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$K_5$-无焦图的不相交对应着色

Disjoint Correspondence Colorings for $K_5$-Minor-free Graphs

Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；College of William & Mary（威廉与玛丽学院）；University of Bordeaux（波尔多大学）；Comenius University（布拉迪斯拉发康斯坦丁神甫大学）

Wouter Cames van Batenburg, Daniel W. Cranston, František Kardoš

备注：
9 pages, 1 figure
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AI总结：

研究$K_5$-无焦图的不相交对应着色，证明了构造3个不相交着色的可能性，并提供了不满足条件的例子。

摘要：

汤姆森曾证明，每个平面图都是5可选择的。我们探讨这一结果的变体，重点是寻找更一般类别的$K_5$-无焦图中的不相交对应着色。对应着色扩展了列表着色，其定义如下：给定一个图$G$和一个正整数$t$，一个对应$t$-覆盖$\textbf{M}$为每个$G$中的顶点$v$分配一个允许的颜色集合$\{1_v,\ldots,t_v\}$，并为每条边$vw\in E(G)$分配一个匹配，将$\{1_v,\ldots,t_v\}$与$\{1_w,\ldots,t_w\}$匹配。一个$\textbf{M}$-着色$φ$为每个顶点$v$选择一个颜色$φ(v)$（来自集合$\{1_v,\ldots,t_v\}$）使得对于每条边$vw\in E(G)$，颜色$φ(v),φ(w)$不相互匹配。两个$\textbf{M}$-着色$φ_1,φ_2$被称为不相交，如果对于所有$v\in V(G)$，$φ_1(v)\neφ_2(v)$。对于每个$K_5$-无焦图$G$和每个$G$的对应6-覆盖$\textbf{M}$，我们构造了3个相互不相交的$\textbf{M}$-着色$φ_1,φ_2,φ_3$。相比之下，我们提供了$K_5$-无焦图和对应5-覆盖$\textbf{M}$的例子，这些例子不接受3个不相交的$\textbf{M}$-着色。

英文摘要：

Thomassen famously proved that every planar graph is 5-choosable. We explore variants of this result, focusing on finding disjoint correspondence colorings, in the more general class of $K_5$-minor-free graphs. Correspondence colorings generalize list colorings as follows. Given a graph $G$ and a positive integer $t$, a correspondence $t$-cover $\textbf{M}$ assigns to each $v\in V(G)$ a set of allowable colors $\{1_v,\ldots,t_v\}$ and to each edge $vw\in E(G)$ a matching between $\{1_v,\ldots,t_v\}$ and $\{1_w,\ldots,t_w\}$. An $\textbf{M}$-coloring $φ$ picks for each vertex $v$ a color $φ(v)$ (from the set $\{1_v,\ldots,t_v\}$) such that for each edge $vw\in E(G)$ the colors $φ(v),φ(w)$ are not matched to each other. Two $\textbf{M}$-colorings $φ_1,φ_2$ of $G$ are called disjoint if $φ_1(v)\neφ_2(v)$ for all $v\in V(G)$. For every $K_5$-minor-free graph $G$ and every correspondence 6-cover $\textbf{M}$ of $G$, we construct 3 pairwise disjoint $\textbf{M}$-colorings $φ_1,φ_2,φ_3$. In contrast, we provide examples of $K_5$-minor-free graphs and correspondence 5-covers $\textbf{M}$ that do not admit 3 disjoint $\textbf{M}$-colorings.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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