Faster Biclique Mining in Near-Bipartite Graphs
识别稠密二部子图是一个常见的图数据采掘任务。许多应用集中在所有极大双李格（MB）的枚举上，尽管有时最大诱导双李格（MIB）的更严格的变体也很有趣。Kloster等人最近的工作介绍了一种为“近二分”图设计的MIB枚举方法，其中运行时间由奇循环断面（OCT）的大小k参数化，OCT是一个顶点集，其删除会导致二分图。即使在|V|中k为对数时，他们的算法也优于以前最知名的算法。本文介绍了两种新的算法，一种是在时间O（M_I |V| |E| k）内枚举MIB，另一种是基于Alexe等人的方法在时间O（M_B |V| |E| k）内枚举MB，其中M_I和M_B分别表示图中MIB和MB的个数.我们实现了我们所有的算法在开源C++代码和实验验证，OCT为基础的方法是更快的，在实践中比以前现有的算法的各种各样的大小，密度和OCT分解图。
2019-03-04 cs.DS
Vertex Cover Gets Faster and Harder on Low Degree Graphs
图的最优顶点覆盖问题是一个经典的NP完全问题，也是碰集问题的一个特例。另一方面，当在诱导几何对象的上下文中被问及击中集问题时，往往恰好是限制类图上的顶点覆盖问题。在这项工作中，我们探讨了这种现象的一个特殊实例。研究了点集P诱导的所有平行于轴的板的碰撞问题，证明了它等价于求边集为两条Hamilton路之并的图的顶点覆盖问题.我们证明了后一个问题是NP-完全的，并且给出了一个在最大度为4的图上找到最大为k的顶点覆盖的算法，其运行时间为1.2637^kn ^O（1）。
2014-04-23 cs.DS
Random Walks and Evolving Sets: Faster Convergences and Limitations
分析随机游动的混合时间是一个研究得很好的问题，在随机抽样和最近的图划分中有应用。在这项工作中，我们提出了新的分析随机游动和进化集使用更多的组合图结构，并显示了一些影响，在近似小集扩展。另一方面，我们提供的例子显示使用随机游走和不断变化的集在反驳小集扩张假设的局限性。- 我们定义了一个组合模拟的谱间隙，并用它来证明非懒惰随机游动的收敛性。一个推论是任何图的图幂的小集扩张的一个紧下界。- 我们证明了当图的鲁棒顶点扩张较大时，随机游动收敛得更快。这提供了一个改进的分析的局部图分区算法使用的演变集的过程。- 我们给出了一个例子表明，不断发展的集合过程未能反驳小集扩张假设。这反驳了Oveis Gharan的一个猜想，并表明了局部图划分算法在近似小集合扩展方面的局限性。
2015-07-08 cs.DS
Faster Exponential-time Algorithms for Approximately Counting Independent Sets
计算图的独立集是一个经典的P-完全问题，即使在二分图的情况下也是如此。我们给出了一个指数时间近似计划，这是比最好的已知算法的确切问题。我们的算法在具有容错$\varepsilon$的一般图上的运行时间至多是$O(2^{0.2680n})$乘以$1/\varepsilon$中的多项式。在二部图上，运行时间中的指数项被改进为$O(2^{0.2372n})$。我们的方法结合了精确指数算法的技术与近似计数的技术。一路上，我们概括（多变量的情况下）的FPTAS辛克莱，Srivastava，Štefankovi和尹近似的硬核配分函数与有界连接常数的图形。此外，我们得到了一个FPTAS计数独立集的图没有顶点的度至少为6，其邻居的度总和为27或更多。根据Sly的结果，不存在适用于最大度为6的所有图的FPTAS，除非$\mbox{P}=\mbox{NP}$。
2021-09-09 cs.DS
Faster Walks in Graphs: A $\tilde O(n^2)$ Time-Space Trade-off for Undirected s-t Connectivity
在本文中，我们利用Nonaka et al.（2010）的Metropolis型行走，为无向图中的$S$ - $T$ -连通性问题（USTCON）提供了一个更快的解决方案。作为我们的主要结果，我们提出了一个家庭的随机算法USTCON实现了时空积的$S\cdot T = \tilde O(n^2)$在图中的$n$节点和$m$的边缘（其中的$\tilde O$ -符号忽略多对数项）。这改进了Feige（1995）提出的$\tilde O(n m)$的最佳折衷。我们的算法包括部署几个短的大都市型步行，从地标节点分布使用Broder等人的计划。（1994）在修改后的输入图。特别是，我们得到了一个算法运行的时间$\tilde O(n+m)$，在一般情况下，比BFS和DFS的空间效率。我们通过展示如何微调Metropolis类型的步行以匹配性能参数（例如，平均命中时间）的无偏随机游动的任何图，同时保持最坏情况下的界$\tilde O(n^2)$的覆盖时间。
2012-07-10 cs.DS
Faster Fundamental Graph Algorithms via Learned Predictions
我们考虑用机器学习预测加速经典图算法的问题。在这个模型中，算法配备了从过去或类似实例中学习的额外建议。鉴于额外的信息，我们的目标是改善传统的最坏情况下的运行时保证。我们的贡献如下：（i）我们给出了一个快速的最小权值二部匹配算法，改进了Dinitz，Im，Lavastida，Moseley和Vassilvitskii最近的结果（NeurIPS，2021）;（ii）将学习对偶方法推广到单源最短路径问题（具有负边缘长度），在给出足够精确的预测的情况下实现几乎线性的运行时间，这改进了由于Goldberg（SIAM J. Comput.，（1995年）;（iii）我们为基于学习的图算法提供了一个通用的基于约简的框架，基于对二分匹配和最短路径问题的约简，得到了度约束子图和最小代价$0$ - $1$流的新算法。最后，我们给出了一组一般的可学习性定理，表明我们的算法所需的预测可以有效地学习PAC的方式。
2022-04-26 cs.DS
Faster Minimum k-cut of a Simple Graph
我们考虑（精确的，最小的）$k$ -割问题：给定一个图和一个整数$k$，删除一个最小权的边集，使得剩下的图至少有$k$连通分支.这个问题是全局最小割问题的自然推广，其目标是将图分解为$k=2$部分。我们的主要结果是一个简单图上的（组合）$k$ -割算法，对于任何常数$k$，该算法都在$n^{(1+o(1))k}$时间内运行，改进了Gupta等人以前的最佳$n^{(2ω/3+o(1))k}$时间算法。[FOCS'18]和Gupta等人的以前最好的$n^{(1.981+o(1))k}$时间组合算法~ [STOC'19]。对于组合算法，该算法是最佳的$o(1)$因素，假设最近的硬度atturtures：我们表明，一个简单的减少，$k$ -即使是一个简单的图上切割是硬$(k-1)$ -集团，建立一个下界的$n^{(1-o(1))k}$为$k$ -切割。这解决了，低阶的因素，复杂的$k$ -削减一个简单的图形组合算法。
2019-10-07 cs.DS
O'Reach: Even Faster Reachability in Large Graphs
可达性问题是计算机科学中最基本的问题之一：给定一个有向图和两个顶点s和t，s能通过一条路径到达t吗？我们重新审视现有的技术，并将它们与新的方法相结合，以支持在恒定的时间使用线性大小的可达性索引的可达性查询的很大一部分。我们的新算法O'Reach可以很容易地与以前开发的解决方案相结合，或独立运行。在一个详细的实验研究中，我们比较了各种算法的索引建设和查询时间，以及他们的内存足迹上的一组不同的实例。我们的实验表明，查询性能往往不仅强烈依赖于图的类型，而且还依赖于结果，即，可达或不可达。此外，我们表明，以前的算法显着加快时，结合我们的新方法在几乎所有的情况下。令人惊讶的是，由于缓存效应，在空间上的更高投资不一定会得到回报：在预先计算的完整可达性矩阵中，可达性查询通常可以比单次内存访问更快地得到回答。
2021-02-01 cs.DS
A faster fixed parameter algorithm for two-layer crossing minimization
给出了判定给定图的二部交叉数至多为$k$的算法。该算法的运行时间上限为$2^{O(k)} + n^{O(1)}$，其中$n$是输入图的顶点数，这改进了Kobayashi等人（TCS 2014）在$2^{O(k \log k)} + n^{O(1)}$时间内运行的先前已知算法。这个结果是基于一个组合上界的数目的两层图的连通二部图有界交叉数。
2015-12-18 cs.DS
A Faster Algorithm to Recognize Even-Hole-Free Graphs
我们研究了确定$n$ -节点图$G$是否有偶洞的问题，即，由偶数个节点组成的诱导简单循环。Conforti、Cornuéjols、Kapoor和Vušković给出了这个问题的第一个多项式时间算法，它在$O(n^{40})$时间内运行。后来，Chudnovsky、Kawarabayashi和Seymour将运行时间减少到$O(n^{31})$。由于da Silva和Vušković的研究，该问题的最佳已知算法在$O(n^{19})$时间内运行。本文在$O(n^{11})$时间内解决了这一问题。此外，如果$G$有偶数洞，我们的算法也输出一个偶数洞的$G$在$O(n^{11})$时间。
2015-02-05 cs.DS
Faster parameterized algorithm for Cluster Vertex Deletion
在簇顶点删除问题中，输入是一个图$G$和一个整数$k$。我们的目标是决定是否有一组顶点$S$的大小最多$k$，使得删除$S$的顶点从$G$的结果是一个图，其中每个连接组件是一个团。给出了一个簇顶点删除算法，其运行时间为$O^*(1.811^k)$ .
2019-01-22 cs.DS
Faster Algorithm for Maximum Flow in Directed Planar Graphs with Vertex Capacities
本文给出了一个计算平面图中最大整数流的$O(k^3 n \log n \min(k,\log^2 n) \log^2(nC))$ -时间算法，该平面图的整弧{ \em和顶点}容量由$C$和$k$源和汇限定.这比之前已知的用于该问题的最快算法提高了$\max(k^2,k\log^2 n)$倍[Wang，SODA 2019]。加速比是由两个独立的想法。首先，我们用$k$顶点替换Wang的迭代过程，该迭代过程使用用于平面图中的最大流算法的$O(k^3 n \log^3 n)$ -时间算法的$O(k)$调用[Borradaile等人，FOCS 2012，SICOMP 2017]，通过仅调用Borradaile等人的算法的替代过程。其次，我们展示了两种用于计算$k$ -顶点图中的流的替代方案，这些图在我们对Wang的过程的修改中出现，比Borradaile等人的算法更快。本文介绍并分析了Goldberg和Tarjan [JACM 1988]的并行最大距离推重标记算法的一种顺序实现。
2021-08-12 cs.DS
Faster Cut-Equivalent Trees in Simple Graphs
设$G = (V, E)$是$n$上的无向连通简单图. $G$的割等价树是同一顶点集$V$上的边加权树，使得对于任何一对顶点$s, t\in V$，树中的最小$(s, t)$ -割也是$G$中的最小$(s, t)$ -割，并且这两个割具有相同的割值。在最近的一篇论文[Abboud，Krauthgamer和Trabelsi，2021]中，作者提出了第一个用于构建割等价树的次立方时间算法。更具体地说，他们的算法具有$\widetilde{O}(n^{2.5})$运行时间。在本文中，我们改进的运行时间$\hat{O}(n^2)$，如果几乎线性时间最大流算法存在。此外，使用[van den Brand et al，2021]目前最快的最大流算法，我们的算法在时间上运行$\widetilde{O}(n^{17/8})$。
2022-07-02 cs.DS
Detecting 2-joins faster
2-连接是边割集，其自然地出现在几类图的分解中，所述几类图在取导出子图的情况下闭合，例如平衡二部图、偶无洞图、完美图和无爪图。它们的检测需要在几个算法中进行，并且对于其中一些算法来说是最慢的步骤。检测2-连接的经典方法需要花费$O(n^3m)$时间，其中$n$是输入图的顶点数，$m$是其边数。为了检测\emph{non-path} 2-join（在使用2-join的所有已知算法中需要的特殊类型的2-join），已知最快的方法需要时间$O(n^4m)$。在这里，我们给出了这两个问题的$O(n^2m)$时间算法。结果是几种已知算法的加速。
2013-09-06 cs.DS
Faster parameterized algorithm for pumpkin vertex deletion set
一个有向图$G$称为南瓜图，如果$G$是具有公共起始点$s$和公共终止点$t$的导出路的并集，且每两条路的内部顶点不相交.给出了一个算法，给定有向图$G$和整数$k$，通过删除最多$k$的顶点来判定是否能从$G$得到南瓜.该算法在$O^*(2^k)$时间内运行。
2019-01-08 cs.DS
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Faster Algorithms for Finding Small Induced Patterns in Sparse Host Graphs
Indian Institute of Technology, Gandhinagar（印度技术学院甘地纳加尔分校）
本文提出基于(p,q)-宽度和模式多项式的算法，在稀疏宿主图中更快检测小规模诱导模式图，对部分模式达到最优，并优于现有算法。
2026-10-02 cs.DS
Single-Source Bottleneck Path Algorithm Faster than Sorting for Sparse Graphs
在有向图$G=(V,E)$中，每条边都有容量，两个顶点之间的\emph{bottleneck path}（或\emph{widest path}）是最大化路径中边的最小容量的路径。对于有向图中此问题的单源所有目的地版本，以前的最佳算法在$O(m+n\log n)$（$m=|E|$和$n=|V|$）时间内运行，通过使用Fibonacci堆的Dijkstra搜索[Fredman and Tarjan 1987]。我们将这个时间限制改进为$O(m\sqrt{\log n})$，从而它是第一个在$m=o(n\sqrt{\log n})$时突破经典Fibonacci堆时间限制的算法。这是一种Las-Vegas随机方法。相比之下，s-t瓶颈路径具有运行时间为$O(mβ(m,n))$的算法[Jumhik et al. 2016]，其中$β(m,n)=\min\{k\geq 1: \log^{(k)}n\leq\frac{m}{n}\}$。
2018-08-31 cs.DS
Finding Maximum k-Cliques Faster using Lazy Global Domination
图中的团是一组顶点，其中每个顶点都与该组中的所有其他顶点相邻。k团放宽了这一要求，要求顶点彼此之间的距离在k以内，而不是直接相邻。理论上，最大团算法可以很容易地适用于解决最大k团问题。我们使用最先进的最大团算法的状态，这是可行的，在实践中，并引入一个懒惰的全球统治规则，有时大大减少了搜索空间。我们包括一系列真实世界和基准图的实验结果，以及随机图的详细介绍。
2014-08-27 cs.DS
Faster deterministic parameterized algorithm for k-Path
在k-路问题中，输入是一个有向图$G$和一个整数$k\geq 1$，目标是判定在$G$中是否存在一条简单的有向路，其顶点数恰好为$k$.我们给出了一个具有时间复杂度$O^*(2.554^k)$的k-路径的确定性算法。这改进了Zehavi [ESA 2015]的该问题的先前最佳确定性算法，其时间复杂度为$O^*(2.597^k)$。我们的算法所使用的技术也可以用来获得更快的确定性算法的k-树，r维k-匹配，图形图案，和部分覆盖。
2019-01-24 cs.DS
Faster MAX-CUT on Bounded Threshold Rank Graphs
MIT EECS and CSAIL（麻省理工学院电气与计算机科学系及计算机科学与人工智能实验室）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
针对有界阈值秩图上的2CSP近似问题，结合子空间枚举与半定规划设计新算法，得到首个poly(1/ε)时间的MAX-CUT(1+O(ε))近似方案，将2CSP运行时间提升至近线性。
2025-11-14 cs.DS
A Faster Algorithm for Maximum Independent Set on Interval Filament Graphs
我们提供了一个算法，只需要$O(N^2)$时间来计算区间细丝图的最大重量独立集。这也意味着一个$O(N^4)$算法来计算最大重量诱导匹配的区间细丝图。这两种算法显着提高了以前最好的复杂性，这些问题。以前，最大权独立集和最大权诱导匹配问题分别需要$O(N^3)$和$O(N^6)$时间。
2021-10-18 cs.DM cs.DS
A faster FPT Algorithm and a smaller Kernel for Block Graph Vertex Deletion
一个图$G$称为一个\emph{block graph}，如果$G$的每个极大$2$连通分支是一个团.本文从固定参数可处理性和核化算法的角度研究了块图顶点删除问题。具体地，块图顶点删除的输入由图$G$和正整数$k$组成，并且目标是检查是否存在大小至多为$k$的子集$S \subseteq V(G)$，使得在$V(G)\setminus S$上导出的图是块图。本文给出了块图顶点删除的FPT算法，其运行时间为$4^kn^{O(1)}$，核大小为$O(k^4)$。我们的FPT算法的运行时间提高了以前的最佳算法的问题，运行时间$10^kn^{O(1)}$和我们的内核的大小减少了以前已知的内核的大小$O(k^9)$。我们的研究结果是基于一个新的连接块图顶点删除和经典的{ \sc反馈顶点集}问题的图形没有诱导$C_4$和$K_4-e$。为了实现我们的结果，我们还得到了一个算法{ \sc加权反馈顶点集}运行的时间$3.618^kn^{O(1)}$，并改善了以前已知的算法的运行时间与运行时间$5^kn^{O(1)}$。
2015-10-28 cs.DS
Faster Algorithms for Computing Maximal 2-Connected Subgraphs in Sparse Directed Graphs
连通性相关的概念是图论中的基本兴趣。这一领域在过去的四十年里得到了广泛的关注，但仍有许多问题没有得到解决，特别是有向图。一个有向图是2-边连通的（分别是，2-顶点连接的）如果去除任何边（分别，顶点）使图强连通。本文提出了一种计算给定有向图的极大2-边连通子图和极大2-点连通子图的改进算法。这些问题在35年前被首次研究，自20世纪80年代后期以来，具有m条边和n个顶点的图的$\widetilde{O}(mn)$时间算法被称为。相比之下，无向图的相同问题已知在线性时间内可解。Henzinger等人[ICALP 2015]最近为有向情况引入了$O(n^2)$时间算法，从而改善了密集图的运行时间。我们的新算法在时间上运行$O(m^{3/2})$，这进一步提高了稀疏图的运行时间。2-连通性的概念自然地推广到$k>2$的k-连通性。对于k的常数值，我们扩展了我们的一个算法来计算时间上最大的k-边连接$O(m^{3/2} \log{n})$，再次改进了Henzinger等人[ICALP 2015]在$O(n^2 \log n)$时间上运行的最知名算法。
2017-05-30 cs.DS
Circulation Control for Faster Minimum Cost Flow in Unit-Capacity Graphs
本文提出了一个求解单位容量图中最小费用流问题的$m^{4/3+o(1)}\log W$ -时间算法，其中$W$是任意边权的最大绝对值.对于稀疏图，这改进了该问题的最佳已知运行时间，并且通过众所周知的减少，还意味着改进了具有负权重的最短路径问题的运行时间，当$\|\boldsymbol{\mathit{b}}\|_1 = O(m)$时最小成本二分$\boldsymbol{\mathit{b}}$匹配，并恢复了当前最快算法的运行时间，用于具有单位容量的图中的最大流（Liu-Sidford，2020）。我们的算法依赖于开发一个基于内点方法的框架，该框架作用于底层图中的循环空间。从组合的角度来看，这个框架可以被看作是迭代地提高成本的次优解决方案，推动周围的流通。这些循环是通过计算标准牛顿步骤的正则化版本导出的，该版本部分受到先前关于单位容量最大流问题的工作的启发（Liu-Sidford，2019），随后根据该问题的最新进展进行了改进（Liu-Sidford，2020）。然后，可以使用最近关于$\ell_p$范数最小化流的工作来有效地计算由此产生的步骤问题（Kyng-Peng-Sachs-Wang，2019）。我们得到我们的更快的算法相结合，这个新的步骤原语与定制的预处理方法，其目的是确保这些循环计算的图形有足够大的电导。
2020-04-09 cs.DS
Simple and Faster algorithm for Reachability in a Decremental Directed Graph
考虑边递减有向图中保持源-汇可达性（$st$ -Reachability）、单源可达性（SSR）和强连通分量（SCC）的问题。特别地，我们设计了一种随机化算法，其以高概率保持：1）$st$ -在$\tilde{O}(mn^{4/5})$总更新时间中的可达性。2)$st$ -稠密图中$\tilde{O}(n^{8/3})$的总更新时间的可达性。3)SSR的总更新时间为$\tilde{O}(m n^{9/10})$。4)SCC的总更新时间为$\tilde{O}(m n^{9/10})$。针对上述问题，我们改进了以前的最佳算法（由Henzinger等。（STOC 2014））。我们主要关注的是在边递减有向图中维护$st$ -可达性（其他问题可以简化为$st$ -可达性）。Even和Shiloach（JACM 81）的经典算法在$O(1)$查询时间和$O(mn)$总更新时间上解决了这个问题。最近，Henzinger，Krinninger和Nanongkai（STOC 2014）设计了一种随机算法，该算法实现了$\tilde{O}(m n^{0.98})$的更新时间，并打破了Even和Shiloach长期存在的$O(mn)$界限。然而，他们设计了四种算法$A_i (1\le i \le 4)$，使得对于具有介于$m_i$和$m_{i+1}$之间的总边数（$m_{i+1} > m_i$）的图，…
2015-05-16 cs.DS
Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice
生成网络模型在算法开发、缩放研究、网络分析和图数据集的真实系统基准测试中发挥着重要作用。常用的基于图的基准测试模型R-MAT在真实性和网络属性的缩放行为方面存在一些缺陷。一个越来越流行的复杂网络模型构建随机双曲图，通过在双曲平面中的圆盘内分布点，然后在双曲距离低于阈值的点之间添加边来生成。本文提出了一种快速生成算法。我们的实验表明，我们的新发电机实现了3-60的加速因子比以前最好的实现。在共享内存的工作站上，现在可以在一分钟内生成10亿条边。此外，我们提出了一个动态扩展模型逐渐网络变化，同时保持在每一步的点位置概率。
2016-06-30 cs.DS
Faster exponential-time algorithms in graphs of bounded average degree
我们首先证明了平均度为d的n顶点图中的旅行商问题可以在O*（2^{（1- \eps_d）n}）时间和指数空间中求解，其中常数\eps_d仅依赖于d，其中O*-符号抑制了输入大小的多项式因子。因此，我们推广了Bjorklund等人[TALG 2012]关于有界度图的最近结果。然后，我们转移到计算图中完美匹配的问题。首先，我们提出了一个简单的算法，用于在O*（2^{n/2}）时间和多项式空间中计算n-顶点图中的完美匹配;我们的算法匹配Bjorklund [SODA 2012]算法的复杂度界限，但依赖于包含-排除原理而不是代数变换。在此基础上，我们证明了平均度为d的n-顶点图的完美匹配数可以在O*（2^{（1- \eps_{2d}）n/2}）时间和指数空间中计算，其中\eps_{2d}是我们针对平均度不超过2d的图的旅行商问题得到的常数.此外，我们还得到了一个计算平均度不超过d的n点二部图的完美匹配数的简单算法，该算法在O*（2^{（1-1/（3.55d））n/2}）时间内完成，改进和简化了Izumi和Wadayama [FOCS 2012]的结果.
2013-02-15 cs.DS
Faster way to agony: Discovering hierarchies in directed graphs
许多现实世界的现象表现出强烈的层次结构。因此，在许多现实世界中的有向社交网络顶点不发挥平等的作用。相反，顶点形成层次结构，使得边缘主要从上层到下层出现。从这样的图中发现层次结构是一个具有挑战性的问题，已经引起了人们的关注。形式上，给定一个有向图，我们希望将顶点划分为级别，使得理想情况下只有从上层到下层的边。从计算的角度来看，理想的情况是当底层有向图是非循环的。在这种情况下，我们可以将顶点划分为层次结构，使得从上层到下层只有边。在实践中，图很少是非循环的，因此我们需要惩罚违反层次结构的边。一种实用的方法是痛苦，其中每个违反边都根据违反的严重程度受到惩罚。计算痛苦的最快算法需要$O(nm^2)$时间。本文提出了一种计算痛苦的算法，即$O(m^2)$，它具有较好的理论界。我们还表明，在实践中得到的界限是悲观的，我们可以使用我们的算法来计算大型数据集的痛苦。此外，我们的算法可以被用作任何时间的算法。
2019-02-04 cs.DS
Faster Shortest Paths in Dense Distance Graphs, with Applications
我们将展示如何结合两种技术，有效地计算最短路径有向平面图。第一个是线性时间最短路径算法的Henzinger，克莱因，Subramanian，饶[STOC'94]。第二个是Fakcharoenphol和Rao的算法[FOCS'01]，用于在密集距离图（DDG）上仿真Dijkstra算法。定义了一个DDG，用于将平面图$G$分解为每个至多$r$个顶点的区域，对于某个参数$r < n$。DDG的顶点集是属于多于一个区域的$G$的$Θ(n/\sqrt r)$顶点（边界顶点）的集合。DDG具有$Θ(n)$弧，使得DDG中的距离等于$G$中的距离。Fakcharoenphol和Rao在DDG上实现了Dijkstra算法（昵称为FR-Dijkstra），在$O(n\log(n) r^{-1/2} \log r)$时间内运行，并且是许多最短路径、最小割和最大流的最先进平面图算法的关键组成部分。通过结合这两种技术，我们消除了$\log n$的最短路径算法的运行时间的依赖性，使之成为$O(n r^{-1/2} \log^2r)$。这项工作是一个研究议程的一部分，旨在开发新的技术，这将导致更快的，可能是线性时间，算法的问题，如最小切割，最大流量，最短路径与负弧长。作为直接的应用程序，我们展示了如何计算最大流的有向加权平面图在$O(n \log p)$时间，其中$p$是最小数量的边缘上的任何路径从源到汇。…
2014-04-03 cs.DS
Faster Algorithms for Online Topological Ordering
给出了两个算法，用于在m条边的在线边插入序列下，保持n阶有向无环图的拓扑序。在线拓扑排序的有效算法有许多应用，包括在线圈检测，这是发现在有向图中的任意边插入序列下引入圈的第一边。在本文中，我们提出了有效的算法在线拓扑排序问题。我们首先提出一个简单的算法，运行时间为O（n^{5/2}）的在线拓扑排序问题。这是目前在稠密图上解决这个问题的最快算法，即，当m > n^{5/3}时。然后，我们提出了一个算法的运行时间为O（（m + nlog n）\sqrt{m}），这是更有效的稀疏图。我们的结果产生了一个改进的上界O（min（n^{5/2}，（m + nlog n）sqrt{m}））的在线拓扑排序问题。
2007-11-02 cs.DS
Faster Algorithms for Rooted Connectivity in Directed Graphs
我们考虑的基本问题，确定有根和全球的边缘和顶点连通性（和计算相应的削减）在有向图。对于根（因此也是全球）边连接与小整数容量，我们给出了一个新的随机蒙特卡罗算法，运行在时间$\tilde{O}(n^2)$。对于有根边连接，这是第一个算法，以改善$Ω(n^3)$的时间限制在密集图的高连通性制度。我们的结果依赖于一个简单的组合，再加上稀疏化，似乎新的采样，并可能导致进一步的权衡有向图的连通性问题。我们将边连通性的思想推广到有向图的根连通性和全局顶点连通性。我们得到一个$(1 + ε)$近似的根顶点连接$\tilde{O}(nW/ε)$时间$W$是总顶点权重（假设积分顶点权重），特别是这产生了一个$\tilde{O}(n^2/ε)$时间随机算法的未加权图。这转换为$\tilde{O}(κnW)$时间精确算法，其中$κ$是根连接。我们建立在此基础上，以获得类似的全球顶点连通性的界限。我们的结果补充了已知的结果，这些问题在低连通性制度，由于工作的Gabow [9]从1991年的边缘连接，和最近的工作Nanongkai等。[24]和福斯特等。[7]顶点连接。
2021-04-15 cs.DS
A Faster Directed Single-Source Shortest Path Algorithm
Tsinghua University（清华大学）；Stanford University（斯坦福大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
本文提出一种更高效的有向单源最短路径算法，改进了现有最短路径算法的时间复杂度。
2026-02-10 cs.DS
Faster Streaming algorithms for graph spanners
给定一个无向图$G=(V,E)$，其顶点、边和整数$t\ge 1$为$n$，一个子图$(V,E_S)$，$E_S\subseteq E$称为$t$ -图，如果对于任意一对顶点$u,v \in V$，它们在子图中的距离至多是$t$乘以实际距离。我们提出了流算法计算的$t$ -基本上是最佳的大小拉伸权衡任何无向图。我们的第一个算法是经典的流模型和作品的未加权图。该算法对边缘流执行单次通过，并且需要$O(m)$时间来处理整个边缘流。这极大地改进了先前用于计算$t$的最佳单通道流算法，该算法需要$θ(mn^{\frac{2}{t}})$时间来处理流，并且计算大小略大于最佳值的$θ(mn^{\frac{2}{t}})$。我们的第二个算法是针对Aggarwal等人[FOCS 2004]引入的{ \em StreamSort}模型，该模型是用排序原语扩展的流模型。{ \em StreamSort}模型已被证明是一个更强大的，仍然是非常现实的模型比流模型的大规模数据集的应用程序。我们的算法也适用于加权图，仅使用工作内存的$O(\log n)$位执行$O(t)$通道。我们的两个算法都需要基本的数据结构。
2006-11-06 cs.DS
Faster MPC Algorithms for Approximate Allocation in Uniformly Sparse Graphs
本文针对低树荫度图中的分配问题，在MPC模型中提出$(1+ε)$近似算法，通过重新分析已有LOCAL算法将轮复杂度从$O(\log n)$改进为$O(\log λ)$，并实现亚线性单机空间和$\tilde{O}(λn)$总空间。
2025-06-05 cs.DS
A faster FPT algorithm for Bipartite Contraction
\textsc{Bipartite Contraction}问题是给定一个图$G$和一个参数$k$，决定我们是否能通过至多$k$的边收缩从$G$得到一个二部图。[Heggernes et al. 2011]证明了该问题的固定参数易处理性，其算法的运行时间对$k$具有双指数依赖性。我们提出了一个新的随机FPT算法的问题，这是概念上更简单，并实现了改进的$2^{O(k^2)} n m$运行时间，即，避免了对$k$的双指数依赖。该算法可以使用标准技术去随机化。
2013-09-04 cs.DS
Fully Dynamic Electrical Flows: Sparse Maxflow Faster Than Goldberg-Rao
给出了一个计算具有$m$边且容量在$[1, U]$范围内的图在$\widetilde{O}(m^{\frac{3}{2} - \frac{1}{328}} \log U)$时间上的精确最大流的算法。对于具有多项式有界整数容量的稀疏图，这是对[Goldberg-Rao JACM '98]的$\widetilde{O}(m^{1.5} \log U)$时间界的第一次改进。我们的算法围绕着动态地保持在核心的内点法的算法从[Mackdry JACM '16]的扩增电流。这需要设计数据结构，其在有限的设置中返回经历电阻更新的图中具有大电能的边缘。
2021-06-10 cs.DS
Faster Fully Dynamic Transitive Closure in Practice
全动态传递闭包问题要求在有向图中任意一对顶点之间保持可达性信息，同时图经历一系列边的插入和删除.在过去的几十年里，这个问题已经在理论上得到了深入的研究，并且已经提出了许多解决这个问题的专门算法。在两项大型研究中[Frigioni ea，2001; Krommidas和Zaroliagis，2008]，这些算法中的一些已经通过实验对简单的静态算法进行了图遍历评估，显示了简单算法在实践中的竞争力甚至优越性，除了非常密集的随机图或非常高的查询比率。这些研究的一个主要缺点是，只考虑小的，大多是随机生成的图。在本文中，我们设计了新的算法来维护所有对的可达性信息，这是简单和空间效率。此外，我们对生成的和真实世界的实例进行了广泛的实验评估，这些实例比以前的研究大几个数量级。我们的研究结果表明，我们的新算法优于所有国家的最先进的算法在所有类型的输入相当大的实践。
2020-02-03 cs.DS
A New Regularity Lemma and Faster Approximation Algorithms for Low Threshold Rank Graphs
Kolla和Tulsiani [KT 07，Kolla 11}以及Arora，Barak和Steurer [ABS 10]引入了子空间枚举技术，给出了求解图问题（如唯一对策和小集合扩张）的近似算法，这些算法的运行时间在图的阈值秩内是指数的. Guruswami和Sinop [GS11，GS12]，Barak，Raghavendra和Steurer [BRS 11]开发了一种替代方法来设计有界阈值秩图的近似算法，基于Lassere层次中的半定规划松弛和新的舍入技术。这些算法比基于子空间枚举的算法更快，并且可以处理广泛的一类问题。在本文中，我们开发了第三种方法来设计这样的算法。我们建设性地证明了有界阈值秩的图满足一个弱Szemeredi正则性引理，类似于Frieze和Kannan [FK 99]对稠密图证明的引理。有效的近似算法的存在是正则引理的结果，如Frieze和Kannan所示。应用我们的方法的最大切割问题，我们设计了一个算法，比以前所有的算法更快，更容易描述和分析。
2012-12-08 cs.DS math.SP
Faster sublinear approximations of $k$-cliques for low arboricity graphs
给定查询访问一个无向图$G$，我们考虑的问题，计算一个$(1\pmε)$ -近似的$k$ -团在$G$的数量。一般图的标准查询模型允许度查询、邻居查询和对查询。令$n$为顶点数，$m$为边数，$n_k$为$k$ -团数。Eden、Ron和Seshadhri之前的工作（STOC 2018）为这个问题提供了一个$O^*(\frac{n}{n^{1/k}_k} + \frac{m^{k/2}}{n_k})$时间算法（我们使用$O^*(\cdot)$来抑制$\poly(\log n, 1/ε, k^k)$依赖性）。此外，当表达式在图的大小上是次线性的时，这个界是接近最优的。我们的动机是绕过这个下限，参数化的复杂性方面的\emph{graph arboricity}。$G$的荫度是对图的“处处”密度的度量。设计了一个荫度最大为$α$的图类的算法，其运行时间为$O^*(\min\{\frac{nα^{k-1}}{n_k},\, \frac{n}{n_k^{1/k}}+\frac{m α^{k-2}}{n_k} \})$。我们还证明了一个几乎匹配的下界。对于所有的图，荫度是$O(\sqrt m)$，所以这个界包含了所有以前的结果次线性团近似。作为感兴趣的特殊情况，考虑具有常数荫度的图的次闭族。我们的结果意味着，对于任何小闭图族，有一个$(1\pmε)$ -近似算法的$n_k$，有运行时间$O^*…
2018-11-11 cs.DS
Faster Replacement Paths
有向图的替换路径问题是对给定的节点s和t以及它们之间的最短路径上的每条边e，找出s和t之间避开e的最短路径。对于n个顶点上的未加权有向图，最著名的算法运行时是Roditty和Zwick的\tilde{O}（n^{2.5}）。对于具有整数权重的图{-M，...，M}，Weimann和Yuster最近表明，可以使用快速矩阵乘法并在O（Mn^{2.584}）时间内解决问题，如果矩阵乘法的指数ω为2，则运行时间为O（Mn^{2.33}）。我们改进了这两种算法。我们的新算法也依赖于快速矩阵乘法，如果ω>2，则运行时间为O（Mn ^ω polylog（n）），如果ω=2，则对于任何\eps >0，运行时间为O（n^{2+ \eps }）。我们的结果表明，至少对于小整数权重，有向图中的替换路径问题可能比有向图中的相关所有对最短路径问题更容易，因为后者的当前最佳运行时间是Ω（n^{2.5}）时间，即使ω=2。
2010-07-13 cs.DS
Obstructions to faster diameter computation: Asteroidal sets
一个端点是一个顶点，它的封闭邻域的删除不会增加连接组件的数量。设$Ext_α$是所有由模分解得到的商图不超过$α$的两两不相邻端点的连通图类.我们的主要贡献如下。首先证明了$Ext_α$中每个$m$ -边图的直径都可以在确定性的${\cal O}(α^3 m^{3/2})$时间内计算.然后，我们改进的运行时间线性的所有图与有界的cabinet数。此外，我们可以计算一个附加的$+1$ -近似的所有顶点偏心率在确定性的${\cal O}(α^2 m)$时间。这与一般的$m$ -边图形成鲜明对比，对于一般的$m$ -边图，在强指数时间假设（SETH）下，对于任何$ε> 0$，人们不能计算在${\cal O}(m^{2-ε})$时间中的直径。作为我们的主要结果的重要特例，我们导出了一个${\cal O}(m^{3/2})$ -时间算法，用于直径至少为6的支配对图的精确直径计算，以及一个${\cal O}(k^3m^{3/2})$ -时间算法，用于小行星数至多为$k$的图的精确直径计算.最后，我们提出了一个改进的算法，弦图的有界星状数，和我们的结果的部分扩展到更大的类的所有图与一个主导目标的有界基数。在合理的复杂性假设下，我们的时间上界在纸上被证明是基本上最优的。
2023-02-27 cs.DS
Small Maximal Independent Sets and Faster Exact Graph Coloring
证明了对任意n-顶点图G和整数参数k，至多存在3^{4k-n}4^{n-3 k}个极大独立集I \subset G，其中|I| <= k，并且所有这些集都能在O（3^{4k-n} 4^{n-3 k}）内列出.当n/4 <= k <= n/3时，这些边界是紧的。因此，我们证明了如何计算图的精确色数，时间复杂度为O（（4/3 + 3^{4/3}/4）^n）~= 2.4150^n，改进了Lawler（1976）的算法，时间复杂度为O（（1+3^{1/3}）^n）~= 2.4422^n.
2000-11-06 cs.DS math.CO
Faster approximation algorithms for computing shortest cycles on weighted graphs
给定一个具有非负边权的$n$ -点$m$ -边图$G$，$G$的围长是$G$中最短圈的权.对于任何图$G$多项式有界的整数权重，我们提出了一个确定性的算法，计算，在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}+m)$时间，一个循环的重量至多两倍的周长$G$。我们的方法结合了一些新的见解，以前的近似算法这个问题（Lingas和Lundell，IPL'09; Roditty和Tov，TALG'13）与命中集为基础的方法，用于近似距离预言和追溯到（Thorup和Zwick，JACM'05）。然后，我们把我们的算法变成一个确定性的$(2+\varepsilon)$ -近似图与任意非负的边权重，在一个稍差的运行时间在$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O}(1)}{(1/\varepsilon)}+m)$的价格。最后，如果我们坚持去除边数$m$的依赖性，我们可以将我们的算法转化为具有非负边权的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间随机$4$ -近似-假设邻接列表是排序的。结合上述基于命中集的方法，该算法可以去随机化，从而产生对于具有多项式有界整数权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3})$ -时间确定性$4$ -近似，以及对于具有非负边权重的图的$\tilde{\cal O}(n^{5/3}\log^{{\cal O…
2018-10-24 cs.DS
Faster and Better Nested Dissection Orders for Customizable Contraction Hierarchies
图划分有许多应用。我们考虑使用可定制的收缩层次结构（CCH）的道路网络中的最短路径查询的加速。它基于通过将道路网络递归划分为部分来计算嵌套的解剖顺序。最近，基于FlowCutter和Inertial Flow的两种图划分算法被提出用于道路网络。虽然FlowCutter实现了高质量的结果，从而缩短了查询时间，但它相当慢。由于使用了地理信息，惯性流特别快，同时仍然实现了体面的查询时间。我们结合了这两种算法的技术，实现了比FlowCutter快六倍以上的预处理时间，甚至更快的查询欧洲道路网络。我们表明，使用16个核心的共享内存的机器，这种预处理需要四分钟。
2019-07-02 cs.DS
Computing top-k Closeness Centrality Faster in Unweighted Graphs
给定一个连通图$G=(V,E)$，顶点$v$的贴近中心度定义为$\frac{n-1}{\sum_{w \in V} d(v,w)}$。该测度在现实世界的复杂网络分析中得到了广泛的应用，而$k$最中心点的选择问题在过去的十年中得到了深入的分析。然而，这个问题在计算上是不容易的，特别是对于大型网络：在本文的第一部分中，我们证明了它是不可解的时间$Ø(|E|^{2-ε})$有向图，任何常数$ε>0$，在合理的复杂性假设。此外，我们提出了一个新的算法来选择$k$最中心的节点在一个图中：我们的实验表明，该算法显着提高了教科书的算法，这是基于计算之间的距离的所有对顶点，和最先进的。例如，我们能够计算顶部$k$节点在几十秒内在现实世界中的网络与数百万的节点和边缘。最后，作为一个案例研究，我们计算$10$最核心的演员在IMDB的合作网络，其中两个演员是链接的，如果他们一起在一部电影中，并在维基百科的引文网络，其中包含一个有向边缘从一个页面$p$到一个页面$q$，如果$p$包含一个链接到$q$。
2017-04-27 cs.DS
Faster Deterministic Fully-Dynamic Graph Connectivity
我们给出了新的确定性界限的全动态图的连通性。我们的数据结构支持更新（边插入/删除）在$O(\log^2n/\log\log n)$摊销时间和连接查询在$O(\log n/\log\log n)$最坏情况下的时间，其中$n$是图的顶点数。这改进了Holm，de Lichtenberg和Thorup（STOC 1998，J.ACM 2001）以及Thorup（STOC 2000）的确定性数据结构，它们都具有$O(\log^2n)$摊销更新时间和$O(\log n/\log\log n)$最坏情况查询时间。我们的计算模型与Thorup的模型相同，即，具有标准$AC^0$指令的指针机器。
2012-09-25 cs.DM cs.DS
Faster Fixed Parameter Tractable Algorithms for Counting Markov Equivalence Classes with Special Skeletons
针对给定骨架计数马尔可夫等价类问题，提出更快的固定参数可处理算法，将弦图情形的时间复杂度从$O(n(2^{O(d^4k^4)}+n^2))$降至$O(n(2^{O(d^2k^2)}+n^2))$，并证明树图可在多项式时间内求解。
2023-12-29 cs.DS
Faster Sparse Minimum Cost Flow by Electrical Flow Localization
给出了容量以$U$为界、费用以$W$为界的最小费用流的一个$\widetilde{O}({m^{3/2 - 1/762} \log (U+W))}$时间算法.对于具有一般容量的稀疏图，这是第一个通过内点方法的适当实例化获得的$\widetilde{O}({m^{3/2} \log^{O(1)} (U+W)})$运行时间改进的算法[Daitch-Spielman，2008]。我们的方法扩展了[Gao-Liu-Peng，2021]中提出的框架，用于计算具有大容量的图中的最大流，特别是，演示了如何将计算具有一般需求的电流的问题减少到子线性大小的顶点集上的相同问题-即使需求在整个图上都得到支持。在此过程中，我们开发了新的机器来评估图的边缘在内点方法优化过程的每个阶段的重要性。这种能力依赖于在优化过程内部产生的电流与相应有效电阻度量中的顶点距离之间建立新的连接。
2021-11-19 cs.DS
A Faster Algorithm for Maximum Weight Matching on Unrestricted Bipartite Graphs
本文针对无限制二分图的最大权匹配问题，提出一种支持实数权重的新算法，时间复杂度为 $O(\min(X^3 + E, XE + X^2\log X))$，改进了先前最优界限，并提供了简化且公开的实现代码。
2025-04-04 cs.DS
Faster Monte-Carlo Algorithms for Fixation Probability of the Moran Process on Undirected Graphs
进化图论研究的是种群结构为连通图时的进化动力学。图中的每个节点代表种群中的一个个体，而边则决定了后代的位置。我们考虑了经典的生灭Moran过程，其中有两种类型的个体，即适应度为1的居民和适应度为r的突变体。适合度反映了繁殖力。进化动力学是这样发生的：在最初的一步中，在所有居民个体的种群中引入一个突变体，然后在每一步中，选择一个与其类型的适应度成比例的个体进行繁殖，后代随机均匀地取代邻居。当所有的个体都是居民或突变体时，这个过程就停止了。所有个体最终都是突变体的概率称为固定概率。本文提出了一种快速的多项式时间Monte-Carlo算法来求解无向图的固定概率。我们的算法总是比以前的算法快至少一个因子O（n^2/log n），其中n是节点数，并且即使r以二进制形式给出也是多项式。我们还提出了下界表明，我们提出的有效步骤的预期数量的上限是渐近紧的无向图。
2017-06-21 cs.DS cs.NE
Faster spectral sparsification and numerical algorithms for SDD matrices
我们研究算法的谱图稀疏化。输入是具有$n$顶点和$m$边的图$G$，并且输出是在代数意义上近似$G$的稀疏图$\tilde{G}$。具体地，对于所有向量$x$和任何$ε>0$，$\tilde{G}$满足$$ (1-ε) x^T L_G x \leq x^T L_{\tilde{G}} x \leq (1+ε) x^T L_G x, $$，其中$L_G$和$L_{\tilde{G}}$分别是$G$和$\tilde{G}$的拉普拉斯算子。我们发现，已知的最快的算法计算的稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘实际上可以运行在$\tilde{O}(m\log^2 n)$的时间，$O(\log n)$因子比以前更快。我们还提出了更快的稀疏化算法略密图。具体来说，我们给出了一个算法，运行在$\tilde{O}(m\log n)$时间和生成一个稀疏与$\tilde{O}(n\log^3{n}/ε^2)$边缘。这意味着，一个稀疏与$O(n\log n/ε^2)$边缘可以计算在$\tilde{O}(m\log n)$时间的图与$O(n\log^4 n)$边缘以上。我们还给出了一个$\tilde{O}(m)$时间算法的图有多个$n\log^5 n (\log \log n)^3$边的多项式有界的重量，和一个$O(m)$算法的未加权图有多个$n\log^8 n (\log \log n)^3 $边和…
2013-11-16 cs.DS
Faster Algorithms for Quantitative Verification in Constant Treewidth Graphs
我们认为，核心算法问题的验证系统方面的三个经典的定量属性，即，平均支付属性，比率属性，和最小初始信贷的能量属性。给定一个图和一个定量属性的算法问题要求从图的每个节点计算最优值（所有迹上的下确界值）。我们考虑具有恒定树宽的图，众所周知，大多数程序的控制流图具有恒定树宽。令$n$表示图的节点数，$m$表示边数（对于恒定树宽图$m=O(n)$），$W$表示权重的最大绝对值。我们的主要理论结果如下。首先，对于恒定树宽图，我们提出了一种算法，近似的平均回报值内的一个乘法因子的$ε$在时间$O(n \cdot \log (n/ε))$和线性空间，相比，经典的算法，需要二次时间。其次，对于比率属性，我们提出了一种算法，对于恒定树宽图的工作时间$O(n \cdot \log (|a\cdot b|))=O(n\cdot\log (n\cdot W))$，当输出是$\frac{a}{b}$，相比以前最好的已知算法的运行时间$O(n^2 \cdot \log (n\cdot W))$。第三，对于最小的初始信用问题，我们表明：（一）对于一般的图形的问题可以解决在$O(n^2\cdot m)$时间和相关的决策问题可以解决在$O(n\cdot m)$时间，提高以前已知的$O(n^3\cdot m\cdot \log (n\cdot W))$和$O(n^2 \cdot m)$界，分别;和（ii）对于恒定树宽图…
2015-04-28 cs.DS
Faster Cut Sparsification of Weighted Graphs
割稀疏器是一个重新加权的子图，它将原始图的割的权重保持到$(1\pmε)$的乘法因子。本文考虑计算大小为$O(n\log (n)/ε^2)$的加权图的割稀疏子。我们的算法计算这样一个稀疏的时间$O(m\cdot\min(α(n)\log(m/n),\log (n)))$，无论是多项式有界和无界整数权重的图形，其中$α(\cdot)$是阿克曼函数的功能逆。这改进了Benczúr和Karger（SICOMP 2015）的最新技术，后者需要$O(m\log^2 (n))$时间。对于无界权重，这直接给出了切割稀疏化的最佳已知结果。再加上Fung等人的算法（SICOMP 2019）的预处理，这也给出了多项式加权图的最佳结果。因此，这意味着最快的近似最小割算法，无论是多项式和无界权重的图。特别是，我们表明，它是可以适应的最先进的算法的冯等。加权图，通过让部分最大生成森林（MSF）包装的地方Nagamochi-Ibaraki（NI）森林包装。MSF填充之前已经由Abraham等人（FOCS 2016）在动态设置中使用，并且定义如下：$M$ -$G$的部分MSF填充是一个集合$\mathcal{F}=\{F_1, \dots, F_M\}$，其中$F_i$是$G\setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}F_j$中的最大生成森林。我们的方法计算（充分估计）的MSF包装是我们的稀疏化算…
2022-04-28 cs.DS
