The Weak Bruhat Order and Separable Permutations
本文研究了在两个区间$[\text{id}, π]$和$[π, w_0]$上弱Bruhat序可分置换$π$的秩母函数，其中$w_0 = n,(n-1),..., 1$ .我们得到了一个令人惊讶的结果：这两个生成函数的乘积就是弱阶对称群的生成函数。然后我们得到了$[\text{id}, π]$和$[π, w_0]$上的秩生成函数的显式表达式，从而得到了这两个分次偏序集的秩对称性和单峰性.
2010-09-29 math.CO
Commutation classes of reduced words and higher Bruhat orders for affine permutations
University of Washington（华盛顿大学）；The University of the South（南部大学）
本文研究了仿射排列中交换类的简化解和更高布里哈特序的结构，提出了一种推广弱序区间[ id, w ]的通用方法，揭示了交换类与布里哈特序之间的关系。
2026-04-27 math.CO
Intervals and factors in the Bruhat order
本文研究了对称群的Bruhat序中同构于置换w的主阶理想的一般区间，并考虑了这些区间的最小元和最大元何时通过它们的约化字的某种性质联系起来。我们表明，该属性不成立时，w是一个可分解的置换，和该属性总是成立时，w是最长的置换。
2015-05-28 math.CO
Bruhat graphs and pattern avoidance
我们刻画了其Bruhat图可以画在平面上的置换和其Bruhat图可以画在环面上的置换。特别是，我们表明这些属性的特点是避免了许多排列。
2013-07-19 math.CO
On Degrees in the Hasse Diagram of the Strong Bruhat Order
对于对称群$S_n$中的置换$π$，令{ \it全次数}为其在$S_n$上的强Bruhat序的Hasse图中的价，令{ \it下度}为其在强Bruhat序中被$π$覆盖的置换的数目。计算了随机排列下的全次数和下次数的最大值及其值。证明涉及变种的经典定理图兰从极值图论。
2006-03-12 math.CO
Pattern Avoidance and the Bruhat Order
通过置换模式阐明了对称群的Bruhat序中阶理想的结构。一种方法来确定非同构的主阶理想的描述和适用于小长度。刻画了具有布尔主阶理想的置换.这些形式的阶理想，这是一个单纯偏序集，它的秩生成函数的计算。此外，还完整地描述了主阶理想具有与布尔偏序集相关的形式的置换。它是确定当一组排列避免一个特定的模式是一个阶理想，这些理想的秩生成函数的计算。最后，研究了B型和D型中的Bruhat序，用长度刻画并枚举了具有布尔主阶理想的元素。
2006-04-13 math.CO
Enumeration of bigrassmannian permutations below a permutation in Bruhat order
在考克斯特群的理论中，bigrassmannian元素是众所周知的，因为元素只有一个左下降和一个右下降。本文证明了对称群中Bruhat阶弱于一个置换的bigrassmannian置换的计数公式。为了证明，我们使用了Lascoux-Schutzenberger和Reading对bigrassmannian置换的等价刻画。
2010-05-18 math.CO math.GR
On comparability of bigrassmannian permutations
令$\mathfrak{S}_n$和$\mathfrak{B}_n$分别表示$n$阶的普通和bigrassmannian（BG）置换的集合，并且令$(\mathfrak{S}_n,\leq)$表示Bruhat序置换偏序集。我们研究的限制偏序集$(\mathfrak{B}_n,\leq)$，首先提供了一个简单的标准的可比性。该准则用于证明偏序集是连通的，计算元素之间的饱和链，以及计算$r$固定元素之下的极大元素的个数。它还可以快速生成$β(ω)$（分别为$α(ω)$）的公式，即BG排列的数量弱低于（分别弱高于）固定的$ω\in\mathfrak{B}_n$，并用于计算$\mathfrak{B}_n$中任何区间上的莫比乌斯函数。然后，我们转向概率研究$β=β(ω)$（$α=α(ω)$分别）的均匀随机$ω\in\mathfrak{B}_n$。我们发现，$α$和$β$是等分布的，$β$是相同的顺序，其期望与高概率，但未能集中其平均值。后一个事实源于$β/n^3$的极限分布。我们还计算了随机选择的BG排列形成2元或3元多链的概率。
2018-03-01 math.CO
Erdős-Ko-Rado theorems on the weak Bruhat lattice}
设${\mathscr L}=(X,\preceq)$为格。对于${\cal P}\subseteq X$，我们说${\cal P}$是$t$ -{ \it相交}，如果${\sf rank}(x\wedge y)\ge t$对于所有$x,y\in{\cal P}$。Erdés、Ko和Rado的开创性定理描述了有限集的子集格中的最大相交${\cal P}$，并附加了${\cal P}$包含在格的一个水平内的条件。Erdens-Ko-Rado定理已被广泛研究并推广到其他对象和格。在本文中，我们专注于交叉家庭的置换定义相对于弱Bruhat格。在这种情况下，我们证明了类似物的某些极值结果相交集系统。特别地，我们给出了Bruhat格中的最大交叉置换族的一个特征。我们还刻画了最大交叉家庭的排列内的$r^{\textrm{th}}$水平的Bruhat格的大小$n$的排列，只要$n$是大的相对于$r$。
2019-04-02 math.CO
Inversion arrangements and the weak Bruhat order
对于每个置换$w$，我们可以根据$w$的逆构造超平面的集合$\mathcal{A}_w$，这被称为与$w$相关联的逆超平面排列。Postnikov提出并由Hultman、Linusson、Shareshian和Sjöstrand证实，$\mathcal{A}_w$的区域数小于或等于在布鲁哈特顺序中低于$w$的排列数，等式成立当且仅当$w$避免了四个模式4231、35142、42513和351624。在本文中，我们证明了$\mathcal{A}_w$的区域数大于或等于弱Bruhat序中低于$w$的排列数，等式成立当且仅当$w$避开模式231和312。
2020-06-14 math.CO
On automorphisms of undirected Bruhat graphs
（有向）Bruhat图$\hatΓ(u,v)$具有Bruhat区间$[u,v]$的元素作为顶点，具有通过乘以反射给出的有向边。众所周知，$\hatΓ(e,v)$是正则的当且仅当Schubert簇$X_v$是光滑的，并且$v$上的这个条件的特征在于模式避免。在这项工作中，我们分类时，无向Bruhat图$Γ(e,v)$是顶点传递的，令人惊讶的是，这类排列的特点也是模式避免和坐在很好的类之间的光滑排列和自对偶排列。这导致我们的一般调查的自同构的$Γ(u,v)$在这一过程中，我们表明，特殊的匹配，最初出现在理论Kazhdan-Lusztig多项式，可以表征为某些$Γ(u,v)$ -自同构这是足够的，以产生轨道的$e$下$Aut(Γ(e,v))$。
2022-05-25 math.CO
Computing the Size of Intervals in the Weak Bruhat Order
$ { \mathcal S }_n $上的弱Bruhat序是偏序$\prec$，使得当$σ$的逆集是$τ$的逆集的子集时，$σ\prec τ$。我们调查的时间复杂度计算的间隔的大小相对于$\prec$。利用二维偏序集和弱Bruhat序之间的关系，证明了当$σ_1^{-1} σ_2$具有有界宽度（其最长递减子序列的长度）或有界内在宽度（其块分解中任何非单调置换的最大宽度）时，区间$ [ σ_1, σ_2 ]$的大小可以在多项式时间内计算.由于固有宽度$1$的排列恰好是可分排列，这大大扩展了Wei的结果。此外，我们表明，对于大的$n$，除了$ { \mathcal S }_n$中的排列$ σ$的消失部分之外，所有的排列都会产生间隔$ [ id , σ]$，其大小可以用次指数时间算法计算。计算任意区间的大小的困难的一般问题仍然是开放的。
2015-07-01 math.CO
Between weak and Bruhat: the middle order on permutations
本文定义了排列上的“中间序”偏序 $\mathcal{P}_n$，证明其介于弱序与 Bruhat 序之间且为分配格，并研究了其区间、布尔区间的组合性质及对合限制下的 Möbius 函数。
2024-08-29 math.CO
Maximal Degree in the Strong Bruhat Order of Bn
给定Sn中的置换P，设G（P）是n个顶点{1，.，n}，其中两个顶点i<j是相邻的，如果i出现在P中j的右边，并且P中不存在i<k<j且k出现在i和j之间的整数k.设G '（P）是通过丢弃i出现在j的右边的条件而得到的图，即如果矩形[i，P（i）] x [j，P（j）]是空的，则两个顶点是相邻的.在研究置换上的强序时，Adin和Roichman引入了这类图，并计算了它们的最大边数。我们将这些结果推广到符号置换Bn的外尔群，处理顶点{-n，.，n}\{0}，使用图兰经典定理的新变体。
2006-09-11 math.CO
From Bruhat intervals to intersection lattices and a conjecture of Postnikov
证明了A. Postnikov证明了（A）与置换$w\in \Sn$相关联的反演超平面排列中的区域的数量至多是在Bruhat阶中低于$w$的元素的数量，以及（B）当且仅当$w$避开图案4231、35142、42513和351624时，等式成立。此外，断言（A）被推广到所有有限反射群。这一结果及其证明的一个副产品是一组不等式，它将复化反演排列的贝蒂数与闭舒伯特胞腔的贝蒂数联系起来。另一个结果是一个简单的组合解释的色多项式的反转图的置换，避免了上述模式。
2007-10-05 math.CO
Automorphism Groups of Comparability Graphs
可比较图是具有传递方向的图。偏序集的维数是其交给出这个偏序集的线性阶的最小数目。可比性图$X$的维度${\rm dim}(X)$是X的任何传递方向的维度，并且通过$k$，我们用${\rm dim}(X) \le k$表示可比性图$X$的类别。已知可比较图的补图是函数图，置换图是2-D图，本文给出置换图的自同构群的刻画，类似于Jordan（1869）对树的刻画.对于置换图来说，有一个额外的操作，所以有一些额外的群不是由树实现的。对于$k \ge 4$，我们证明了每个有限群都可以实现为$k$ -DIM中某个图的自同构群，并且证明了$k$ -DIM的图同构检验是GI-完全的.
2015-06-16 cs.DM math.CO
Grothendieck polynomials via permutation patterns and chains in the Bruhat order
本文给出了两类Grothendieck多项式的新公式。一种类型将Grothendieck多项式在至少两组变量中的任何特化表示为每组变量中Grothendieck多项式的乘积的线性组合，其中系数为Grothendieck多项式的舒伯特结构常数。另一种类型是根据布鲁哈特顺序的链。我们比较这第二种类型的其他结构的Grothendieck多项式在更一般的情况下，双Grothendieck多项式和密切相关的H-多项式。我们的方法是基于排列模式的几何。
2005-11-15 math.AG math.CO
Products of reflections in smooth Bruhat intervals
一个置换称为光滑的，如果对应的舒伯特簇是光滑的。Gilboa和Lapid证明，在对称群中，将布鲁哈特阶的光滑元素$w$下面的反射以相容阶相乘，得到元素$w$。我们加强这一结果表明，这样的产品，事实上决定了饱和链$e \to w$在Bruhat顺序，这一属性的特点光滑元素。
2023-02-24 math.CO
The Bruhat Order on Symmetric Groups via Intrinsic Coverings of Compositions
该研究借助Lehmer编码对应的阶梯分拆，提出了一种内蕴的偏序构造，等价于对称群上的强Bruhat序，无需关联置换即可定义该序结构。
2025-06-12 math.CO
A window to the Bruhat order on the affine symmetric group
本文利用核分拆与算盘给出计算Young图的简单规则，并由此建立窗口记号下比较两个仿射置换Bruhat序的程序。
2025-03-10 math.CO math.RT
A directed graph structure of alternating sign matrices
在交替符号矩阵集上引入了一种新的有向图结构。这包括作为子图（subposet）的对称群的Bruhat图（Bruhat阶）。Drake-Gerrish-Skandera（2004，2006）给出了置换单项式的全非负性（TNN）和无减Laurent（SFL）表达式对Bruhat序的刻画。我们的有向图，我们扩展他们的想法在两个方面：第一，从置换交替符号矩阵;第二，$q$ -类似物（我们命名为$q$ TNN和$q$ SFL属性）。在我们的讨论中，富尔顿在一个相当不同的背景下引入的基本集起着关键作用。作为副产品，我们得到了一种新的排列统计量，签署bigrassmannian统计量，利用Dodgson的凝聚行列式。
2019-03-20 math.CO
A Bruhat order for Latin squares and alternating sign hypermatrices
School of Mathematical and Statistical Sciences, University of Galway（高威大学数学与统计科学学院）；Department of Mathematics and Computer Studies, Mary Immaculate College（玛丽不可瑕疵学院数学与计算机研究系）
本文定义了拉丁方和交错符号超矩阵上的Bruhat序，通过角点和超矩阵的逐点支配关系刻画该序，并证明了角点和超矩阵构成分配格，但不同于二维情形，它不是拉丁方偏序集的Dedekind-MacNeille完备化。
2026-05-25 math.CO
Pattern avoidance and the Bruhat order on involutions
我们证明了对称群中对合上的Bruhat序元素w之下的主阶理想是布尔格当且仅当w避开模式4321，45312和456123.也有类似的有符号排列的标准。具有此性质的对合是关于自然统计量来枚举的。在这种情况下，双射对应某些Motzkin路径证明。
2007-11-14 math.CO
On Maximum Chains in the Bruhat Order of A(n,2)
该研究引入0-1矩阵逆序概念，证明其关于次级Bruhat序单调，进而确定行和列和均为2的n阶0-1矩阵类A(n,2)的Bruhat序中极大链长度，并给出构造算法。
2024-01-27 math.CO
Involutions under Bruhat order and labeled Motzkin Paths
在这篇注记中，我们引入了Motzkin路的一个统计量，它描述了对合的Bruhat阶的秩生成函数。我们的证明依赖于一个双射介绍菲利普Biane从置换到某些标记Motzkin路径和最近推出的解释，这个排名生成函数的可见反转。通过限制我们的身份不动点（FPF）的对合，我们恢复身份由于路易斯Billera，莱昂内尔莱文和卡罗拉Mészáros与马修沃森以前的双射证明。我们的工作为埃塞俄比亚晚餐游戏提供了新的线索。
2021-06-10 math.CO
Bruhat order, smooth Schubert varieties, and hyperplane arrangements
本文的目的是将旗流形中的舒伯特簇与超平面排列联系起来。对于一个置换，我们构造了一个特定的图超平面排列。我们表明，这种安排的区域的生成函数与相应的舒伯特品种的庞加莱多项式相一致，当且仅当舒伯特品种是光滑的。给出了Poincare多项式的一个显式组合公式。我们的主要技术工具是弦图和完全消去序。
2007-09-20 math.CO
Brewing Fubini-Bruhat Orders
本文围绕生成线构型子簇，提出并研究三种由 Fubini 词索引的偏序——低因序、中焙序和浓缩序，推广了排列上的弱序与 Bruhat 序，并探讨了 Schubert 簇性质在这些新序中的延伸。
2025-03-11 math.CO
Intersecting principal Bruhat ideals and grades of simple modules
证明了关于Bruhat阶的对称群的关联代数上的布尔置换所标单模的阶由Lusztig的a-函数给出.我们的论点是组合的，并包括两个主要的阶理想的交集时，至少有一个置换是布尔的描述。在我们的工作中的一个重要对象是一个减少的字写为最小许多连续整数运行，我们的论点的一个步骤表明，这个最小的数量是等于第二行的长度排列的形状下的罗宾逊-申斯特对应。我们还证明了上述关联代数上的单模是完全模当且仅当其指数是抛物子群的最长元。
2022-02-15 math.CO math.RT
Bruhat intervals as rooks on skew Ferrers boards
我们对排列pi进行了改进，使得对称群的闭下Bruhat区间[id，pi]中的元素对应于斜费勒斯板上的非取车配置。事实证明，这些正好是排列π，使得[id，pi]对应于由包含定义的旗流形，由Gasharov和Reiner研究。我们的刻画将Bruhat区间的Poincare多项式（秩生成函数）与q-车多项式联系起来，并且我们能够计算有限外尔群A_n和B_n中某些特别有趣的区间的Poincare多项式.这些表达式涉及第二类q-斯特林数。作为我们的方法的一个副产品，我们提出了一个新的斯特林数的身份连接到Bruhat间隔和多Bernoulli数由Kaneko定义。
2006-01-25 math.AG math.CO
Interval structures in the Bruhat and weak orders
我们研究的外观显着的间隔结构-格，模格，分配格，和布尔格-在这两个的Bruhat和弱秩序的Coxeter群。我们收集和扩展主阶理想的已知结果，包括模式的刻画和枚举的对称群。这很自然地引出了对任意区间的类似分析，尽管在这种普遍性下，布鲁哈特阶的结果不那么具有特征性。然而，在对位，我们得到了一个完整的刻画区间开始在秩一的对称群，为每一个的四种结构类型，在每两个偏序集。每个类别都可以枚举，与Fibonacci和Catalan数有着有趣的联系。最后，我们建议进一步的方向和问题，包括一个有趣的分析之间形成的间隔排列和每个发电机在其支持。
2021-03-11 math.CO
Permutation statistics and weak {B}ruhat order in permutation tableaux of type $B$
有符号置换的许多重要统计在$B$类型的相应置换表或裸表中实现：有符号置换的对齐、交叉和反转在$B$类型的相应置换表中实现，并且有符号置换的循环在$B$类型的相应裸表中理解。这使我们联系的对齐和交叉的数量与其他统计的有符号排列，也刻画了覆盖关系的弱Bruhat秩序Coxeter系统类型$B$的置换表类型$B$。
2014-12-19 math.CO
Characterization of Split Comparability Graphs
本文通过顶点标号刻画了分裂可比较图，并据此证明其置换表示数至多为3，从而为序理论中分裂序维数至多为3的结果提供了替代证明。
2025-04-27 cs.DM math.CO
Homotopy Type of Intersections of Real Bruhat Cells in Dimension 6
Universidade Federal Fluminense（弗鲁米嫩塞联邦大学）；PUC-Rio（天主教里约热内卢大学）
研究实Bruhat细胞任意交集的同伦类型，对于6×6实矩阵，通过分析至多12个逆序的置换的连通分支，发现除σ=[563412]外所有分支可缩，而后者具有圆圈的伦型。
2026-06-24 math.AT math.CO math.GN
Self-dual intervals in the Bruhat order
Björner-Ekedahl证明了一般区间$[e,w]$在Bruhat序中是“头重脚轻”的，在$i$ -th corank中的元素至少与在$i$ -th rank中的元素一样多。Carrell和Lakshmibai-Sandhya的著名结果给出了等式的情形：$[e,w]$是秩对称的当且仅当置换$w$避开了模式$3412$和$4231$，并且这些正是使得舒伯特簇$X_w$光滑的那些$w$。本文研究秩对称区间$[e,w]$的秩函数以外的精细结构。特别是，我们表明，这些间隔仍然是“头重脚轻”，如果一个计数涵盖不同等级之间的关系。当$[e,w]$作为偏序集是自对偶时，在这种设置中出现相等的情况;我们通过模式避免和其他几种方式来表征这些$w$。
2020-12-12 math.CO
Hultman elements for the hyperoctahedral groups
Hultman、Linusson、Shareshian和Sjöstrand给出了一种模式避免的排列特征，对于这种排列，其相关的反转排列的腔室数量与其在Bruhat序中的下区间的大小相同。Hultman后来给出了一个特征，有效的任意有限反射群，在距离方面的Bruhat图。另一方面，排列的模式回避标准早在舍斯特兰、加沙罗夫和赖纳的独立工作中就已出现。我们给出的超八面体群满足Hultman的标准，这是在那些的Sjöstrand和Gasharov和雷纳的精神的元素的特征。我们还给出了一个模式避免标准使用的概念，模式避免Billey和Postnikov。
2017-10-17 math.CO
Generalized Dyck tilings
最近，Kenyon和Wilson引入了Dyck平铺，这是两条Dyck路径之间区域的某些平铺。Dyck平铺的计数与森林的钩子公式和Hermite多项式的组合学有关。本文的第一个目标是利用置换的弱序和Bruhat序给出Dyck镶嵌的另一种观点。然后介绍了两种自然推广：$k$ -Dyck镶嵌和对称Dyck镶嵌。我们被引导考虑斯特林置换，并定义一个类似的Bruhat秩序。我们表明，某些家庭的$k$ -Dyck镶嵌在双射的间隔在这个顺序。我们还列举对称戴克平铺。
2014-10-06 math.CO
Bruhat Interval Polytopes
设u和v是n个字母上的排列，u <= v为Bruhat序。Bruhat区间多面体Q_{u,v}是所有置换向量z =（z（1），z（2），.，z（n）），其中u <= z <= v。注意，当u=e和v=w_0是对称群的最短和最长元素时，Q_{e,w_0}是经典置换面体。最近，儿玉和第二作者研究了Bruhat区间多面体，在Toda格和旗品种的矩映射的背景下。本文研究了Bruhat区间多面体的组合问题。例如，我们给出了Bruhat区间多面体的不等式描述和维数公式，证明了Bruhat区间多面体的每个面都是Bruhat区间多面体.证明后一种说法的一个关键工具是对考克斯特群的著名提升性质的推广。受提升性质与R-多项式之间的关系的启发，我们也给出了R-多项式的标准递推式的一个推广。最后，我们定义了一类更一般的多面体称为G/P的Bruhat区间多面体，这是矩映射图像（闭包）的G/P的非负部分的全正细胞，是一类特殊的Coxeter拟阵多面体。使用工具，从总的积极性和Gelfand-Serganova分层，我们表明，面对任何Bruhat间隔多面体的G/P再次是一个Bruhat间隔多面体的G/P。
2015-06-10 math.CO math.RT
Middle orders: all distributive lattices between weak and Bruhat
Univ Gustave Eiffel, CNRS, LIGM（巴黎-沙托兰大学，法国国家科学研究中心，信息与数学科学实验室）
本文研究Coxeter群中位于弱序与Bruhat序之间的分配格（称为中间序），在A型中通过二叉树构造了所有这样的格，并推广到其他Weyl群得到“极小中间序”。
2026-06-11 math.CO
A statistic on the roots of a finite reflection group and a correspondence between the height function and Bruhat order
有限反射群（类型A）在其根集合上的作用被理解为置换表示或群作用。我们证明了这个表示是来自某类抛物子群的诱导表示。此外，我们使用这种表示来定义根集合上的统计量（来自长度函数）。一个可能的应用Costas阵列暗示在一个命题。
2008-03-12 math.CO math.GR
Combinatoire algébrique liée aux ordres sur les permutations
本论文属于代数组合学的范畴，研究了与置换的三个顺序有关的问题：两个弱顺序（左和右）和强顺序或Bruhat顺序。第一部分研究多元多项式的基。最具体地说，我们研究了Grothendieck多项式的乘积，并证明了它可以解释为Bruhat阶的和。我们还介绍了我们的实现Grothendieck多项式和其他基地在Sage。在第二部分中，我们研究了Tamari序二叉树。得到了Tamari格上的一个新的计数公式和Tamari区间生成函数的Chapoton函数方程的一个新的组合证明。我们将我们的结果推广到m-Tamari情形，从而得到了Bousquet-Mélou，Préville-Ratelle和Fusy给出的一个公式.
2013-10-07 cs.DM math.CO
Geometric Bruhat order on (0,1)-matrices
本文将置换集上组合与几何Bruhat序的一致性推广到固定行和列和的(0,1)-矩阵，证明A型Cherkis弓形簇几何诱导的Bruhat序与组合定义之一重合。
2024-05-22 hep-th math.AG math.CO
Chains in the Bruhat order
研究了广义复旗流形G/B中的一类多项式，其值表示Schubert簇的次数。多项式由饱和链上的Bruhat阶的加权和给出。我们推导了这些多项式的几个显式公式，并研究了它们与舒伯特多项式，调和多项式，Demazure字符，广义Littlewood-Richardson系数的关系。在本文的后半部分，我们关注的情况下，经典的旗形流形的李型A和讨论相关的组合对象：标记Schur多项式，312-避免置换，广义Gelfand-Tsetlin多面体，逆Schubert-Kostka矩阵，停车功能，和二叉树。
2005-02-16 math.AG math.CO
Correlation for permutations
在这份说明中，我们调查的相关不等式的排列的“upset”，在哈里斯-Kleitman不等式的精神。我们专注于两个良好的研究偏序$S_n$，引起了不同的概念的颠覆。我们的第一个结果表明，在$S_n$上的强Bruhat序下，up-sets是正相关的（在Harris-Kleitman意义上）。因此，例如，对于（均匀）随机置换$π$，没有点移位超过固定距离$d$的事件和$π$是至多$k$相邻置换的乘积的事件是正相关的。相比之下，在弱Bruhat秩序，我们表明，这完全失败：令人惊讶的是，有两个upset每个措施$1/2$的交集有任意小的措施。我们还证明了类似的相关结果的一类非均匀措施，其中包括马洛措施。讨论了一些应用和有待解决的问题。
2020-04-21 math.CO math.PR
On the homotopy type of intersections of two real Bruhat cells
真正的布鲁哈特细胞提供了一个重要的和充分研究的分层空间，如$GL_{n+1}$，$Flag_{n+1} = SL_{n+1}/B$，$SO_{n+1}$和$Spin_{n+1}$。我们研究了一个顶维细胞与另一个细胞（另一个基础）的交叉点。这样的交集自然地与下幂零群$Lo_{n+1}^{1}$的子集标识。我们特别感兴趣的同伦类型的这种交叉。在本文中，我们定义了这样的交叉点的分层。作为结果，我们得到了一个有限的CW复形，它是同伦等价的交集。我们计算几个例子的同伦类型。事实证明，$n \le 4$的所有连接组件的子集$Lo_{n+1}^1$是可收缩的：我们证明了这一点，明确地构建相应的CW复合物。相反，对于$n \ge 5$和顶置换，总是存在具有偶欧拉特征的连通分量，因此不是可收缩的。这是从对应的CW复形的每维单元数的公式得出的。例如，对于顶置换$S_6$，存在欧拉特征等于$2$的连通分量。给出了$S_6$中的一个置换的例子，对于这个置换，存在一个与圆$S^1$同伦等价的连通分支.
2022-01-18 math.AT math.CO
On Cohen-Macaulay posets of dimension two and permutation graphs
本文刻画了二维 Cohen-Macaulay 偏序集为可壳化且强连通的偏序集，并利用余可比图与置换图的关系，给出了 Cohen-Macaulay 置换图的特征描述。
2023-05-08 math.AC math.CO
Extending partial representations of function graphs and permutation graphs
函数图是由区间[0，1]上的连续实值函数的交集表示的图，并且被认为是可比较图的补图。因此，它们在多项式时间内是可识别的。函数图推广了置换图，当所有考虑的函数都是线性时，就会出现置换图。我们专注于扩展部分表示的问题，它概括了识别问题。我们观察到，对于置换图，可以利用Golumbic的可比性图识别算法的简单扩展。这种方法对于函数图是失败的。然而，我们提出了一个多项式时间算法，用于扩展部分表示的图的函数定义在整个区间[0，1]上提供的一些顶点。另一方面，我们表明，如果部分表示由定义在子区间[0，1]上的函数组成，则将该表示扩展到整个区间[0，1]上的函数的问题成为NP-完全的。
2012-04-28 cs.DM cs.DS math.CO
Bruhat intervals that are large hypercubes
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；Universidad de Chile（智利大学）；Universidad de Talca（塔尔卡大学）；Universidad Nacional Autónoma de México（墨西哥国立自治大学）；University of Sydney（悉尼大学）
研究在对称群S_n中寻找作为超立方体的大型布雷豪特区间，通过进化算法发现特定排列模式，并揭示其在数学和计算中的应用。
2026-01-03 math.CO math.RT
Interval structure of the Pieri formula for Grothendieck polynomials
我们给出了一个组合的解释Pieri公式的双重Grothendieck多项式的Bruhat阶的间隔。另一个描述已给予Lenart和Postnikov在链枚举方面。我们使用Lascoux的解释产品的Grothendieck多项式的产品的两种生成器的0-Hecke代数，或排序操作。用这种方法我们得到了Lenart和Postnikov结果的一个直接证明，并证明了该结果中出现的置换集实际上是一个Bruhat序区间.
2013-03-05 math.CO
Tamari lattices, forests and Thompson monoids
给出了将对称群上的Tamari格看作弱Bruhat阶格与Thompson群F的正幺半群P之间的联系. Tamari同余类对应于P中的等价元素类。P中的两个著名的标准形对应于确定Tamari类的弱Bruhat序的区间的端点。在幺半群P中，这些对应于字典上最大和字典上最小的形式，而在排列水平上，它们对应于132-避免和231-避免排列。森林自然出现在这两种情况下，因为它们被用来模拟汤普森幺半群的排列和元素。然后将这种联系推广到（（k-1）n+2）-半群分拆为（k+1）-半群和Thompson幺半群P_k，k >1上的Tamari序.
2006-04-02 math.CO math.GR
Order structure on the algebra of permutations and of planar binary trees
在“平面二叉树的霍普夫代数”，Adv.Math.139（1998），no.2，293- 309中，我们通过归纳法构造了由平面二叉树生成的向量空间上的分次结合积（分别为：排列）。在本文中，我们证明了一个明确的公式，这种产品的偏序的集合上的平面二叉树（分别。对称群上的弱Bruhat序）。
2001-02-08 math.CO math.QA
From Unit Interval Orders to Totally Nonnegative Matrices: Permanental Inequalities and Bruhat-Increasing Bijections
Lehigh University（利哈伊大学）
本文研究单位区间序反邻接矩阵的永久不等式，构造双射证明特定情形，并猜想对所有全非负矩阵成立。
2026-10-12 math.CO
The Syntax Of Polytopal Projections: From Permutohedra To Associahedra
Faculty of Philosophy Matematical Institute University of Belgrade SASA（贝尔格莱德大学哲学学院、数学研究所、塞尔维亚科学与艺术学院）；University of Belgrade（贝尔格莱德大学）；SASA（塞尔维亚科学与艺术学院）
本文通过自由非对称非单位操作域的等式演算，语法化地解释了从置换体到结合体的Tonks投影和Loday-Ronco映射，并证明了Tonks顶点映射保持弱Bruhat序到Tamari序的序关系。
2026-05-24 math.CO
Well-Ordered Flag Spaces as Functors of Points
利用Grothendieck的“点的函子”的代数几何方法，我们定义了一个新的无限维代数几何标志空间作为$k$ -函子（对于$k$是一个环），它将一个$k$ -代数$R$映射到一个无限秩自由$R$ -模的子模的某些良序链的集合上.这推广了由经典（即有限维）全标志方案表示的$k$ -函子的公知构造。我们证明了，在有限维的情况下，有一个行动的一般线性群在我们的标志空间，该标准标志的稳定子是上三角形矩阵的子群$B$，和Bruhat分解持有，这意味着我们的空间是由不相交的舒伯特细胞$\text{sh}(B σB) / B$索引排列$σ$的一个无限集。最后，在由序数$ω+ 1$索引的标志的情况下，我们定义了一个模拟的Bruhat顺序在这个无限的置换群，并证明，当$k$是一个域，Ehresmann的封闭关系仍然成立，即封闭$\overline{\text{sh}(B σB) / B}$覆盖的舒伯特细胞的排列小于$σ$在无限的Bruhat顺序。
2021-12-01 math.AC math.AG math.CO
A positive Grassmannian analogue of the permutohedron
经典的置换面体Perm是凸包（w（1），.，w（n）），其中w的范围覆盖对称群中的所有置换。这个多面体有许多美丽的性质-例如，它提供了一种可视化弱Bruhat序的方法：如果我们定向置换面体，使最长的置换w_0在“顶部”，单位元e在“底部”，那么Perm的单骨架就是弱Bruhat序的Hasse图。等价地，从e到w_0沿Perm的边的路与w_0的约化分解成双射。此外，置换面体的二维面对应于辫状移动和交换移动，它们通过Tits引理连接w_0的任何两个约化表达式。本文引入了一些多面体Br（k，n）（我们称之为桥多面体），它们提供了置换面体的正格拉斯曼模拟。在这种情况下，约化平面图的BCFW桥分解起约化分解的作用。我们定义Br（k，n），并解释如何沿其边缘的路径编码BCFW桥分解的最长的元素PI（k，n）在循环Bruhat顺序。我们还证明了Br（k，n）的二维面对应于plabic图的某些局部移动，通过Postnikov [Pos 06]的一个结果，这些局部移动连接了与pi（k，n）相关联的任意两个约化plabic图.所有这些结果都可以推广到Schubert盒的正部分。一个有用的工具，在我们的证明是，我们的多面体是同构的某些Bruhat区间多面体。相反，我们的结果桥多面体允许我们推出一些推论的结构Bruhat区间多面体。
2015-01-04 hep-th math.CO
