Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions
Yuquan Xie
本文是[TY12]和[QTY13]的继续。我们证明了球面中具有六个不同主曲率的每个等参超曲面的两个焦点子流形都是Willmore的。
This paper is a continuation of [TY12] and [QTY13]. We show that both focal submanifolds of each isoparametric hypersurface in the sphere with six distinct principal curvatures are Willmore.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New examples of Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions
等距浸入$x:M^n\rightarrow S^{n+p}$称为Willmore，如果它是Willmore泛函的极值子流形：$W(x)=\int_{M^n} (S-nH^2)^{\frac{n}{2}}dv$，其中$S$是第第二基本型的范数平方，$H$是中曲率。单位球面中Willmore子流形的例子在文献中很少。本文利用FKM型等参函数给出了单位球面中Willmore子流形的一系列新例子。
New examples of Willmore submanifolds in the unit sphere via isoparametric functions,II
本文是前两位作者同名论文的续篇。本文第一部分给出了球面中具有四个不同主曲率的每个等参超曲面的两个焦点子流形都是Willmore的统一几何证明。在第二部分中，我们完全确定了除了一种情况之外，哪些焦点子流形是爱因斯坦子流形。
Isoparametric submanifolds in two-dimensional complex space forms
本文证明了复双曲平面的等参子流形，根据Heintze，Liu和Olmos的定义，是极作用量的主轨道的开部分.我们还证明了复双曲平面中存在一个非等参子流形，该子流形根据Terng的定义是等参的。最后，我们对二维复空间型的Terng-等参子流形进行了分类。
The mean curvature flow for isoparametric submanifolds
如果法丛是平坦的并且沿着任何平行法域的主曲率都是常数，则空间型中的子流形是等参的。本文研究了欧几里得空间和球面上等参子流形上具有初值的中曲率流.我们证明了中曲率流保持等参条件，在有限时间内发展奇点，并在有限时间内收敛到一个光滑的低维子流形。我们也给出了一个精确的描述崩溃。
The classifications of certain kind of isoparametric submanifolds in non-compact symmetric spaces
本文证明了非紧型对称空间中余维大于1的满不可约曲率适应等参子流形在一定条件下是对称空间上Hermann作用的主轨道.
Homogeneity of infinite dimensional anti-Kaehler isoparametric submanifolds
本文证明了：如果余维大于1的满不可约无穷维反Kaehler等参子流形具有$J$ -可对角化的形状算子，则它是齐次的.
On Cartan's Examples of Isoparametric Hypersurfaces and Their Focal Submanifolds
本文综述了Cartan在1938-1940年间发表的四篇论文中关于等参超曲面及其焦点子流形的例子。
On focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces and Simons formula
球面中等参超曲面的焦点子流形都是极小Willmore子流形，大多数是A.Gray意义下的$\mathcal{A}$ -流形，但很少是Ricci-平行的（\cite{QTY}，\cite{LY}，\cite{TY3}）.本文利用Simons公式研究了焦点子流形的几何性质。通过对正规数量曲率的估计，证明了所有具有$g\geq3$的焦点子流形都不是正规平坦的。此外，我们还给出了焦点子流形中半平行子流形的一个完全分类。
Collapse of the mean curvature flow for isoparametric submanifolds in non-compact symmetric spaces
已知非紧型对称空间上的Hermann作用的主轨道是曲率适应的等参子流形，它在周围对称空间的理想边界上没有非欧几里得型的焦点。本文研究了曲率适应等参子流形及其焦点子流形的中曲率流。具体地说，研究了子流形通过伪黎曼浸没提升到无限维伪希尔伯特空间的中曲率流.
Isoparametric Submanifolds in Products of Space Forms
本文分类了单连通空间形式乘积中任意余维数的等参子流形，但排除了球面与双曲空间乘积中的等参超曲面。
Classification of isoparametric submanifolds admitting a reflective focal submanifold in symmetric spaces of non-compact type
本文假设所有的等参子流形都有平坦截面。本文的主要目的是证明：如果非紧型对称空间中余维数大于大于1的完全不可约完备等参子流形存在一个反射焦点子流形，且它是实解析的，则它是对称空间上Hermann型作用的主轨道.非紧型对称空间上的超极作用存在反射奇异轨道当且仅当它是Hermann型作用。因此，并不额外的假设，等参子流形允许一个反射焦点子流形。证明了非紧型对称空间中余维数大于大于1的完全不可约完备等参子流形若满足某些附加条件，则它是对称空间各向同性作用的主轨道，这里不必强制子流形是实解析子流形.我们在证明中使用了建筑理论。
Mean Curvature Flow for Isoparametric Submanifolds in Hyperbolic Spaces
本文研究双曲空间中等参子流形的均曲率流，证明其总是存在古老解并研究其极限行为。
Classification of conformally flat isoparametric submanifolds of Euclidean space
本文给出了欧几里得空间共形平坦等参子流形完全分类的一个直接证明。
Isoparametric submanifolds and a Chevalley-type restriction theorem
定义并研究了一般环境空间中任意余维的等参子流形。特别是我们研究他们的行为与黎曼淹没和他们的升降机到一个希尔伯特空间。利用这些结果证明了一个Chevalley型限制定理，该定理通过限制将包含具有平坦截面的等参子流形的紧致黎曼流形上的拉普拉斯算子的本征函数与截面上的拉普拉斯算子的本征函数联系起来.一个简单的例子，这样的等参叶理是由共轭类的紧李群，在这种情况下，限制定理是一个（众所周知的）基本结果在表示论。作为限制定理的一个应用，我们证明了紧致对称空间中具有平坦截面的等参子流形是拉普拉斯算子的本征函数的水平集，因此与表示论有关。此外，我们还得到了如下结果.希尔伯特空间中的等参子流形具有整体平坦的法丛，以及一个关于黎曼浸没的一般性结果，即如果基底的子流形被提升到全空间，则焦距不变。
Connectivity and Kirwan surjectivity for isoparametric submanifolds
Atiyah的公式化的凸性定理现在被称为Atiyah-Guillemin-Sternberg的凸性定理有两个部分：（a）由辛流形上环面的哈密顿作用产生的矩映射的像是凸多胞体，（b）矩映射的所有原像都是连通的。部分（a）被Terng推广到欧几里得空间中等参子流形的更广范围。在本文中，我们证明了部分（b）的一个推广的一类等参子流形（更准确地说，所有重数严格大于1）。对于一类重要的等参子流形--广义实旗流形，我们给出了一类Kirwan映射（包含有理系数的等变上同调）的满射性判据，它是在这种情形下自然产生的.文中还讨论了一些实例。
Willmore submanifolds in a sphere
设$x:M\to S^{n+p}$是$(n+p)$维单位球面$S^{n+p}$中的$n$维子流形，$x:M\to S^{n+p}$称为下列Willmore泛函的Willmore子流形：$$ \int_M(S-nH^2)^{\frac{n}{2}}dv, $$其中$S=\sum\limits_{α,i,j}(h^α_{ij})^2$是第二基本形式长度的平方，$H$是$M$的平均曲率.在[13]中，作者证明了$S^{n+1}$中$n$维紧致Willmore超曲面的一个Simon型积分不等式，并给出了{ \it Willmore环面}的一个刻划.本文将这一结果推广到$S^{n+p}$中的$n$维紧Willmore子流形.实际上，我们得到了$S^{n+p}$中紧致Willmore子流形的一个Simon型积分不等式，并利用积分不等式给出了{ \it Willmore环面}和{ \it Veronese曲面}的一个刻划.
Homogeneity of infinite dimensional anti-Kaehler isoparametric submanifolds II
本文证明了：如果一个余维大于1的完全不可约无穷维反Kaehler等参子流形具有$J$ -可对角化的形状算子，则它是由全纯希尔伯特空间向量场诱导的单参数变换群生成的Banach李群的作用轨道.
Ancient solutions to mean curvature flow for isoparametric submanifolds
作者在[LT]中研究了欧几里得空间和球面中等参子流形的中曲率流。在本文中，我们将证明所有这些解决方案是古老的解决方案。我们还讨论了球面超曲面的古代中曲率流的刚性及其与Chern关于球面极小超曲面的第二基本型范数的猜想的关系。
Fenchel-Willmore and Sobolev-type inequalities for submanifolds in non-negatively curved manifolds
本文建立Fenchel-Willmore不等式与对数Sobolev不等式的联系，推广至带边界及完备非紧子流形，并导出尖锐Sobolev型不等式，应用于曲面拓扑。
Normal scalar curvature inequality on the focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces
单位球面中的等参超曲面有两个焦点子流形。条件A在[CCJ 07]、[Chi16]和[Miy13]中的等参超曲面分类理论中起着至关重要的作用。本文确定了焦点子流形中满足条件A的点集$C_A$。结果表明，$C_A$中的点达到法向数量曲率$ρ^{\bot}$的上界（比DDVV不等式[GT 08]，[Lu 11]中的上界更尖锐）。我们还确定了满足$ρ^{\bot}$的两个下界的集合$C_P$（具有平行第二基本型的点）和$C_E$（具有爱因斯坦条件的点）.
Homogeneous structures and rigidity of isoparametric submanifolds in Hilbert space
本文研究了可分希尔伯特空间中秩至少为2的等参子流形，Heintze和Liu的一个结果证明了这类子流形是齐次的，并将这类子流形M和M中的点x与一个标准齐次结构（切空间上的某个双线性映射）联系起来.我们证明了齐次结构与第二基本型一起编码了关于M的所有信息，并由此推出了M完全由第二基本型及其共变导数决定的刚性结果，从而使得这类子流形可分类.作为一个重要的步骤，我们表明，一个参数组的等距构造的Heintze和刘证明其同质性诱导光滑，因此无处不在定义的Killing场，这意味着连续性的均匀结构。这里一个重要的工具是引进仿射根系的等参子流形。
Homogeneity of infinite dimensional isoparametric submanifolds
称黎曼流形N的子集S是超齐次的，如果S是N的等距群的子群的轨道。Thorbergsson证明了一个显著的结果，即每一个完整的，连接的，充分的，不可约等参子流形的有限维欧几里得空间的秩至少为3是额外的齐次。这一结果与Palais-Terng和Dadok的结果相结合，最终分类了秩至少为3的有限维欧几里得空间的不可约等参子流形。虽然Thorbergsson的证明使用山雀建筑物，但Olmos给出了一个不使用山雀建筑物的更简单的证明。本文的主要目的是将Thorbergsson的结果推广到无穷维情形。
The isoparametric functions on a class of Finsler spheres
本文利用导航法给出了Randers球面上测地线和等参函数的整体表达式。利用Cartan-Münzner多项式得到了（S^{n}; F; dμ_{BH}）中的等参子流形和焦点子流形.此外，我们还构造了一些闭测地线和非闭测地线、等参函数、等参族和焦点子流形的例子。
Robust index bounds for minimal hypersurfaces of isoparametric submanifolds and symmetric spaces
我们发现许多例子紧黎曼流形$(M,g)$的封闭极小超曲面满足一个下界的指数是线性的，在他们的第一个贝蒂数。此外，我们表明，这些界限仍然有效时，度量$g$替换为$g'$在附近的$g$。我们的例子$(M,g)$由某些球的极小等参超曲面、它们的焦点流形、$n\leq 17$的李群$SU(n)$和所有$n$的$Sp(n)$以及所有四元数格拉斯曼数组成。
Isoparametric submanifolds in Hilbert spaces and holonomy maps
设$π:P\to B$是紧致黎曼流形$B$上的光滑$G$ -丛，$c$是$B$中具有常数种子$a(>0)$的光滑环，其中$G$是紧致半单李群.本文证明了完整映射${\rm hol}_c:\mathcal A_P^{H^s}\to G$是系数$a$的位似浸入，其中$s$是非负整数，$\mathcal A_P^{H^s}$是丛$P$的所有$H^s$ -联络的Hilbert空间.特别是，我们证明，如果$s=0$，那么${\rm hol}_c$有最小的正则化纤维。由这一事实，我们可以导出$G$中任一等焦子流形的由完整映射${\rm hol}_c:\mathcal A_P^{H^0}\to G$构成的逆象的每一个分量都是$\mathcal A_P^{H^0}$中的等参子流形。结果，我们得到了Hilbert空间中等参子流形的一个新的系统构造。
Fenchel-Willmore inequality for submanifolds in manifolds with non-negative $k$-Ricci curvature
本文在具有非负中间Ricci曲率和欧氏体积增长的完备黎曼流形中，建立了任意维数和余维数闭子流形的尖锐Fenchel-Willmore不等式，并刻画了等号成立情形，推广了近期及经典的相关结果。
Minimizing cones associated with isoparametric foliations
与单位球面的等参叶理相联系，有两类极小曲面$-$极小等参超曲面和焦点子流形。利用它们丰富的结构，我们找到了新的极小锥序列。它们是焦点子流形上的锥和这两类中适当乘积上的锥。除了在低维情况下，所有这些圆锥都显示为最小化。
Isoparametric hypersurfaces in Finsler space forms
本文通过对子流形的焦点、管和平行超曲面的研究，研究了Finsler空间型中的等参超曲面。证明了等参超曲面的焦点子流形是各向异性极小的，得到了可逆挠率为零的Finsler空间型中的Cartan型公式，并由此对不同主曲率的个数或重数进行了分类.
Willmore orbits for isometric Lie actions
本文研究了闭连通黎曼流形中的Willmore子流形，它是紧致连通李群的等距作用的轨道。我们称之为齐次Willmore子流形或Willmore轨道。这类特殊Willmore子流形的判别准则比一般的理论要容易得多，因为一般的理论需要一个复杂的欧拉-拉格朗日方程。我们的主要定理是，当群作用的轨道类型分层满足一定条件时，我们可以在每个分层子集中找到Willmore轨道.一些特别重要的经典例子，如Willmore环面、Veronese曲面等，可以解释为Willmore轨道，并很容易与我们的方法验证。我们的定理提供了大量的Willmore子流形的新例子，以及估计他们的人数在一些经典的情况下是尖锐的。
A Problem of Hsiang-Palais-Terng on isoparametric submanifolds
本文解决了Hsiang，Palais和Terng在[The topology of isoparent submanifold，JDG，27（1988），423-460]中提出的问题：R^{52}上是否可能有一个等参叶理，其标记Dynkin图是D_4型的，且所有重数一致等于4？
A new structural approach to isoparametric hypersurfaces in spheres
球面上具有四个或六个不同主曲率的等参超曲面的分类还不完全。在本文中，我们开发了一种结构化的方法，可能有助于分类。而不是工作的等参超曲面家庭的领域，我们认为相关的拉格朗日子流形的真正格拉斯曼定向$2$ -平面在$\mathbb{R}^{n+2}$。我们获得了新的几何见解经典的不变量和身份的几何拉格朗日子流形。
Isoparametric foliations, a problem of Eells-Lemaire and conjectures of Leung
利用Clifford代数的表示构造了两列极小等参超曲面。在此基础上，给出了单位球面上等参超曲面的焦点子流形的Laplacian的特征值估计。这改善了[TY 13]和[TXY 14]的结果。Eells和Lemaire [EL 83]提出了一个问题来刻画紧致的黎曼流形M，其中存在一个从M到S^n的特征映射。作为我们构造的另一个应用，焦映射给出了从极小等参超曲面到单位球面的特征映射的许多例子。最重要的是，通过研究单位球面上等参超曲面的焦点子流形的第第二基本型，我们给出了Leung [Le 91]（1991年提出）关于单位球面上极小子流形的两个定理的无穷多个反例.请注意，在法向联络是平坦的情况下[HV 01]，已证明了Leung的这些证明。
Canonical extension of submanifolds and foliations in noncompact symmetric spaces
我们提出了一种方法，将子流形、奇异黎曼叶理和等距作用从非紧对称空间的边界分支推广到整个空间。这种扩展方法保留了极小子流形、等参叶理和极作用等性质。几个应用之一产生的第一个例子的非齐次等参超曲面在非紧对称空间的秩至少为2。
Rigidity Result for Four Dimensional Willmore Submanifolds with Boundary
本文研究了带边界的四维Willmore能量临界点的刚性，通过建立曲率估计，证明了满足完全测地边界条件的四维Willmore子流形是脐性的。
On submanifolds whose tubular hypersurfaces have constant mean curvatures
受等参超曲面理论的启发，我们研究了管状超曲面具有常数“高阶中曲率“的子流形。这里，超曲面$M^n$的$k$阶中曲率$Q_k$（$k\geq1$）被定义为形状算子的主曲率的$k$阶幂和，或者等价地。得到了这类子流形上的主曲率、高阶中曲率和Jacobi算子的许多必要限制，推广了E. Cartan，K. Nomizu，H. F. M{ü}nzner，Q. M. Wang，\emph{etc.}。作为应用，我们最终得到了完备黎曼流形上等参函数焦点簇的几何滤子。
Isoparametric submanifolds in a Riemannian Hilbert manifold
本文在黎曼 Hilbert 流形中引入了可正则化子流形、等参子流形和等焦子流形的概念，证明了曲率适应可正则化子流形在特定条件下的等参性，并验证了一类 Hilbert Lie 群作用的主轨道为等焦子流形。
Isoparametric theory and its applications
本文综述了等参理论在几个应用方面的最新进展，包括等参情形下对丘氏关于拉普拉斯算子第一特征值猜想的肯定回答，对丘氏问题部分第76个问题的否定回答，球上Willmore子流形的新例子，Besse关于Einstein条件推广问题的一系列例子，奇异球上的等参函数，反例梁的两个插图，以及手术理论等参数叶理。
Geometry of isoparametric hypersurfaces in Riemannian manifolds
在以前的工作中，我们研究了黎曼流形上，特别是奇异球面上的等参函数。其中的一个结果是：在闭黎曼流形的等参超曲面族中，至少存在一个极小等参超曲面。本文证明了当周围流形具有正的里奇曲率时，这种极小等参超曲面在族中也是唯一的。此外，我们还证明了Q.M.Wang（无证明）的定理D，该定理D断言完备黎曼流形上的等参函数的焦点子流形是极小的.进一步，我们研究了一般黎曼流形中具有常主曲率的等参超曲面。事实证明，在这种情况下，焦点子流形与标准球面中的子流形具有相同的性质，即，关于任何法线方向的形状算子具有公共的恒定主曲率。导出了包含里奇曲率和数量曲率的一些必要条件。
Higher Willmore Energies from tractor coupled GJMS operators
本文利用 tractor 联络与子流形临界 GJMS 算子的耦合，为共形平坦流形中任意余维的偶数维闭浸入子流形构造共形不变的高阶 Willmore 能量，并在四维情形与 $Q$-算子构造等能量比较。
On Lagrangian submanifolds in complex hyperquadrics and isoparametric hypersurfaces in spheres
$n$维复超二次曲面是由$(n+1)$维复射影空间中的二次方程定义的紧致复代数超曲面，它与2-平面的实Grassmann流形等距，是秩为2的紧致Hermitian对称空间.本文从球面上的等参超曲面理论出发，研究复超二次曲面中紧致拉格朗日子流形的几何性质。从这个观点出发，利用矩映射技术，给出了复超二次曲面中紧致齐次拉格朗日子流形的一个分类定理。此外，我们确定了嵌入复超二次曲面的紧致极小拉格朗日子流形的Hamilton稳定性，这些复超二次曲面是球面中具有主曲率的$g(=1,2,3)$的等参超曲面的高斯像。
Curvature-adapted submanifolds of symmetric spaces
研究一般对称空间的曲率适应子流形。将球面上的等参超曲面的Cartan定理和复射影空间中的等参Hopf超曲面的Wang分类推广到任意紧对称空间.我们的第二个目标是在某些特定的对称空间中研究这样的超曲面。在一些附加的假设下，得到了Cayley射影平面、双曲平面和复二平面Grassmannian中的各种分类结果.
Isoparametric foliations and critical sets of eigenfunctions
雅各布森和Nadirashvili \cite{JN}构建了一个序列的本征函数的$T^2$与有界数量的临界点，回答了否定的问题提出的游\cite{Yau1}这问，是否有一些临界点的本征函数的拉普拉斯算子增加相应的本征值。本文在$S^{n+1}(1)$的极小等参超曲面$M^n$上找到了三个有趣的特征函数。相应的特征值是$n$、$2n$和$3n$，而它们的临界集分别由$8$点、子流形（无限多个点）和$8$点组成。在它的一个焦点子流形上，也发生了类似的现象。
Higher-dimensional Willmore energies via minimal submanifold asymptotics
研究了黎曼流形中紧致偶数维浸入子流形的Willmore能量的共形不变推广。能量作为Poincare-Einstein空间中具有无穷远处预定边界的极小子流形的重整化面积展开中的对数项的系数而出现。它的一阶变分被认为是对极小子流形光滑性的阻碍。明确确定的情况下，四维子流形的能量。这个四维能量的变分性质进行了详细的研究时，背景是一个欧几里得空间或一个球，包括识别的关键嵌入，问题的有界性以上和以下的各种拓扑结构，和二阶变分。
Isoparametric hypersurfaces in Randers space forms
本文讨论了Randers空间型（N，F）中以（h，W）为导航基准的各向异性子流形和等参超曲面.我们发现关于BH-体积的（N，F）和（N，h）具有相同的等参超曲面，尽管它们的等参函数一般是不同的.这意味着Randers空间型中的等参超曲面的分类与黎曼情形中的分类是相同的。最后，给出了Randers空间型中等参函数的一些例子。
Isoparametric foliation and a problem of Besse on generalizations of Einstein condition
g = 4的球面上的等参超曲面的焦点集都是Willmore子流形，是极小的但大多数是非Einstein子流形（[TY 1]，[QTY]）.受A.Gray观点的启发，本文证明了这些焦集都是A-流形，但很少是Ricci平行的，除了可能是唯一未分类的情况。作为一个副产品，它给出了无限多个简单连接的例子，以问题16.56（i）的贝塞关于推广的爱因斯坦条件。
Minimal isoparametric submanifolds of $\mathbb{S}^{7}$ and octonionic eigenmaps
我们使用$\mathbb{S}^{7}$的八元数乘法$\cdot$将八元数高斯映射$γ_η:M\rightarrow\mathbb{S}^{6},$ $γ_η(x)=x^{-1}\cdotη(x),$ $x\in M,$与$\mathbb{S}^{7},$的子流形$M$的每个单位法截面$η$相关联其中$\mathbb{S}^{6}$是$T_{1}\mathbb{S}^{7},$的单位球面$1$是$\mathbb{S}^{7}.$中$\cdot$的中性元用$\mathcal{N}(M)$表示我们设置的$M$的法截面的向量丛，考虑向量丛$\mathcal{S}(M)=\left\{S_η, \ \text{}η\in\mathcal{N}(M)\right\} $上的Hilbert-Schmidt内积，并由$\mathcal{B}(η)=S_η,$定义丛映射$\mathcal{B} :\mathcal{N}(M)\rightarrow\mathcal{S}(M)$，证明了：若$M$是$\mathbb{S}^{7}$的极小子流形，且$η\in\mathcal{N}(M)$在法联络上是酉平行的，则$γ_η$是调和的当且仅当$η$是$\mathcal{B}^{\ast}\mathcal{B}:\mathcal{N}(M)\rightarrow\mathcal{N}(M),$的特征向量其中$\…
Gradient map of isoparametric polynomial and its application to Ginzburg-Landau system
本文研究等参多项式梯度映射的性质。对于球面上给定的等参超曲面，我们显式地计算了它的等参多项式的梯度映射，得到了许多有趣的现象和应用。我们发现不仅要将焦点子流形映射到焦点子流形，将等参超曲面映射到等参超曲面，而且要将等参超曲面映射到焦点子流形。特别地，它是某个等参超曲面上的齐次多项式自同构。作为直接结果，我们得到了Peng和Tang首先用活动标架方法得到的梯度映射的Brouwer度。在法里纳的构造之后，另一个直接的结果是关于6维金斯堡-朗道系统对称性的布雷齐斯问题的反例，它给出了法里纳提出的开放问题2的部分答案。
Isoparametric foliation and Yau conjecture on the first eigenvalue
Yau的一个著名猜想是：单位球面$S^{n+1}(1)$中的每个闭极小超曲面$M^n$的第一特征值就是它的维数$n$ .本文证明了Yau猜想对极小等参超曲面成立。此外，本文更有趣的结果是，在非稳定范围内，焦点子流形的第一特征值与它们的维数相等。
Hamiltonian stability of the Gauss images of homogeneous isoparametric hypersurfaces
单位标准球面$S^{n+1}(1)$的任何定向等参超曲面的高斯映射的像是复超二次曲面$Q_n({\mathbf C})$中的极小拉格朗日子流形。本文证明了$S^{n+1}(1)$中具有$g$不同常主曲率的紧致定向等参超曲面的Gauss象是具有最小Maslov数$2n/g$的紧致单调循环嵌入拉格朗日子流形.本文的主要结果是利用齐次空间上的调和分析和齐次等参超曲面上的纤维化，完全确定了单位球面上的齐次等参超曲面的高斯映射的象所构成的复超二次曲面中所有紧致极小拉格朗日子流形的Hamilton稳定性.另外，对例外黎曼对称空间$(E_6, U(1)\cdot Spin(10))$和相应的高斯象的讨论也有自己的兴趣。
Isoparametric foliation and Yau conjecture on the first eigenvalue, II
这是Tang和Yan研究单位球面中具有$g=4$不同主曲率的极小等参超曲面和焦点子流形的第一特征值的继续。对于具有$g=6$的焦点子流形，本文得到了所有特征值的估计，其中对Tang和Yan提出的问题在一种情况下给出了肯定的回答，这可以看作是Yau猜想的推广.对于OT-FKM型的焦点子流形$M_1$，在Tang和Yan的四种未解决的情形中的两种情形中，我们分别证明了第一特征值是它们的维数。
Harmonic Gauss maps of submanifolds of arbitrary codimension of the Euclidean space and sphere and some applications
证明了欧几里得空间和球面中与调和高斯映射相关联的子流形的单位法截面的存在性和不存在性。同时也得到了它在球的CMC超曲面和等参子流形上的一些应用。
Generalising the Willmore equation: submanifold conformal invariants from a boundary Yamabe problem
Willmore能量，别名弯曲能量或刚性弦作用，及其变化-Willmore不变量-是重要的表面共形不变量，其应用范围从细胞膜到量子引力中的纠缠熵。在工作的安德森，Chrusciel，和弗里德里希，同样的不变量产生的障碍，以顺利边界渐近的山边问题，找到一个度量的共形类常数标量曲率。我们使用共形几何工具来描述和计算渐近的Yamabe问题上的共形紧流形，从而产生高阶超曲面共形不变量，概括Willmore不变量。我们给出一个全息公式以及最低层例子的变分原理。
Isoparametric hypersurfaces in symmetric spaces of non-compact type and higher rank
本文提出一种将子流形从欧几里得空间扩展到非紧型对称空间的新方法，构造出高秩对称空间中具有非严峻焦集的首批非齐次等参超曲面族。
Hamiltonian non-displaceability of Gauss images of isoparametric hypersurfaces
本文研究了球面上等参超曲面的高斯象作为复超二次曲面中的拉格朗日子流形的Hamilton不可约性。
Generalizations of isoparametric foliations
空间型中的等参子流形和超曲面是自E.嘉当另一类重要的几何对象是黎曼流形上极作用的轨道，例如，李群对自身的伴随作用的轨道。这两类子流形具有共同的性质。例如，它们是具有截面的奇异黎曼叶理的叶（s.r.f.s.简称）。本文的目的是回顾s.r.f.s.理论的一些结果，这是作者开发的。另外，我们给出了Toeben定理的另一种证明，Toeben定理给出了等焦子流形诱导s.r.f.s.的一个充要条件。
Global Conformal Invariants of Submanifolds
研究子流形整体共形不变量的代数结构。这些被定义为共形不变积分的几何标量的切线和正常的丛。曲面的Willmore能量是全局共形不变量的一个著名例子。在余维一，我们这样的不变量进行分类，表明在一个结构假设下（更确切地说，我们假设的被积函数分别取决于内在和外在曲率，而不是他们的衍生物）的被积函数只能由一个内在的标量共形不变量，一个外在的标量共形不变量和陈-高斯-博内被积函数。特别是，余维一个表面，我们表明，Willmore能源是唯一的全球共形不变量，增加了一个拓扑项（高斯曲率，给出欧拉示性数的高斯Bonnet定理）。一个类似的陈述也适用于余维两个表面，一旦考虑到一个额外的拓扑项由Chern-Gauss-Bonnet被积函数的法丛。我们还讨论了自然高维（和余维）的Willmore能量的推广的存在性和性质。
Parallel Focal Structure and Singular Riemannian Foliations
证明了具有平行焦点结构的子流形是等参等焦子流形的推广，它通过其平行焦点流形诱导出周围空间的奇异黎曼叶状结构.
Isoparametric hypersurfaces with four principal curvatures revisited
文献[2]中球面上具有四个主曲率的等参超曲面的分类依赖于Ferus，Karcher和Münzner构造的一类等参超曲面的一个重要特征，即焦点子流形的第二基本形式张量的四组方程.文献[2]中的特征证明是一个非常长的外导数的计算，具有显着的取消，这是由等参超曲面是由超定的偏微分方程组偏微分方程组定义的思想所激发的。因此，足够多次的外辨应该为我们的结论收集足够的信息。尽管它的基本性质，计算的规模和令人惊讶的愉快的取消，使它有必要了解潜在的几何原理。在本文中，我们给出了一个概念性的，相当短的，证明的基础上Ozeki和竹内的Cartan-Münzner多项式的展开公式的特征。这四组方程的几何意义也变得清晰起来。
Topology and curvature of isoparametric families in spheres
单位球面上的等参曲面族由平行的等参超曲面和它们的两个焦点子流形组成。本文分为两部分。第一部分研究等参族的拓扑，即同伦，同胚，或同胚类型，可平行性，以及Lusternik-Schnirelmann范畴。这部分基本上推广了Q. M. Wang在\cite{Wa88}中的结果。第二部分是关于它们的曲率，更准确地说，我们确定当它们具有非负的截面曲率或正的里奇曲率与诱导度量。
On FKM isoparametric hypersurfaces in $\mathbb{S}^n \times \mathbb{S}^n$ and new area-minimizing cones
本文通过扩展FKM等参超曲面和面积最小化锥的研究，揭示了$\mathbb{S}^n \times \mathbb{S}^n$中等参叶的构造及面积最小化子锥的无限族。
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