续谱的热力学极限的无间隙激发。我们的构造是基于投影纠缠对态（PEPS）的框架，并可以应用到一个大类的二维系统，以获得无隙的“叔叔哈密顿量”。
2011-11-28 cond-mat.str-el quant-ph
Topological Quantum Computation by Manipulating Quantum Tunneling Effect of the Toric Codes
量子计算机预计将利用量子态来执行存储和处理任务，其速度远远快于传统的经典计算机。在本文中，我们提出了一种新的途径，通过调整量子隧穿效应的简并量子态的拓扑顺序，而不是通过编织任意子，以建立容错量子计算机。以设计者哈密顿量--Wen-Plaquette模型为例，研究了它的复曲面码的量子隧穿效应，以及如何控制复曲面码实现拓扑量子计算。特别是对全面质量管理的衡量提出了建议。最后讨论了Wen-Plaquette模型在冷原子中的实现。
2008-06-10 quant-ph
Topological ordering in the Majorana Toric Code
在零温度下，介观超导岛上的二维晶格的Majorana零模式表现出拓扑有序的复曲面码相位。最近，朗道场论被用来描述上述系统的不同相和分离它们的相变。虽然场论提供了接近相变的系统性质的细节，但还没有计算出不同相中的拓扑有序的签名。这是当前工作的主要目标。我们描述了一个格点规范理论的Majorana环面代码的$\mathrm{U}(1)$物质场耦合到一个紧急的$\mathbb{Z}_2$规范场。随后，我们使用一个广义的威尔逊环序参数，即等时Fredenhagen-Marcu序参量，来刻画不同阶段的拓扑序。我们的计算提供了莫特绝缘体和电荷- $2e$超导体相中复曲面代码相的证据，同时表明复曲面代码相在电荷- $e$超导体相中消失。此外，我们还微扰地分析了库珀对隧穿效应在强充电能极限下对复曲面码的拓扑间隙的影响，并表明复曲面码的相位实际上是由库珀对隧穿效应稳定的.我们的研究结果是相关的实验实现的马约拉纳复曲面代码。
2019-08-13 cond-mat.mes-hall cond-mat.supr-con quant-ph
An optimal dissipative encoder for the toric code
我们考虑的问题，准备特定的编码资源状态的环面代码的本地，时间无关的相互作用与无记忆的环境。我们提出了这样一个耗散编码器的建设，将产品状态的拓扑有序的，同时保持逻辑信息。相应的Liouvillian由四个局部Lindblad算子组成。对于大小为$L\times L$的量子比特晶格，我们证明了这个过程在时间上准备了编码状态$O(L)$，这是最优的。这种缩放与用于复曲面码的已知局部酉编码器相比是有利的，复曲面码需要$Ω(L^2)$阶的时间并且需要主动的时间相关控制。
2014-02-20 quant-ph
Non-perturbative Floquet engineering of the toric-code Hamiltonian and its ground state
Imperial College London（伦敦帝国理工学院）
提出基于时间周期驱动的toric-code Hamiltonian量子模拟方案，采用混合连续-数字策略实现非微扰四体相互作用，并设计高保真度制备拓扑有序基态的最优协议，适用于超导量子比特架构。
2023-06-01 cond-mat.quant-gas quant-ph
Quantum phase transitions in the $K$-layer Ising toric code
我们研究了$K$层Ising复曲面码与$K$层二维复曲面码通过Ising相互作用耦合的量子相图。而对于小的伊辛相互作用，系统显示源自每层中的复曲面代码的$\mathbb{Z}_2^K$拓扑顺序，系统显示高伊辛极限中的$\mathbb{Z}_2$拓扑顺序。后者证明了一般$K$通过推导一个有效的低能量模型在$K^{\rm th}$阶简并微扰理论，这是一个有效的各向异性单层环面代码的集体伪自旋1/2的孤立伊辛链段的两个基态。对于特定的情况下，$K=3$和$K=4$，我们应用高阶级数展开，以确定在低和高伊辛极限的间隙系列。外推的基本能隙给出了令人信服的证据表明，基态相图由一个单一的量子临界点在三维伊辛 * 普适性类的两个$K$分离两种类型的拓扑秩序，这是一致的双层伊辛复曲面代码与以前的研究结果。
2022-01-25 cond-mat.str-el quant-ph
Characterization of $n$-Dimensional Toric and Burst-Error-Correcting Quantum Codes from Lattice Codes
本文推广量子交织方法，基于格码构造 $n\geq5$ 的新型环面量子码并导出突发错误纠正量子码，兼具良好码率与编码增益，且在 Golomb–Welch 猜想成立时具有唯一性。
2024-10-26 cs.IT math.CO math.IT
Graph state representation of the toric code
鉴于它们在容错操作方面的潜力，拓扑量子态目前是激烈活动的焦点。特别令人感兴趣的是拓扑量子纠错码，如表面和平面稳定器码，相当于著名的复曲面码。虽然每个稳定器状态映射到局部Clifford操作下的图状态，与拓扑稳定器代码相关的图仍然是未知的。我们证明了环面码图只由两种子图组成：星图（编码Greenberger-Horne-Zeilinger态）和半图。拓扑顺序与多个星图的存在相一致，揭示了重复与复曲面代码之间的联系。图结构很容易产生一个对数深度的量子线路的状态准备，假设几何非本地门，它可以减少到一个恒定的深度，包括辅助和测量的成本，增加电路宽度。这些结果为拓扑序的研究和新型拓扑纠错码的开发提供了一个新的图论框架。
2021-06-25 quant-ph
Decohered toric code under quantum damping noise and its mapping to a classical spin model
Indian Institute of Technology Jodhpur（印度理工学院焦特普尔分校）；Poornaprajna Institute of Scientific Research (PPISR)（普尔纳普拉贾科学研究学院）
将广义振幅阻尼和压缩广义振幅阻尼通道下的退相干环面码映射到统计力学模型，并通过Pauli twirling转化为随机Pauli型错误，得到逻辑失败概率与温度和压缩的关系。
2026-07-03 quant-ph
Emergent Supersymmetric Many-Body Systems in Doped Z2 Topological Spin Liquid of the Toric-Code Model
本文研究了环面码模型的掺杂Z2拓扑自旋液体。我们发现，掺杂的空穴成为超对称粒子。掺杂Z2拓扑自旋液体的基态成为量子态的新物质--超对称玻色-爱因斯坦凝聚或超对称超流体。因此，该系统提供了一个独特的可操纵超对称多体系统的例子。
2012-10-11 cond-mat.str-el quant-ph
Unfolding the Toric Code Model with Emergent Qubits
本文通过栈桥结构上的精确模型构造提出可推广到任意图的涌现量子比特概念，将环面、圆柱和平面上的环面码模型严格变换为涌现量子比特，并给出精确量子线路，发现环面上线路深度随量子比特数线性增长，而圆柱和平面呈亚线性增长。
2023-10-08 cond-mat.other cond-mat.str-el math-ph
Incoherent dynamics in the toric code subject to disorder
我们数值研究了两种形式的淬火无序对环面码任意子的影响。首先，提出了一类新的基于稳定算子随机格的码，并证明了其在某些形式的有偏噪声下优于标准的正方格复曲面码。有人进一步认为，这些代码是接近最佳的，因为它们紧紧地达到错误阈值的上限，超过这个上限，没有可纠正的CSS代码可以存在。此外，我们还研究了具有随机分布现场势的环面码中任意子的经典运动。在任意子之间的排斥长程相互作用的存在下，一个令人惊讶的增加与无序强度的编码状态的寿命的报告和解释的一个完全不相干的机制。最后，在这两种形式的无序的存在下的任意子的相干输运进行了研究，发现一个显着的抑制的任意子运动。
2011-12-07 cond-mat.mes-hall quant-ph
A pedagogical overview on 2D and 3D Toric Codes and the origin of their topological orders
在这项工作中，我们将展示如何出现的拓扑秩序的复曲面代码时，它被定义的晶格离散化的三维环面。为了做到这一点，我们将提出一个传统的二维Toric代码的教学审查，其准粒子是如何构思和运输的重点。因此，我们不仅要弄清楚所有这些准粒子的概念和输运是如何适应这个三维模型的，而且要弄清楚拓扑学是如何在这个新的情况下控制基态的简并度的。
2019-09-06 cond-mat.str-el quant-ph
Analytically Exact Quantum Simulation of N-Body Interactions via Untunable Decentralized Hamiltonians for Implementing the Toric Code and Its Modifications
提出一种解析精确的量子模拟方法，通过迭代附加二体相互作用模拟 N 体相互作用，并应用于环面码及其变体的模拟，解决拓扑量子计算中的关键障碍。
2024-11-11 quant-ph
A four-dimensional toric code with non-Clifford transversal gates
一个四维复曲面代码的设计进行了探讨，找到一个能够实现逻辑$\mathsf{CCCZ}$门横向晶格的目标。所建立的晶格是八重镶嵌，这是四维欧几里得空间的规则镶嵌，其基础4-胞是八重或超菱形。这不同于基于超三次曲面细分的常规4D复曲面代码点阵，超三次曲面细分相对于逻辑$X$和$Z$对称，并且仅允许实现横向Clifford门。这项工作进一步发展的拓扑维度和横向门的Clifford层次之间建立的连接，推广了已知的设计实现横向$\mathsf{CZ}$和$\mathsf{CCZ}$在二维和三维，分别。
2020-10-05 quant-ph
Non-equilibrium and equilibrium thermodynamic foundations of the 2D toric code within the SEAQT framework
本研究针对现有文献仅研究二维toric码平衡态的空白，在SEAQT框架下探究其向稳定平衡演化的动力学，描述了非平衡态下的多种信息关联，建立了非平衡动力学与信息度量的联系。
2024-10-31 quant-ph
Free fermion representation of the topological surface code
已知复曲面码等价于自由费米子。本文提出了明确的本地酉变换映射$\mathbb{Z}_2$复曲面和表面码-开边界等效的复曲面码-费米子。通过这种结构，它表明，表面码可以映射到一组自由费米子模式，而复曲面码需要额外的费米子对称算子。最后，它演示了如何编码的任意子统计这些代码中的费米子表示。
2019-08-07 cond-mat.str-el quant-ph
Improved quantum hypergraph-product LDPC codes
我们提出了几种技术，以改善环面码和有限速率的广义环面码（量子超图积码）最近推出的Tillich和Zémor。对于通常的环面码，我们引入了由两个整数值周期向量指定的旋转格。这些码包括棋盘码和具有块长度$n=t^2+(t+1)^2$和距离$d=2t+1$，$t=1,2,...$的最小单量子比特编码复曲面码族。我们还提出了几个相关的代数结构，近四倍的速度现有超图产品代码。
2012-05-18 quant-ph
Dynamical Quantum Phase Transitions in Extended Toric-Code Models
我们研究了扩展的环面编码模型（有序和无序）的非平衡动力学，以探讨动力学量子相变（DQPT）的存在。我们表明，在有序的复曲面代码模型的情况下，零的Loschelles重叠（广义配分函数）发生在临界时刻时，DQPT发生，这是证实了在动力学的自由能量密度的对应部分的非解析。此外，我们表明，DQPT发生任何非零场强，如果初始状态是激发态的复曲面代码模型。在无序的情况下，我们表明，它是必要的，以研究的行为的一阶导数的动态自由能量密度平均在所有可能的配置，表征发生的DQPT在无序的环面代码模型，因为无序参数本身作为一个新的人工尺寸。我们还表明，对于任何离子激发存在于初始状态的情况下，发生DQPT的条件是相同的，在没有任何激发的情况下发生的。
2019-10-29 cond-mat.stat-mech quant-ph
Exact results on the quench dynamics of the entanglement entropy in the toric code
研究了二维Kitaev Toric码模型中的量子猝灭，精确计算了由顺磁初态演化的非平衡波函数与时间相关的纠缠熵.我们发现面积定律一直存在。添加无序的环面码耦合使得每单位边界长度的纠缠熵饱和到无序无关的值在很长的时间和热力学极限。在子系统边界的角点对面积定律有一阶修正，但拓扑熵始终保持为零。我们认为，打破一个小的磁场的可积性可以改变面积法的体积缩放预期的热化状态，但不足以形成拓扑纠缠，由于存在过剩的能量和有限的缺陷密度。
2010-10-20 cond-mat.stat-mech quant-ph
Polynomial-Time Preparation of Low-Temperature Gibbs States for 2D Toric Code
提出一种多项式时间算法，通过结合局部Davies生成器的Lindblad动力学与全局跳跃算子，实现了任意温度下二维Toric Code哈密顿量Gibbs态的高效制备。
2025-05-01 quant-ph
Unfolding the color code
拓扑色码和复曲面码是实现容错量子计算的两种主要候选码。在这里，我们表明，颜色代码上的$d$维封闭流形是等效的多个去耦副本的$d$维环面代码的本地酉变换和添加或删除辅助量子比特。我们的结果不仅推广了$d=2$已证明的等价性，而且还提供了一个明确的配方，如何解耦的颜色代码的独立组件，突出的重要性，着色性的建设的代码。此外，对于$d$ -维颜色代码与$d+1$边界的$d+1$不同的颜色，我们发现，代码是等价于多个副本的$d$ -维复曲面代码，这些代码是附加沿$(d-1)$ -维边界。特别是，对于$d=2$，我们表明，（三角形）颜色代码的边界是等价的（折叠）复曲面代码的边界。我们还发现，$d$维环面码承认逻辑非泡利门从$d$ -th级的Clifford层次，从而饱和的Bravyi和柯尼希的界限。特别是，我们表明，$d$ -量子位控制- $Z$逻辑门可以容错实现的复曲面代码的$d$副本的堆栈上的本地酉变换。
2015-03-06 quant-ph
Quantum loop models and the non-abelian toric code
我定义的量子回路模型的自由度是伊辛自旋的正方形晶格中的复曲面代码，但在那里的激发应该有非阿贝尔统计。内积是拓扑的，允许在晶格上直接实现任意子融合矩阵。它还使得在基态中，对于每个环$d$的各种权重值，去精细化任意子成为可能。对于d= \sqrt{2}，只有四自旋相互作用时才能出现带隙的非阿贝尔拓扑相。
2007-11-01 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Renormalization group decoder for a four-dimensional toric code
我们描述了一个计算效率高的启发式算法的基础上的重整化组的程序，其目的是在解决问题的最小表面给定其边界（曲线）在任何超立方格的尺寸$D>2$。我们使用这种算法来纠正错误发生在一个四维的变体的复曲面代码，具有开放的，而不是周期性的边界。对于包括测量误差的现象学误差模型，我们使用我们的算法的五维版本，实现$4.35\pm0.1\%$的阈值。对于该错误模型，这是任何拓扑代码的最高已知阈值。在没有测量误差的情况下，可以使用我们的算法的四维版本，并且我们找到$7.3\pm0.1\%$的阈值。对于基于门的去极化误差模型，我们发现$0.31\pm0.01\%$的阈值低于二维复曲面代码的阈值。
2017-08-30 quant-ph
Quantum error correction for the toric code using deep reinforcement learning
我们使用深度强化学习实现了一种用于拓扑环面码上的位翻转错误的量子纠错算法。动作值Q函数根据环面上的完整缺陷集（校正子或状态）对将缺陷移动到正方形网格上的相邻位置（动作）的折扣值进行编码。Q函数由深度卷积神经网络表示。在环面上使用平移不变性允许从中心视角观察每个缺陷，这显著简化了状态空间表示，而与缺陷对的数量无关。训练是使用经验重放完成的，其中来自正在播放的算法的数据被存储并用于Q网络的小批量升级。我们发现性能接近，并为小的错误率渐近等效，实现最小权重完美匹配算法的代码距离高达$d=7$。我们的研究结果表明，它是可能的自我训练的代理没有监督或支持算法找到一个解码方案，执行与手工算法，开放未来的机器工程解码器更一般的错误模型和纠错码。
2019-08-25 cond-mat.dis-nn quant-ph
Homological Stabilizer Codes
在本文中，我们定义了同调稳定子码，包括代码，如Kitaev的复曲面码和拓扑色码。这些代码完全由它们所在的图来定义，这一特性允许我们利用拓扑图论的性质来确定适合作为同调稳定器代码的图。然后，我们证明了所有的复曲面代码是等价的同调稳定4-valent图的代码。我们证明了拓扑色码和环面码对应于两类不同的图。我们定义的标签集等价的概念，并表明，在一个小的约束条件下，唯一的同调稳定剂代码没有本地逻辑运算符是等价的Kitaev的复曲面代码或拓扑色码。
2011-08-10 math.CO quant-ph
Ising order parameter and topological phase transitions: Toric code in a uniform magnetic field
横场中的量子伊辛模型是研究量子相变普适性质的最简单的量子多体系统。有趣的是，众所周知，这种相变可以映射到复曲面代码模型中的拓扑相变。因此，我们可以预期，横向伊辛模型的众所周知的性质用于表征Toric代码模型中的拓扑相变。本文研究了伊辛模型的磁化强度，证明了当磁化强度是局域序参量时，它在拓扑侧被映射为非局域序参量。因此，我们引入了一个字符串序参量的拓扑相变在Toric代码模型定义在不同的晶格具有不同的尺寸在存在一个均匀的磁场。由于这种弦序参量是Ising序参量序参量的对偶，具有众所周知的性质，它导致了均匀场中Toric码模型中相变的拓扑（非局部）表征。我们的研究结果表明，虽然拓扑相变不遵循对称性破缺机制，它仍然可能使用的对称性破缺相变的拓扑的概念，通过找到合适的映射。
2019-09-24 cond-mat.str-el quant-ph
Multipartite entanglement of the topologically ordered state in a perturbed toric code
我们证明了量子费舍尔信息（QFI）所证明的多体纠缠可以表征具有外场的正方形格子上的自旋- $\frac{1}{2}$复曲面码模型的拓扑量子相变.我们表明，QFI密度的基态可以写在规范不变的威尔逊圈的期望值为不同大小的正方形区域，并确定$\mathbb{Z}_2$拓扑顺序的标度行为。此外，我们使用这种多体纠缠见证来研究量子猝灭后拓扑秩序的热化和无序辅助稳定。此外，与上界的QFI，我们证明了有限温度拓扑秩序的二维环面代码模型中的热力学极限的情况下。我们的研究结果提供了见解的拓扑相位，这是强大的对外部干扰，拓扑保护量子计算的候选人。
2021-09-07 quant-ph
Localization of Toric Code Defects
我们探讨的可能性，被动纠错的复曲面代码模型。我们首先表明，即使相干动力学，源于自旋相互作用或耦合到外部磁场，导致逻辑错误。然后，我们认为，安德森局域化的缺陷，所产生的不可避免的波动的耦合常数，提供了一个补救措施。这种保护证明使用一般的分析参数，补充与数值结果表明，自校正记忆原则上可以实现在一个非零密度的相同的缺陷的限制。
2011-09-09 quant-ph
Revealing anyonic features in a toric code quantum simulation
任意子是二维系统中的准粒子，其统计性质与玻色子或费米子非常不同。虽然他们的孤立的观察尚未实现，在这里，我们进行了量子模拟的环面代码模型上的任意子。通过编码的偏振光子的多粒子纠缠态的模型，我们能够证明各种操纵的任意态，特别是，他们的特征分数统计。
2009-07-06 cond-mat.mes-hall hep-th physics.optics
Lattice Model for Fermionic Toric Code
在Z_2自旋液体和精确可解Kitaev Toric编码模型中的Z_2拓扑序是2+1D玻色子系统中最简单的拓扑序。更一般的2+1D玻色拓扑有序态可以通过精确的可解弦网络模型来构造。然而，最重要的拓扑有序相的物质可以说是费米子分数量子霍尔态。费米子系统的物质拓扑相严格地比玻色子系统丰富，因为定域性对两种系统有不同的意义。在本文中，我们描述了一个简单的费米子版本的复曲面代码模型来说明费米子精确可解模型和费米子拓扑有序态的许多显着特征。
2014-08-26 cond-mat.str-el hep-lat hep-th
Topological line in frustrated Toric code models
典型的拓扑系统在存在足够强的扰动时经历拓扑相变。本文提出了一种具有“拓扑线”的可调阻挫Toric码，在该拓扑线上系统不发生相变，并且拓扑序对任意强度的非线性扰动都是鲁棒的.这个重要的结果是挫折和非线性之间的相互作用，在我们的系统，这也导致了其他有趣的现象，如重入拓扑相位和生存的拓扑秩序下的局部投影操作的出现。我们的研究为更健壮的拓扑量子码打开了一扇新的窗口，拓扑量子码是大规模量子计算的基石。
2021-09-22 cond-mat.str-el quant-ph
A blindness property of the Min-Sum decoding for the toric code
Université Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Grenoble INP（格勒诺布尔理工学院）；LIG（信息学与图形学实验室）；CNRS（法国国家科学研究中心）；CEA-Léti（法国原子能和替代能源委员会-电子技术研究所）
研究toric码在最小和解码下的盲性限制，揭示局部信息传播的内在约束，并提出稳定子膨胀预处理方法以提升纠错性能。
2024-11-21 quant-ph
New Three and Four-Dimensional Toric and Burst-Error-Correcting Quantum Codes
针对拓扑量子纠错码缺乏抗错误簇交织方案的问题，本文构造新型三维、四维环面格码并引入量子交织，得到信息率更优且适用于定位错误、量子存储与带记忆信道的纠突发错误量子码。
2023-07-12 cs.IT math.IT quant-ph
Universal representation of the long-range entanglement in the family of Toric Code states
Shiraz University（设拉子大学）
该研究针对拓扑量子态长程纠缠的普适表示需求，以Kitaev's Ladders为模块，通过非局域解纠缠子将不同几何Toric Code态转化为其张量积，揭示了长程纠缠的普适非局域模式，为拓扑序描述提供了新方法。
2025-09-03 cond-mat.str-el quant-ph
Local Decoders for the 2D and 4D Toric Code
我们分析了二维和四维复曲面码的解码器的性能，这是本地的建设。2D解码器是由Harrington制定的元胞自动机解码器，其明确地具有有限的通信和计算速度。对于一个模型的独立$X$和$Z$错误和错误的综合征测量具有相同的概率，我们报告的阈值为$0.133\%$哈林顿解码器。我们实现了一个4D复曲面码的解码器，该解码器基于Hastings arXiv：1312.2546的解码器。阐述了一种用于处理故障综合征的方法，我们针对与2D情况中相同的噪声模型估计$1.59\%$的阈值。我们比较了这个解码器的性能与基于4D版本的Toom的元胞自动机规则的解码器以及由Dennis等人提出的解码方法。arXiv：quant-ph/0110143。
2016-09-19 quant-ph
Symmetries for a High Level Neural Decoder on the Toric Code
表面码是一种很有前途的量子纠错方法，也是许多量子计算实现的基础。然而，它们的有效解码仍然没有得到充分的探索。最近，Torlai和Melko以及Varsamopoulos等人提出了基于机器学习技术的方法。在这些方法中，所谓的高级解码器用于通过校正逻辑错误来对底层解码器进行后校正。一个重要的问题是，这些方法需要大量的训练数据，即使是相对较小的代码距离。上述方法在编码一个逻辑量子比特的旋转表面码上进行了测试。在这里，我们表明，他们是可行的，甚至对环面编码的两个逻辑量子比特的表面码。此外，我们解释了如何可以利用复曲面码的对称性，以减少获得良好的解码结果所需的训练数据量。最后，我们比较了不同的底层解码器，并表明高级别解码的准确性明显取决于底层解码器的质量，在现实的情况下，不完美的训练。
2020-10-27 quant-ph
