三维凸集平移并的洞数
The Number of Holes in the Union of Translates of a Convex Set in Three Dimensions
摘要：
我们发现，在$\mathbb{R}^3$凸体的$n$平移的联合可以有$Θ(n^3)$孔在最坏的情况下，在一个集合$X$中的孔是$\mathbb{R}^3 \setminus X$的连通分量。这驳斥了一个20年前的猜想。因此，我们也得到了改进的运动规划问题的复杂性和沃罗诺伊图与凸距离函数的下界。
英文摘要：
We show that the union of $n$ translates of a convex body in $\mathbb{R}^3$ can have $Θ(n^3)$ holes in the worst case, where a hole in a set $X$ is a connected component of $\mathbb{R}^3 \setminus X$. This refutes a 20-year-old conjecture. As a consequence, we also obtain improved lower bounds on the complexity of motion planning problems and of Voronoi diagrams with convex distance functions.
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