The Willmore Energy Landscape of Spheres and Avoidable Singularities of the Willmore Flow
研究欧几里得3维空间中光滑浸入2-球面的Willmore能量下水平集，证明能量至多12π的浸入由四个正则同伦类组成，并分类了导致Willmore流不可避免奇点的初始曲面。
2026-10-30 math.DG
Construction of Willmore two-spheres via harmonic maps into $SO^+(1,n+3)/(SO^+(1,1)\times SO(n+2))$
给出了全迷向Willmore双球面及其伴随变换的描述。我们首先回顾了Hélein，Xia-Shen和Ma为了研究Willmore曲面而引入的迷向调和映射。然后我们得到了全迷向Willmore双球的正规化势（某些李代数值亚纯1-形式）的迷向调和映射的描述。特别地，相应的迷向调和映射是有限uniton型的。证明还包含了一个具体的方法来构造完全各向同性的Willmore两个球和它们的伴随变换的例子。作为例证，用这种方法得到了两类例子。
2016-04-10 math.DG
Equivariant constrained Willmore tori in the 3-sphere
本文研究了三维球面上的等变约束Willmore环面。这些环面承认一个1参数群的莫比乌斯对称性和临界点的Willmore能量下的共形变化。证明了等变环面的谱曲线是由$\mathbb C$的双重覆盖给出的，并通过谱曲线的亏格g对等变约束Willmore环面进行了分类.在这种情况下，谱亏格满足$g \leq 3.$
2014-05-15 math.DG
On symmetric Willmore surfaces in spheres II: the orientation reversing case
在本文中，我们提供了一个系统的处理Willmore表面与方向反转对称性，并说明了理论（旧的和新的）的例子。我们应用我们的理论，各向同性Willmore两个领域的$S^4$和推导出一个必要条件，这样的（可能分支）各向同性表面下降到（可能分支）的地图从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$。Veronese球和其他几个例子的非分支Willmore浸入从$\mathbb{R} P^2$到$S^4$推导出的一般理论的说明。$\mathbb{R} P^2$的Willmore沉浸，刚才提到的，与Veronese球体不同，对作者的最佳知识来说是新的。
2020-02-15 math.DG
On symmetric Willmore surfaces in spheres I: the orientation preserving case
在本文中，我们提供了一个系统的讨论如何将方向保持对称性的Willmore表面的治疗通过循环组方法。在这种情况下，我们首先开发了一个一般的治疗Willmore表面承认方向保持对称性，然后展示如何诱导有穷级旋转对称性。对于球面上Willmore曲面的共形高斯映射的目标空间--对称空间，证明了球面上所有紧致Willmore曲面的共形高斯映射的亚纯不变势的存在性的长期猜想.我们还通过一些具体的例子来说明我们的结果。
2014-04-16 math.DG
Willmore spheres in the 3-sphere revisited
Bryant \cite{Bryant84}将$3$ -空间中的所有Willmore球分类为具有嵌入平面末端的$\mathbb R^3$中的极小曲面。Peng和Xiao声称这些例子存在于$\mathbb R^3$中，但在同一篇论文中，他们还声称存在一个具有7个嵌入平面端点的极小曲面，这被Bryant \cite{Bryant88}证伪了.
2020-03-15 math.DG
Classification of branched Willmore spheres
本文通过证明分支威尔莫浸入中布赖恩特四次形式的全纯性及其在球面情形下的消失，结合共形高斯映射在分支点的渐近展开性质，完成了分支威尔莫球面的完整分类。
2024-06-29 math.DG
Willmore surfaces in spheres via loop groups: a survey
本文是一篇综述，总结了作者团队利用DPW方法研究球面中Willmore曲面的整体与局部性质的系列工作，涵盖方法框架、多类应用及调和映射相关新结果。
2024-05-17 math.DG
Constrained Willmore and CMC tori in the 3-sphere
约束Willmore曲面是Willmore泛函在共形变分下的临界点。如[5]所示，可以将任何共形浸入约束Willmore环面f与紧致黎曼曲面ε相关联，使得f可以根据ε上的代数数据重建。约束Willmore环面的特别有趣的例子是在三维空间型中具有恒定中曲率（CMC）的环面。在[14]和[16]中表明，这些环面的谱曲线是超椭圆的。本文在较弱的条件下证明了三维球面中的约束Willmore环面f是三维空间型中的CMC环面，如果它的谱曲线具有CMC谱曲线的结构.
2012-12-10 math.DG
Willmore submanifolds in a sphere
设$x:M\to S^{n+p}$是$(n+p)$维单位球面$S^{n+p}$中的$n$维子流形，$x:M\to S^{n+p}$称为下列Willmore泛函的Willmore子流形：$$ \int_M(S-nH^2)^{\frac{n}{2}}dv, $$其中$S=\sum\limits_{α,i,j}(h^α_{ij})^2$是第二基本形式长度的平方，$H$是$M$的平均曲率.在[13]中，作者证明了$S^{n+1}$中$n$维紧致Willmore超曲面的一个Simon型积分不等式，并给出了{ \it Willmore环面}的一个刻划.本文将这一结果推广到$S^{n+p}$中的$n$维紧Willmore子流形.实际上，我们得到了$S^{n+p}$中紧致Willmore子流形的一个Simon型积分不等式，并利用积分不等式给出了{ \it Willmore环面}和{ \it Veronese曲面}的一个刻划.
2002-10-16 math.DG
Adjoint Transform of Willmore Surfaces in $n$-sphere
在Möbius曲面理论的基础上，本文研究了$n$ -球面中的一对共形浸入曲面。引入了两个新的不变量$θ$和与之相关的$ρ$以及触摸和共触摸的概念。这种方法对于研究某些曲面类的变换是有帮助的。作为应用，我们定义了$n$ -球面上任意Willmore曲面的伴随变换.它总是局部存在的（但不是唯一的一般）和推广已知的对偶定理Willmore表面。这一理论的表面对达到其高点的一个特点伴随Willmore表面的调和映射。
2005-08-08 math.DG
Constrained Willmore Tori in the 4--Sphere
我们证明了2-环面到共形4-球面的约束Willmore浸入是“有限型“的，即具有有限亏格的谱曲线，或者是“全纯型”的，即它是超共形的或具有平面端点的欧氏极小的.这意味着，所有受约束的Willmore环面在4-球可以构造，而明确的方法，复杂的代数几何。证明使用四元数全纯几何结合可积系统的方法类似于希钦的方法来研究调和环面的3球。
2008-03-05 math.DG
Willmore surfaces in spheres: the DPW approach via the conformal Gauss map
利用共形高斯映射建立了Willmore曲面的DPW方法。作为应用，我们给出了$\mathbb R^{n+2}$中极小曲面、$S^4$中各向同性曲面和齐次Willmore环面的环群描述.本文还给出了一个在$S^6$中Willmore双球面不具有对偶曲面的新例子。
2019-03-03 math.DG
Classification of Homogeneous Willmore Surfaces in $S^N$
本文考虑$S^{n+2}$中的齐次Willmore曲面。主要结果是：齐次Willmore双球面与$S^{n+2}$中的齐次极小双球面共形等价，即，一个圆形的二球或$S^{2m}$中的Bornovka-Veronese二球。这需要对$S^{2m}$中的所有Willmore $\mathbb{C} P^1$进行分类。作为第二个主要结果，我们证明了在$S^{n+2}$中不存在齐次Willmore上半平面，并利用特殊常位势给出了所有具有交换传递群的齐次曲面的一个简单的环群刻划.
2018-05-09 math.DG
New examples of Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions,II
本文是前两位作者同名论文的续篇。本文第一部分给出了球面中具有四个不同主曲率的每个等参超曲面的两个焦点子流形都是Willmore的统一几何证明。在第二部分中，我们完全确定了除了一种情况之外，哪些焦点子流形是爱因斯坦子流形。
2012-05-10 math.DG
Willmore spheres in quaternionic projective space
四元数射影空间中Frenet曲线的Willmore能量是浸入四维球面的Willmore泛函的推广。Willmore能量的临界点称为四元数射影空间中的Willmore曲线。利用Willmore曲线上的Baecklund变换，推广了Bryant关于三维空间中Willmore球的结果：四元数射影空间中的Willmore球具有整数Willmore能量，并且由复全纯数据给出.
2005-10-28 math.AG math.DG
On the Index of Willmore spheres
我们考虑欧几里得空间中的无分支Willmore曲面，这些曲面是作为具有嵌入平面端点的倒置完全极小曲面而出现的。几个声明证明了上界和下界的莫尔斯指数-的数量线性无关变分方向，局部降低Willmore能源。我们特别计算了Willmore球面在三维空间中的指数。该指数是$m-d$，其中$m$是相应的完全极小曲面的端点数，$d$是法线在$m$折叠点处的跨度尺寸。维度$d$为2或3。对于$m=4$，我们证明了$d=3$ .在一般情况下，我们表明，有一个很强的连接的Morse指数的数量的grummically增长的Jacobi领域的相应的极小曲面。
2019-05-22 math.DG
Willmore surfaces in spheres via loop groups $I$: generic cases and some examples
本文利用调和共形高斯映射，利用环群研究了球面中Willmore曲面的整体性质。我们首先给出了可实现为Willmore曲面的共形Gauss映射的调和映射的整体描述（定理3.4、定理3.11和定理3.18）。然后，我们介绍了这些调和映射的DPW程序，并陈述了相应的Iwasawa分解定理和Birkhoff分解定理。特别是，我们展示了如何与Willmore表面的调和映射可以构建在循环组。第三个主要结果对球体中Willmore曲面的情况有许多影响，表明每个到某个非紧内对称空间$G/K$的调和映射都会诱导到紧对偶内对称空间$U/{(U \cap K^\mathbb{C})}$的调和映射。从这个对应关系中，我们得到了关于非紧内对称空间的调和映射的整体性质的额外信息。作为本文中开发的理论的一个例子，我们列出的例子（其中一些是在单独的文件，按照本论文的理论）。特别是，我们提出了一个明确的，无分支（各向同性）Willmore领域的$S^6$这不是S-Willmore，因此没有一个双Willmore表面。这个例子对一个长期开放的问题（最初由Ejiri提出）给出了否定的答案。
2016-04-10 math.DG
Weierstrass-Kenmotsu representation of Willmore surfaces in spheres
Willmore曲面$y:M\rightarrow S^{n+2}$具有自然调和定向共形高斯映射$Gr_y:M\rightarrow SO^{+}(1,n+3)/SO(1,3)\times SO(n)$，其将每个点$p\in M$映射到其在$p$处的定向中曲率2-球面。一个简单的观察表明，Willmore曲面上的共形高斯映射都满足一个限制的幂零性条件，这个条件称为“强共形调和”。本文的目的是刻画从Riemann曲面$M$到$SO^+ (1, n + 3)/{SO^+(1, 3) \times SO(n) }$的强共形调和映射，即$S^{n+2}.$中Willmore曲面的共形高斯映射。例外情况也将讨论。
2019-01-24 math.DG
Sequences of Willmore surfaces
本文发展了四维球面上Willmore曲面的Willmore序列理论。我们表明，在适当的条件下，这个序列必须终止。在这种情况下，Willmore曲面要么是全纯曲线在复射影空间中的扭量投影，要么是四维空间中具有平面端点的极小曲面的反演。这些结果给出了一个统一的解释以前的工作的刻画Willmore球和Willmore环面与非平凡正常丛的不同作者。
2006-10-21 math.DG
The Classification of Branched Willmore Spheres in the $3$-Sphere and the $4$-Sphere
本文将Robert Bryant的Willmore球面在$S^3$中的分类推广到变分的Willmore球面$S^3$，并证明了它们是$\mathbb{R}^3$中具有有限全曲率且通量为零的完备极小曲面的逆球极平面投影.我们还得到了分类变分分支Willmore领域的$S^4$，推广Sebástian Montiel定理。作为我们在分支点处的渐近分析的结果，我们得到了任意余维变分分支Willmore曲面的单位法向的改进的$C^{1,1}$正则性。我们还证明了在$3$和$4$维上的Willmore球min-max过程的宽度，如球的外翻，是$4π$的整数倍。
2019-04-23 math.AP math.DG
Some global properties of umbilic points of Willmore immersions in the $3$-sphere
该文从共形高斯映射视角研究3-球面中余维1的Willmore曲面脐点，刻画了脐曲线经共形变换为测地线的等价条件，证明含脐曲线长度的共形高斯映射Gauss–Bonnet公式，并将其作为各空间形式中共形极小曲面Willmore能量表达式的统一版本。
2025-06-12 math.DG
Isothermic and S-Willmore Surfaces as Solutions to Blaschke's Problem
本文将经典的Blaschke问题推广到更高余维的情形，刻画了等温曲面的Darboux对和对偶S-Willmore曲面是唯一的包围2-球面同余且共形对应的非平凡曲面对.当球面汇是一个包络曲面的中曲率球面时，它必须是双曲3-空间中的cmc-1曲面或S-Willmore曲面。研究了共形浸入曲面对，讨论了新不变量的几何意义。
2004-05-05 math.DG
Branched Willmore Spheres
本文对分支点（包括重数）至多为3的分支Willmore球面进行了分类，证明了它们可以由重数端点至多为3的$\R ^ 3$中的完备极小曲面得到.这推广了Bryant的分类结果。然后，我们表明，这可能是适用于分析的奇异性的Willmore流的非Willmore领域的Willmore能源$ \mc {W} (f) \leq 16π$。
2011-12-13 math.AP math.DG
The Weierstrass representation of spheres in $R^3$, the Willmore numbers, and soliton spheres
在$\R^3$领域的Weierstrass表示，特别是，有效的建设浸入从数据的频谱理论起源进行了讨论。这些数据与狄拉克算子在一个平面上和一个无限圆柱上有关，这些算子只是狄拉克算子在两个球面上的旋量丛中作用的表示，而两个球面是作为平面或圆柱的完备自然获得的。球描述的狄拉克运营商与一维潜在的一个圆柱体上进行了全面的研究，特别是，对于他们的Willmore功能方面的维度相应的狄拉克运营商的核在两个球的一个较低的估计。证明了这一估计对球面上的所有Dirac算子都成立，并讨论了这一猜想的一些推论。在附录中的一个标准区分维尔斯特拉斯表示，通用覆盖的紧凑表面的更高的属，转化为浸入的紧凑表面。
1998-01-08 math.DG
Computer-Assisted Proof of the Main Theorem of 'The Classification of Branched Willmore Spheres in the $3$-Sphere and the $4$-Sphere'
我们使用免费的数学软件Sage对论文“The Classification of Branched Willmore spheres in the $3$ -Sphere and the $4$ -Sphere”（arXiv：1706.01405）中的主要定理4.11中的四次和八次亚纯微分的全纯性进行了计算机辅助证明。
2019-04-23 math.AP math.DG
Willmore Minmax Surfaces and the Cost of the Sphere Eversion
我们在欧氏空间中发展了一个一般的Minmax过程，用于构造非零指标的Willmore曲面。我们实现了这个过程中的Willmore极小极大球翻转在三维欧几里德空间。我们用${\R}^3$中Willmore球面的Willmore能量计算球面翻转的代价
2015-12-30 math.AP math.DG math.GT
Classification of Willmore surfaces with vanishing Gaussian curvature
我们对高斯曲率为零的单连通完备Willmore曲面进行了分类。我们还研究了Willmore视锥细胞并对其进行了分类。作为应用，我们给出了一个Bernstein型定理。
2022-10-28 math.DG
Control of the isoperimetric deficit by the Willmore deficit
在类光滑嵌入曲面的球型，我们证明了等周赤字可以控制的Willmore赤字。
2011-06-30 math.DG
Asymptotic Analysis of embedded Willmore spheres in 3-dimensional manifolds
本文证明了在任意有界Willmore能量假设下，在给定的$3$维黎曼流形$(M, h)$中，小直径的嵌入Willmore球（或更一般地，面积约束下的嵌入Willmore球）必然集中在$(M, h)$的数量曲率的临界点上.这推广了Laurain和Mondino对小能量嵌入Willmore球所得到的结果。
2017-11-01 math.AP math.DG
Huisken-Yau-type uniqueness for area-constrained Willmore spheres
本文在渐近 Schwarzschild 且标量曲率非负的 Riemannian 3-流形中，证明满足面积半径远大于内半径的非负 Hawking 质量大面积约束 Willmore 球面不存在，回答了 Huisken 的问题。
2023-08-16 math.DG
Willmore surfaces in spheres via loop groups III: on minimal surfaces in space forms
从Riemann曲面到$S^{n+2}$的Willmore浸入族可以自然地分为共形等价于$\R^{n+2}$中极小曲面的Willmore曲面和不共形等价于$\R^{n+2}$中极小曲面的Willmore曲面的子类。在共形高斯映射到$Gr_{1,3}(\R^{1,n+3})=SO^+(1,n+3)/SO^+(1,3)\times SO(n)$的水平上，这两类Willmore浸入到$S^{n+2}$对应于共形调和映射，其中每个像点，被认为是$\R^{1,n+3}$的4维洛伦兹子空间，包含一个固定的类光矢量或不包含这样的“恒定类光矢量”。使用循环组形式主义的建设Willmore浸入我们在本文中的特点正是那些归一化的潜力，对应于共形调和映射包含一个类光向量。由于这些潜在的特殊形式可以很容易地避免，我们也精确地描述了这些潜在的产生Willmore浸入$ S^{n+2}$是不共形的极小曲面在$\R^{n+2}$。事实证明，我们的证明对于其他空间型的最小浸入也是类似的。
2015-08-02 math.DG
On the Morse Index of Branched Willmore Spheres in $3$-Space
给出了计算分支Willmore球面Morse指标的一般方法，并证明了Morse指标等于维数等于对偶极小曲面端点数的矩阵的指标.作为推论，我们发现，对于所有浸没的Willmore球$\vecΦ:S^2\rightarrow \mathbb{R}^3$，使得$W(\vecΦ)=4πn$，我们有$\mathrm{Ind}_{W}(\vecΦ)\leq n-1$
2019-06-25 math.AP math.DG
Willmore Legendrian surfaces in pseudoconformal 5-sphere
设$ X: M \hook S^5$是伪共形（CR）5-球面中的紧致Legendrian曲面.引入一个伪共形不变的Willmore型二阶泛函$ \W(X)$，并研究其临界点Willmore Legendrian曲面.五阶结构方程证明了Willmore对偶可以定义为一类Willmore Legendrian曲面。当对偶为常数时，Willmore Legendrian曲面通过伪共形球极平面投影，在满足适当实周期条件的$ \C^2$中，可以用浸入亚纯曲线表示Weierstraßtype表示.我们发现，每一个紧凑的黎曼曲面承认一般一对一，共形，Willmore Legendrian浸入$ S^5$与常数Willmore双。作为推论，每个紧致黎曼曲面都可以作为精确的代数拉格朗日曲面共形地浸入$ \C^2$中。
2007-07-03 math.AP math.DG
Bifurcations of the Clifford Torus as Willmore Surfaces in Berger Spheres
IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada（巴西纯粹与应用数学研究所）
通过估计Morse指标并应用分岔理论，从Clifford环面分岔出新的对称Willmore环面。
2026-08-13 math.AP math.DG
Large area-constrained Willmore surfaces in asymptotically Schwarzschild 3-manifolds
利用Lyapunov-Schmidt约化方法研究了黎曼3-流形中大面积约束Willmore曲面对Schwarzschild的渐近性质。特别是，我们证明了这样的流形的结束是由杰出的面积约束Willmore领域的叶状。叶是唯一的面积受限的Willmore球，具有大面积，非负霍金质量，并且到流形中心的距离至少是面积半径的小倍数。与以前的相关工作不同，我们只要求数量曲率满足温和的渐近条件。我们还给出了明确的例子，以表明这些条件的数量曲率是必要的。
2022-06-12 math.DG
Gauss maps of Möbius surfaces in the $n$-dimensional sphere
本文定义Möbius曲面的Lorentzian 2-平面提升，证明其共形调和性等价于Willmore条件，并澄清了先前工作，支持含脐点的Björling问题。
2024-12-15 math.DG
Concentration of small Willmore spheres in Riemannian 3-manifolds
给定一个三维黎曼流形$(M,g)$，我们证明了：如果$(Φ_k)$是一列Willmore球（或更一般的面积约束Willmore球），且Willmore能量由$8 π$一致严格上界，且Hausdorff收敛于点$\bar{p}\in M$，则$Scal(\bar{p})=0$和$\nabla Scal(\bar{p})=0$（分别为. $\nabla Scal(\bar{p})=0$）。此外，一个适当的重新标度的序列光滑收敛，直到连续和重新参数化，在欧几里德三维空间中的一个圆球。这推广了Lamm和Metzger在\cite{LM1} - \cite{LM2}中的结果。霍金质量的应用程序也成立。
2013-10-26 math.AP math.DG
Morse Index Estimates of Min-Max Willmore Surfaces
我们表明，总和的莫尔斯指数的Willmore领域实现的宽度Willmore型清扫出局是有界的最小最大的参数的数量。作为应用，我们推导出在实现极小极大球外翻的真Willmore球中，至多有一个球的指数为1，而其他球必须是稳定的。
2018-08-23 math.AP math.DG
Morse Index of Willmore spheres in $S^3$
我们得到了一个上限的莫尔斯指数的Willmore球$Σ\subset S^3$来自浸泡的$S^2$。Willmore能量的量子化表明存在一个整数$m$使得$\mathscr{W}(Σ)=4πm$ .然后我们证明了$\mathrm{Ind}_{\mathscr{W}}(Σ)\leq m$ .证明依赖于一个明确的计算有关的$Σ$的PDMATHAMR的二阶导数与最小曲面的Jacobi算子在$\mathbb{R}^3$它是图像的球极平面投影感谢罗伯特布莱恩特的基本分类。
2016-03-30 math.AP math.DG
Transformations of harmonic bundles and Willmore surfaces
Willmore曲面是Willmore泛函的极值（可能在共形结构的约束下）。随着表征Willmore表面的（可能扰动）调和性的中曲率球同余[Blaschke，Ejiri，Rigoli，Burstall-Calderbank]，一个零曲率公式如下[Burstall-Calderbank]。变形的水平上的调和映射证明引起变形的水平上的表面，与定义的频谱变形[Burstall-Pedit-Pinkall，Burstall-Calderbank]和Baecklund变换[Burstall-Quintino]的Willmore表面到新的，与一个比安奇置换之间的两个[Burstall-Quintino]。本文致力于一个独立的帐户的主题，从一个保形不变的观点，在达布的光锥模型的共形$n$ -球。
2016-04-07 math.DG
Asymptotics of Willmore minimizers with prescribed small isoperimetric ratio
我们考虑${\mathbb S}^2$型的${\mathbb R}^3$中的曲面，它使Willmore泛函最小化，具有规定的等周比。Schygulla（Archive Rational Mechanics and Analysis，2012）证明了光滑极小点的存在性。在奇异极限时的等周比收敛到零，他表明收敛到一个双圆球的意义上varifolds。在这里，我们给出了一个完整的爆破分析，这一限制，表明这两个领域是由悬链颈连接。除了其几何意义外，该问题还作为细胞膜理论中的简化模型进行了研究，参见Berndl，Lipowsky，Seifert（Physical Review A，1991）。
2017-04-17 math.DG
Constrained Willmore Tori and Elastic Curves in 2-Dimensional Space Forms
本文考虑了三维球面中两类特殊的约束Willmore环面。第一类是由上半平面（被视为双曲平面）中的闭合弹性曲线围绕x轴的旋转给出的。第二个是封闭约束弹性曲线的原像，即，具有封闭面积约束的弹性曲线，在圆2-球面上的Hopf纤维化。我们证明了所有的共形型都可以等距地浸入到S^3中作为约束Willmore（Hopf）环面，并且用Weierstrass椭圆函数写出H^2和S^2中的所有约束弹性曲线。此外，我们确定的封闭条件的曲线和计算Willmore能源和共形型的结果环面。
2014-05-15 math.DG
Rolling spheres and the Willmore energy
该研究针对单纯形曲面的离散Willmore能量，提出将其解释为滚动球面联络曲率的新几何视角，并通过射影四元数表示实现显式莫比乌斯不变性，丰富了离散共形几何的理论内涵。
2023-11-03 math.CV math.DG
Foliation by area-constrained Willmore spheres near a non-degenerate critical point of the scalar curvature
设$(M,g)$是三维黎曼流形.本文的目的是表明，如果$P_{0}\in M$是一个非退化的临界点的数量曲率，然后一个邻域的$P_{0}$是由面积限制的Willmore球。这种叶理在Willmore能量小于$32π$的面积受限Willmore球面的叶理中是唯一的，而且在适当的重新缩放光滑收敛到欧几里德三维空间中的圆形球面的意义上，它是正则的。我们还建立了一般的多重面理和第一个多重性的结果，面积限制Willmore领域规定（小）面积在一个封闭的黎曼流形。这个主题与霍金质量有着严格的联系。
2018-06-01 math-ph math.AP math.DG
Willmore surfaces and Hopf tori in homogeneous 3-manifolds
本文在齐次三维流形中定义了Willmore泛函，通过第一变分公式和Simons型积分不等式，分类了Berger球面中的Willmore曲面，并给出了常外曲率闭曲面的积分不等式，刻画了Hopf环面。
2024-02-07 math.DG
Bubble classification of immersions at the boundary of the moduli space with $8π$ Willmore energy
Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）；Salzburg University（萨尔茨堡大学）
本文研究了边界模空间中具有8πWillmore能量的浸入映射序列的渐近气泡行为，通过Möbius变换得到最大尺度的两个球面和最小尺度的p+1个猫薄壳，并应用于Willmore极小化序列的约束分析。
2026-04-07 math.DG
Conformal Geometry of Surfaces in the 4-Sphere and Quaternions
这是第一次全面介绍作者最近试图更好地理解三维空间表面旋量表示背后的全球概念。重要的新方面是四元数值函数理论，其“亚纯函数“是四元数的共形映射，它扩展了经典的复变函数理论在黎曼曲面上的应用。在柏林举行的ICM 98上提出了这方面的第一个结果。四元数全纯理论的一个重要的新不变量是Willmore能量。对于四元数射影直线上的四元数全纯曲线，即，共形4-球面，这个能量是共形曲面的经典Willmore能量。利用这些新技巧，本文讨论了四维球面中共形曲面的中曲率球面，四维球面中Willmore曲面，Willmore曲面的Baecklund变换，超共形曲面和扭量投影，三维球面中Willmore曲面与三维双曲空间中极小曲面之间的对偶性。最后给出了Montiel最近对Willmore 2-球面在4-球面中的分类的一个新的证明。
2000-02-10 math.AG math.DG
Envelopes and osculates of Willmore surfaces
我们将4-球面中的共形曲面视为四元数射影空间中的四元数全纯曲线。通过构造包络曲线和密切曲线，得到了四元数射影空间中新的全纯曲线，从而得到了新的共形曲面。将这些构造应用于Willmore曲面，我们证明了Willmore球面的密切曲线和包络曲线仍然是Willmore曲面。
2005-11-10 math.AG math.DG
Willmore Spheres in Compact Riemannian Manifolds
本文致力于将二维曲面浸入紧致黎曼m-流形（M^m，h）（m>2）中的Willmore和其他L^2曲率泛函的变分分析。本文的目标是双重的，一方面，我们给正确的设置做微积分的变化（包括最小最大的方法），这些泛函浸入到流形，另一方面，我们证明存在的结果可能分支Willmore领域的各种限制（规定的同伦类，规定的区域）或曲率假设M^m。为此，利用补偿可积性，我们首先发展了这类泛函的临界点的正则性理论。然后，我们证明了一个刚性定理CMC和Willmore球之间的关系。然后证明了对于每个非空的2-同伦类，存在一个由从2-球面到M^m的Lipschitz映射给出的表示，（可能分支）面积受限Willmore球（如引言中所解释的，这是Sacks和Uhlembeck在\cite{SaU}中构造的同伦类中的最小浸入球的自然扩张，在它们不存在的情况下）。此外，对于每一个A>0，我们最小化的Willmore功能之间的连接家庭的弱，可能分支，浸入的2球具有规定的总面积等于A，我们证明充分的正则性的最小。最后，在（M^m，h）上的一个弱曲率条件下，我们在两个球面的弱可能分支浸入中极小化了面积与第二基本型的L^2范数的平方之和，并证明了极小化的正则性.
2012-03-25 math.AP math.DG
Global existence and full convergence of the Möbius-invariant Willmore flow in the $3$-sphere
Technion: Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文研究了Möbius不变Willmore流在3球面中的全局存在性和完全收敛性，证明了其在特定条件下对初始浸入的小扰动稳定性。
2022-11-26 math.AP math.DG
On the Conditional Existence of Foliations by CMC and Willmore Type Half-Spheres
我们研究了小半径的半球坐在一个光滑的有界域的边界，而满足它正交。即使它是已知的，有家庭的CMC和Willmore型半球附近的非退化临界点p的域边界中曲率，它是未知的，在这两种情况下，这些是否提供了一个叶理的任何删除邻域的p.我们证明，这是不能保证的，并建立一个标准的边界几何形状，确保或防止各自的表面提供这样的叶理。这种可能令人惊讶的条件叶理现象在密切相关的黎曼背景中是不存在的，在那里叶理是有保证的。我们展示了如何产生这种无条件的叶理对称性的考虑，以及如何这些未能适用于“域设置”。
2023-02-02 math.AP math.DG
Short closed geodesics and the Willmore energy
University of Augsburg（奥格斯堡大学）；University of Vienna（维也纳大学）；University of Bonn（波恩大学）
研究证明Willmore能量低于6π的球面闭合测地线长度下界，并探讨其对注入半径的影响。
2025-05-22 math.DG
Soliton Spheres
孤子球是浸入共形4-球S^4=HP^1中的2-球，其允许通过扭量投影和对偶化从CP^{2n+1}中的有理曲线获得有理共形参数f：CP ^1->HP^1。孤子球可以被描述为四元数Pluecker估计中相等的情况。由Taimanov引入的一类特殊的孤子球是具有旋转对称Weierstrass势的浸入R^3中的孤子球，它与mKdV方程的孤子通过N-AKNS线性问题联系在一起。我们表明，Willmore球和布莱恩特球光滑的结束是孤子球的进一步的例子。证明了3-球中孤子球的Willmore能量的可能值为W=4pi*d，其中d是正整数，而不是2、3、5或7.对于上面提到的三种特殊类型的孤子球，同样的量子化以前是单独已知的。
2009-05-13 math.DG
