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线性$d$ -多色$Q_{d-1}$ -超立方体的着色

Linear $d$-polychromatic $Q_{d-1}$-colorings of the Hypercube

Eugene Han, David Offner

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摘要：

设$n \ge d \ge \ell \ge 1$为整数，用$Q_n$表示$n$维超立方体. $Q_n$中的$\ell$维子立方体$Q_\ell$的着色称为$Q_\ell$ -着色.如果$Q_n$中的每个$Q_d$包含每种颜色的$Q_\ell$，则这种着色是$d$ -多色的。在本文中，我们考虑一类特殊的$Q_\ell$ -染色，称为线性。给定$\ell$和$d$，设$p_{lin}^\ell(d)$为最大颜色数，使得对于所有$n \ge d$，存在$d$ -多色线性$Q_\ell$ -$Q_n$着色。证明了对所有的$d \ge 3$，$p_{lin}^{d-1}(d) = 2$ .此外，使用计算机搜索，我们确定$p_{lin}^\ell(d)$的某些特定值的$\ell$和$d$，在某些情况下，改善以前已知的下限。

英文摘要：

Let $n \ge d \ge \ell \ge 1$ be integers, and denote the $n$-dimensional hypercube by $Q_n$. A coloring of the $\ell$-dimensional subcubes $Q_\ell$ in $Q_n$ is called a $Q_\ell$-coloring. Such a coloring is $d$-polychromatic if every $Q_d$ in the $Q_n$ contains a $Q_\ell$ of every color. In this paper we consider a specific class of $Q_\ell$-colorings that are called linear. Given $\ell$ and $d$, let $p_{lin}^\ell(d)$ be the largest number of colors such that there is a $d$-polychromatic linear $Q_\ell$-coloring of $Q_n$ for all $n \ge d$. We prove that for all $d \ge 3$, $p_{lin}^{d-1}(d) = 2$. In addition, using a computer search, we determine $p_{lin}^\ell(d)$ for some specific values of $\ell$ and $d$, in some cases improving on previously known lower bounds.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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