Morphing Planar Graphs Drawings Efficiently
同一图形的两个直线平面图之间的变形是从第一个图到第二个图的连续变换，使得平面性始终保持不变。变形的每一步都沿直线以恒定速度移动每个顶点。尽管在几十年前就已经确定了任何两个图形之间存在变形，但直到最近才证明多项式数量的步骤足以使任何两个平面直线图形变形。也就是说，在SODA 2013年，Alamdari et al. [1]证明了平面图的任意两个平面直线图都可以在O（n^4）步内变形，而如果我们限制为极大平面图，则O（n^2）步就足够了。本文改进了这一结果，给出了一个O（n^2）步变形平面图的任意两个平面直线图的算法，并进一步证明了串-并联图的任意两个平面直线图之间存在一个O（n）步变形.
2013-08-20 cs.CG cs.DS
Morphing Planar Graph Drawings Optimally
我们提供了一个算法，用于计算任何两个平面直线图的任何$n$ -顶点平面图之间的平面变形的$O(n)$变形步骤，从而改善了以前最好的已知$O(n^2)$上界。进一步，我们证明了我们的算法是最优的，即我们证明了存在$n$ -顶点平面图$G$的两个平面直线图$Γ_s$和$Γ_t$，使得$Γ_s$和$Γ_t$之间的任何平面变形都需要$Ω(n)$变形步骤.
2014-02-19 cs.CG cs.DS
Upward Planar Morphs
证明了：给定$n$ -顶点有向图$G$的两个拓扑等价的向上平面直线图，它们之间总存在一个变形，使得该变形的所有中间图都是向上平面直线图.如果$G$是一个简化的平面$st$ -图，则这种变形包括$O(1)$变形步骤，如果$G$是一个平面$st$ -图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个简化的向上平面图，则包括$O(n)$变形步骤，如果$G$是一个一般的向上平面图，则包括$O(n^2)$变形步骤.此外，我们表明，$Ω(n)$变形步骤可能是必要的向上平面变形之间的两个拓扑等价的向上平面直线图纸的$n$顶点路径。
2018-10-12 cs.CG cs.DS math.CO
Morphing tree drawings in a small 3D grid
我们研究了使用3D的平面树绘图的无交叉网格变形。变形由变形步骤组成，其中顶点以恒定速度沿直线轨迹同时移动。在具有$\mathcal{O}(n)$变形步骤的$n$ -顶点平面图$G$的两个绘图之间已知无交叉变形，并且使用第三维度，对于$n$ -顶点树，它可以被简化为$\mathcal{O}(\log n)$ [Arseneva et al. 2019年]。然而，这些变形不限制一个实际参数，分辨率。通过使用第三维度，在保持分辨率在整个变形过程中有界的同时，步骤的数量是否可以大大减少？我们回答这个问题是肯定的，并提出了一个三维非交叉变形之间的两个平面网格绘制的$n$顶点树的$\mathcal{O}(\sqrt{n} \log n)$变形步骤。每个中间图形位于多项式体积的$3D$网格中。
2021-10-06 cs.CG
Morphing Schnyder drawings of planar triangulations
我们考虑同一个三角剖分图的两个平面图之间保持直线平面性的变形问题。SODA 2013中的一篇论文给出了一个由$O(n^2)$步骤组成的变形，其中每个步骤都是线性变形，以匀速直线移动每个$n$顶点。然而，他们的方法模仿边缘收缩，因此中间图形的网格大小没有限制，并且变形对于可视化目的来说并不好。使用施奈德嵌入，我们能够变形在$O(n^2)$线性变形步骤和改进的网格大小为$O(n)\times O(n)$的一个显着的一类图纸的三角剖分，即类加权施奈德图纸。变形在视觉上是有吸引力的。我们的方法涉及到实现基本的“翻转”操作的施耐德伍兹作为线性变形。
2014-11-23 cs.CG math.CO
Morphing Planar Graph Drawings Through 3D
本文研究平面直线绘制间的无交叉3D变形，证明任意两个n顶点平面图的绘制可通过O(n^2)步的分段线性变形相互转换，并探讨了线性下界难以实现的原因。
2022-10-11 cs.CG cs.DS
A bound on a convexity measure for point sets
当平面点集有凸的顶点集，即顶点集的最大内角测度不超过π时，它才处于凸位置。因此，我们可以根据最大内角的最小值来讨论一组点的凸性。这里提出的主要结果是一个非平凡的组合上限的最小值，最大值的数量在集合中。出于一个特定的建设，我们也提出了一个自然的猜想的最佳上限。
2014-09-15 cs.CG math.CO
Planar and Toroidal Morphs Made Easier
我们提出了两个密切相关的变形问题的简单算法，无论是基于重心插值范式引入的浮动和Gotsman，这又是基于浮动的Tutte的经典弹簧嵌入定理的非对称扩展。首先，我们给出了一个更简单的算法来构造平面直线图之间的分段线性变体。具体地说，给定同一个3连通平面图$G$的同构直线图$Γ_0$和$Γ_1$，具有相同的凸外表面，我们构造了一个从$Γ_0$到$Γ_1$的变形，它由$O(n)$单向变形步骤组成，在$O(n^{1+ω/2})$时间。我们的算法完全避免了可以追溯到凯恩斯的经典边缘折叠策略;相反，在每个变形步骤中，我们插值与单个边缘相关的权重对。其次，我们描述了重心插值到平坦环面上测地线图的自然推广。重心插值不能直接应用于此设置，因为定义中间顶点位置的线性系统不一定是可解的。我们描述了一个简单的缩放策略，可以避免这个问题。计算适当的缩放需要$O(n^{ω/2})$时间，之后我们可以在$O(n^{ω/2})$时间内计算变形中任意点的绘图。我们的算法比Chambers等人（arXiv：2007.07927）的最新算法简单得多，并产生更自然的变体。我们的技术也产生一个简单的证明康奈利等人的猜想。测地环面三角剖分。
2021-09-14 cs.CG math.GT
From Tutte to Floater and Gotsman: On the Resolution of Planar Straight-line Drawings and Morphs
本文针对极大平面图，证明了Floater算法及其与Gotsman形变算法所得平面直线绘制分辨率的上下界，并揭示该形变算法可能将多项式分辨率绘制退化为指数级小分辨率。
2025-03-01 cs.CG cs.DM cs.DS
How to Morph a Tree on a Small Grid
本文研究了树的直线平面网格图之间的平面变形。变形由一系列变形步骤组成，其中在变形步骤中，顶点以恒定速度沿着直线轨迹移动。我们将展示如何构建平面变形，同时实现变形步骤和多项式有界的决议减少。我们假设初始和最终的图纸都位于网格上，并且我们确保每个变形步骤都会产生网格图纸;此外，我们考虑了向上绘制的有根树和任意树的图纸。
2019-09-27 cs.CG cs.DM cs.DS
How to Morph Graphs on the Torus
我们提出了第一个算法变形图上的环面。给定欧氏平面环面上同一个图的两个基本上3-连通的同位素嵌入，其中两个图中的边都是测地线，我们的算法计算从一个图到另一个图的连续变形，使得所有边在任何时候都是测地线。以前甚至不知道这种变体的存在。我们的算法在$O(n^{1+ω/2})$时间内运行，其中$ω$是矩阵乘法指数，计算的变形由$O(n)$并行线性变形步骤组成。现有的变形平面直线图的技术并不能立即推广到环面上的图;特别是，凯恩斯1944年的原始证明及其最近的改进依赖于每个平面图都包含一个度最多为5的顶点。我们的证明依赖于一个微妙的几何分析6-定期三角形的环面。我们还大量使用Tutte的弹簧嵌入定理的环面图的自然延伸。
2020-07-15 cs.CG
Optimal Morphs of Convex Drawings
本文给出了同一平面图的任意两个凸图之间的变形的一个算法。变形在任何时刻都保持图形的凸性，并沿着具有线性复杂性的分段线性曲线移动每个顶点。在最坏的情况下，线性界是渐近最优的。
2015-03-31 cs.CG cs.DM math.CO
Non-Convex Planar Harmonic Maps
我们制定了一个新的二维域之间的可逆映射的家庭的特征。我们的工作遵循两个经典的结果：Radó-Kneser-Choquet（RKC）定理，它建立了调和映射到凸平面域的可逆性;和Tutte的嵌入定理可平面图- RKC的离散对应物-它证明了满足离散调和原理的三角域的分段线性映射到凸平面多边形的可逆性。在这两个定理中，目标域的凸性对于确保可逆性是必不可少的。我们扩展这些特征，在连续和离散的情况下，取代凸性的限制性条件。在连续情形下，Alessandrini和Nesi通过增加沿边界方向保持的附加条件，给出了到具有光滑边界的非凸区域的可逆调和映射的一个特征.我们扩展他们的结果，定义一个条件的正常衍生物沿边界，我们称之为锥条件，这个条件是易处理的和几何直观的，编码一个弱的概念的局部可逆性。锥条件使我们能够将Alessandrini和Nesi推广到具有分段光滑边界的非凸区域的调和映射的情形。在离散情况下，我们使用类似的锥条件来表征三角剖分的可逆离散调和分段线性映射。这给出了一个模拟我们的连续的结果和特点可逆离散调和映射的三角形入射在边界上的方向。
2020-01-05 cs.CG math.AP math.MG
Shortest Paths, Convexity, and Treewidth in Regular Hyperbolic Tilings
Aalto University（阿尔托大学）；University of Oxford（牛津大学）
本研究针对正则双曲镶嵌图的最短路径结构，提出用经典几何凸包算法近似线性计算终端点的等距闭包，证明凸包大小与树宽的界，并推导出子集TSP和Steiner树的高效算法。
2025-10-30 cs.CG
Manipulating Weights to Improve Stress-Graph Drawings of 3-Connected Planar Graphs
本文研究通过操纵应力图嵌入中的权重来改进3连通平面图的凸直线绘制，提出均匀分布、xy变形及基于树深度的权重选择方法，以克服Tutte嵌入的指数面积问题。
2023-08-30 cs.CG cs.DS
Compatible Connectivity-Augmentation of Planar Disconnected Graphs
出于应用程序的图形变形，我们考虑以下\emph{compatible connectivity-augmentation problem}：我们给出了一个标记的$n$ -顶点平面图，$\mathcal{G}$，它有$r\ge 2$连接组件，和$k\ge 2$同构平面直线图，$G_1,\ldots,G_k$，$\mathcal{G}$。我们希望通过添加顶点和边来增强$\mathcal G$，使其以这样一种方式连接，即这些顶点和边可以分别作为点和直线段添加到$G_1,\ldots,G_k$中，以获得与$\mathcal G$的增强同构的$k$平面直线图。我们表明，添加$Θ(nr^{1-1/k})$边缘和顶点到$\mathcal{G}$总是足够的，有时是必要的，以实现这一目标。上限对所有$r\in\{2,\ldots,n\}$和$k\ge 2$都成立，并且可以通过一种算法来实现，该算法的运行时间对于$k=O(1)$是$O(nr^{1-1/k})$，对于$k$的一般值是$O(kn^2)$。下限适用于所有$r\in\{2,\ldots,n/4\}$和$k\ge 2$。
2014-08-11 cs.CG
Greedy Rectilinear Drawings
一个图的绘制是贪婪的，如果对于每个有序的顶点对u和v，存在一条从u到v的路径，使得到v的欧氏距离在路径的每个顶点处单调减小。贪婪图的存在性已经在不同的拓扑和几何约束下得到了广泛的研究，例如平面性，面凸性和绘制简洁性。我们介绍贪婪的直线图，其中每个边缘是一个水平或垂直段。这些图形具有多个特性，可提高可读性并支持网络路由。我们解决的问题，测试是否一个平面直线表示，即，具有指定顶角的平面图，允许定义贪婪绘图的顶点坐标。我们提供了一个表征，线性时间测试算法，和一个完整的生成方案的普遍贪婪的直线表示，即，凡此种种，皆是虚妄。对于一般的贪婪直线表示，我们给出了一个组合特征，并在此基础上，一个多项式时间的测试和绘制算法的一个有意义的子集的实例。
2019-08-06 cs.CG
Notes on the 33-point Erdős--Szekeres problem
University of Bucharest（布加勒斯特大学）
本文提出了一种基于三向量变量和四集凸性准则的SAT编码，用于解决33点埃罗什-塞克雷斯问题，并探讨了计算复杂性和编码优化的挑战。
2025-12-30 cs.CG math.CO
