An elementary proof of a tight $Δ+1$ bound for the additive chromatic number
本文针对图论中的加性色数问题，通过初等定向论证证明有限简单图的加性色数满足紧界Δ+1，且可在多项式时间内构造对应着色，改进了现有最优界。
2026-10-23 math.CO
DP-Coloring Cartesian Products of Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是Dvoprák和Postle在2015年引入的列表着色的推广。受列表染色笛卡儿积的相关结果的启发，我们开始了对图的DP-色数$χ_{DP}$的研究。我们证明了$χ_{DP}(G \square H) \leq \text{min}\{χ_{DP}(G) + \text{col}(H), χ_{DP}(H) + \text{col}(G) \} - 1$，其中$\text{col}(H)$是图$H$的色数。我们专注于构建$χ_{DP}(G \square H)$的下界参数的工具，并使用它们来显示上界的清晰度及其各种形式。我们的结果表明，色多项式的DP模拟--$G$的DP色函数在研究笛卡尔积图的DP-色数中是必不可少的，包括以下问题，它扩展了上述的锐度问题和关于列表色数与色数之间的间隙的经典结果：给定任何图$G$和$k \in \mathbb{N}$，对于哪个$χ_{DP}(G \square K_{k,t})= χ_{DP}(G) + k$，最小的$t$是多少？
2022-09-13 math.CO
New Upper Bounds for the Erdős-Gyárfás Problem on Generalized Ramsey Numbers
图$G$的$(p,q)$ -染色是$G$的边染色，它至少为每个$p$ -团分配$q$颜色。确定完全图$K_n$的$(p,q)$ -着色所需的最小颜色数$f(n,p,q)$的问题是确定对角Ramsey数$r_k(p)$的著名问题的自然推广。$f(n,p,q)$最著名的一般上界是由Erdens和Gyárfás在1997年使用概率论证给出的。从那时起，在$p=q$的情况下，已得到改进的界限仅为$p\in\{4,5\}$，其中每一个证明了给出一个确定性的结构相结合的$(p,p-1)$ -着色使用几种颜色与代数着色。在本文中，我们提供了一个框架，证明新的上界$f(n,p,p)$的风格，这些早期的建设。我们用$p-1$颜色描述了$p$ -团的所有着色，这些颜色可以出现在我们修改后的$(p,p-1)$ -Conlon、Fox、Lee和Sudakov着色中。这使我们能够大大减少识别$(p,p)$ -着色所需的案例检查量，否则这将使这个问题对于大的$p$值变得棘手。此外，我们推广了我们的代数着色从$p=5$设置，并使用这给改进的上界$f(n,6,6)$和$f(n,8,8)$。
2020-06-19 math.CO
Proper Conflict-free Coloring of Graphs with Large Maximum Degree
本研究针对图的正常无冲突着色问题，基于通用框架结合Rosenfeld计数方法，给出大最大度下图的列表着色上界及渐近最优的分数着色结果，推进了相关猜想的研究。
2024-03-07 math.CO
Semi-Strong Coloring of Intersecting Hypergraphs
对于任意c >= 2，超图G的c-强染色是指对G的顶点的颜色分配使得对G的每条边e，e的顶点至少被min{c，|e| }种不同的颜色着色.称超图G是t-相交的，如果G的每两条边至少有t个公共顶点。我们问：对于固定的c >= 2和t >= 1，什么是最小的颜色数是足够的c-强颜色的任何t-相交超图？本说明的目的是回答关于t和c的某些值的问题，更重要的是，描述问题仍然开放的设置。证明了当t <= c-2时，没有有限个颜色足以使所有的t-交超图都是c-强着色的.当t = c-1和c > 2时，有限数量的颜色是否足以完成相同的任务仍然是未知的。在最后一种情况下，当t >= c，我们证明了一个概率的参数，有限数量的颜色是足够的c-强颜色所有的t-相交超图，但一个很大的差距仍然是最好的上限和下界之间的这个数字。
2012-03-13 math.CO
On the densities of cliques and independent sets in graphs
令r，s >= 2为整数。设完全图K_n的边的红/蓝染色中蓝r-团的个数已知且固定.在这个假设下，红色s-集团的最大可能数量是多少？著名的Kruskal-Katona定理回答了r=2或s=2的问题。利用极值集合论中的移位技术和一些分析论证，我们在一般情况下解决了这个问题，并证明了在极值着色中，蓝边或红边形成一个团.
2013-12-08 math.CO
Strong coloring numbers of grids
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
该研究确定了 $d$ 维网格 $G(n,d)$ 的第 $r$ 个强色数的渐近增长，证明其下界与体积填充上界匹配，且构造由 GPT-5.6 Sol 完成。
2026-10-16 math.CO
Sub-quorum colorings of graphs
The Omega Institute（欧米伽研究所）；ChronoAI Pte Ltd（ChronoAI私人有限公司）；Department of Fundamental Science and Technology National Higher School of Advanced Technologies（国家高等先进技术学院基础科学与技术系）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文研究图的子拟群染色数，建立结构界、关联2-独立数、分析计算复杂性，并确定网格图与超立方体的精确值，提出一般等式猜想。
2026-10-14 math.CO
Multipass greedy coloring of simple uniform hypergraphs
设$m^*(n)$是$n$ -一致简单超图中不可二着色的最小边数.我们证明了$m^*(n)=Ω(4^n/\ln^2(n))$ .我们的结果推广到了$b$ -简单一致超图的$r$ -染色.对于固定的$r$和$b$，我们证明了$b$ -简单$n$ -一致超图中的一个最大顶点度一定是$Ω(r^n /\ln(n))$ .通过修剪参数，它意味着每个这样的图都有$Ω((r^n /\ln(n))^{b+1/b})$边。对于任何固定的$r \geq 2$，我们的技术也产生范德瓦尔登数$W(n,r)$的下界$Ω(r^n/\ln(n))$。
2014-10-22 cs.DM math.CO
Uniform Orderings for Generalized Coloring Numbers
图G的广义色数col_r（G）（也记为scol_r（G））和wcol_r（G）是由Kierstead和Yang引入的，作为一般色数的推广，并在理论和算法上有重要的应用。对于每个距离r，这些数由G的顶点的“最优”排序确定。我们研究的问题是，是否有可能找到一个单一的“统一”的顺序，是“好”的所有距离r。我们表明，这个问题的答案基本上是“是”。我们的结果给出了有界扩张图类和无处稠密图类的新刻画。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Strong chromatic index of graphs with maximum degree four
图$G$的强边染色是指图的边的染色使得每一个颜色类在$G$中诱导一个匹配。图的强色指数是指图的强边染色所需的最少颜色数。1985年，Erdens和Nešethabil证明了具有最大度$Δ$的图的强边染色，当$Δ$是偶数时，最多使用$\frac{5}{4}Δ^2$颜色;当$Δ$是奇数时，最多使用$\frac{5}{4}Δ^2 - \frac{1}{2}Δ+ \frac{1}{4}$颜色。尽管最近的进展，大$Δ$通过使用迭代概率参数，唯一的非平凡的情况下，已被验证的猜想是当$Δ= 3$，离开需要新的方法来验证任何$Δ\ge 4$的猜想。在本文中，我们应用以前的结果中使用的一些想法，最大度为4的图的上界为21，这改进了Cranston在2006年提出的上界，并更接近于20的固定上界。
2018-06-19 math.CO
Fractional coloring via entropy
University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文通过熵分析方法，扩展了Martinsson和Steiner关于无K_3图分数着色数的研究，提出了局部r可着色图和r-均匀d-退化超图的分数着色数上界。
2026-09-28 cs.DM math.CO
Convergence of graphs with intermediate density
我们提出了一个图收敛的概念，它介于有界度图的Benjamini-Schramm收敛和László Lovász及其合著者提出的稠密图收敛之间。我们证明了图的谱，以及一些重要的图参数，如着色数或匹配数，在收敛图序列中表现良好。特别注意的是大的本质围长的图序列，显式计算的着色数的渐近。我们还讨论了近似正则图中匹配的个数。我们引入试探性的极限对象，我们称之为graphonings，因为它们是graphons和graphings的共同推广。它们的特殊形式，称为豪斯多夫和欧几里德图符，涉及几何测度论。我们构建欧氏图，提供超立方体和有限的射影平面的限制，更一般地说，一类广泛的正则序列的大本质围长。对于任何大本质围长的收敛序列，我们构造较弱的极限对象：一致测度序列的次马尔可夫空间上的对合不变概率测度（这是唯一的），或者概率空间上的非循环可逆次马尔可夫核（非唯一的）。我们也提出了一些开放的问题。
2017-12-26 math.CO
Claw-free perfect graphs are chromatic-choosable
National Institute of Informatics（信息理工学院）；Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）
该研究证明无爪完美图满足色可选性，通过三个着色步骤结合相关结构定理，还恢复了完美线图的色可选性定理并解决了Chudnovsky等人的猜想。
2026-11-03 cs.DM math.CO
On the rainbow Cameron-Erdős problem with respect to generalized Sidon sets of multidimensional grids
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）
本文研究了广义B_{k,h}方程下的彩虹Cameron-Erdős问题，确定了无彩虹解的r-着色数量，并证明了[n]^d是唯一具有最大无彩虹解r-着色数的子集。
2026-04-20 math.CO
Stationary list colorings
Graduate School of System Informatics, Kobe University（神户大学系统信息研究科）
本文研究了静止列表着色性，探讨其与受限列表着色性及其他着色性质的区别，并证明了其在某些情况下不一致。
2025-12-16 math.CO math.LO
Complexity of Grundy coloring and its variants
图的Grundy数是在所有顶点排序上贪婪着色算法所使用的最大颜色数。本文研究了Grundy着色的计算复杂性，即判定给定图是否具有至少$k$的Grundy数的问题。我们还研究了变体弱粗染色（着色不一定是正确的）和连通粗染色（在贪婪着色算法的每一步，着色顶点诱导的子图必须是连通的）。我们证明了在$n$阶图上，格染色可以在时间上求解$O^*(2.443^n)$，弱格染色可以在时间上求解$O^*(2.716^n)$.虽然GRUNDY着色和弱GRUNDY着色是已知的可解决的时间$O^*(2^{O(wk)})$的树宽$w$（其中$k$是颜色的数量）的图，我们证明了，在指数时间假设（ETH），他们不能解决的时间$O^*(2^{o(w\log w)})$。我们还描述了一种用于弱灰度着色的$O^*(2^{2^{O(k)}})$算法，因此对于参数$k$，该算法是$\fpt$。此外，在ETH下，我们证明了这样的运行时间本质上是最优的（这个下限也适用于GRUNDY COLORING）。虽然我们不知道是否GRUNDY着色是在$\fpt$，我们表明，这是属于一些标准的图形类，包括弦图，无爪图，图不包括一个固定的未成年人的情况。我们还描述了顶点-子图的粗染色和弱粗染色的一个拟多项式时间算法。与其他两个问题形成鲜明对比的是，我们证明了连通粗着色对于$k=7$颜色是$\np$-完全的。
2015-10-30 cs.DM cs.DS math.CO
Two questions on Kneser colorings
本文研究 Kneser 图的两个染色问题：证明相交族并集大小的上界并在颜色数接近色数时说明其紧性，同时改进选择色数的下界至 $\frac{1}{25}n\log n$。
2025-06-04 cs.DM math.CO
Measurable Chromatic Number of Spheres
我们研究了可测的色数的距离着色的表面上的2维领域的不同半径，特别显示，类似的参数，用于提高下界在平面上的工作，但一个可数集的半径。此外，我们表明，可测的色数作为半径的函数，或更一般的曲率，是不是单调的。
2014-12-05 math.CO math.MG
A proof of the Total Coloring Conjecture
图的\textit{Total Coloring}是组合数学中的一个主要着色问题，在早期的$1960$中引入.图$G$的\textit{total coloring}是映射$f:V(G) \cup E(G) \rightarrow \mathcal{K}$，其中$\mathcal{K}$是一组颜色，满足以下三个条件：1.对于任意两个相邻顶点$u, v \in V(G)$的$f(u) \neq f(v)$; 2.对于任意两个相邻边$e, e' \in E(G)$的$f(e) \neq f(e')$;以及3. $f(v) \neq f(e)$，用于任何顶点$v \in V(G)$和与同一顶点$v$关联的任何边$e \in E(G)$。\textit{total chromatic number}、$χ''(G)$是$G$的\textit{total coloring}所需的最小颜色数。Behzad（1965）和Vizing（1968）证明了对任何图$G$ $χ''(G)\leq Δ+ 2$。这个猜想是一个经典的未解决的数学问题。本文通过证明图的\textit{total chromatic number} $χ''(G)$确实由$Δ+2$上有界来解决这个经典猜想。我们的新方法涉及代数设置在一个有限域$\mathbb{Z}_p$和Vizing定理是一个重要的组成部分的代数设置。
2021-06-17 cs.DM math.CO
Local chromatic number, Ky Fan's theorem, and circular colorings
图的局部色数是由Erdos等人在1986年提出的。它介于色数和分数色数之间。这激发了对这些量相距甚远的图的局部色数的研究。这些图包括Kneser图，它们的顶点色临界子图，Schrijver（或稳定Kneser）图; Mycielski图及其推广;和Borsuk图。我们给出了这些图的局部色数或多或少的紧界。我们使用一个旧的拓扑结果的Ky范推广Borsuk-Ulam定理。它暗示了在许多图的每一个真染色中，存在t点上的平衡完全二部图的多色副本，这些图的色数t由拓扑变元确定。(This特别是Ky Fan的Kneser图。这就得到了这些图的局部色数的一个下界t/2+1。我们证明了在许多情况下这必然是紧的或几乎紧的。作为上面的另一个结果，我们证明了这里考虑的图有相等的循环和普通的色数，如果后者是偶数。这部分地证明了Johnson，Holroyd和Stahl的一个猜想，并且F. Meunier.我们还证明了奇色Schrijver图的行为是不同的，它们的圆色数可以任意接近另一个极端。
2004-11-26 math.AT math.CO
Shotgun Assembly of the Non-Uniform Labeled Lattice Model
本文针对标记格点模型的图霰弹枪组装问题，在非均匀分布情形下，利用信息论论证建立了d≥2时重构不可能的充分条件，其结果与均匀情形的已知阈值匹配。
2026-11-05 math.CO math.PR
Multiset Colorings of Random Graphs Across Density Regimes
Tehran Institute for Advanced Studies (TeIAS), Khatam University（德黑兰高等研究院，哈塔姆大学）
本文研究随机图的多重集色数，证明在广泛密度区间内几乎处处有界，并给出接近完全图时的精确增长阶。
2026-09-22 math.CO
Albertson's Conjecture for Chromatic Numbers at Most 29
Wuchang Shouyi College（武昌首义学院）
本文在Cranston研究基础上，通过Kempe链构造等方法，证明了Albertson猜想在r=27、28、29时成立，填补了相关剩余情况的研究空白。
2026-09-07 math.CO
The Chromatic Number of Dense Random Block Graphs
图$G$的色数$χ(G)$是一个经典的且被广泛研究的参数，它是指对图$G$的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得相邻的顶点不被赋予相同的颜色。在这里，我们考虑$G$是随机块图的情况，也称为随机块模型。将顶点集划分为$k\in\mathbb{N}$部分$V_1, \dotsc, V_k$，对于每个$1 \le i\le j\le k$，两个顶点$u \in V_i, v\in V_j$以一定概率$p_{ij} \in (0,1)$独立地通过一条边连接.我们的主要结果确定了$χ(G)$的典型渐近值，并建立了最优着色中色类大小的分布。我们发现，与二项式随机图$G(n,p)$的情况相比，它对应于我们模型中的$k=1$，其中（几乎）最佳着色中颜色类的平均大小基本上与独立数一致，块模型揭示了一个更多样化的画面：“平均”最优着色中的类是几种类型的独立集的凸组合，这些独立集的总大小以及它们与每个$V_i$、$1\le i \le k$。
2021-04-22 math.CO
Prime Certificates for Exact Vertex-Coprime Ramsey Numbers
Tsinghua Shenzhen International Graduate School, Tsinghua University（清华大学深圳国际研究生院）；School of Electrical and Electronic Engineering, The University of Sheffield（谢菲尔德大学电气与电子工程学院）
通过素数团和素数箱划分，给出了顶点着色互质拉姆齐数的精确公式，并推广到边着色情形。
2026-05-27 cs.DM math.CO math.NT
On Ramsey degrees, compactness and approximability
本文提出了一个统一框架以推理“直接”与对偶 Ramsey 命题，引入可逼近性概念构建通用紧致性论证，并将无限 Ramsey 定理的 $\star$-版本推广至大类关系结构。
2024-07-29 math.CO math.LO
Monochromatic Sums and Products with Additive or Multiplicative Shifts in Natural Numbers
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Fudan University（复旦大学）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）
该研究证明自然数集有限着色下存在带乘性、加性平移的无穷多单色和积结构对，并给出Milliken–Taylor定理特例的两种新证法。
2025-08-14 math.CO math.DS math.NT
Generating Functions For Kernels of Digraphs (Enumeration & Asymptotics for Nim Games)
在这篇文章中，我们研究了有向图（有向图）的着色约束，由于冯诺依曼和有关的尼姆型游戏。这相当于有向图核的概念，它出现在许多研究领域，如对策论，复杂性理论，人工智能（默认逻辑，多智能体系统中的论证），一元二阶逻辑中的0-1定律，组合学（完美图）.有向图的核导致了许多困难的问题（在NP-完全性，#P-完全性的意义上）。然而，我们在这里表明，它是可能的，使用生成函数的方法来获得新的信息：我们使用的符号和分析组合学（生成函数及其奇异性）的技术，以获得准确和渐近的结果，例如，在电路或在一个单圈有向图的核的存在。这是对核的生成函数学处理的第一步，同时使用，例如，一种“赖特式”的方法。我们的方法可以应用到更一般的“局部着色约束”在可分解的组合结构。
2004-11-06 cs.DM cs.DS cs.GT
