Note on polychromatic coloring of hereditary hypergraph families
本文展示了一个5一致超图反驳了Keszegh和作者关于多色染色的猜想，推进了对遗传超图族多色染色的理解，并指出该方法不适用于任意高一致性超图。
2023-09-08 cs.DM math.CO
A Note on Polychromatic Colorings of Shift-Chains
该注记推广了大m下m-均匀移位链超图的正常2着色猜想，并证明对任意m都存在无法多色3着色的m-均匀移位链。
2024-05-13 cs.DM math.CO
Borel Polychromatic Number of Grids
研究由自由$\mathbb{Z}^d$博雷尔作用产生的网格图的多色着色问题，证明每个自由$\mathbb{Z}^d$作用存在紧的博雷尔$(2^d-1)$-多色着色，并提出扩展理论的开放方向。
2025-08-25 math.CO math.LO
Polychromatic Colorings of Unions of Geometric Hypergraphs
本文研究平面上两个或多个点集相同的几何超图的并的多色染色问题。我们表明，除其他外，工会的无底矩形和水平带一般不允许多色着色。这加强了Chen，Pach，Szegedy和Tardos [Random Struct. Algorithms，34：11-23，2009]对轴对齐矩形的相应结果，并给出了由任意大均匀度的轴平行矩形定义的非$2$可着色超图的第一个显式（非随机）构造。
2021-12-06 cs.CG cs.DM math.CO
Polychromatic Coloring for Half-Planes
我们证明了对于每一个整数$k$，平面上的每一个有限点集都可以是$k$着色的，使得每一个至少包含$2k-1$点的半平面也至少包含一个来自每一个颜色类的点。我们还表明，绑定的$2k-1$是最好的可能。这分别改进了$\frac{4}{3}k$和$4k-1$的最佳先前已知的下限和上限。我们还表明，每一个有限集的半平面可以$k$着色，使如果一个点$p$属于一个子集$H_p$至少$3k-2$的半平面，然后$H_p$包含一个半平面从每个颜色类。这改进了$8k-3$的最佳先前已知的上界。我们的第一个结果的另一个推论是一个新的证明存在的小尺寸$\eps$ -网的平面上的点相对于半平面。
2010-06-16 math.CO
Restricted extension of sparse partial edge colorings of hypercubes
我们考虑以下类型的问题：给定$d$维超立方体$Q_d$的部分正确$d$ -边着色，以及$Q_d$的非着色边的允许颜色列表，我们可以仅使用列表中的颜色将部分着色扩展到正确的$d$ -边着色吗？我们证明了这个问题有一个肯定的答案的情况下，部分着色和色表满足一定的稀疏性条件。
2017-11-03 math.CO
Edge precoloring extension of hypercubes
考虑超立方体的部分边染色的扩张问题。特别地，我们证明了$d$维超立方体$Q_d$的至多$d-1$边的每一个真部分边染色都可以推广到$Q_d$的真$d$ -边染色，从而得到了著名的Evans关于完备部分拉丁方猜想正解的一个类似结果.此外，我们还刻画了$Q_d$的部分边染色在$d$预着色的情况下可扩张为$Q_d$的正常$d$ -边染色，并考虑了超立方体的一些相关边预着色扩张问题.
2020-03-05 math.CO
Local distributions for eigenfunctions and for perfect colorings of q-ary hypercube
本文研究了$n$维$q$维Hamming空间的图的特征函数和完美染色。我们得到了两个正交面的本征函数的局部分布的相互依赖性。我们还证明了一个类似的结果完美着色。
2014-12-23 math.CO
Note on polychromatic coloring of hereditary hypergraph families II
ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文通过构造特定超图，展示了对于h≥3，存在统一性为2h-1的超图，其无多色3-着色但所有h-重限制子超图可2-着色。
2026-04-27 cs.DM math.CO
Avoiding and extending partial edge colorings of hypercubes
考虑超立方体的部分边着色的推广和避免问题，即给定$d$维超立方体$Q_d$的部分边着色$φ$，我们关心的是是否存在$Q_d$的正确$d$ -边着色，它与在$φ$下着色的每条边的着色$φ$一致;或者，类似地，如果在$φ$下着色的每个边上存在与$φ$不一致的适当的$d$ -边着色。特别地，我们证明了对任何$d\geq 1$，如果$φ$是$Q_d$的部分$d$ -边染色，则$φ$是可避免的，如果每种颜色都出现在至多$d/8$边上，并且该染色满足一个相对温和的结构条件，或者$φ$是适当的，并且每种颜色都出现在至多$d-2$边上.我们还证明了如果$d$可被$3$整除且$φ$的每一个颜色类都是诱导匹配，则同样的结论也成立。此外，对于所有的$1 \leq k \leq d$，我们的特征在于，其中配置组成的部分着色$φ$的$d-k$边缘和部分着色$ψ$的$k$边缘，有一个扩展的$φ$，避免了$ψ$。
2021-04-01 math.CO
Hitting sets and colorings of hypergraphs
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文研究了超图家族中最小边数保证存在多色着色的问题，即一种k色着色使得每个超边包含所有k个颜色类的顶点。同时探讨了该问题与c浅击中集的关系，即每个超边至少有一个顶点但最多c个顶点的集合。对于某些超图家族，确定了存在c浅击中集的最小c值，并研究了由给定集合差值的算术等差数列诱导的特殊超图家族，展示了几何超图家族与该问题的联系，并证明了差集与多色着色性的关系。
2026-05-19 math.CO
On the number of proper paths between vertices in edge-colored hypercubes
给定一个整数$1\leq j <n$，定义$n$维超立方体$H_{n}$的$(j)$ -着色为$H_{n}$的边的$2$ -着色，其中维度$i$，$1\leq i \leq j$中的所有边都具有颜色$1$，所有其他边都具有颜色$2$ . Cheng et al. [Proper distance in edge-colored hypercubes，Applied Mathematics and Computation 313（2017）384-391.]确定了$(1)$着色超立方体的一对顶点之间不同的最短正确着色路径的数量。考虑$(j)$着色的数$j\geq 2$是很自然的.本文研究了任意$j$的$(j)$着色超立方体中不同最短真路的个数.
2017-08-09 math.CO
DP-colorings of uniform hypergraphs and splittings of Boolean hypercube into faces
本文借助 k-一致超图 DP-染色与布尔超立方体对跖面覆盖的联系，证明不可 2-DP-染色超图的边数下界对所有奇数 k≥3 都能达到。
2022-04-07 math.CO
New Results on Two Hypercube Coloring Problems
本文研究了以下两个超立方体着色问题：给定$n$和$d$，求出最小颜色数，记为$χ'_{d}(n)$（分别为. $χ_{d}(n)$），需要对$n$立方体的顶点进行着色，使得汉明距离最大为$d$的任何两个顶点（分别确切地说是$d$）具有不同的颜色。这些问题最初出现在光网络的可扩展性研究中。利用编码理论中的方法，证明了对任意奇数$r\geq3$，$χ'_{4}(2^{r+1}-1)=2^{2r+1}$，$χ'_{5}(2^{r+1})=4^{r+1}$都成立，并给出了$χ_{d}(n)$的两个上界.第一个上界改进了Kim，Du和Pardalos的上界.对于小的$n$，第二个上界比第一个上界更好。进一步，我们得到了关于$χ_{d}(n)$和$χ'_{d}(n)$的一个不等式.
2010-01-13 math.CO
Extending edge-colorings of distance-2 matchings in the hypercube
Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在超立方体中预着色的距离-2匹配可以扩展为合适边着色的猜想，并推广到二分图的Cartesian积结构。
2026-08-13 math.CO
On perfect 2-colorings of the q-ary n-cube
如果对于每个$n$ -元组$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则称$q$ -元$n$ -维立方体（超立方体）的着色为完美的。一个布尔值函数被称为$n-m$度相关免疫，如果它对超立方体的每个$m$维面取相同次数的值1。设$f=χ^S$是超立方体的某个子集$S$的特征函数。本文证明了不等式$ρ(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq α(S)$，其中${\rm cor}(f)$是$f$的相关免疫度的最大值，$α(S)$是集合$S$中$n$ -元组在集合$S$的补中的邻居的平均数，$ρ(S)=|S|/q^n$是集合$S$的密度.此外，还证明了函数$f$是完全着色的充要条件是得到了上述公式中的等式，并得到了$q>2$情形下完全着色分量和1-完全码分量基数的新下界.关键词：超立方体，完美着色，完美码，MDS码，比特率，公平分割，正交表。
2011-04-07 math.CO
A note on the mutual-visibility coloring of hypercubes
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究超立方体的互视集性质，证明其着色数为O(log log n)，反驳了互视着色数为常数的猜想。
2026-03-27 math.CO
On the 1-switch conjecture in the Hypercube and other graphs
Feder和Subi证明，对于$n$维立方体的边的任何$2$ -着色，我们可以找到由最多改变一次颜色的路径连接的顶点对。我们讨论的情况下，随机着色，我们证明了猜想的广泛的一类着色。我们的方法可以应用到一个更一般的问题，其中$Q_n$可以被任何图形$G$，由一个固定的自同构$ϕ\in Aut(G)$的反足性的概念取代。因此，对于$E(G)$的任何$2$ -着色，我们都在寻找一对顶点$u,v$，使得$u= ϕ(v)$和它们之间有一条尽可能少的颜色变化的路径。我们解决了这个问题的环形网格$G=C_{2a} \square c_{2b}$的自同构，使每个顶点到其唯一的最远对。我们的结果指向一个更一般的猜想，原来是支持以前的定理Feder和Subi。
2015-04-22 math.CO
Interval Total Colorings of Complete Multipartite Graphs and Hypercubes
图$G$的全染色是图的顶点和边的染色，使得没有邻顶点、边以及没有关联顶点和边获得相同的颜色。图$G$的区间全$t$ -着色是$G$用颜色$1,\ldots,t$的全着色，使得所有颜色都被使用，并且与$v$一起入射到每个顶点$v$的边被$d_{G}(v)+1$连续颜色着色，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度。本文证明了每部分顶点数相同的完全多部图都是区间全可染的。此外，我们还给出了这类图的区间全染色的最小和最大跨度的一些界。其次，我们研究了超立方体$Q_{n}$的区间全染色。特别地，我们证明了$Q_{n}$（$n\geq 3$）具有区间全$t$ -染色当且仅当$n+1\leq t\leq \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ .
2014-08-11 cs.DM math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
A note on sequences variant of irregularity strength for hypercubes
本文研究超立方体边着色中利用顶点调色板区分顶点的颜色数问题，证明两种颜色即可区分 $n$ 维超立方体所有顶点，且正常边着色时 $n$ 种颜色足够。
2024-06-05 math.CO
The distinguishing number of the augmented cube and hypercube powers
图G的可区别数，记为D（G），是使G的顶点存在一个染色的最小颜色数，其中没有非平凡图自同构是保色的。本文证明了当2 < p < n-1时，n维超立方体的p次图幂的可区别数为2.从而完成了超立方幂的可区别数的研究。我们还计算了增广立方体的区别数，超立方体的一个变种，回答了一个公开的问题。
2006-01-14 math.CO
The number of 4-colorings of the Hamming cube
设$Q_d$是$d$维超立方体，$N=2^d$是$d$维超立方体.我们证明了$Q_d$的（真）4-着色数是渐近的\[6e2^N,\]，正如Engbers和Galvin在2012年所证明的那样.证明使用了信息论（熵）和起源于Sapozhenko在20世纪80年代工作的等周思想的组合。
2019-04-29 math.CO
Bounds for the b-chromatic number of powers of hypercubes
图$G$的b-色数$b(G)$是最大的$k$，对于该最大的$k$，$G$具有使用$k$颜色的适当顶点着色，使得每个颜色类包含至少一个与每个其他颜色类的顶点相邻的顶点。本文主要研究[P. Francis，S. Francis Raj，关于超立方体幂的b-着色，离散应用数学。225（2017）74-86。作为结果，我们得到了超立方体的某些幂的b-色数的一个上界。这证明是对[P. Francis，S. Francis Raj，关于超立方体幂的b-着色，离散应用数学。225（2017）74-86。进一步，我们确定了超立方体的推广--Hamming图的某些幂的b-色数的一个下界.
2021-01-28 math.CO math.NT
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
Remarks on odd colorings of graphs
称图$G$的正常点着色$φ$是奇数的，如果对每个非孤立点$x\in V(G)$都存在一个颜色$c$使得$φ^{-1}(c)\cap N(x)$是奇数大小的.在$G$的任何奇数着色中，最小的颜色数，记作$χ_o(G)$，是奇数色数。奇数着色最近在[M.~]中引入。彼得鲁舍夫斯基河~Škrekovski：\textit{Colorings with neighborhood parity condition} ]。本文讨论了这个新的图参数的各种基本性质，用奇色数刻画了无圈图和超立方体，建立了关于退化度或最大度的几个上界，并提出了几个问题和疑问.
2022-07-20 math.CO
Asymmetric Colorings of Disjoint Unions of Graphs
本研究探讨图不交并的非对称着色数，推导了不交拷贝非对称着色数与单拷贝非对称着色方式数的一般关系，并分析了路径、星图、环、超立方体不交拷贝等特例。
2024-12-11 math.CO
On perfect colorings of the halved 24-cube
一个图的点2-染色称为参数为$(a_{ij})_{i,j=1}^k$的完美染色，如果对于每个$i,j\in\{1,...,k\}$，每个颜色为$i$的点恰好与颜色为$j$的点$a_{ij}$相邻.我们考虑24-立方体$\{0,1\}^{24}$的距离-2图的完美2-着色，参数为$((20+c,256-c)(c,276-c))$（即，特征值为20）。我们证明了这样的着色存在于所有的$c$从1到128除了1，2，4，5，7，10，13和不存在于$c=1, 2, 4, 5, 7$。关键词：完美染色，均匀划分，超立方体，半n-立方体
2008-07-17 math.CO
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
2018-11-21 math.CO
Some properties of Bowlin and Brin's color graphs
Bowlin和Brin定义了一类色图，其顶点是与多边形顶点的固定四色相容的三角形。本文证明了每个色图在超立方体中有一个顶点诱导嵌入，并给出了超立方体维数的一个上界。列出了$n$ -1到$n=8$的彩色图，并讨论了它们的一些特点.最后证明了某些色图不能等距嵌入到任意维的超立方体中。
2018-07-02 math.CO
Polychromatic Colorings of Geometric Hypergraphs via Shallow Hitting Sets
本文研究几何范围捕获超图的多色着色问题，通过构造常数深度浅层命中集，将多个范围族的最小均匀度上界从关于k的多项式改进为线性O(k)。
2023-10-30 cs.CG cs.DM math.CO
Rainbow Trees in Hypercubes
证明$n$维超立方体$Q_n$的每个真边着色含至多$n$边的所有树的彩虹副本，且结果最优（$Q_n$可用$n$色真边着色且无彩虹环）。
2025-08-19 cs.DM math.CO
On the connection between correlation-immune functions and perfect 2-colorings of the Boolean n-cube
如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅取决于$x$的颜色，则布尔$n$立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数对于布尔$n$立方体的每个$m$面取相同次数的值1，则该布尔函数被称为$n-m$度相关免疫。本文证明了每一个布尔函数$χ^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-ρ(S))\leq n,$$，其中${\rm cor}(S)$是$χ^S$的相关免疫度的最大值，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中的平均近邻数，$ρ(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度.此外，函数$χ^S$是完美着色当且仅当我们在上面的公式中获得等式。关键词：超立方体，完美染色，完美码，相关免疫函数。
2011-01-19 math.CO
Perfect colorings of the 12-cube that attain the bound on correlation immunity
我们构造了$12$ -超立方体的完美$2$ -着色，达到了我们最近关于任意相关免疫函数维数的界。我们证明了当$x=0$，$2$，$3$时，这种带参数（$(x,12-x,4+x,8-x$）的着色存在，当$x=1$时，这种着色不存在.这是D. G. Fon-Der-Flaass，“Perfect colorings of the $12$ -cube that achieve the bound on correlation immunity”，以俄文发表于Siberian Electronic Mathematical Reports，第4卷（2007）292-295。
2014-03-31 cs.DM math.CO
A coloring of the square of the 8-cube with 13 colors
令$χ_{\bar{k}}(n)$为对$n$维超立方体进行着色所需的颜色数，使得具有相同颜色的两个顶点之间的距离不超过$k$。换句话说，$χ_{\bar{k}}(n)$是划分$n$维汉明空间所需的具有至少$k+1$的最小距离的二进制码的最小数目。通过给出显式着色，证明了$χ_{\bar{2}}(8)=13$ .
2015-09-23 cs.IT math.CO math.IT
A Chain-Level Borsuk--Ulam Obstruction Proof of Norine's Antipodal-Coloring Conjecture
Shanghai Center for Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学上海数学中心）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）
研究\(n\geq2\)时\(n\)维超立方体红 - 蓝边着色中连接顶点与其对映点的单色路径问题，通过构造特定链映射并利用链级博苏克 - 乌拉姆障碍予以证明。
2026-07-22 math.AT math.CO
Sub-quorum colorings of graphs
The Omega Institute（欧米伽研究所）；ChronoAI Pte Ltd（ChronoAI私人有限公司）；Department of Fundamental Science and Technology National Higher School of Advanced Technologies（国家高等先进技术学院基础科学与技术系）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究图的子拟群染色数，建立结构界、关联2-独立数、分析计算复杂性，并确定网格图与超立方体的精确值，提出一般等式猜想。
2026-10-14 math.CO
Interval edge-colorings of Cartesian products of graphs II
本文研究了图笛卡尔积的区间边着色，给出了W(G□H)的精确下界及连通图的新上界，并改进了多维环面和Hamming图的已知界限，同时探讨了Fibonacci立方体的区间着色。
2024-09-26 math.CO
Strong parity edge-colorings of graphs
本文刻画了图的强奇偶边着色，利用该刻画证明了相关下界，并解决了Bunde等人的多个问题，包括证明Hopf-Stiefel函数猜想、判定超立方体子图条件、渐近计算距离幂，以及构造反例否定二部图猜想。
2024-11-17 math.CO
Closed Neighborhood Balanced Coloring of Graphs
本文研究图的闭邻域平衡着色（CNBC），证明其非遗传性、与补图 NBC 的等价关系及多种图积的封闭性，并刻画树、超立方体、广义 Petersen 图和循环图。
2024-12-03 math.CO
On degree-$3$ and $(n-4)$-correlation-immune perfect colorings of $n$-cubes
该研究刻画了n维布尔超立方体Q_n的次数至多为3的完美着色及(n-4)-相关免疫完美着色，分别给出了其商矩阵特征值条件与对应布尔函数的次数、相关免疫性质等价描述。
2024-06-23 cs.DM math.CO
The chromatic number of the square of the 8-cube
类立方图是阶为$2^n$的初等阿贝尔群的凯莱图。在类立方图的色数的研究中，经常考虑$n$维超立方图的$k$次幂，即$Q_n^k$.这个着色问题可以在编码理论的框架中考虑，因为图$Q_n^k$可以由每个长度为$n$的二进制字的一个顶点和当相应字之间的海明距离最多为$k$时顶点之间的边来构造。因此，$Q_n^k$的适当着色对应于将$n$维二进制汉明空间划分成具有至少$k+1$的最小距离的码。最小的开放情况，$Q_8^2$的色数，在这里解决了找到一个13-着色。这种具有特定对称性的13-着色被进一步分类。
2016-07-06 cs.IT math.CO math.IT
Majority C-coloring in Cartesian products
University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Pannonia（佩奇大学）
本文研究笛卡尔积图的多数C-着色，给出其紧下界，确定二维汉明图等的精确值，提出笛卡尔网格的结果，文末附猜想与开放问题。
2026-09-21 math.CO
Coloring and density theorems for configurations of a given volume
University of Zagreb（萨格勒布大学）
本文研究了欧几里得空间中固定体积配置的着色问题，证明了在有限着色下不存在单色的单位面积矩形，并给出了多维矩形框的体积限制定理。
2026-01-14 math.CA math.CO
On the path-avoidance vertex-coloring game
对于任何图$F$和任何整数$r\geq 2$，表示为$m^*(F,r)$的\emph{online vertex-Ramsey density of $F$ and $r$}是通过确定性两人Ramsey型游戏（Painter vs.\ Builder）。该参数在最近的论文\cite{mrs11}中引入，其中表明在线顶点-拉姆齐密度决定了类似概率单人游戏的阈值（Painter vs.\二项随机图$G_{n,p}$）。对于一个大类的图$F$，包括团，圈，完全二分图，超立方体，车轮，和任意大小的星，一个简单的贪婪策略是最佳的画家和封闭的公式$m^*(F,r)$是已知的。在这项工作中，我们表明，对于$F=P_\ell$是一个（长）路径的情况下，图片是非常不同的。不难看出，对于适当定义的整数$k^*(P_\ell,r)$，$m^*(P_\ell,r)= 1-1/k^*(P_\ell,r)$，贪婪策略给出了$k^*(P_\ell,r)\geq \ell^r$的下界。我们构建和分析画家的策略，提高这个贪婪的下限由一个因子多项式在$\ell$，我们表明，没有超多项式的改善是可能的。
2011-03-29 math.CO math.PR
A New Game Invariant of Graphs: the Game Distinguishing Number
本文提出图的博弈区分数，定义温和者与顽皮者的对抗博弈，给出无穷性条件、对合图二次上界，并计算超立方体、偶圈及非素数阶奇圈的精确值，素数阶奇圈上界为3。
2017-02-07 math.CO
From the Finite to the Infinite: Sharper Asymptotic Bounds on Norin's Conjecture via SAT
TU Wien（维也纳工业大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
针对Norin猜想，本文通过改进的SAT编码（含对称性破缺与并行策略）验证了$n=8$的有限情况，并将渐近上界从$0.375n + o(n)$优化至$0.3125n + O(1)$，展示了SAT方法在组合猜想有限与渐近研究中的双重价值。
2025-11-11 cs.DM math.CO
