Higher correlations of divisor sums related to primes III: k-correlations
我们得到了与素数有关的短因子和的一般k-相关性。
2002-09-10 math.NT
On the Common Prime Divisors of Polynomials
具有整数系数的多项式$P$的素因子是$P(x) \equiv 0 \pmod{p}$可解的那些素数$p$。主要结果是：任意几个多项式的公共素除子恰是某个多项式的素除子。将这个结果与Ax的一个定理相结合，我们得到：对于任意整数系数多元多项式方程组$F$，$F$模$p$可解的素数集$p$是某个一元多项式的素因子集.此外，我们证明了多项式的素除子的密度的结果。本文是对代数数论和伽罗瓦论的一个简单介绍。
2020-06-01 math.NT
Prime divisors of sequences of integers
本文发展了Furstenberg关于素数无穷大的证明，并证明了关于整数序列的素除子的几个结果，包括著名的Schur定理。特别地，我们给出了一个经典结果的简单证明，该结果表明，k>1阶整数的非退化线性递归序列具有无穷多个素除子。
2017-11-06 math.NT
On Gauss factorials and their connection to the cyclotomic $λ$-invariants of imaginary quadratic fields
在本文中，我们建立了高斯因子和岩泽的分圆$λ$ -不变量的虚二次域$K$之间的联系。因此，我们将解释的1-例外素数的Cosgrave和Dilcher的$m = 3$和$m = 4$，以及素数的$λ$ -不变量的$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$和$K = \mathbb{Q}(i)$是大于1，分别。我们把后面的素数称为它们各自领域的“非平凡”。我们还将看到，当$d = 2,5$和$6$时，对于$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$也存在类似的对应关系。作为推论，我们发现$p^2 = 3x^2 + 3x + 1$形式的素数$p$对于$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$总是非平凡的。最后，我们证明了$K = \mathbb{Q}(i)$和$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$的非平凡素数$p$分别由涉及Euler数和Glaucine数的模$p^2$同余刻画.
2022-12-02 math.NT
On odd prime divisors of binary perfect polynomials
给出了二元完全多项式的奇素除子集所满足的必要条件。这使我们能够得到一个新的特征的所有已知的完美的二元多项式。
2020-08-16 math.NT
Residue races of the number of prime divisors function
我们调查的分布功能$ω(n)$，不同的素除子的$n$，在剩余类模$q$自然数$q$大于2。特别是我们问“素数种族”风格的问题，建议由库恩和Dahmen在他们的论文“剩余类分布的数量素除子的整数”。
2018-06-05 math.NT
Prime divisors in polynomial orbits over function fields
给定一个整体函数域$K$上的多项式$ϕ$和一个游荡基点$b\in K$，给出了一个关于$ϕ$的几何条件，保证了轨道$\mathcal{O}_ϕ(b):=\{ϕ^n(b)\}_{n\geq0}$上几乎所有点都存在本原素除子
2015-04-30 math.NT
On odd deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors
对于正整数$n$，令$σ(n)$表示$n$的正约数之和。设$d$是$n$的真因子。如果$σ(n)=2n-d$是亏完全数，则称$n$为亏完满数.本文证明了唯一具有四个不同素除子的奇亏完满数是$3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2}$ .
2019-08-14 math.NT
A generalization on the average ratio of the smallest and largest prime divisor of $n$
1982年，Erdös和van Lint给出了$n$的最小和最大素除子之比的平均值的估计。在本说明中，我们应用C. H。贾氏方法给出了比率的正整数次幂的平均值的一个估计。
2019-07-15 math.NT
Greatest Prime Divisors of Polynomial Values over Function Fields
对于函数域$K$、固定多项式$F\in K[x]$和变化多项式$f\in F$（在一定的限制下），我们给出了$F(f)$的最大素除子的次数关于$f$的高度的下界，为数论中一个经典问题的函数域模拟建立了一个强有力的结果.
2013-08-14 math.NT
Prime divisors of sequences associated to elliptic curves
我们考虑了除椭圆曲线上的一列有理点的x坐标的分母的素数。期望对于指数的每一个足够大的值，每一项都应该被一个原始的素除子整除，该因子在任何早期的项中都没有出现。这方面的证据只在少数情况下才为人所知。弱的结果，在一般的方向，使用强形式的西格尔定理和一些同余参数。我们的主要结果被应用于Somos序列的素除子的研究。
2004-04-06 math.NT
The divisor function in arithmetic progressions modulo prime powers
我们研究了用$n \equiv a \bmod q$表示的$n\le x$的除数函数$τ(n)$的平均值。已知除数函数均匀分布在所有略小于$x^{2/3}$的$q$的等差数列上。我们将展示如何去过去这个障碍时，$q=p^k$奇素数$p$和任何固定的整数$k\ge 7$。
2016-02-12 math.NT
Popular values of the largest prime divisor function
我们考虑整数的最大素除子在区间$[2,x]$中的分布，并特别研究了这种分布的模式，即最常出现在这个列表中的素数。除了给这种模式的渐近公式$x$趋于无穷大，我们看看这些素数的集合，对于一些值的$x$，最经常出现的整数的最大素除子的间隔$[2,x]$。我们发现许多素数从来没有这个性质。我们比较了一组“流行的素数”，这些素数在某些时候的模式，其他有趣的子集的素数。最后，我们将开发的技术应用到一个类似的问题，这是在分析的因式分解算法。
2015-04-22 math.NT
An integral representation of divisor function. An equation for prime numbers
本文提出了除数函数$τ(n)\equiv σ_{0}(n)$用复变数函数的对数留数表示的方法。该表示法为进一步研究自然数的性质提供了有用的理论工具。
2011-09-16 math.NT
The number of prime factors of integers with dense divisors
我们证明了，对于整数$n$，其连续因子的比率以上有界的任意常数，素因子的数量的正常顺序是$C \log \log n$，其中$C=(1-e^{-γ})^{-1} = 2.280...$和$γ$是欧拉常数。我们探讨了几个应用程序，并解决了Margenstern关于实际数的猜想。
2021-11-11 math.NT
Shifted-prime divisors
本文研究由 Prachar 提出的移位素数因数计数函数 $\omega^*(n)$ 的高阶矩及相关问题。
2024-03-19 math.NT
On an additive prime divisor function of Alladi and Erdos
本文讨论了Alladi和Erd \H os于1977年提出的可加性素除子函数$A(n) := \sum\limits_{p^α|| n} α\, p$.证明了对于任意固定整数$q > 1.$，$A(n)$是均匀分布的（mod $q$
2016-06-17 math.NT
Elementary closed-forms for non-trivial divisors
本文提出了若干初等闭式公式，通过固定数量的算术运算为每个合数 $n>1$ 表达非平凡因子，并开发了基于超立方体方法及二次剩余不变量的两族闭式公式，其运算数量恒定且与输入大小无关。
2025-10-30 math.NT
On the third largest prime divisor of an odd perfect number
设$N$是一个奇完满数，$a$是它的第三大素除子，$b$是它的第二大素除子，$c$是它的最大素除子.我们讨论的步骤，获得一个非平凡的上界$a$，以及密切相关的问题，提高界限$bc$，和$abc$。特别是，我们证明了两个结果。首先，我们证明了一个新的一般约束的任何素除子因子的奇数完满数，并获得作为一个推论的界限，$$a < 2N^{\frac{1}{6}}.$$第二，我们表明，$$abc < (2N)^{\frac{3}{5}}.$$我们还表明如何在某些情况下，这些界限和相关的不等式可以收紧。将$σ_{m,n}$对定义为素数$p$和$q$对，其中$q|σ(p^m)$和$p|σ(q^n)$。我们的许多结果都围绕着理解$σ_{2,2}$对。我们还证明了结果有关$σ_{m,n}$对其他值的$m$和$n$。
2021-06-26 math.NT
Egyptian Fractions and Prime Power Divisors
从不同的埃及分数方程，我们得到了推广的主要pseudoperfect数和Giuga数，我们称之为素数幂psuedoperfect数和素数幂Giuga数。我们证明了在OEIS中的Amarnath Murthy序列是素数幂拟完全数序列的子序列。给出了一个数是素幂伪完全数或素幂Giuga数的充分素分解条件。素因子分解的条件自然产生了一个推广的费马素数，我们称之为扩展的费马素数。
2018-04-03 math.NT
Poisson Approximation of prime divisors of shifted primes
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文研究了移位素数的素因数分布，通过建立模型与实际素因数的总变差距离估计，证明了移位素数素因数在不相交集合中的泊松独立性，并建立了随机整数与移位素数的结构转移原理。
2026-01-19 math.NT
The asymptotic distribution of the largest prime divisor
我们考虑Dickman函数$Ψ(x,y)$在极限下当$\ln x/\ln y\to \infty $和$\ln \ln x \ln y\to 0$ .渐近值用$x$和$ln y$的迭代长度之比表示。
2008-11-19 math.NT
Divisor problem in arithmetic progressions modulo a prime power
本文得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$中整数$n \le x$上除数函数平均值的一个渐近公式，其中$q=p^k$对素数$p\ge 3$和充分大的整数$k$成立.特别地，我们打破了这类公式的经典障碍$q \le x^{2/3}$，推广了R.~ Khan（2015），使其在$k$中统一。
2016-02-11 math.NT
Improved algorithms for left factorial residues
我们提出了计算左阶乘残基的改进算法$!p=0!+1!+...+(p-1)! \!\mod p$。我们使用这些算法计算的残留物$!p\!\mod p$，所有素数$p$到$2^{40}$。我们的结果证实了Kurepa的左阶乘猜想仍然是一个未解决的问题，因为它们表明不存在奇素数$p<2^{40}$使得$p$可除$!p$。此外，我们还证明了不存在具有$5<p<2^{40}$的社会主义素数$p$.
2020-12-17 cs.SC math.NT
All bi-unitary perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
该研究针对二元素域$\boldsymbol{\text{F}}_2$，找到了仅以梅森多项式为奇不可约因子的所有非分裂双酉完美多项式，是经典算术问题的多项式变体研究成果。
2026-08-03 math.NT
On (unitary) perfect polynomials over $\mathbb{F}_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
在$\mathbb{F}_2$上唯一的（酉）完全多项式是$x$，$x+1$和梅森素数的乘积，它们正好是9个（分别是）。九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$。这样的因式分解的其他后果是关于奇完全多项式的新结果。
2019-07-31 math.NT
A summation of the number of distinct prime divisors of the lcm
令$x$为正整数。给出了$ω(\operatorname{lcm}(m,n))$对所有正整数$m$和$n$与$mn \le x$求和的渐近结果.这回答了最近一篇论文中提出的一个悬而未决的问题。
2021-01-18 math.NT
Prime number decomposition of the Fourier transform of a function of the greatest common divisor
最大公因数的离散傅里叶变换是一个乘性函数，如果相对于单位的原根的相同阶进行，这是众所周知的事实。因此，变换可以表示为自变量的素因子，本文证明了其显式形式。随后，它示出了如何可以推广到离散傅里叶变换的函数的最大公因数的过程。从这个表示中，建立了关于欧拉函数及其推广的一些有趣的关系。
2014-10-08 math.NT
On the largest prime divisor of $n!+1$
对于整数$m >1$，我们用$P(m)$表示$m$的最大素除子。我们证明了$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+1)/n \geqslant 1+9\log 2>7.238$，改进了Stewart的一个结果.更一般地说，对于任何非零多项式$f(X)$与整数系数，我们表明，$\limsup_{n \rightarrow +\infty} P(n!+f(n))/n \geqslant 1+9\log2$。这改进了Luca和Shparlinski的结果。这些改进来自于对上述工作的额外组合思想。
2021-03-27 math.NT
Asymptotics on a class of Legendre formulas
设$f$是一个单变量的实值函数，使得它在素数上为正。在这篇文章中，我们构建了一个阶乘，$n!_f$，与$f$，称为相关的勒让德公式，或$f$阶乘，并显示，受一定的标准，$n!_f$满足弱斯特林近似。作为一个应用，我们将给出弱近似的Bhargava阶乘的素数集和一个不太知名的勒让德公式。
2021-08-11 math.NT
Positive lower density for prime divisors of generic linear recurrences
令$d \ge 3$是整数，并且令$P \in \mathbb{Z}[x]$是其伽罗瓦群是$S_d$的次数$d$的多项式。设$(a_n)$是以$P$为特征多项式的线性递归整数序列.在广义黎曼假设下，证明了序列$(a_n)$中至少有一个元素被整除的素数集合的低密度是正的.
2021-02-08 math.NT
On a sum of the error term of the Dirichlet divisor function over primes
本文研究素数上Dirichlet除数函数误差项平方的求和问题，并证明了该和式存在渐近公式。
2024-10-01 math.NT
On the number of prime factors of values of the sum-of-proper-divisors function
令$ω(n)$（分别$Ω(n)$）表示素因子的数量（分别为自然数$n$的复数。1917年，Hardy和Ramanujan证明了$ω(n)$的正规阶是$\log\log n$，$Ω(n)$也是如此;粗略地说，一个典型的自然数$n$大约有$\log\log n$素因子。我们证明了一个类似的结果为$ω(s(n))$，其中$s(n)$表示$n$的真因子之和：对于任何$ε> 0$和所有$n \leq x$不属于一个集的大小$o(x)$，\[ |ω(s(n)) - \log\log s(n)| < ε\log\log s(n) \]和相同的是真实的$Ω(s(n))$。
2015-09-14 math.NT
All even (unitary) perfect polynomials over $\F_2$ with only Mersenne primes as odd divisors
讨论了环$\F_2[x]$中与因子和函数的不动点有关的一个算术问题。研究了二元多项式$A$，使得$σ(A)/A $仍是二元多项式.从技术上讲，我们证明了唯一的（酉）完全多项式在$\F_2$是产品的$x$，$x+1$和梅森素数正好是九个（分别.九个“知”字。这是由关于$M^{2h+1} +1$的因式分解的一个新结果得出的，对于梅森素数$M$和正整数$h$ .
2022-02-13 math.NT
The normal order of of the divisor-counting function for invariants of rank 2 Drinfeld modules
当素数$p$在Drinfeld模的普通约化的素数上变化时，我们计算了具有非平凡自同态环的秩为2的Drinfeld模的约化模的Euler-Poincaré特征和Frobenius迹的除数计数函数的一阶和二阶矩.从这些时刻，我们得到的正常秩序的素除子的数量，这些不变量。
2016-03-27 math.NT
Weighted equidistribution of factorial prime valuations in fixed power bands
Zhejiang University（浙江大学）
研究固定幂带内素数在阶乘中赋值的对数质量分布，建立渐近公式并推导多项式-阶乘方程解的必要容量条件。
2026-09-30 math.FA math.NT
The sum of the reciprocals of the prime divisors of an odd perfect or odd primitive non-deficient number
本文在奇完全数及更弱的奇本原非亏数假设下，证明了素因子倒数之和 T(n) 与乘积 H(n) 关于最小素因子的新上界。
2025-02-08 math.NT
Prime divisors of the Lagarias sequence
对于整数a，我们考虑序列X_a={x_0，x_1，x_2，.}由x_0=a，x_1=1定义，并且对于n>=1，x_{n+1} =x_n+ x_{n-1}。我们说素数p整除X_a，如果p至少整除序列的一项。很容易看出，每个素数p都能整除斐波那契数序列X_1。Lagarias，使用一种技术，涉及计算度的各种Kummerian扩展首先采用的Hasse，表明在1985年，X_2，一组素数划分一些卢卡斯数有自然密度2/3，并提出了一个挑战，找到密度的素除子的X_3。在本文中，我们解决了这个挑战，假设GRH，通过证明X_3的密度等于1573727 S/1569610，S是所谓的斯蒂芬斯常数。这是具有不可约递归关系的“非挠”二阶递归序列的第一个例子，我们可以确定素除子的相关密度。
1999-12-22 math.NT
Divisors of shifted primes
我们从下面的移动素数p+s<x的数量，有一个除数在一个给定的区间（y，z]。凯文·福特已经得到了这个量的预期数量级的上界以及参数y和z的特殊情况下的下界。我们在这里提供了参数y和z的宽范围内的相应下界。正如预期的那样，这些界限在很大程度上取决于我们对等差数列中素数的了解。作为这些界限的应用，我们确定了乘法表中出现的移位素数的数量，直到乘法常数。
2010-05-15 math.NT
Prime Splitting and Common Index Divisors in Radical Extensions
本文研究根式扩张中奇素数的显式分解，并据此刻画公共指数因子，证明任何造成幂整基局部障碍的素数 $p$ 都必整除根指数 $n$。
2025-07-23 math.NT
On the distribution of $αp^2+β$ modulo one for primes $p$ such that $p+2$ has no more two prime divisors
本文针对 α 无理时 αp²+β 模 1 的分布问题，考察 p+2 为殆素数的素数子序列，证明该子序列保持与经典素数序列相似的分布性质。
2024-04-04 math.NT
Dirichlet Series and Asymptotics for Generalized Legendre Factorials
本文通过狄利克雷级数框架研究广义阶乘函数的渐进行为，推导出广义阶乘的渐近公式，并解释了勒让德型阶乘构造的渐近性。
2026-07-22 math.NT
Primitive prime divisors and the $n$-th cyclotomic polynomial
本原素除子在群论和数论中起着重要的作用。研究了一个数论量$Φ^*_n(q)$，它与分圆多项式$Φ_n(x)$和$q^n-1$的本原素除子密切相关.我们给出了$Φ^*_n(q)$的新定义，并证明了它与Hering给出的定义是等价的.给定正常数$c$和$k$，我们给出了一个确定所有$(n,q)$与$Φ^*_n(q)\le cn^k$对的算法.这个算法是用来推广（和纠正）的结果，这是有用的分类某些家庭的有限线性群的子群。
2016-10-09 math.NT
Unsupported Cyclotomic Divisors in Three-Prime Integer Tilings
Academy of Mathematics and Systems Science Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences Soochow University（苏州大学数学科学学院）
本文证明三素数整数平铺中存在无支撑分圆因子，刻画了平方周期情形，并给出最小模数及Apéry集构造。
2026-09-09 math.NT
Primes $p$ such that $p-b$ Has a Large Power Factor and Few Other Prime Divisors
本文研究素数 $p$ 使 $p-b$ 含高次 $2$ 幂且奇素因子很少的计数问题，结合 Chen 方法变体、加权筛法与 Elliott 的等差数列结果证明了下界。
2025-05-13 math.NT
Prime ideal divisors of parametric recurrence sequences
National Institute of Technology Calicut（卡利卡特国家技术学院）
本文研究单位根处参数线性递归序列的算术性质，给出了最大素理想因子和主理想生成元范数的有效下界，并证明了S-部分的有效上界。
2026-06-02 math.NT
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
2025-05-05 math.NT
Arithmetic properties of the sum of divisors
除数函数$σ(n)$表示正整数$n$的除数之和。对于素数$p$和$m \in \mathbb{N}$，$m$的$p$ -adic赋值是除$m$的$p$的最高幂。建立了$ν_{p}(σ(n))$的计算公式。对于$p=2$，这些只涉及奇数素数整除$n$。这些表达式用于建立约束$ν_{2}(σ(n)) \leq \lceil\log_{2}(n) \rceil$，等式当且仅当$n$是不同梅森素数的乘积，对于奇素数$p$，边界是$ν_{p}(σ(n)) \leq \lceil \log_{p}(n) \rceil$，等式与Ljunggren-Nagell丢番图方程的解有关。
2020-07-06 math.NT
Multiplicative structures of values of the sum-of-divisors function
研究了$σ(p^{q-1})=Az$形式的方程，其中$p$是素数，$q$是固定奇素数，$A$是固定整数，$z$是固定有限集中素数组成的整数.我们将改进这类方程解的大小和个数的上界。
2005-12-08 math.NT
Primitive root bias for twin primes II: Schinzel-type theorems for totient quotients and the sum-of-divisors function
加西亚、卡霍罗和卢卡证明了贝特曼-霍恩猜想对于大多数孪生素数对$p,p+2$都意味着$ϕ(p-1) \geq ϕ(p+1)$，而反向不等式对于一小部分孪生素数也成立。也就是说，$p$往往比$p+2$有更多的原根。本文证明了Dickson猜想（比Bateman-Horn猜想弱得多）蕴含着当$p,p+2$在孪生素数上的值域为正实数时，同元$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p-1)}$是稠密的.我们还建立了几个Schinzel型定理，其中一些是无条件的，关于$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p)}$和$\frac{σ(p+1)}{σ(p)}$的行为，其中$σ$表示因子和函数。
2019-08-28 math.NT
On the prime divisors of elements of a $D(-1)$ quadruple
本文证明了：如果{1，b，c，d}是D（-1）丢番图四元组，且b<c<d，c=1+s^2，则不存在s=p^k，s=2p^k，c=p和c=2p^k的情形，其中p是奇素数，k是正整数.对于整数d=1+x^2，我们证明了它不是素数，并且x至少能被两个不同的奇素数整除。进一步，我们给出了几个整数b的无限族，使得D（-1）对{1，b}不能扩展为D（-1）四元组.例如，我们证明了如果r= 5 p，其中p是奇素数，则D（-1）对{1，r^2+1}不能扩展为D（-1）四元组。
2013-09-17 math.NT
Explicit results for Euler's factorial series in arithmetic progressions under GRH
在广义黎曼假设下，研究欧拉阶乘级数在p-adic域中算术级数上的线性形式非零性，给出显式下界及素数分布区间。
2023-09-04 math.NT
The prime divisors of the number of points on abelian varieties
设A，A'是定义在数域K上的GSp型椭圆曲线或阿贝尔簇.这主要包括极化阿贝尔簇与几何自同态环Z和2或奇数维。我们比较了两个品种的减少点的数量。我们证明了A和A'是K-同构的，如果对K的一个密度为1的素数集p，下列条件成立：除#A（k_p）的素数也除#A'（k_p）.我们在某种程度上把这种说法推广到这类产品上。这改进了Hall and Perucca（2011）和Ratazzi（2012）的结果。
2015-10-05 math.NT
Primes Generated by Recurrence Sequences
考虑由二次多项式定义的整数序列的项的本原因子。除了一些小的反例，当一个项有一个本原因子时，这个本原因子是唯一的。看起来有一个原始因子的项数有一个自然密度。我们讨论了两个启发式的参数，建议该密度的值，一个使用最近的进展多项式同余的根的分布。
2006-03-02 math.NT
