Cyclic colorings of plane graphs with independent faces
Jernej Azarija, Daniel Král', Rok Erman, Matjaz Krnc, Ladislav Stacho
设G是一个具有最大面尺寸D的平面图。如果G的所有大小为4或更大的面都是顶点不相交的，则G具有D+1种颜色的循环染色，即，一种着色，使得入射到同一面的所有顶点都接收不同的颜色。
Let G be a plane graph with maximum face size D. If all faces of G with size four or more are vertex disjoint, then G has a cyclic coloring with D+1 colors, i.e., a coloring such that all vertices incident with the same face receive distinct colors.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some Results on Cyclic Interval Edge Colorings of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边都被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$是连续的，则称图$G$的一个正常边着色为\emph{cyclic interval $t$-coloring}.证明了具有偶最大度$Δ(G)\geq 4$的二部图$G$允许循环区间$Δ(G)$ -染色，如果对每个顶点$v$，度$d_G(v)$满足$d_G(v)\geq Δ(G)-2$或$d_G(v)\leq 2$ .我们还证明了每一个最大度至多为$8$的欧拉二部图$G$都有循环区间染色。对于$(a,b)$ -双正则图，即一部分顶点的度均为$a$，另一部分顶点的度均为$b$的二部图，得到了一些结果，并证明了它们都有循环区间着色.我们证明了所有的$(4,7)$ -双正则图以及所有的$(2r-2,2r)$ -双正则（$r\geq 2$）图都有循环区间着色。最后，我们证明了所有完全多部图承认循环区间着色，这解决了肯定的，一个猜想的Petrosyan和Mkhitaryan。
The coloring complex and cyclic coloring complex of a complete k-uniform hypergraph
本文研究了完全$k$ -一致超图的着色复形与循环着色复形的同调性。证明了完全$k$ -一致超图的色复形是可壳的，并利用色多项式确定了其唯一非平凡同调群的秩。证明了完全$k$ -一致超图的循环着色复形的$(n-k-1)^{st}$同调群的维数由一个二项式系数给出.进一步，我们讨论了一个复形，它的$r$ -面由所有有序集划分$[B_1, \hdots, B_{r+2}]$组成，其中没有一个$B_i$包含完全$k$ -一致超图$H$的超边，并且其中$1 \in B_1$ .证明了该复形的同调群的维数由二项式系数给出。因此，这个结果给出了$\C[x_1, \hdots, x_n]/ \{x_{i_1} \hdots x_{i_k} \mid i_{1} \hdots i_{k}$的循环同调群的多线性部分的维数是$H \}$的超边.
Third case of the Cyclic Coloring Conjecture
循环着色猜想断言，每个具有最大面尺寸D的平面图的顶点可以用至多3D/2种颜色着色，使得没有面与两个相同颜色的顶点关联。循环着色猜想仅在两个D值的情况下被证明：D=3的情况等价于四色定理，D=4的情况等价于Borodin的六色定理，该定理说，每个可以在平面上绘制的每个边最多与另一个边相交的图都是6-可着色的。我们证明了猜想D=6的情形。
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
Some bounds on the number of colors in interval and cyclic interval edge colorings of graphs
多重图$G$的一个\emph{interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色着色。多重图$G$的一个\emph{cyclic interval $t$-coloring}是一个具有颜色$1,\dots,t$的真边染色，使得在颜色$1$被认为与颜色$t$连续的条件下，入射到$G$的每个顶点的边上的颜色被连续的颜色染色.用$w(G)$（$w_{c}(G)$）和$W(G)$（$W_{c}(G)$）分别表示多重图$G$的（循环）区间着色中的最小和最大颜色数。对于满足各种条件的多重图$G$，我们给出了关于$w(G)$和$W(G)$的一些新的锐界.特别地，我们证明了如果$G$是一个具有区间着色的$2$ -连通重图，则$W(G)\leq 1+\left\lfloor \frac{|V(G)|}{2}\right\rfloor(Δ(G)-1)$ .我们也给出了几个结果对一般的猜想，$W_{c}(G)\leq |V(G)|$的任何三角形的自由图$G$与循环区间着色，我们建立了这个猜想的近似版本的几个家庭的图，我们证明了该猜想是真实的最大程度的$4$的图。
The cyclic coloring complex of a complete k-uniform hypergraph
本文研究了三种不同类型的$k$ -一致超图的循环染色复形的同调性。对于完全$k$ -一致超图，我们证明了$(n-k-1)^{st}$同调群的维数由一个二项式系数给出。进一步，我们讨论了一个复形，它的$r$ -面由所有有序集划分$[B_1, ..., B_{r+2}]$组成，其中没有一个$B_i$包含完全$k$ -一致超图$H$的超边，并且其中$1 \in B_1$ .证明了该复形的同调群的维数由二项式系数给出。因此，这个结果给出了$\C[x_1,...,x_n]/ \{x_{i_1}...x_{i_k} \mid i_{1}...i_{k}$的循环同调群的多线性部分的维数是$H \}$的超边.对于另外两类超图，即星超图和对角超图，我们证明了它们的循环染色复形的同调群的维数也由二项式系数给出。
Cyclic Coloring of Plane Graphs with Maximum Face Size 16 and 17
Plummer和Toft在1987年证明了每个具有最大面尺寸D的3-连通平面图的顶点最多可以用D+2种颜色着色，使得没有一个面与两个相同颜色的顶点相关联。该猜想已被证明为D=3，D=4和D>=18。我们证明了D=16和D=17的猜想。
On conflict-free colorings of cyclic polytopes and the girth conjecture for graphs
本文研究循环多面体对应超图的无冲突色数，给出若干偶数维的精确渐近界及一般偶数维上下界，并揭示其与 Erdős 围长猜想的联系。
Enumeration of monochromatic three term arithmetic progressions in two-colorings of cyclic groups
拉姆齐理论中最困难的问题之一是确定元素被着色的群中单色等差数列的存在性。我们研究更难的问题，不仅要确定单色等差数列的存在性，而且还要计算它们。我们重新制定的枚举在真正的代数几何，然后使用最先进的半定规划和表示论的计算方法，以获得尖锐的，或明确的常数从尖锐的，下界的循环群的任何顺序。
Interval cyclic edge-colorings of graphs
如果图$G$的所有颜色都被使用，并且每个顶点$v\in V(G)$的关联边都被$d_{G}(v)$模$t$的连续颜色着色，则具有颜色$1,\ldots,t$的图$G$的正确边着色称为\emph{interval cyclic $t$-coloring}，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。一个图$G$称为\emph{interval cyclically colorable}，如果它对某个正整数$t$有区间循环$t$ -染色.用$\mathfrak{N}_{c}$表示所有区间循环可着色图的集合。对于图$G\in \mathfrak{N}_{c}$，具有区间循环$t$ -染色的$t$的最小值和最大值分别用$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$表示.本文研究了区间循环染色的一些性质。特别地，我们证明了如果$G$是一个至少有两个顶点的无三角形图，并且$G\in \mathfrak{N}_{c}$，那么$W_{c}(G)\leq \vert V(G)\vert +Δ(G)-2$。我们还得到了各种图类的$w_{c}(G)$和$W_{c}(G)$的界。最后给出了区间循环不可着色图的构造方法。
Cyclic Deficiency of Graphs
如果图$G$的每个顶点$v$的与$v$关联的边被连续的颜色着色，且颜色$1$与颜色$t$连续，则称图$G$的正常边着色为循环区间$t$ -着色.在本文中，我们引入并研究了一个新的概念，一个图$G$的循环亏损，定义为最小数量的悬挂边的附件$G$产生一个图允许循环区间染色，这个数字可以被认为是一个衡量的接近$G$是循环区间可着色。我们确定或界定了几个图族的循环亏数。特别是，我们提出了有界最大程度的任意大的循环不足，和图的循环不足的顶点数的方法的图的例子。最后，我们猜想任何图的循环亏不超过顶点数，我们提出了支持这个猜想的几个结果。
Rainbow Solutions to the Sidon Equation in Cyclic Groups
给定群元素的着色，方程的彩虹解是每个元素被赋予不同颜色的解。方程$eq$的$\mathbb{Z}_n$的彩虹数，记为$rb(\mathbb{Z}_n,eq)$，是使得$\mathbb{Z}_n$的每个精确$r$ -着色允许方程$eq$的彩虹解的最小颜色数$r$。证明了对$\mathbb{Z}_p$的每一个正合$4$ -着色，其中$p\geq 3$是素数，Sidon方程$x_1+x_2=x_3+x_4$都存在彩虹解.进一步，我们确定了Sidon方程的$\mathbb{Z}_n$的彩虹数.
On cyclically-interval edge colorings of trees
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对任意$t\in \mathbb{N}$，设$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，设$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$对任意树$G$，证明了$G\in\mathfrak{M}$和$t$的所有可能值都是可以找到的，其中$G\in\mathfrak{M}_t.$
Coloring plane graphs with independent crossings
我们证明了每个最大面尺寸为4的平面图是循环5-可着色的，并且所有面尺寸为4的面都是顶点不相交的。这回答了艾伯森的一个问题，即在平面上画的所有交叉点都独立的图是否是5-可着色的。
Five-List-Coloring Graphs on Surfaces: The Many Faces Far-Apart Generalization of Thomassen's Theorem
设$G$是一个平面图，$C$是其外表面的边界，$(L(v):v\in V(G))$是一个非空集族。所谓$G$的子图$J$的$L$ -染色，是指$J$的（真）染色$ϕ$，使得对于$J$的每个顶点$v$，$ϕ(v)\in L(v)$. Rumassen证明了如果$v_1,v_2\in V(C)$是相邻的，$L(v_1)\ne L(v_2)$，$|L(v)|\ge3$对于每个$v\in V(C)\setminus \{v_1,v_2\}$，$|L(v)|\ge5$对于每个$v\in V(G)\setminus V(C)$，那么$G$有$L$ -着色.作为我们关于$5$ -列表着色系列的最后一部分的最后一个应用，我们从我们所有的理论中推导出了一个意义深远的普适性定理，即普适性定理对任意多个这样的面的推广，只要这些面对于某个普适常数$D>0$来说是成对距离$D$。
A Note on $4$-colorings of Quadrangulations
设$G$是可定向曲面上的四边形剖分，$g$是$G$的真点$4$染色.一个$G$的面$F$被称为彩虹面，如果所有四种不同的颜色都出现在它的边界上。$G$中的$(c_1,c_2,c_3,c_4)$ -面是一个彩虹面，其边界上的颜色为$c_i$、$i=1,2,3,4$，按顺时针顺序排列。我们证明了$G$中$(c_1,c_2,c_3,c_4)$ -面的数目等于$(c_4,c_3,c_2,c_1)$ -面的数目。这特别意味着$G$的彩虹面的数量是偶数。
Linear polychromatic colorings of hypercube faces
本文研究超立方体 Q_n 的 ℓ 维面 d-多色着色问题，并针对 ℓ>1 给出最大颜色数 p^ℓ(d) 的新下界。
Efficient total facial coloring of combinatorial maps
将图的高效全染色概念推广到2-胞腔复形，通过1-骨架的染色诱导出覆盖复形的全胞腔染色，并应用于平面铺砌、环面三角剖分等。
3-facial edge-coloring of plane graphs
平面图的$\ell$ -面边染色是指平面图的边的染色，使得任意面的边界行走上的任意两条距离至多为$\ell$的边都有不同的颜色.它是$\ell$ -面顶点着色的边着色变体，它是著名的循环着色的推广。证明了至多有$3\ell + 1$色满足任何平面图的$\ell$-面边染色.该猜想仅在$\ell \le 2$中得到证实，本文证明了它对$\ell = 3$的有效性.
Face $S_3$-colorings and Petrie monochromatic circuits for efficient total arc colorings of cubic maps of girth 4
研究立方图的高效全着色方法，探讨girth为4的图的全着色特性，并提出相关猜想。
A simple proof for the chromatic number of cyclic Latin squares of even order
2n阶循环拉丁方的色数是2n+2。这个陈述的可用证明包括一个相当长的着色。在这里，我们介绍了一个染色的循环拉丁方的偶数阶2n（拉丁方的循环群的凯莱表）与2n+2的颜色使用一个简单的方法支持的图形表示。
Three-coloring triangle-free graphs on surfaces IV. Bounding face sizes of 4-critical graphs
设G是一个含t个三角形的4-临界图，嵌入亏格g的曲面中.设c是G中不限制2-胞腔面的4-圈数。证明了G的（>=5）-面的长度之和至多在g+t+c-1中是线性的.
Improved bound on facial parity edge coloring
2-边连通平面图的面奇偶边染色是指任何面的面行走的两个连续边不具有相同颜色的边染色。另外，对于每个面f和每个颜色c，没有边缘或入射到f的奇数边缘被c着色。Czap，Jendrol '，Kardovich和Sotak证明了2-边连通平面图的面奇偶边染色不超过20色.我们将此绑定改进为16种颜色。
Examples of cyclically-interval non-colorable bipartite graphs
对于一个无向简单有限连通图$G$，我们用$V(G)$和$E(G)$分别表示它的顶点集和边集.一个函数$φ:E(G)\rightarrow\{1,2,\ldots,t\}$称为图$G$的真边$t$ -着色，如果相邻边着色不同，并且使用每种$t$颜色.连续整数的任意非空子集称为区间。若$φ$是图$G$和$x\in V(G)$的一个真边$t$ -染色，则$S_G(x,φ)$表示$G$中与$x$关联的边的颜色集.如果对于任何$x\in V(G)$，至少满足以下两个条件之一，则图$G$的正确边$t$ -着色$φ$称为循环区间$t$ -着色：a）$S_G(x,φ)$是区间，b）$\{1,2,\ldots,t\}\setminus S_G(x,φ)$是区间。对于任何$t\in \mathbb{N}$，令$\mathfrak{M}_t$是存在循环区间$t$ -着色的图的集合，令$$\mathfrak{M}\equiv\bigcup_{t\geq1}\mathfrak{M}_t.$$构造了不属于类$\mathfrak{M}$的二部图的例子。
Edge-Coloring Power Graphs
研究有限群幂图的边着色数，证明幂图是过满的当且仅当它是第2类图当且仅当群是奇素数幂阶循环群。
The structure of rainbow-free colorings for linear equations on three variables in Zp
设p为素数，Zp为p阶循环群，若Zp的一个着色不包含某个方程的彩虹解，即其元素具有两两不同的颜色，则称该着色为关于该方程的彩虹自由着色.本文描述了Zp关于所有三元线性方程的无彩虹3-着色的结构。因此，我们确定了那些三个变量的线性方程，其中Zp的每个3-着色（具有非空色类）包含它的彩虹解。
The half-monochromatic colorings of plane graphs with even polygonal faces
本文研究了平面图中偶多边形面的半单色着色问题，给出了基于独立数的着色颜色数上界。
DP-colorings of uniform hypergraphs and splittings of Boolean hypercube into faces
本文借助 k-一致超图 DP-染色与布尔超立方体对跖面覆盖的联系，证明不可 2-DP-染色超图的边数下界对所有奇数 k≥3 都能达到。
Log-concavity of face vectors of cyclic and ordinary polytopes
普通多面体被称为循环多面体的非单纯推广。普通多面体的面向量是对数凹的。
Facial unique-maximum colorings of plane graphs with restriction on big vertices
平面图的面唯一最大染色是顶点使用正整数的适当染色，使得每个面都有唯一的顶点，该顶点在该面中接收最大颜色。Fabrici和Göring（2016）提出了一个加强四色定理的假设，即所有平面图都有一个使用四种颜色的面唯一最大着色。这一猜想已被一般的平面图证明是错误的，它表明，五种颜色就足够了。本文证明了度至少为4的顶点诱导星森林的平面图是面唯一最大4-可着色图。这改进了Andova，Lidickeland，Lužar和Škrekovski（2018）关于次三次平面图的先前结果。最后，我们提出了一些问题的文件。
Coloring Graphs to Produce Properly Colored Walks
对于一个连通图，我们定义了正确行走连接数，它是使图的每对顶点之间都有行走，而没有两条连续的边具有相同颜色所需要的最少颜色数.我们证明了所有循环图的正确行走连接数至多为3，无桥图的正确行走连接数至多为2。我们还刻画了正确行走连接数等于2的二部图，并证明了这种刻画也适用于类似的问题，其中一个被限制为正确着色的道路。
Partition functions and a generalized coloring-flow duality for embedded graphs
设$G$是有限群，$χ: G \rightarrow \mathbb{C}$是类函数.设$H = (V,E)$是一个有向图，它的每个顶点都有一个循环序，循环序给出$H$的面的集合$F$.定义配分函数$P_χ(H) := \sum_{κ: E \rightarrow G}\prod_{v \in V}χ(κ(δ(v)))$，其中$κ(δ(v))$表示与$v$关联的边的$κ$ -值的乘积（按顺序），其中对离开$v$的任何边取逆。写$χ= \sum_λm_λχ_λ$，其中和运行在具有特征符$χ_λ$的$G$的不可约表示$λ$上，并且对于每个$λ$都具有$m_λ \in \mathbb{C}$。如果$H$是连通的，则证明了$P_χ(H) = |G|^{|E|}\sum_λχ_λ(1)^{|F|-|E|}m_λ^{|V|}$，其中$1$是$G$的单位元。在这些推论中，我们得到了$H$上无身份$G$流的个数公式，推广了Tutte的一个结果.我们表明，这些流对应于双射某些适当的$G$ -染色的$H$的对偶图的覆盖图。这种对应推广了平面图的色流对偶。
Berge-Fulkerson coloring for infinite families of snarks
Berge和Fulkerson证明了每一个无桥三次图都有6个完美匹配，使得每条边恰好包含在其中的两个中. H $\ddot{a}$ gglund构造了两个图Blowup $(K_4, C)$和Blowup $(Prism, C_4)$ .在这两个图的基础上，Chen构造了无限族无桥三次图$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$，它是由循环4-边连通的具有Fulkerson覆盖的三次图$G_0,G_1,\ldots, G_{k-1}$通过递归过程得到的.如果$1\leq i\leq k-1$的每个$G_i$是一个循环的4-边连通的snark，其超额指数至少为5，Chen证明了这些无限族是snark。他证明了$M_{0,1,2,3}$中的每个图都有Fulkerson-覆盖，并给出了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图是否都有Fulkerson-覆盖的公开问题.本文解决了这个问题，证明了$M_{0,1,2, \ldots,k-2, k-1}$中的每个图都有Fulkerson覆盖.
l-facial edge colorings of graphs
平面图的l-面边着色是指边的着色使得在某个面的边界行走上距离最大为l的任意两条边得到不同的颜色。证明了3l + 1色足以使任何平面图的l-面边着色。证明了任意平面图的2面边染色有7种颜色，从而证实了l = 2时的猜想。
Local distributions for eigenfunctions and for perfect colorings of q-ary hypercube
本文研究了$n$维$q$维Hamming空间的图的特征函数和完美染色。我们得到了两个正交面的本征函数的局部分布的相互依赖性。我们还证明了一个类似的结果完美着色。
Coloring of the dth power of the face-centered cubic grid
面心立方网格是一个三维12正则无限网格。该图表示在三维空间中填充球体的最佳方式。在此网格中，顶点表示球体，边表示球体之间的接触。本文给出了面心立方网格的d次幂色数的上下界。特别地，在d = 2的情况下，我们证明了这个网格的色数是13。我们还确定了更清晰的界限d = 3和子图的面心立方网格。
The Cyclic Sieving Phenomenon for Faces of Generalized Cluster Complexes
循环筛分现象的概念是由Reiner、Stanton和White作为Stembridge的$q=-1$现象的推广而引入的。Fomin和Reading给出了与根系相关的广义簇复合体，作为Fomin和Zelevinsky发现的簇复合体的推广。本文研究了$A_n$、$B_n$、$D_n$和$I_2(a)$型广义簇合物的不同维数的面在循环基团作用下的循环筛分现象。对于例外型$E_6$、$E_7$、$E_8$、$F_4$、$H_3$和$H_4$簇复合物，给出了在它们的极大面上的这种现象的一个验证.
Gallai colorings and domination in multipartite digraphs
设D是一个不含循环三角形的有向图，其顶点被划分为A_1，…，独立顶点的A_t。一个集合$U=\cup_{i\in S} A_i$称为一个大小为|S|的支配集，如果对于任何顶点$v\in \cup_{i\notin S} A_i$，U中有一个w使得（w，v）在E（D）中。设beta（D）是D的最大独立集的基数，其顶点来自D的不同分类。我们的主要结果是存在h=h（beta（D））使得D有一个大小不超过h的控制集。这一结果被应用于解决一个与广义Gallai染色有关的问题，即不含三色三角形的图的边染色。
Colorings of some Cayley graphs
该研究围绕Cayley图的着色问题展开，覆盖循环群、非阿贝尔群、gyrogroup上的Cayley图及圈的幂，得到了点、边、全着色的相关结果。
A state sum for the total face color polynomial
本文为总面着色多项式构造了状态和公式，该多项式推广了Penrose多项式并计数带图的$n$-面着色，从而统一了拓扑量子场论与图解张量两种图着色研究视角。
Null and non--rainbow colorings of projective plane and sphere triangulations
对于$n\geq 4$阶的极大可平面图，我们证明了不含彩虹面的顶点着色最多使用$\lfloor\frac{2n-1}{3}\rfloor$颜色，这是最好的可能。对于嵌入在射影平面上的极大图，我们得到了类似的最佳界$\lfloor\frac{2n+1}{3}\rfloor$。在证明的主要成分是经典的同调工具。通过将图看作拓扑空间，引入了零染色的概念，证明了对任何图$G$，极大零染色$f$使得商图$G/f$是森林.
On facial unique-maximum (edge-)coloring
平面图的面唯一极大染色是顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上恰好出现一次。如果要求着色是适当的，则将这种着色所需的最小颜色数的上界设置为$5$。Fabrici and Goring [Fabrici and Goring 2016]甚至认为$4$颜色总是足够的。因此，证明这个猜想将大大加强四色定理。本文证明了该猜想对次三次平面图、外平面图和平面四边形都成立。此外，我们考虑面边染色类似上述着色，并证明了每个$2$连通平面图允许这样的着色与最多$4$颜色。
On sublinear approximations for the Petersen coloring conjecture
如果$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$是一个函数，那么让我们说$f$是次线性的，如果\[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{n}=0.\]如果$G=(V,E)$是一个三次图和$c:E\rightarrow \{1,...,k\}$是一个正确的$k$ -边染色的$G$，那么边$e=uv$的$G$是穷人（丰富）在$c$，如果边事件$u$和$v$是三（五）色。如果一个边既不富也不穷，那么它就是不正常的。Jaeger的Petersen着色猜想指出，任何无桥三次图都有一个正常的5-边着色$c$，使得$G$关于$c$没有异常边。对于$G$的正确5-边着色$c$，设$N_G(c)$是$G$关于$c$的异常边的集合。本文证明了：（a）Petersen着色猜想等价于存在一个次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，使得所有无桥三次图都有一个具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$;（b）对于$k=2,3,4$，存在次线性函数$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$的陈述，使得所有（循环）$k$ -边连通三次图允许具有$|N_G(c)|\leq f(|V|)$的真5-边着色$c$等价于所有（循环）$k$ -边连通三次图允许一…
Embedded graph 3-coloring and flows
若曲面上的非四面体的边长之和为一固定常数，则该曲面上的图是近四边形图。利用着色和流之间的对偶性，设计了一个有效的可定向曲面的近四边形3-预着色扩张算法。此外，我们使用这种对偶性，以加强以前已知的充分条件3-着色的三角形自由图绘制在可定向曲面。
A variation on Heawood list-coloring for graphs on surfaces
我们证明了一个变化的Heawood列表着色的表面上的图形，仿照Mesquassen的平面5-列表着色定理。对于φ>0，将希伍德数定义为H（φ）=Floor（（7+Sqrt[24* φ +1]）/2）。本文证明了：除n =3外，嵌入到Euler亏格n>0的曲面上的每个图F都是列表着色的，当F的顶点有（H（n）-2）-列表，其它顶点都有H（n）-列表时，除非F的顶点上的诱导子图包含H（n）-1顶点上的完全图.
Coloring count cones of planar graphs
对于外表面由循环$C$界定的平面近三角剖分$G$，令$n^\star_G$表示这样的函数，该函数为$C$的每个$4$着色$ψ$分配$ψ$扩展到$G$的$4$着色的方式的数目。块计数归约论证（它是在四色定理的尝试证明中发展起来的）等价于这样的陈述：函数$n^\star_G$属于从$C$到实数的$4$ -着色的所有函数的空间中的某个锥。我们研究了$|C|=5$的这个锥的性质，提出了一个加强四色定理的猜想，并给出了支持这个猜想的证据。
A counterexample to a conjecture on facial unique-maximal colorings
平面图的面唯一最大染色是一个自然数的真顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上只出现一次。法布里齐和戈林证明了六种颜色是足够的任何平面图，并证明了四种颜色足够。这个猜想是四色定理的一个加强。温德兰后来把上界从6降到了5。本文通过给出无穷多个反例证明了该猜想的错误。从而得出球面的面唯一最大色数为5。
A Reduced Upper Bound for an Edge-coloring Problem from Relation Algebra
我们构造了$K_{N}$（对于$N = 3432$）的红色、深蓝色和浅蓝色的边着色，使得不存在单色的蓝色三角形，并且使得着色满足某种强的普遍存在性. $K_{N}$的边着色依赖于$K_{17}$的循环着色，$K_{17}$的两个色类是$K_{4}$ -、$K_{4,3}$ -和$K_{5,2}$ -free。这种构造产生了关系代数$32_{65}$的最小已知表示，将上界从8192减少到3432。
On Cyclic Edge-Connectivity of Fullerenes
一个图被称为循环$k$ -边连通的，如果至少$k$的边必须被删除，以断开它成两个组件，每个组件包含一个循环。这样的一组$k$边称为循环$k$边割集，如果得到的两个分量中的至少一个引起单个$k$ -循环，则称为平凡循环$k$ -边割集。众所周知，富勒烯，即所有面都是五边形和六边形的3-连通立方可平面图，是循环5-边连通的。本文证明了含有非平凡循环5边割集的富勒烯$F$有两个对映五边形面，即两个对映五边形面的相邻面也是五边形。此外，它表明，$F$有一个Hamilton圈，因此至少$15\cdot 2^{\lfloor \frac{n}{20}\rfloor}$完美匹配，其中$n$是$F$的顺序。
Three coloring via triangle counting
在Steinberg的三着色猜想的第一个部分结果中，Abbott和Zhou使用计数论证证明了每个不具有长度为4到11的圈的可平面图是3-可着色的。在他们的证明中隐含了一个关于平面图的事实：在任何最小度为3的平面图中，如果没有两个三角形共享一条边，那么三角形构成的面严格小于小于2/3。我们证明了这个结果，结合Kostochka和Yancey的解决方案的矿石猜想k = 4，意味着每个可平面图没有周期的长度4至8是3-着色。
Total Coloring and Total Matching: Polyhedra and Facets
图的全染色$G = (V, E)$是指给顶点和边分配颜色，使得两个相邻的顶点和两个关联的边都不具有相同的颜色，并且对于每条边，端点和边本身具有不同的颜色。任何有效的全染色都将$G$的元素划分为全匹配，全匹配被定义为可以采用相同颜色的顶点和边的子集。本文提出了全染色和全匹配问题的双线性规划模型，并研究了相应的线性规划松弛的强度。全染色问题的公式化的问题，找到最小数量的全匹配，覆盖所有的图元素。这个覆盖公式可以通过列生成算法来求解，其中定价子问题对应于加权总匹配问题。因此，我们研究全匹配多面体。我们引入了三类非平凡有效不等式：基于稳定集多面体的标准团不等式的顶点团不等式，基于由圈诱导的顶点集奇偶性的全等$2k3$圈不等式，以及由偶数阶完全子图诱导的偶数团不等式.证明了同余$2k3$循环不等式只有当$k = 4$满足时才是面定义的，而顶点团和偶团总是面定义的.最后，我们提出了一个列生成算法的全着色问题和全匹配问题的切割平面算法的初步计算结果。
A topological quantum field theory approach to graph coloring
本文利用拓扑量子场论（TQFT）定义了光滑闭曲面上的$2$维CW复形的新同调论族.这些同调群的维数可以用来计算CW复合物的每个面可以用$n$颜色之一着色的方式的数量，使得没有两个相邻的面具有相同的颜色。利用这些同调定义了图的新的不变量，给出了著名的多项式不变量的新的刻画，并对著名的图着色定理进行了改写和提供了新的方法。特别是，我们表明，TQFT有可能产生$4$面着色的无桥可平面图，导致建设性的方法四色定理。TQFT对光滑曲面的研究有分支，并提供了新类型的Frobenius代数的例子。
Winding number and circular coloring
本文利用绕数概念将圆色数间隙结果推广到具有定向偶环的图，统一并简化了曲面嵌入图（所有面为偶数长）的证明，并建立了所有面为奇数长时的类似间隙。
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
Cyclic sieving phenomena on parabolic classes of faces of the cluster complex
本文研究了抛物面类的聚类复形上的循环筛现象，通过统一公式对这些现象进行细化，并基于有限不可约Coxeter群的分类给出类型特定的证明。
Sperner's colorings of hypergraphs arising from edgewise triangulations
本文研究逐边三角剖分超图的 Sperner 着色，通过图 $G_π$、正 $k$ 边形剖分及二面体群作用刻画结构，并构造出比贪心着色产生更多单色超边且对某些排列最优的着色。
In Most 6-regular Toroidal Graphs All 5-colorings are Kempe Equivalent
真染色中的Kempe交换是指极大连通2-有色子图上的颜色交换。两个$k$ -着色是$k$ -等价的，如果我们可以使用Kempe交换将一个转换为另一个。三角形环形网格$T[m\times n]$由$C_m$和$C_n$的笛卡儿积（的环形嵌入）通过在所有4个面内添加平行对角线而形成。Mohar和Salas证明了并非所有$T[m\times n]$的4-着色都是4-等价的。相反，Bonamy、Bousquet、Feghali和Johnson证明了$T[m\times n]$的所有6-着色都是6-等价的。他们问是否同样适用于5色。我们肯定地回答他们的问题时，$m,n\ge 6$。进一步，我们证明了如果$G$是6-正则的，且有环形嵌入，其中每个不可收缩圈的长度至少为7，则$G$的所有5-着色都是5-等价的.我们的结果与统计力学中的反铁磁Pott模型有关。
Improved bounds for some facially constrained colorings
$2$ -边连通平面图的面奇偶边染色是指每一个面与每种颜色的零条或奇数条边关联的面真边染色。$2$ -连通平面图的面奇偶点染色是指每一个面与每种颜色的零个或奇数个顶点关联的面真点染色。Czap和Jendrocket（在平面图的面约束着色：一项调查，离散数学。340（2017），2691- 2703），证明了$10$颜色在两种着色中都足够。我们提出了一个无限的家庭的反例，这两个命题。平面图$G$的面$(P_{k}, P_{\ell})$ -WORM着色是顶点的着色，使得$G$不包含彩虹面$k$ -路径和单色面$\ell$ -路径。数学图论37（2017），353- 368），证明了对于任何整数$n\ge 12$，在$n$顶点上存在连通平面图，最大度至少为$6$，没有面部$(P_{3},P_{3})$ -WORM着色。他们还询问是否存在具有最大度$4$的图具有相同的属性。证明了对任意整数$n\ge 18$，存在一个连通平面图，其最大度为$4$，且无面$(P_{3},P_{3})$ -WORM染色.
Coloring of zero-divisor graphs of posets and applications to graphs associated with algebraic structures
本文刻画了有限偏序集的弦图和完美零因子图。证明了有限偏序集的零因子图和有限$0$ -分配偏序集的零因子图的补图满足全染色猜想.这些结果被应用于有限约化环的零因子图、环的上极大理想图、零化理想图、环的理想的交图以及循环群的子群的交图。事实上，证明了通过由$R$构造偏序集的零因子图，可以有效地研究与具有单位元的交换环$R$相关的图.
Distance-Two Colorings of Barnette Graphs
巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。