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二次Diophantine方程 $(2^{k}-1)(b^{k}-1)=y^{q}$

The diophantine equation $(2^{k}-1)(b^{k}-1)=y^{q}$

Mathematisches Institut der Universität Göttingen（哥廷根大学数学研究所）；Applied Mathematics Institute of Aba Teachers University（阿坝师范学院应用数学研究所）

Chang Liu, Bo He

备注：
10 pages
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AI总结：

本文研究了指数Diophantine方程 $(2^k-1)(b^k-1)=y^q$，得到关于$q$的有界估计，特别证明当 $3\le b<10^6$ 时，$q\le \log_2(b+1)$ 除了有限个例外对 $(b,q)$。

摘要：

本文考虑了指数Diophantine方程 $(2^k-1)(b^k-1)=y^q$，其中 $k\ge 2$，$b$ 为奇整数，$q$ 为奇素数指数，并得到 $q$ 关于 $b$ 的有效上界。特别地，当 $3\le b<10^6$ 时，除了有限个明确确定的例外对 $(b,q)$ 外，有 $q\le \log_2(b+1)$。作为应用，我们证明了相关方程 $(2^k-1)(b^k-1)=x^n$ 在 $b$ 为特定奇数值时（如 $b\in\{5,7,11,13,21,23,27,29\}$）没有正整数解 $(k,x,n)$。

英文摘要：

In this paper, we consider the exponential Diophantine equation \( (2^k-1)(b^k-1)=y^q \) with $k\ge 2$, odd integer $b$ and an odd prime exponent $q$ and obtain effective upper bounds for $q$ in terms of $b$. In particular, we show that $q\le \log_2(b+1)$ holds apart from a finite, explicitly determined set of exceptional pairs $(b,q)$ when $3\le b<10^6$. As an application, we prove that the related equation \( (2^k-1)(b^k-1)=x^n, \) has no positive integer solution $(k,x,n)$ for several specific odd values of $b$, including $b\in\{5,7,11,13,21,23,27,29\}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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