随机点集上的洞和岛
Holes and islands in random point sets
摘要：
对于$d\in\mathbb{N}$，令$S$是$\mathbb{R}^d$中处于一般位置的点的集合。如果$I$的凸壳$\mathrm{conv}(I)$满足$\mathrm{conv}(I) \cap S = I$，则来自$S$的$k$点的集合$I$是$S$中的$k$ -岛. $S$中处于凸位置的$k$ -岛是$S$中的$k$ -孔。对于$d,k\in\mathbb{N}$和体积为$1$的凸体$K\subseteq\mathbb{R}^d$，令$S$是从$K$均匀且独立地随机选择的$n$点的集合。我们表明，$S$中的$k$ -孔的预期数量是在$O(n^d)$中。我们的估计改进和推广了所有以前的界限。特别地，我们通过$2^{d-1}\cdot d!\cdot\binom{n}{d}$估计了$S$中空单形的期望数目。这在平面上直到低阶项都是紧的。我们的方法给出了一个渐近紧的上限$O(n^d)$，即使在更一般的设置，我们估计的预期数量的$k$ -岛屿在$S$。
英文摘要：
For $d\in\mathbb{N}$, let $S$ be a set of points in $\mathbb{R}^d$ in general position. A set $I$ of $k$ points from $S$ is a $k$-island in $S$ if the convex hull $\mathrm{conv}(I)$ of $I$ satisfies $\mathrm{conv}(I) \cap S = I$. A $k$-island in $S$ in convex position is a $k$-hole in $S$. For $d,k\in\mathbb{N}$ and a convex body $K\subseteq\mathbb{R}^d$ of volume $1$, let $S$ be a set of $n$ points chosen uniformly and independently at random from $K$. We show that the expected number of $k$-holes in $S$ is in $O(n^d)$. Our estimate improves and generalizes all previous bounds. In particular, we estimate the expected number of empty simplices in $S$ by $2^{d-1}\cdot d!\cdot\binom{n}{d}$. This is tight in the plane up to a lower-order term. Our method gives an asymptotically tight upper bound $O(n^d)$ even in the much more general setting, where we estimate the expected number of $k$-islands in $S$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
