A Tight Max-Flow Min-Cut Duality Theorem for Non-Linear Multicommodity Flows
本文研究非线性多商品最大流，通过割的共同容量建立紧最大流最小割对偶，并给出增广环搜索及比率问题的 ε-近似高效算法。
2024-03-02 cs.DS math.AT
A Generalized Approximation Framework for Fractional Network Flow and Packing Problems
本文将Garg和Koenemann的分式包装框架推广到多面体锥上的线性分式包装问题。更确切地说，我们提供了近似算法的问题的形式$\max\{c^T x : Ax \leq b, x \in C \}$，其中矩阵$A$不包含负的条目和$C$是一个锥，是由一个有限的集$S$的非负向量。虽然锥可以要求指数大小的表示，但我们假设可以通过三种类型的预言机之一来访问它。对于这些预言，我们提出了积极的结果，包装问题的近似性。与其他框架相比，所提出的框架允许使用任意线性目标函数，并可以应用于一个大类的包装问题，没有太多的努力。特别是，我们的框架立即允许导出快速和简单的完全多项式时间近似算法（FPTAS）的一个大的网络流问题，如传统的网络流，多商品流，或广义流量的约束版本。其中一些FPTAS代表了同类中的第一个，而另一些则与现有结果相匹配，但提供了更简单的证明。
2016-12-16 cs.DS
Sequential and Parallel Algorithms for Mixed Packing and Covering
混合填充和覆盖问题是可以用非负系数表示为线性规划的问题。例如多商品网络流、TSP的Held-Karp下界、集合覆盖的分数松弛、装箱、背包、调度问题、最小权三角剖分等。本文给出了一般问题的近似算法。顺序算法是一种简单的贪心算法，它可以在O（n ^-2 log m）线性时间迭代中找到ε近似解。并行算法做类似的工作，但在多对数时间内完成。这些结果推广了Michael Luby和Noam Nisan（1993）以及Naveen Garg和Jochen Konemann（1998）以前关于纯填充和覆盖（约束都是“小于”或“大于”的特殊情况）的工作。
2002-05-18 cs.DS
Approximate Max-Flow Min-Multicut Theorem for Graphs of Bounded Treewidth
证明了有界树宽图的一个近似的最大多流最小多割定理。特别是，我们证明了以下几点：给定一个树宽$r$图，存在一个（分数）多商品流的价值$f$，和一个多割的能力$c$，使$ f \leq c \leq \mathcal{O}(\ln (r+1)) \cdot f$。众所周知，$r$ -顶点（常度）扩张图上的多流-多割间隙可以是$Ω(\ln r)$，因此我们的结果紧到常数因子。我们的证明是建设性的，我们也得到了一个多项式时间的$\mathcal{O}(\ln (r+1))$ -近似算法的树宽- $r$图的最小多割问题。我们的算法收益四舍五入的最佳分数的解决方案，自然的线性规划松弛的多割问题。我们引入新的修改著名的区域生长算法，以方便舍入，同时保证在树宽的对数因子损失。
2022-11-11 cs.DM cs.DS
Simple and Fast Rounding Algorithms for Directed and Node-weighted Multiway Cut
在有向多路割（Dir-MC）中，输入是一个边加权有向图$G=(V,E)$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是找到一个边的最小权重子集，删除它可以确保任何$i \neq j$都没有从$s_i$到$s_j$的路径。在节点加权多路割（Node-weighted Multiway Cut，Node-MC）中，输入是一个节点加权无向图$G$和一组$k$终端节点$\{s_1,s_2,\ldots,s_k\} \subseteq V$ ;目标是删除最小权重的节点子集，以断开每对终端。Dir-MC承认$2$ -近似[Naor，Zosin '97]，Node-MC承认$2(1-\frac{1}{k})$ -近似[Garg，Vazirani，Yannakakis '94]，两者都通过LP松弛的舍入。以前的舍入算法，这些问题，从近二十年前，是基于仔细舍入的“最佳”解决方案的LP松弛。这对于Dir-MC尤其如此，其中舍入依赖于定制LP公式而不是基于自然距离的LP松弛[Naor，Zosin '97]。在本文中，我们描述了非常简单的和近线性时间舍入算法的Dir-MC和Node-MC通过自然的距离为基础的LP松弛。这种松弛的对偶是最大多商品流问题的一个特例。我们的算法实现了与以前相同的界限，但具有显着的优势，因为它们可以与“任何可行的”解决方案的…
2015-07-16 cs.DS
Faster FPRAS for the Permanent via Restricted Poincaré Inequalities and Coupled Flows
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
该研究针对永久值的FPRAS算法，通过受限庞加莱不等式与耦合流论证，将0/1矩阵的近似运行时间从O(n^7 log^4 n)渐近改进至O(n^6 log^5 n)，且可扩展至任意非负矩阵。
2026-08-28 cs.DM cs.DS math.PR
Fast Algorithms for Separable Linear Programs
针对约束矩阵具有可分离结构的线性规划问题，提出了一种利用结构特性的快速求解算法，在特定参数下实现了近线性时间复杂度，显著改进了传统内点法，并简化了低树宽LP的求解。
2023-10-25 cs.DS
An O(nlogn) approximate knapsack algorithm
该算法通过改进的动态规划方法，以O(n log n)的时间复杂度高效解决大规模0/1背包问题，实现高精度的近似解。
2025-12-27 cs.DS
Faster Deterministic Distributed MIS and Approximate Matching
$ \renewcommand{\tilde}{\widetilde} $针对最大独立集问题提出了一个$\tilde{O}(\log^2 n)$轮确定性分布式算法。通过已知的简化，该轮复杂性还扩展到最大匹配、$Δ+1$顶点着色和$2Δ-1$边着色。这四个问题是分布式图算法中最核心的问题之一，在过去的四十年里得到了广泛的研究。这种改进的轮复杂度更接近最大独立集和最大匹配的$\tildeΩ(\log n)$下限[Balliu et al. FOCS '19]。以前最著名的确定性复杂度为所有这些问题是$Θ(\log^3 n)$。通过粉碎技术，改进也渗透到相应的随机复杂性，例如，$Δ+1$顶点着色的新随机化复杂度现在是$\tilde{O}(\log^2\log n)$轮。我们的方法是先前已知的两种方法的新颖组合，用于开发针对这些问题的确定性算法，即通过网络分解的全局去随机化（例如，[Rozhon，Ghaffari STOC '20; Ghaffari，Grunau，Rozhon SODA' 21; Ghaffari等人SODA '23]）和分数解的局部舍入（参见例如，[Fischer DISC '17; Harris FOCS' 19; Fischer，Ghaffari，Kuhn FOCS '17; Ghaffari，Kuhn FOCS' 21; Faour等人SODA '23]）。我们考…
2023-03-28 cs.DC cs.DS
Near Linear Time Approximation Schemes for Uncapacitated and Capacitated b--Matching Problems in Nonbipartite Graphs
我们提出了第一个接近最佳的近似方案的最大加权（无能力或有能力）$b$ -匹配问题的非二分图，运行在时间（近）线性的边缘数。对于任何$δ>3/\sqrt{n}$，算法在$O(m \poly(δ^{-1},\log n))$时间内产生$(1-δ)$近似。我们提供分数的解决方案，这些问题的标准线性规划公式，随后还提供（近）线性时间近似计划舍入的分数的解决方案。通过这些问题作为一个工具，我们还提出了几个想法的上下文中近似使用快速原始-对偶算法求解线性规划。首先，即使这些问题的对偶有指数许多变量和有效的精确计算的对偶权重是不可行的，我们表明，我们可以有效地计算和使用稀疏近似的对偶权重使用的组合（i）添加扰动的约束的多面体和（ii）放大，然后阈值的对偶权重。其次，我们表明，近似算法可以用来减少制定的宽度，更快的收敛。
2018-06-18 cs.DS
Fast Approximation Algorithms for Bounded Degree and Crossing Spanning Tree Problems
我们开发快速近似算法的最小成本版本的有界度MST问题（BD-MST）和其推广的交叉生成树问题（Crossing-ST）。我们解决了潜在的LP内的$(1+ε)$近似因子在近线性时间通过乘法权重更新（MWU）技术。特别地，这产生了一种近线性时间算法，该算法输出估计$B$，使得$B \le B^* \le \lceil (1+ε)B \rceil +1$，其中$B^*$是给定图的生成树的最小度。为了圆的分数的解决方案，在我们的主要技术贡献，我们描述了一个快速的近线性时间实现交换舍入的生成树多面体的图。分数解也可以用来稀疏化输入图，这反过来又可以用来加速现有的组合算法。总之，这些想法导致显着更快的近似算法比以前已知的两个问题的兴趣。此外，一个快速算法交换舍入的图形拟阵是一个通用的工具，有其他的应用，包括TSP和次模函数最大化。
2021-05-17 cs.DS
The Serializability of Network Codes
网络编码理论研究网络中的信息传输，其顶点可以在数据通过网络时对数据执行非平凡的编码和解码操作。决定网络编码问题的可行性的主要方法是将问题归结为熵向量多面体上的优化问题，并受网络结构的约束。在有向无环图的情况下，这些约束是完全理解的，但对于一般的图，枚举它们的问题仍然是开放的：它是不知道如何分类的约束隐含的属性，我们称之为可串行化，这是指没有矛盾的循环依赖在网络代码。在这项工作中，我们发起了第一个系统的研究，对网络代码的可串行化的约束。我们发现，串行化不能仅仅通过评估图中的边集的香农熵来检测，但尽管如此，我们还是给出了一个多项式时间算法，该算法决定了网络代码的串行化。我们定义了一个非序列化的证书，称为信息漩涡，在序列化理论中起着与多商品流理论中分数切割的作用相当的作用，包括一种最小-最大关系。最后，我们研究了网络代码的可串行化缺陷，定义为为了使其可串行化而必须发送的最小额外位数。对于线性代码，我们表明，这是NP-难近似这个参数在一个恒定的因素，我们证明了一些令人惊讶的事实，这个参数的行为下的并行组成的代码。
2010-01-08 cs.DS cs.IT math.IT
Entropy Regularization and Faster Decremental Matching in General Graphs
本文推广熵正则化动态优化框架，并结合匹配多面体动态舍入，在一般图的边删除场景中以近最优更新次数更快维护无权与加权近似匹配。
2024-12-03 cs.DS math.OC
A Faster Parametric Search for the Integral Quickest Transshipment Problem
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文提出了一种改进算法，通过替换核心子程序以减少子模函数的最小化次数，从而提升了积分最快速中转问题的运行效率。
2025-05-19 cs.DS math.OC
Shrunk subspaces via operator Sinkhorn iteration
Edmonds问题最近的一个突破表明，非交换秩可以在确定性多项式时间内计算，并为此设计了各种算法。然而，只有相当复杂的算法被称为寻找一个所谓的收缩子空间，它作为一个双重证书的价值的非交换的秩。特别是，运营商Sinkhorn算法，也许是最简单的算法来计算与运营商缩放的非交换排名，没有找到一个缩小的子空间。寻找收缩子空间在诸如Brascamp-Lieb多面体的分离、零锥隶属问题中的单参数子群、拟阵求交和分式拟阵匹配的原对偶算法等应用中起着关键作用。本文给出了一个简单的Sinkhorn型算法，在确定性多项式时间内求出复数域上的最小收缩子空间。为此，我们引入了一个推广的运营商缩放问题，其中的边缘谱必须由指定的向量优化。然后，我们设计了一个有效的Sinkhorn风格的算法的广义算子缩放问题。将此应用于收缩子空间问题，我们表明，一个足够长的运行的算法也发现一个近似的收缩子空间接近最小的精确收缩子空间。最后，我们证明了近似收缩子空间可以舍入，如果它是足够接近的。在此过程中，我们还提供了一个简单的随机算法，以找到最小的收缩子空间。作为应用，我们设计了一个快速的分数阶线性拟阵匹配算法和有效的弱隶属度和优化算法的秩2 Brascamp-Lieb多面体。
2022-07-17 cs.DS
Deterministic Distributed Vertex Coloring: Simpler, Faster, and without Network Decomposition
我们提出了一个简单的确定性分布式算法，计算一个$(Δ+1)$ -顶点着色$O(\log^2 Δ\cdot \log n)$轮。该算法可以用$O(\log n)$位消息来实现。该算法也可以推广到更一般的$(degree+1)$ -列表着色问题。自20世纪80年代以来，获得$(Δ+1)$ -顶点着色的多项式时间确定性算法一直是分布式图算法领域的一个中心开放问题，直到最近Rozhoregon和Ghaffari的网络分解算法[STOC'20]。现有技术是基于其分解的改进变体，其导致用于$(Δ+1)$顶点着色的$O(\log^5 n)$轮算法。我们的着色算法是完全不同的，相当简单和快速。它解决了着色问题，在一个直接的方式，而不使用网络分解，通过逐步四舍五入某一分数的颜色分配，直到达到一个整体的颜色分配。此外，通过Chang，Li和Pettie [STOC'18]的方法，这种改进的确定性算法也导致了$(Δ+1)$着色的随机算法的复杂性的改善，现在达到了$O(\log^3\log n)$轮的界限。作为进一步的应用，我们还提供了更快的确定性分布式算法的顶点着色问题的以下变种。在荫度$a$图中，我们证明了$(2+ε)a$ -顶点着色可以在$O(\log^3 a\cdot\log n)$轮中计算。我们还证明了对于$Δ\geq 3$，$Δ$ -可着色图$G$的$Δ$ -着色可以在$O(\log^2 Δ\…
2021-09-04 cs.DC cs.DS
Tree-Packing Revisited: Faster Fully Dynamic Min-Cut and Arboricity
TU Graz（格拉茨工业大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）；Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文重新审视树打包与最小割的关系，证明只需维护Θ(λ³ log m)棵贪心树即可保证1-尊重割或平凡割，并基于此给出确定性全动态精确最小割算法，最坏情况更新时间为Õ(λ^{5.5}√n)，同时首次给出全动态分数树密度的(1+ε)-近似算法。
2026-08-20 cs.DS
Faster Primal-Dual Convergence for Min-Max Resource Sharing and Stronger Bounds via Local Weak Duality
我们重新审视（块角）最小最大资源共享问题，这是一个众所周知的推广的分数包装和最大并发流问题。它包括在非空闭凸集$X_C \subseteq \mathbb{R}^{\mathcal{R}}_{\geq 0}$的Minkowski和$\mathcal{X}= \sum_{C \in \mathcal{C}} X_C$中寻找一个$\ell_{\infty}$ -极小元，其中$\mathcal{C}$和$\mathcal{R}$是有限集。我们假设给出了$X_C$上近似线性极小化的预言。在这种情况下，目前已知最快的FPTAS是由Müller，Radke和Vygen提出的。对于$δ\in (0,1]$，它使用$\mathcal{O}((|\mathcal{C}|+|\mathcal{R}|)\log |\mathcal{R}| (δ^{-2} + \log \log |\mathcal{R}|))$ oracle调用计算$σ(1+δ)$ -近似最优解，其中$σ$是oracle的近似比。我们描述了他们的算法的扩展，并以各种方式改进以前的结果。我们的FPTAS，这是以前的方法，是基于乘法的权重更新方法，计算接近最佳的原始和对偶解决方案，使用$\mathcal{O}\left(\frac{|\mathcal{C}|+ |\mathcal{R}|}{δ^2} \log |\mathcal{R}|\r…
2021-11-12 cs.DS math.OC
Faster Lattice Basis Computation via a Natural Generalization of the Euclidean Algorithm
本文提出欧几里得算法的自然推广，用于计算一般格的基，运行时间优于现有最快算法，是近30年首次一般性改进。
2024-11-06 cs.DM cs.DS math.AG
