A characterization of projective space via lengths of extremal rays
Osamu Fujino, Eric Jovinelly, Brian Lehmann, Eric Riedl
本文通过极射线长度特征化复射影空间。
我们证明了利用极射线长度对复射影空间进行一个新的特征化。
We prove a new characterization of complex projective space using lengths of extremal rays.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the ACC for lengths of extremal rays
讨论了极值射线长度的升链条件。证明了Picard数为1的$n$-维$\mathbb Q$-阶乘复曲面Fano簇的极射线长度满足升链条件.
ACC for minimal lengths of extremal rays for surfaces
证明了Picard数为1的对数正则Fano曲面的极值射线长度满足升链条件条件。这证实了藤野和石冢提出的一个猜想的二维情况
Toric Fano contractions associated to long extremal rays
证明了与长度大于其纤维维数的极值射线相关联的复曲面Fano收缩是一个射影空间丛。
Fano manifolds having (n-1,0)-type extremal rays with large Picard number
我们对光滑Fano流形X进行分类，使其具有Picard数$ρ_X \geq 3$，使得存在极值射线，该极值射线具有将因子映射到点的双有理收缩。
Extremal rays and automorphisms of holomorphic symplectic varieties
我们回顾了K3型全纯辛簇的丰富锥和双有理压缩的最新结果，重点关注显式构造和具体例子。
Intersection numbers of extremal rays on holomorphic symplectic varieties
我们提出了一个一般的框架下的Beauville-Bogomolov形式的不可约全纯辛流形的极值射线的交叉性质。我们的主要论点是，与拉格朗日射影子空间的极值射线控制的曲线锥的行为。我们探讨这种哲学的影响，例如希尔伯特计划的K3曲面和广义库默尔品种的点。我们还收集支持我们在特定案件中的陈述的证据。
On the minimal length of extremal rays for Fano 4-folds
Fano流形上反典范除子与有理曲线的相交数的最小值称为伪指标。期望反典型因子的相交数在极值射线上达到最小值，即存在一条极值有理曲线，其与反典范除子的相交数等于伪指数.在本文中，我们证明了这一点光滑Fano 4倍具有双有理压缩。
Extremal rays of non-integral $L$-length
设$X$是光滑复射影簇，$L$是其上的线丛，我们描述了预极化流形$(X,L)$对于不变量$τ_L(R):=-K_X\cdotΓ/(L \cdot Γ)$的非整数值的结构，其中$Γ$是$X$上极值射线$R:=\mathbb R_+[Γ]$的极小曲线，使得$L \cdot R>0$ .
Projective uniformization, extremal Chern classes and quaternionic Shimura curves
紧致实流形上的射影结构是实微分几何中的经典对象。另一方面，具有全纯投影结构的复流形只要维数大于1就形成一个特殊的类。在凯勒·爱因斯坦的例子中，射影空间、环面和球对称是基本上仅有的例子。它们可以纯粹用陈类条件来描述。我们给出了所有带有射影结构的射影流形的一个完全分类。唯一额外的例子是四元数志村曲线上的模阿贝尔族。它们也可以纯粹用陈类条件来描述。
Manifolds covered by lines and extremal rays
设$X$是光滑复射影簇，$H \in \pic(X)$是充裕线丛.假设$X$被关于$H$的次数为1且反正则次数大于或等于$(\dim X -1)/2$的有理曲线覆盖。证明了在曲线的锥$\cone(X)$中存在一个覆盖族，其数值类覆盖曲线的极值射线。
Fano manifolds with long extremal rays
设X是伪指数为i_X且Picard数至少为2的Fano流形，R是X的具有例外轨迹Exc（R）的极值射线.本文证明了一个不等式，它用i_X和Exc（R）的维数来限定R的长度，并讨论了边界情形.特别地，我们对伪指数为i_X的Fano流形X进行分类，该流形X是沿着光滑子流形T将一个光滑簇Y爆破得到的，使得dim T < i_X。
Cohomological invariants of complex manifolds coming from extremal rays
本文将光滑射影流形X的Mori极值射线分为两类：L-支撑的和L-可忽略的（其中“L”代表"Lefschetz“，因为这种划分来自硬Lefschetz定理）.粗略地说：L-支撑射线在拓扑上是强可区分的，而L-可忽略射线具有非常温和的几何形状。每个L-支撑射线R定义了H^2（X，R）中的超平面，在该超平面上Lefschetz对偶退化，因此它是一个上同调环不变量。超平面具有重数（上同调环不变量），重数与射线R的几何形状有关。支持L的光线的数量是有界的。虽然L-可忽略射线的数目可能是无限的，并且它们在上同调环中是不可见的，但它们的几何形状比L-支撑射线的几何形状更容易。它们在低维中是可分类的。每一条L-可忽略射线都包含许多“好”的有理曲线，这些曲线的变形具有期望的维数。实际上，L-可忽略射线在复结构的变形下是不变的，并且可以用于计算辛几何中的Gromov-Witten不变量。
Some extremal contractions between smooth varieties arising from projective geometry
我们构建明确的例子基本极值收缩，双有理和纤维型，从光滑的射影n维品种，n \geq 4，到光滑的射影品种，产生于经典的射影几何和定义在足够小的领域，不一定代数封闭。考虑的例子来自特定的特殊homaloidal和subhomaloidal线性系，这通常是退化的一般现象经典研究的博尔迪加，塞维里，托德，房间，法诺，森普尔和Tyrrell和最近的艾因和谢泼德-巴伦。第一系列的例子与P^m，3 \leq m \leq 5的特定余维2行列式光滑子变种相关联。通过考虑P^5中某些曲面的特殊三次超曲面，或P^7中某些具有一个明显二重点的三重曲面，我们得到了另一系列的例子。最后的例子来自一个有趣的双理性基本极值收缩在6维，研究了森普尔和泰瑞尔和充分描述的最后一节。
Extremal Contraction of Projective Bundles
本文研究 Picard 秩 1 的光滑 Fano 簇上射影丛的极收缩，利用 drums 构造光滑爆发结构，给出 rooftop flip 的几何构造，并计算射影空间上第一陈类为 2 的整体生成丛的 nef 锥与伪有效锥。
Extremal effective divisors of Brill-Noether and Gieseker-Petri type in $\overline{\mathcal M}_{1,n}$
证明了在具有$n$序标记点的稳定亏格为1的曲线的模空间中，Brill-Noether型和Gieseker-Petri型的某些因子是有效锥的极值射线.特别是，它们不同于在\cite{ChenCoskun}中发现的无穷多条极值射线。
Extremal Rays and Null Geodesics on a Complex Conformal Manifold
这是以前提交的论文的修订版。
Special rays in the Mori cone of a projective variety
设$X$是代数闭域$k$上的光滑$n$维射影簇，使得$K_X$不是nef.本文给出了$X$的最大长度（即长度为$n-1$）的非nef极值射线的一个特征;在$\ch(k) = 0$的情况下，我们也刻画了长度为$n-2$的非nef极值射线.
Extremal rays and nefness of tangent bundles
根据Mori理论，有理齐次流形满足一个递归条件：每个初等收缩都是有理齐次纤维化，并且任何初等收缩的像也满足相同的性质。本文证明了具有相同条件且Picard数大于$n-6$的光滑Fano $n$ -fold要么是有理齐次流形，要么是$\mathbb{P}^1$的$X_0$拷贝与G.奥塔维亚尼我们还阐明了$X_0$具有非nef的切丛，特别是不是有理齐次的.
On the extreme rays of the cone of $3\times 3$ quasiconvex quadratic forms: Extremal determinats vs extremal and polyconvex forms
本文研究$3\times 3$拟凸二次型（记作${\cal C}_3$）的凸锥的极射线.我们刻画了声张量的行列式为极值多项式的二次型$f\in {\cal C}_3,$，并对其它情况进行了推测和讨论.我们证明了当形式$f\in {\cal C}_3$的声学张量的行列式是一个极值多项式而不是一个完全平方时，形式本身必须是${\cal C}_3;$的一个极值射线，当行列式是一个完全平方时，形式是${\cal C}_3$的一个极值射线或多凸的;最后，当行列式恒为零时，形式$f$必须是多凸的.零行列式情形在其他两种情形的证明中起着重要的作用。我们还对${\cal C}_3,$的极射线作了一个猜想，并讨论了${\cal C}_d$对$d\geq 3.$的弱和强等离子体，证明了${\cal C}_3$的一些性质对${\cal C}_d$对$d>3,$不成立，从而证明了$d=3$是特殊的.这些结果恢复了所有以前已知的结果（据我们所知）的${\cal C}_3$的极值点的例子，被证明是这样的。我们的结果还改进了第一作者和米尔顿[20]证明的结果。
Extremal rays in the Hermitian eigenvalue problem
厄米特本征值问题要求给出$n\times n$埃尔米特矩阵的和的可能的本征值，给定被加数的本征值。控制这个问题的锥$Γ_n(s)$的正则面已经由几位作者的工作在经典舒伯特演算方面表征。我们确定极值射线的$Γ_n(s)$（这是从来没有正规的脸），通过将它们的几何形状的旗品种：极值射线产生的“模块化交叉轨迹”，或“感应”从极值射线的较小的群体。给出了这两个极端射线来自这样的相交轨迹，并为感应映射的显式公式。
Extremal rays of the embedded subgroup saturation cone
我们研究的极值射线的锥的主导权$(μ, \widehatμ)$的组$G\subseteq \widehat G$，存在$N \gg0$，使$$ \left(V(Nμ)\otimes V(N\widehat μ)\right)^G\ne (0). $$我们展示的一类射线（“I型”）的任何正规面的圆锥公式。这些射线是确定感谢富尔顿的猜想，我们证明了一路推广。证明了曲面上的剩余射线（“II型”）是较小圆锥在一定映射下的极值射线的像，并给出了其公式。给出了求不在任何正平面上的圆锥射线的方法。这是一个推广的工作Belkale和基尔极值射线的饱和张量锥;专业化是由$\widehat G = G\times G$与对角嵌入$G$。我们包括几个例子来说明公式。
Extremal rays in the Hermitian eigenvalue problem for arbitrary types
厄米特本征值问题要求给定被和项的本征值的埃尔米特矩阵的和的可能的本征值。这是一个关于$G=\operatorname{SL}(n)$的极大紧子群的李代数的问题。有一个多面锥（“本征锥”）决定了问题的可能答案。这些特征锥可以定义为任意的半单群$G$，也控制（适当稳定）的问题存在的非零不变量在张量积的不可约表示的$G$。我们给出了描述的极值射线的本征锥任意半单群$G$的极值射线，首先观察到极值射线躺在定期方面，然后分类极值射线在一个任意的定期面。明确的公式给出了一些极值射线，这有一个明确的几何意义的周期类的有趣的轨迹，在一个任意的正规面，其余的极值射线在该面上的理解，我们介绍的几何过程，并解释数值，称为感应Levi子群。给出了几个数值例子。本文的主要结果和方法推广了[Bel 17]处理$G=\operatorname{SL}(n)$情形的工作.
Extremal degenerations of polarized Hodge structures
我们描述了一个霍奇理论的方法来解决这个问题：在什么样的方式可以顺利投射品种退化？
Stability conditions and extremal contractions
我们表明，从一个光滑的射影簇的维数小于或等于3的任何极值收缩出现作为一个模空间的（半）稳定对象的导出范畴的相干层。
The two extremal rays of some Hyper-Kähler fourfolds
研究形变等价于 K3 曲面 Hilbert 平方的四维射影 Hyper-Kähler 流形，在 Picard 秩为二且具两个除子收缩时，确定了例外二次曲线丛的七种类型，并给出三次四维流形 Fano 簇的四种实例。
A remark on toric foliations
本文研究射影 Q-因子环面簇上的环面叶状结构，证明当极射线长度超过叶状结构秩时，极收缩为射影空间丛且叶状结构等于其相对切层。
Contractible Extremal Rays on \overline{M}_{0,n}
本文研究了稳定点有理曲线的模空间M_n和对称群Q_n的商上的曲线锥和除子锥，Q_n是一个对的模空间。我们找到了曲线锥NE_1（M_n）和因子锥NE^1（Q_n）的可收缩极值射线的生成元。第二个圆锥是单纯的。对于小的n（第一种情况< 8，第二种情况< 11），我们给出了NE_1（M_n）和NE_1（Q_n）的完整描述。我们也有结果的独立利益时，曲线在一个除数生成的圆锥曲线的环境品种。
Extremality of tautological classes of matroids in nef cones
本文研究了置换簇的多面体nef锥中由拟阵的tautological Chern类生成的射线的极值性，给出了拟阵的tautological Chern类生成极值射线的充要条件，并构造了介于秩函数和Bergman类之间的新极值射线族，进一步讨论了该定理通过增广tautological Chern类向星形簇的推广。
Curves generating extremal rays in blowups of weighted projective planes
我们认为爆破在一般点的加权射影平面，更一般地说，复曲面皮卡德数为1。我们给出了一个统一的建设负曲线在这些爆破，使所有以前已知的家庭出现的边界情况。该分类由两类所述曲线组成，每类取决于两个参数。这两类中的每一条曲线都与这两类中的其他曲线代数相关;这使我们能够归纳地找到它们的定义方程。对于我们的分类中的每一条曲线，我们考虑一个家庭的爆破，其中曲线定义了一个极值类的有效锥。我们给出了一个完整的分类，这些爆破到森梦空间和非森梦空间。我们的方法大大简化了以前的证明，避免了积极的特征方法和更高的上同调。
Fano-Mori contractions of high length on projective varieties with terminal singularities
设X是一个具有终端奇点的射影簇，L是X上的一个充分Cartier因子.证明了：如果f是一个与极值射线$ R \subset \bar {NE(X)}$相关联的双有理压缩，使得R.（K_X+（n-2）L）<0，则f是光滑点的加权blow-up。然后，我们分类与极值射线R相关联的除数收缩，使得R。（K_X+rL）<0，其中r是非负有理数，并且f的纤维具有小于或等于r+1的维数。
On the regularity of varieties having an extremal secant line
在r维射影空间中，具有极值割线的r次n维簇的Castelnuovo-Mumford正则性至少为d-r+n+1.我们对这些品种进行了分类，并证明了它们的正则性完全是d-r+n+1，正如正则性猜想所预测的那样。
On the slope inequalities for extremal curves
本文讨论了T. Kato和G.马滕斯我们发现，在许多情况下，答案是否定的。通过对极值曲线的几何形状及其正则模型的详细分析，得到了这一结果。因此，我们表明，特定的曲线上的Hirzebruch表面不违反在一定范围内的斜率不等式。
Geometry of rays-positive manifolds
设M是光滑复射影簇，L是其上的线丛，研究了射线正流形，即对（M，L），使得L是数值有效的，且对M上的所有极值射线R，L \cdotR > 0.提供了几个说明性的例子和一些应用。特别地，对余维数小且具有可裂奇点的射影簇进行了分类，证明了截亏格g（M，L）的非负性，并描述了g（M，L）= 0，1的对.
Extremal Kähler metrics on projective bundles over a curve
设$M=P(E)$是亏格为$\ge 2$的紧致复曲线$Σ$上的全纯向量丛$E \to Σ$的投影化的全空间的复流形.基于Fujiki的思想，我们证明了$M$容许常数数量曲率的Kähler度量当且仅当$E$是多稳定的.我们还解决了更一般的存在性问题的极值Kähler度量在这样的丛，并证明了分裂的$E$作为一个直接和稳定的子丛是充要条件的存在性极值Kähler度量在足够小的Kähler类。用于证明上述结果的方法适用于更广泛的一类流形，称为{半单基上的\it刚性环面丛}，它是与常数量曲率Kähler流形的乘积上的主环面丛相关的纤维化，纤维同构于给定的环面Kähler簇。我们讨论了各种分歧，我们的方法，这类流形。
Birational geometry of blow-ups of projective spaces along points and lines
考虑$\mathbb{P}^3$在非常一般的位置上的6个点处的放大$X$和通过6个点的15条线。我们在$X$上构造了一个无限阶伪自同构$ϕ_X$，它是由13次因子的完备线性系统诱导的。$X$的有效锥具有无穷多条极值射线，因此，$X$不是Mori梦空间。三重的$X$有一个独特的anticanonical部分，这是一个雅可比K3库默尔表面$S$皮卡德数17。$ϕ_X$对$S$的限制实现了Jacobian K3 Kummer曲面的Keum的192个无限阶自同构之一。在一般情况下，我们证明了$\mathbb{P}^n$（$n\geq 3$）在$(n+3)$的一般点和通过它们的某些9条直线上的爆破不是Mori Dream，有无穷多个极值有效因子.作为应用，对$n\geq 7$，证明了$\overline{M}_{0,n}$在一般点的爆破有无穷多个极值有效因子.
Hamiltonian 2-forms in Kahler geometry, III Extremal metrics and stability
本文研究了射影丛的全空间上的极值Kaehler度量的显式构造，这类度量已在许多地方得到了研究。我们提出了一个统一的方法，汉密尔顿2-形式的理论（如介绍和研究在以前的论文系列）的动机，但本文在很大程度上是独立的理论。我们得到一个特征，在一个大家庭的投射丛，这些'容许' Kaehler类（即，与丛结构相容的那些，我们精确地），其中包含极值Kaehler度量。在许多情况下，例如在几何直纹曲面上，每个Kaehler类都是容许的。特别是，我们的研究结果完成了极端Kaehler度量几何直纹表面的分类，回答了几个长期存在的问题。我们还发现，我们的表征同意的K-稳定性的概念，可接受的Kaehler类。因此，我们的例子和不存在的结果提供了一个肥沃的试验场迅速发展的理论的稳定性投影品种，我们讨论了一些分歧。特别是，我们得到的例子是不稳定的非代数退化的投影品种。
Extremal Transition and Quantum Cohomology: Examples of Toric Degeneration
当一个奇异射影簇X_sing有一个射影可裂分解X_res和一个光滑解X_sm时，我们称X_res和X_sm通过极值转移联系起来。本文研究了X_res和X_sm的量子上同调之间的关系。对于三维锥型跃迁，Li和Ruan的一个结果暗示光滑X_sm的量子上同调同构于一个分解X_res的量子上同调的某个次商，其中例外曲线的量子变量专门为一个。通过显式计算，我们观察到复曲面退化Fl（1，2，3），Gr（2，4）和Gr（2，5）也有类似的现象。
Moduli of Gorenstein Q-homology projective planes
我们给出了具有孤立有理二重点奇点和数值平凡的典范丛的复Q-同调射影平面的完整分类。有31种类型，每种都有一维模量。事实上，所有的模曲线是合理的，并定义在Q上，我们确定所有的家庭明确使用极值有理椭圆曲面和Enriques对合的基变化类型。
The cone of moving curves of a smooth Fano-threefold
本文证明了光滑Fano-三重移动曲线的闭锥是多面体的。证明依赖于一个著名的结果Bucksom，Demailly，Paun和Peternell说，强可动锥是对偶锥的pseudoeffective因子。最后，我们涉及的极值射线的锥上的移动曲线的三倍与极值射线的锥上的强移动曲线的双有理模型得到的Mori收缩。
Projective varieties with nef tangent bundle in positive characteristic
设$X$是定义在正特征$p$的代数闭域上的光滑射影簇，其切丛为nef.我们证明了$X$允许一个光滑态射$X \to M$使得纤维是具有nef切丛的Fano簇，并且$T_M$是数值平坦的.我们还证明了极值压缩作为光滑态射存在。作为应用，我们证明了：如果弗罗贝尼乌斯态射可以模$p^2$提升，那么直到有限的代数Galois覆盖，$X$允许一个光滑态射到一个其纤维是射影空间的乘积的普通阿贝尔簇上.
An affine local criterion for toric projective space bundles
该研究探讨等维环态射成为射影空间丛的条件，证明仿射刚性定理并将其应用于长极射线相关的环收缩，得到无需ℚ-因子性的射影空间丛定理。
1-point Gromov-Witten invariants of the moduli spaces of sheaves over the projective plane
Gieseker-Uhlenbeck态射将光滑射影曲面上稳定秩为2的层的Gieseker-Uhlenbeck模空间映射到Uhlenbeck紧化，是Hilbert点格式的Hilbert-Chow态射的推广.当曲面是复射影平面时，我们确定了所有亏格为0的1点Gromov-Witten不变量关于Gieseker-Uhlenbeck态射的极值.主要思想是通过研究Gieseker模空间上的障碍层和利用亚纯2-形式来理解稳定映射的模空间的虚基本类。
Relative uniform $K$-stability over models implies existence of extremal metrics
本文证明了在极小极值 torus over 模型下，极小极值度量的存在性，扩展了Chi Li关于常标量曲率Kähler度量的结果。
On projective varieties $n$-covered by curves of degree $δ$
正如最近在[PT]中证明的那样，对于品种$X^{r+1}\subset \mathbb P^N$，使得通过$n\geq 2$一般点，通过次数为$δ\geq n-1$的不可约曲线$C$，我们有$N\leq π(r,n,δ+r(n-1)+2)$，其中$π(r,n,d)$是次数为$d$的不可约非退化品种$Y^r\subset\mathbb P^{n+r-1}$的几何亏格的Castelnuovo-Harris界函数。许多像标题中那样的簇的例子和达到嵌入维数的前界的例子都是从Castelnuovo簇构造的，因此在[PT]中被称为{ \it of Castelnuovo type}，在[PT]中也证明了所有如上所述的极值簇都是这种类型，除了可能当$n>2$，$r>1$和$δ=2n-3$时。本文的主要结果之一是分类的极值品种$X^{r+1}\subset \mathbb P^{2r+3}$ 3-覆盖扭曲的立方和不Castelnuovo型。有趣的例子提供了所谓的{ \it扭曲三次在复杂的约旦代数秩3}，如Mukai指出。通过涉及到一个极值品种3-覆盖扭曲的立方，通过切向投影，一个四次二次克雷莫纳变换在$\mathbb P^r$，我们能够分类所有这些对象无论是$r\leq 4$或光滑假设。在最后一种情况下，我们得到，它们要么是光滑的有理正规涡卷（因此是Castelnuovo型），要么是$\p^1\t…
Remarks on projective normality for certain Calabi-Yau and hyperkähler varieties
证明了具有平凡典范丛的簇的有效很满性和投射正规性的一些结果。在第一部分中，我们证明了正则光滑四重上的具有平凡典范丛的充分线丛的一个有效的投射正规性结果。更精确地说，我们证明了，对于一个正则光滑的四重平凡规范丛，$A^{\otimes 15}$是投影正常的$A$充足。在第二部分中，我们强调的投影正规性的倍数充分和全球产生的线丛的某些类已知的例子（直到变形）的射影hyperkähler品种。作为推论，我们证明了除维数为$4$和$6$的两个极值情形外，上述例子上的任何充分的全局生成的线性系的一般曲线截面都是非超椭圆的.
A splitting theorem for extremal Kaehler metrics
基于S. K. Donaldson和T. Mabuchi，我们证明了E. Calabi定义在极化紧致复射影流形的乘积上，是每个因子上的极值Kaehler度量的乘积，只要极化流形的积分Futaki不变量为零或其自同构群满足约束.这推广了S.- T. Yau关于分裂的Kaehler-Einstein度量的产品紧凑的复流形更一般的设置极值Kaehler度量。
Extremal varieties 3-rationally connected by cubics, quadro-quadric Cremona transformations and rank 3 Jordan algebras
对于任何$n\geq 3$，我们证明，这些显然无关的对象之间存在等价：不可约$n$维非退化的投影品种$X\subset \mathbb P^{2n+1}$不同的合理正常涡卷和3-覆盖扭曲的三次曲线，射影等价;四次二次克雷莫纳变换的$ \mathbb P^{n-1}$，线性等价; $n$维复杂的约旦代数秩三，高达合痕。我们还提供了一些应用程序的分类的特定类别的品种在上述定义的类和quadro-quadric克雷莫纳变换，证明也是一个结构定理，这些双有理映射和品种3-覆盖扭曲的三次通过重新解释这些对象的可解性的根的约旦代数。
On the Castelnuovo-Mumford regularity of connected curves
本文证明了连通曲线的Eisenbud-Goto猜想。我们还研究了连接曲线的结构，这个界限是最佳的。特别地，我们在射影四维空间中构造了具有极大正则性但没有极值割线的任意高次连通曲线。我们还证明了在至少5次的射影3-空间中，任何没有线性分量且具有极大正则性的连通曲线都有一个极值割线。
Extremal contractions from 4-dimensional manifolds to 3-folds
令$g : X \to Y$是光滑射影4重$X$的极值射线的收缩，使得$\dim Y=3$。则$g$可以具有有限数量的2维纤维。我们将对这些纤维进行分类。特别地，我们将证明，这样的纤维的任何两个点是由一个链的合理的曲线的长度至多为2关于$-K_X$，$|-K_X|$是$g\text{-free}$。
Regularity of structure sheaves of varieties with isolated singularities
设$X\subseteq \mathbb{P}^N$是余维$e$和度$d$的具有孤立$\mathbb{Q}$ -Gorenstein奇点的非退化正规射影簇.我们证明了Castelnuovo-Mumford正则性$\text{reg}(\mathcal{O}_{X})\le d-e$，正如Eisenbud-Goto正则性猜想所预言的那样.这样的界限失败的一般投射品种。主要技术是Noma的分类的非退化的投影品种和Nadel消失的乘数理想。我们还分类极端和极端的情况下。
Characterization of products of projective spaces via nef complexity
本文通过定义 nef 复杂性，特征化射影空间的积，并对光滑 Fano 三次簇进行分类，同时证明了 Mukai 猜想并研究了射影空间积的像。
Extremal divisors on moduli spaces of K3 surfaces
本文研究了K3表面模空间上极值除子的生成条件，并展示了其在不同紧致化情况下的极值射线结构。
Relative K-polystability of projective bundles over a curve
设$P(E)$是全纯向量丛$E$在紧致复曲线$C$上的投影化.利用相对K-多稳定性和$E$分解为稳定丛的直和的事实，刻画了规则流形$P(E)$上极值Kähler度量的存在性.
Stability and canonical metrics on projective spaces blown up along a line
设$\text{Bl}_{\mathbb{P}^1} \mathbb{P}^n$是沿$\mathbb{P}^1$线对复射影空间$\mathbb{P}^n$进行爆破得到的Kähler流形。我们证明，$\text{Bl}_{\mathbb{P}^1} \mathbb{P}^n$不承认常数数量曲率Kähler度量在任何合理的Kähler类，但承认极值度量，与明确的公式在作用角坐标，在Kähler类接近的回拉的Fubini-研究类。
Secant indices of projective varieties
对于余维$m$的射影$n$ -空间中的每个子簇$X$，我们关联一个长度为$m + 1$的整数序列，从$1$到$X$的度，记录$X$与线性子簇的有限约化交叉的最大基数。我们称之为$X$的正割指数序列。相似数已经被独立地研究，目的是用极值割线空间对子簇进行分类。我们的重点是在这份说明是研究的组合性质，割线指数满足集体。我们发现这些序列是严格增加的非退化光滑子品种，开发一种方法来计算项明智的下界的割线指数，并计算这些下界Veronese和Segre品种。在Veronese簇的情况下，艾森巴德-格林-哈里斯猜想的真实性意味着我们发现的下界实际上等于正割指数。在此过程中，我们陈述了几个相关的问题和其他的解释，据我们所知，这些问题是开放的。
An extremal subharmonic function in non-archimedean potential theory
我们定义了一个模拟的Leja-Siciak-Zaharjuta次调和极值函数的一个真子集$E$的Berkovich投影线$P^1$在一个领域与非阿基米得绝对值，相对于一个点$ζ\not \in E$。当$E$是一个具有正容量的紧集时，证明了该极值函数的上连续正则化等于$E$相对于$ζ$的格林函数.作为一个单独的结果，我们证明了Brelot-Cartan原则，在额外的假设下，Berkovich拓扑是第二可数。
Lower Bounds on the F-pure Threshold and Extremal Singularities
我们证明了如果$f$是一个约化的齐次多项式的次数$d$，那么它的$F$ -纯阈值在唯一齐次极大理想至少是$\frac{1}{d-1}$。此外，我们证明了它的$F$纯阈值等于$\frac{1}{d-1}$当且仅当$f\in \mathfrak m^{[q]}$和$d=q+1$，其中$q$是$p$的幂.线性变化的坐标（在一个固定的代数闭域），我们分类这样的“极值奇点”，并表明，有最多一个孤立的奇异性。最后，我们指出了几种方式，在这种形式定义的射影超曲面是“极值”，例如，在配置的线，他们可以包含。
On higher dimensional extremal varieties of general type
基本不变量之间的关系在代数几何中起着重要的作用。已知具有nef个典范除子和标准奇点的一般型$n$ -维簇满足$K_X^n \ge 2 (p_g-n)$，它在标准映射下的象$Y$具有最大维数.我们调查非常有趣的极值情况$K_X^n=2(p_g-n)$，它出现在一些几何的情况。由于这些极值簇是Horikawa曲面的自然高维类似物，我们将它们命名为Horikawa簇。这些品种以前已处理在藤田和小林的作品。我们进行了进一步的研究Horikawa品种，证明了新的结果，各种几何和拓扑问题有关。特别地，我们证明了那些在典范映射下的像是奇异的Horikawa簇的几何亏格是有界的。我们给出了一个类似的结果极化超椭圆次正则品种，特别是极化Calabi-Yau和Fano品种。令人愉快的数字命理学出现把堀川的结果在表面上更广泛的角度。我们得到了Horikawa簇的一个结构定理，并探讨了它们的多正则性。利用这一点证明了多正则线性系的投影正规性的最优结果。我们研究了Horikawa簇的基本群，证明了它们是单连通的，即使$Y$是奇异的。我们还证明了结果的变形Horikawa品种，其影响的模空间，使他们的高维模拟曲线的属$2$。
Relative K-stability for Kähler manifolds
研究Kähler流形上极值Kähler度量的存在性。在引入Kähler流形的相对K-稳定性概念后，证明了允许极值Kähler度量的Kähler流形是相对K-稳定的.一路上，我们证明了一个一般的$L^p$下界的卡拉比功能涉及测试配置和相关的数值不变量，回答唐纳森的问题。当Kähler流形是投射流形时，我们的相对K-稳定性定义比Székelyhidi给出的通常定义更强。特别是，我们的结果加强了已知的结果在投影的情况下（即使是常数数量曲率凯勒度量），并排除了一个众所周知的反例的“天真”版本的姚田唐纳森猜想在这种设置。
Non-degenerate curves with maximal Hartshorne-Rao module
推广了空间曲线的结果，我们建立了射影$n$ -空间中非退化曲线的上同调的界。因此，对于任何给定的$n$，我们确定所有可能的对$(d, g)$，其中$d$是度，$g$是曲线的（算术）亏格。此外，我们表明，达到我们的界限的曲线总是存在的，并描述这些极值曲线的性质。特别地，我们确定了极值曲线的Hartshorne-Rao模、一般初始理想和分次贝蒂数.
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