发表机构
Lehigh University（利哈伊大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究单位区间序反邻接矩阵的永久不等式，构造双射证明特定情形，并猜想对所有全非负矩阵成立。
AI 中文摘要
给定一个 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{i,j})$ 以及 $[1,n]:= \{1,\dotsc,n\}$ 的子集 $I$、$J$，令 $A_{I,J} = (a_{i,j})_{i\in I, j \in J}$ 表示 $A$ 的 $(I, J)$-子矩阵。我们考虑一类由单位区间序的反邻接矩阵产生的 $0$-$1$ 全非负（TNN）矩阵，并证明对于此类中的每个矩阵 $A$，不等式 \begin{equation} \operatorname{perm}(A_{[1,h],[1,h]}) \operatorname{perm}(A_{[h+1,n],[h+1,n]}) \\;\geq\\; \operatorname{perm}(A_{[1,n] \cap 2\mathbb Z, [1,n] \cap 2\mathbb Z}) \operatorname{perm}(A_{[1,n] \smallsetminus 2\mathbb Z, [1,n] \smallsetminus 2\mathbb Z}) \label{eq:absmain} \end{equation} 对 $h = 1,\dotsc, n-1$ 成立。令 $\mathfrak A_n$ 为 Young 子群 $\mathfrak{S}_{1, \dotsc, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\times \mathfrak{S}_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor +1, \dotsc, n}$，$\mathfrak B_n$ 为奇偶交替排列 $\{w = w_1\cdots w_n \in \mathfrak{S}_n \\ | \\ \text{$i$ 和 $w_i$ 具有相同奇偶性} \}$。我们找到一个双射映射 $f_n: \mathfrak A_n \rightarrow \mathfrak B_n$，使得对于所有 $n\geq 4$，在 Bruhat 序下 $w \leq f_n(w)$。这样的双射映射 $f_n$ 的存在确保了当 $h=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$ 时，不等式对所有 TNN 矩阵 $A$ 成立。我们还猜想这些不等式对所有全非负矩阵以及所有 $h = 1, \dotsc,n-1$ 都成立。
英文摘要
Given an $n \times n$ matrix $A = (a_{i,j})$ and sets $I$, $J$ of $[1,n] := \{1,\dotsc,n\}$, let $A_{I,J} = (a_{i,j})_{i\in I, j \in J}$ denote the $(I, J)$-submatrix of $A$. We consider a class of $0$-$1$ totally nonnegative (TNN) matrices arising as antiadjacency matrices of unit interval orders, and show that for each matrix $A$ in this class, the inequalities \begin{equation} \operatorname{perm}(A_{[1,h],[1,h]}) \operatorname{perm}(A_{[h+1,n],[h+1,n]}) \;\geq\; \operatorname{perm}(A_{[1,n] \cap 2\mathbb Z, [1,n] \cap 2\mathbb Z}) \operatorname{perm}(A_{[1,n] \smallsetminus 2\mathbb Z, [1,n] \smallsetminus 2\mathbb Z}) \label{eq:absmain} \end{equation} hold for $h = 1,\dotsc, n-1$. Let $\mathfrak A_n$ be the Young subgroup $\mathfrak{S}_{1, \dotsc, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\times \mathfrak{S}_{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor +1, \dotsc, n}$, and $\mathfrak B_n$ be the parity-alternating permutations $\{w = w_1\cdots w_n \in \mathfrak{S}_n \ | \ \text{$i$ and $w_i$ have the same parity} \}$. We find a bijective map $f_n: \mathfrak A_n \rightarrow \mathfrak B_n$ such that $w \leq f_n(w)$ under the Bruhat order for all $n\geq 4$. The existence of such a bijective map $f_n$ ensures that inequalities are satisfied for all TNN matrices $A$ when $h=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$. We also conjecture the inequalities to hold for all totally nonnegative matrices and all $h = 1, \dotsc ,n-1$
Comments56 pages
