Internally-Convex Drawings of Outerplanar Graphs in Small Area
University of Ioannina（约阿尼纳大学）；Roma Tre University（罗马第三大学）；University of Perugia（佩鲁贾大学）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
研究外平面图在小面积内的内凸绘制问题，提出算法在O(n^1.5)面积内计算相关绘制，还给出内面为严格凸多边形时不同类型外平面图的面积界，如弱对偶为路径且最大面大小为k的为Θ(nk²)，直径受d限制的为Θ(nd²)。
2026-07-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Convex Grid Drawings of Planar Graphs with Constant Edge-Vertex Resolution
我们继续研究了3连通平面图的凸直线网格图的面积要求，这在过去的几十年里已经得到了深入的研究。出于应用程序，如图形编辑器，我们还需要获得的图纸有界边顶点分辨率，也就是说，顶点和任何非入射边之间的最近距离是下界的常数，不依赖于图形的大小。本文提出了一个以n个顶点和f个内面的3连通平面图为输入，在大小为（n-2+a）x（n-2 +a）的整数网格上计算边顶点分辨率至少为1/2的凸直线图的作图算法，其中a=min{n-3，f}.我们的结果改进了Chrobak，Goodrich和Tamassia以前最著名的面积界（3 n-7）x（3 n-7）/2。
2022-05-09 cs.CG cs.DS
Separable Drawings: Extendability and Crossing-Free Hamiltonian Cycles
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
引入可分离绘图概念，证明每个可分离绘图可扩展为完全图K_n的简单绘图，且K_n的可分离绘图包含无交叉哈密顿环并是平面哈密顿连通的。
2026-06-18 cs.CG cs.DM math.CO
Trees with Convex Faces and Optimal Angles
我们考虑图纸的树木，其中所有的边缘事件的树叶可以扩展到无限射线没有交叉，分割成无限凸多边形的平面。在所有这样的图纸中，我们寻求一个最大化的角度分辨率的图纸。我们发现线性时间算法来解决这个问题，无论是平面树和树没有固定的嵌入。在任何这样的绘图中，可以独立于角度设置边长，而不交叉;我们描述了设置这些长度的多种策略。
2006-07-26 cs.CG
On Monotone Drawings of Trees
一个图的无交叉直线图是单调的，如果在任意一对顶点之间关于某个方向存在单调路径。我们将展示如何构建一个单调的绘图树与$n$顶点上的$O(n^{1.5}) \times O(n^{1.5})$网格的角度接近最佳的角分辨率。我们的图画是凸的，也就是说，如果叶子的每条边都被一条射线代替，（无界的）面就形成凸的区域。众所周知，凸图是单调的，在树的情况下，也没有交叉。一个单调图是强单调的，如果对于每一对顶点，证明单调性的方向来自连接两个顶点的向量。我们表明，每棵树承认一个强单调的绘图。对于双连通外平面图，这很容易看到。另一方面，我们提出了一个简单的连接图，没有一个强单调的绘图在任何嵌入。
2016-04-24 cs.CG
Convex-Arc Drawings of Pseudolines
弱伪线排列是线排列的拓扑推广，由拓扑上等价于最多交叉一次的线的曲线组成。我们考虑的安排是外平面-每个交叉是一个无界面-和简单-每个交叉点是交叉的只有两条曲线。我们表明，这些安排可以表示为弦的圆，凸多边形链只有两个弯曲，或双曲线。简单但非外平面排列（非弱）可以用凸多边形链或线性复杂度的凸光滑曲线表示。
2016-01-26 cs.CG
Drawing the Almost Convex Set in an Integer Grid of Minimum Size
在2001年，Károlyi，Pach和Tóth引入了一个点集族来解决一个Erdens-Szekeres型问题;它已经被用来解决其他几个Eddens-Szekeres型问题。在本文中，我们把这些集合称为套几乎凸集。几乎凸集$\mathcal{X}$具有如下性质：由$\mathcal{X}$的同一凸层中的三个点所确定的每个三角形的内部恰好包含$\mathcal{X}$的一个点。本文给出了套几乎凸集的一个刻画。我们的刻画意味着最多存在一个（直到阶型）$n$点的几乎凸集套。我们使用我们的特征，以获得一个线性时间算法来构造嵌套几乎凸集的$n$点，与整数坐标的绝对值最多$O(n^{\log_2 5})$。最后，我们使用我们的特征，以获得一个$O(n\log n)$时间算法，以确定一组点是否是一个嵌套的几乎凸集。
2016-06-07 cs.CG
Saturated Drawings of Geometric Thickness k
本文研究了几何厚度为k的图的饱和几何画法，确定了顶点在凸位置时边数的上下界，并探讨了边预着色及k=2时非凸位置的情况。
2025-03-05 cs.CG
Convexity-Increasing Morphs of Planar Graphs
研究平面图的凸化绘图问题。给定一个内部3连通图的任意平面直线图，我们展示了如何将该图变形为具有严格凸面的图，同时始终保持平面性。我们的变形是凸性增加的，这意味着一旦一个角是凸的，它就保持凸。我们给出了一个有效的算法，构造这样的变形作为一个组成的线性数量的步骤，每一步移动顶点沿水平线或沿垂直线移动顶点。此外，我们表明，线性数量的步骤是最坏情况下的最优。为了获得我们的结果，我们使用了一个著名的技术，由香港和Nagamochi找到重新绘制凸面，同时保持y坐标。使用Tutte的图形绘制算法的一个变体，我们得到了一个新的证明洪和Nagamochi的结果，它具有更好的运行时间。这是独立的利益，作为香港和Nagamochi的技术作为一个积木在现有的变形算法。
2019-01-28 cs.CG
On the Maximum Crossing Number
关于交叉的研究通常是关于最小化的。在本文中，我们考虑\emph{maximizing}的所有可能的方式，以绘制一个给定的图在平面上的交叉数。Alpert等人[Electron.J.Combin.，2009]说明任何图形都具有\emph{convex}直线图，例如，顶点在凸位置的一种绘图，它使边缘交叉的数目最大化。我们反驳这一猜想，通过构建一个平面图上的12个顶点，允许非凸绘图与更多的交叉比任何凸的。Bald等人[Proc. COCOON，2016]表明，计算几何图的最大交叉数是NP-困难的，并且加权几何情况是NP-困难的。我们加强了这些结果，显示硬度的逼近，甚至为非加权几何的情况下，证明了非加权拓扑的情况下是NP-困难的。
2017-05-15 cs.CG
Drawing Planar Graphs with a Prescribed Inner Face
给定平面图$G$（即，具有固定平面嵌入的平面图）和$G$中顶点映射为凸多边形的简单圈$C$，我们考虑这种图是否可以推广为$G$的平面直线图的问题.当这是可能的简单的必要条件，我们证明是足够的，我们的特点。这也导致了线性时间测试算法。如果存在图形扩展，则可以在同一运行时间内计算该扩展。
2013-08-15 cs.CG cs.DS
On Compaction and Realizability of Almost Convex Octilinear Representations
School of Computation, Information and Technology, TU Munich（慕尼黑工业大学计算、信息与技术学院）；Department of Engineering, University of Perugia（佩鲁贾大学工程学院）
本文研究了八边形表示的可实现性和压缩问题，证明了其在特定条件下仍为NP难，并提出了基于凹角数量的FPT和XP算法。
2025-11-25 cs.CG
Drawing the double circle on a grid of minimum size
在1926年，Jarník介绍了问题的绘制凸$n$ -gon与顶点具有整数坐标。他在网格$[1,c\cdot n^{3/2}]^2$中构造了这样一个图，其中有一个常数$c>0$，并证明了这个网格的大小在常数因子下是最优的。我们考虑了画双圆的类似问题，并证明了它可以在相同的网格尺寸内完成。此外，我们还给出了一个O（n）时间的算法来构造这样的点集.
2013-05-29 cs.CG math.CO
Using SAT to study plane Hamiltonian substructures in simple drawings
本文开发SAT框架研究完全图简单画法，基于计算数据提出并证明平面哈密顿子图（含2n-3条边）猜想对凸画法成立，并引出新猜想。
2023-05-16 cs.CG cs.DM math.CO
A Discrete Analog of Tutte's Barycentric Embeddings on Surfaces
LIGM, CNRS, Univ Gustave Eiffel（LIGM, 法国国家科学研究中心, 古斯塔夫·埃菲尔大学）；Institut universitaire de France (IUF), Université de Lorraine, CNRS, LORIA（法国高等研究院, 洛林大学, 法国国家科学研究中心, LORIA）；University of Notre Dame（圣母大学）
提出非正曲率曲面上Tutte嵌入定理的纯离散模拟，基于减少三角剖分概念，证明调和顶点绘图是弱嵌入，并给出多项式时间算法使绘图调和而不增加边长。
2026-07-03 cs.CG
Polygon-Universal Graphs
我们研究了一个作图的基本问题：给定一对图$(G,C)$，图$G$和$G$中的圈$C$，以及一个简单的多边形$P$，在$P$中是否有一个$G$的直线图，它将$C$映射到$P$？我们说这样一幅$(G,C)$的图尊重$P$。我们充分刻画了这些实例$(G,C)$是通用的，也就是说，他们有一个图纸，尊重$P$任何简单的（不一定是凸的）多边形$P$。具体来说，我们确定了两个必要条件的一个实例是通用的。这两个条件都是纯粹基于图和循环距离，并且易于检查。我们证明这两个条件也是充分的。此外，如果一个实例$(G,C)$是平面的，也就是说，如果存在一个平面图的$G$与$C$的外表面上，我们表明，相同的条件保证每个简单的多边形$P$的存在一个平面图的$(G,C)$，尊重$P$。如果$(G,C)$是双泛的，那么我们的证明直接暗示了一个线性时间算法来构造一个尊重给定多边形$P$的绘图。
2021-03-11 cs.CG
Partitioning Graph Drawings and Triangulated Simple Polygons into Greedily Routable Regions
GRR是$\mathbb R^2$的一个闭子集，通过选择路径上每个点到目的地距离最小的方向，可以从每个起点到达目的地。他们证明了对于有洞的多边形，最小分解是NP困难的。本文研究图的平面直线图的最小GRR分解。在这里，GRR与树的自接近绘图相吻合，这种绘图风格已成为图形绘制中的热门研究课题。我们表明，最小分解仍然是NP-困难的图的周期，但可以解决最佳的树在多项式时间。此外，我们给出了一个2-近似简单的多边形，如果一个给定的三角剖分必须尊重。
2017-02-28 cs.CG
Large convex holes in random point sets
平面上点集$P$的{ \em凸洞}（或{ \em空凸多边形）}是顶点在$P$中的凸多边形，其内部不包含$P$的点。设$R$是平面上的有界凸区域。我们证明了在$R$上独立一致地选择的一组$n$随机点的最大凸洞的期望顶点数是$Θ(\log{n}/(\log{\log{n}}))$，而与$R$的形状无关.
2012-06-05 cs.CG math.PR
On $k$-Gons and $k$-Holes in Point Sets
我们考虑了经典的Erdens-Szekeres问题的一个变化，即在平面上的一组$n$点中存在凸$k$ -洞和$k$ -洞（空的$k$ -洞）以及凸的$k$-洞的个数。允许的$k$ -非凸的，我们显示的界限和结构上的结果，最大化和最小化他们的人数。最值得注意的是，对于任何$k$和足够大的$n$，我们给出了一个二次下界的$k$ -孔的数量，并表明，这个数字是最大化的凸位置集。
2014-08-30 cs.CG cs.DM
The Number of Holes in the Union of Translates of a Convex Set in Three Dimensions
我们发现，在$\mathbb{R}^3$凸体的$n$平移的联合可以有$Θ(n^3)$孔在最坏的情况下，在一个集合$X$中的孔是$\mathbb{R}^3 \setminus X$的连通分量。这驳斥了一个20年前的猜想。因此，我们也得到了改进的运动规划问题的复杂性和沃罗诺伊图与凸距离函数的下界。
2015-02-06 cs.CG
Compatible 4-Holes in Point Sets
点集上相邻不相交的空凸多边形的计数是一个典型的Erdens-Szekeres型问题。我们研究这个问题为4-π。设$P$是平面中且处于一般位置的一组$n$点。$P$的一个四点子集$Q$称为$P$中的$4$ -洞，如果$Q$处于凸位置且其凸包内部不包含$P$的任何点.如果内部不相交，则$P$中的两个4孔是兼容的。我们发现，$P$包含至少$\lfloor 5n/11\rfloor {-} 1$成对兼容的4孔。这改善了Sakai和Urrutia（2007）的结果所暗示的$2\lfloor(n-2)/5\rfloor$的下限。
2018-07-26 cs.CG cs.DM
Maximal Distortion of Geodesic Diameters in Polygonal Domains
Algoresearch L.L.C.（Algoreresearch有限责任公司）；Research Institute of the University of Bucharest（布加勒斯特大学研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
研究了多边形域中测地直径与欧几里得直径的比值，证明了在具有凸孔的凸多边形中，该比值的上界随孔数变化而变化，并探讨了不同条件下该比值的性质。
2026-02-09 cs.CG math.GT
On convex holes in $d$-dimensional point sets
给定一个有限集合$A \subseteq \mathbb{R}^d$，如果点$a_1,a_2,\dotsc,a_{\ell} \in A$是凸多面体的顶点，且凸多面体内部不含$A$的点，则点构成$A$中的一个$\ell$ -洞.我们构造任意大的点集在一般位置的$\mathbb{R}^d$没有大小为$O(4^dd\log d)$或更大的洞。这改进了先前已知的由于Valtr而导致的阶数$d^{d+o(d)}$的上限。我们构造的基本版本使用了某种类型的等分布点集，源自数值分析，称为$(t,m,s)$ -网或$(t,s)$ -序列，产生$2^{7d}$的界。使用$(t,m,s)$网的一个变体，服从放松的等分布条件，得到更好的界限。
2021-03-12 cs.CG math.CO
Holes and islands in random point sets
对于$d\in\mathbb{N}$，令$S$是$\mathbb{R}^d$中处于一般位置的点的集合。如果$I$的凸壳$\mathrm{conv}(I)$满足$\mathrm{conv}(I) \cap S = I$，则来自$S$的$k$点的集合$I$是$S$中的$k$ -岛. $S$中处于凸位置的$k$ -岛是$S$中的$k$ -孔。对于$d,k\in\mathbb{N}$和体积为$1$的凸体$K\subseteq\mathbb{R}^d$，令$S$是从$K$均匀且独立地随机选择的$n$点的集合。我们表明，$S$中的$k$ -孔的预期数量是在$O(n^d)$中。我们的估计改进和推广了所有以前的界限。特别地，我们通过$2^{d-1}\cdot d!\cdot\binom{n}{d}$估计了$S$中空单形的期望数目。这在平面上直到低阶项都是紧的。我们的方法给出了一个渐近紧的上限$O(n^d)$，即使在更一般的设置，我们估计的预期数量的$k$ -岛屿在$S$。
2022-02-07 cs.CG cs.DM math.CO
Geometric Embedding of Path and Cycle Graphs in Pseudo-convex Polygons
给定一个图$ G $，图中有$ n $顶点和平面上的$ n $点的集合$ S $，$ G $在$ S $上的点集嵌入是一个平面图，使得$ G $的每个顶点映射到$ S $的一个不同点。直线点集嵌入是没有边折弯或曲线的点集嵌入。即使当$ G $是$ 2 $ -连通和$ 2 $ -外平面的时，点集的可嵌入性问题也是NP完全的.它已经解决了多项式只有少数几类平面图。假设$ S $是一个简单多边形的顶点集。图的直线多边形嵌入是指图在多边形顶点上的直线点集嵌入，且图的边与多边形的边不相交。本文给出了简单凸多边形中路径图和圈图的多边形嵌入的$ O(n) $ -时间算法和一类简单多边形中路径图和圈图的多边形嵌入的同样的时间算法，其中$n$是多边形的顶点数.
2017-08-04 cs.CG
Two Disjoint 5-Holes in Point Sets
给定一组点$S \subseteq \mathbb{R}^2$，如果$X$的所有点都位于$X$的凸包的边界上，则具有$|X|=k$的子集$X \subseteq S$称为$k$ -gon，如果另外，没有点$S \setminus X$位于$X$的凸包中，则称为$k$ -hole。本文用计算机辅助证明了在一般位置上每17个点的集合中存在两个不相交的5-洞，即具有各自不相交的凸包的洞。这回答了细野和浦部（2001）的一个问题。我们还提供了新的界限，三个和更多的成对不相交的洞。在最近的一篇文章中，Hosono和Urabe（2018）提出了关于不相交孔的新结果-这是一种变体，在过去的二十年中也进行了研究。利用我们的程序，我们证明了每一组15个点包含两个相邻不相交的5-洞。此外，我们的程序可以用来验证每一组17个点包含一个6边形，其计算时间比Szekeres和Peters（2006）的原始程序要短得多。Marić（2019）对这一结果进行了另一次独立验证。
2020-05-20 cs.CG math.CO
Erdős--Szekeres-type problems in the real projective plane
我们考虑点集在真正的射影平面$\mathbb{R}P^2$和探讨经典极值问题的变种在此设置的平面点集，主要集中在Erdens-Szekeres型问题。我们提供了一个变种的Erdens-Szekeres定理关于点集在凸位置的$\mathbb{R}P^2$，这是由Harborth和Möller在1994年发起的。$\mathbb{R}P^2$中的凸位置概念与Steinitz在1913年引入的凸集定义一致。对于$k \geq 3$，有限集合$S \subseteq \mathbb{R}^2$中的（\affine）$k$ -洞是来自$S$的处于凸位置的$k$点的集合，并且在它们的凸包内部没有$S$的点。在介绍了一个新的概念$k$ -洞的点集从$\mathbb{R}P^2$，称为投影$k$ -洞，我们发现任意大的有限点集从$\mathbb{R}P^2$没有\projective 8-洞，提供了一个类似的经典平面结构霍顿从1983年。我们还证明了它们只包含二次方多个\projective $k$ -洞的$k \leq 7$。另一方面，我们表明，$k$ -孔的数量可以大大大于在$\mathbb{R}P^2$比在$\mathbb{R}^2$通过构建，为每个$k \in \{3,\dots,6\}$，集$n$点从$\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{R}P^2$与$Ω(n^{3…
2022-09-03 cs.CG math.CO
Tight bounds on the expected number of holes in random point sets
对于整数$d \geq 2$和$k \geq d+1$，在$\mathbb{R}^d$中一般位置的点的集合$S$中的$k$ -洞是来自$S$的凸位置的点的$k$ -元组，使得它们的凸包的内部不包含来自$S$的任何点。对于单位$d$维体积的凸体$K \subseteq \mathbb{R}^d$，研究了从$K$随机均匀独立抽取的$n$点集上$k$ -洞的期望个数$EH^K_{d,k}(n)$.我们证明了一个渐近紧的下限$EH^K_{d,k}(n)$通过显示，对所有固定整数$d \geq 2$和$k\geq d+1$，数$EH_{d,k}^K(n)$至少是$Ω(n^d)$。对于一些小的空穴，我们甚至精确地确定了前导常数$\lim_{n \to \infty}n^{-d}EH^K_{d,k}(n)$。我们改进了Reitzner和Temesvari（2019）关于$\lim_{n \to \infty}n^{-d}EH^K_{d,d+1}(n)$的当前最著名的下界。在平面上，我们证明了对于每个固定的$k \geq 3$，常数$\lim_{n \to \infty}n^{-2}EH^K_{2,k}(n)$与$K$无关，并且我们精确地计算了$k=4$，改进了Fabila-Monroy，Huemer和Mitsche（2015）和作者（2020）的早期估计。
2022-02-07 cs.CG cs.DM math.CO
Polygon Simplification by Minimizing Convex Corners
设$P$为具有$r>0$反射顶点且可能具有孔和岛的多边形。$P$的包含多边形是多边形$P'$，使得$P \subseteq P'$、$P$的每个连通分量$R$是$P'$的不同连通分量$R'$的子集，并且$R$的反射角与$R'$的反射角重合。$P'$的包含链是在$P'$的边界上的极小路，其两个端边与$P$的两个边重合。Aichholzer等人证明了每个多边形$P$都有一个包含$O(r)$顶点的包含多边形，并提出了一个确定包含多边形的凸顶点数最少的计算复杂性的公开问题.我们证明了计算最优包容多边形的问题是NP完全的，但复杂性对于简单多边形仍然是开放的（即，没有孔的多边形）。我们的NP-困难的结果，即使包容链被限制为具有恒定的长度和谎言的安排线所确定的输入多边形的边缘。我们表明，这种限制使得问题的多项式时间可解的简单多边形。
2018-12-13 cs.CG
On the Doubling Dimension and the Perimeter of Geodesically Convex Sets in Fat Polygons
TU Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Carleton University（卡尔顿大学）；University of Ottawa（渥太华大学）
研究了脂肪多边形的倍数维度特性及测地凸集的周长，证明了局部脂肪多边形不一定有有限倍数维度，而(α,β)覆盖多边形则有，且周长与欧几里得直径成正比，进而提出新的算法。
2026-04-17 cs.CG
On plane cycles in geometric multipartite graphs
本文研究几何完全多部图中的平面圈，证明了长度下界定理，刻画了特定平面圈存在的条件，给出了判定 $K_{n,n}$ 平面哈密顿圈的算法，并证明了相关判定问题的 NP 完全性。
2025-06-25 cs.CG math.CO
