通过浅层命中集的几何超图的多色着色
Polychromatic Colorings of Geometric Hypergraphs via Shallow Hitting Sets
AI总结：
本文研究几何范围捕获超图的多色着色问题，通过构造常数深度浅层命中集，将多个范围族的最小均匀度上界从关于k的多项式改进为线性O(k)。
摘要：
一个范围族 $\mathcal{R}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 的子集族，例如所有半平面或所有单位圆盘。给定一个范围族 $\mathcal{R}$，我们考虑 $m$-均匀范围捕获超图 $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$，其顶点集 $V$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中的有限点集，当存在某个 $R \in \mathcal{R}$ 使得 $e = V \cap R$ 时，任意 $m$ 个顶点构成一条超边 $e$。另外给定一个整数 $k \geq 2$，我们试图找到最小的 $m = m_{\mathcal{R}}(k)$，使得每个 $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ 都允许对其顶点进行多色 $k$-着色，即每条超边至少包含每种颜色的一个点。显然，$m_{\mathcal{R}}(k) \geq k$，而黄金标准是线性于 $k$ 的上界 $m_{\mathcal{R}}(k) = O(k)$。\n\n$\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ 中的一个 $t$-浅层命中集是子集 $S \subseteq V$，使得对每条超边 $e$ 都有 $1 \leq |e \cap S| \leq t$；即每条超边被 $S$ 命中至少一次但至多 $t$ 次。我们证明对于若干范围族 $\mathcal{R}$，在每个 $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ 中都存在 $t$-浅层命中集，其中 $t$ 是仅依赖于 $\mathcal{R}$ 的常数。这特别证明了在这些情况下 $m_{\mathcal{R}}(k) \leq tk = O(k)$，改进了先前关于 $k$ 的多项式界。特别地，我们针对 $\mathbb{R}^d$ 中所有轴对齐条形区域的范围族、$\mathbb{R}^2$ 中所有无底和顶盖矩形，以及 $\mathbb{R}^2$ 中所有单位高度轴对齐矩形证明了这一结果。
英文摘要：
A range family $\mathcal{R}$ is a family of subsets of $\mathbb{R}^d$, like all halfplanes, or all unit disks. Given a range family $\mathcal{R}$, we consider the $m$-uniform range capturing hypergraphs $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ whose vertex-sets $V$ are finite sets of points in $\mathbb{R}^d$ with any $m$ vertices forming a hyperedge $e$ whenever $e = V \cap R$ for some $R \in \mathcal{R}$. Given additionally an integer $k \geq 2$, we seek to find the minimum $m = m_{\mathcal{R}}(k)$ such that every $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ admits a polychromatic $k$-coloring of its vertices, that is, where every hyperedge contains at least one point of each color. Clearly, $m_{\mathcal{R}}(k) \geq k$ and the gold standard is an upper bound $m_{\mathcal{R}}(k) = O(k)$ that is linear in $k$. A $t$-shallow hitting set in $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ is a subset $S \subseteq V$ such that $1 \leq |e \cap S| \leq t$ for each hyperedge $e$; i.e., every hyperedge is hit at least once but at most $t$ times by $S$. We show for several range families $\mathcal{R}$ the existence of $t$-shallow hitting sets in every $\mathcal{H}(V,\mathcal{R},m)$ with $t$ being a constant only depending on $\mathcal{R}$. This in particular proves that $m_{\mathcal{R}}(k) \leq tk = O(k)$ in such cases, improving previous polynomial bounds in $k$. Particularly, we prove this for the range families of all axis-aligned strips in $\mathbb{R}^d$, all bottomless and topless rectangles in $\mathbb{R}^2$, and for all unit-height axis-aligned rectangles in $\mathbb{R}^2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
