A characterization of $Q$-polynomial distance-regular graphs using the intersection numbers
本文考虑一个本原距离正则图$Γ$，其直径至少为$3$ .我们利用$Γ$的相交数来寻找一个整数元的正半定矩阵$G$。证明了$G$有行列式零当且仅当$Γ$是$Q$ -多项式.
2017-06-09 math.CO
The displacement and split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径至少为3的标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.我们引入了$V$的两个直和分解。我们称之为$Γ$的位移分解和$Γ$的分裂分解。我们描述这些分解是如何相关的。
2003-06-08 math.CO
Unimodality of the independence polynomials of non-regular caterpillars
图$G$的独立多项式$I(G, x)$是变量$x$的多项式，其中$x^n$上的系数$a_n$给出$G$的顶点的独立子集$S \subseteq V(G)$的数目，使得$|S| = n$。如果存在索引$I(G, x)$使得$a_0 \leq a_1 \leq$.. $\leq a_{μ-1} \leq a_μ \geq a_{μ+1} \geq$. $\geq a_{d-1} \geq a_d$虽然许多具有高度规则结构的图族的独立多项式是单峰的，但对结构不太规则的图知之甚少。我们分析了一个大型的无限树族的独立多项式没有规则的结构，并表明，这些多项式是单峰通过组合分析的多项式系数。
2018-02-17 math.CO
Characterizations of regularity for certain $Q$-polynomial association schemes
证明了具有$a_1^*=0$和互无偏基（MUB）的对称设计的联结系统是三重正则结合方案。本文用Krein数刻画了对称设计的联结系统的三重正则性。证明了极大MUB携带一个四重正则结合方案，并用参数刻画了MUB的四重正则性。
2009-10-24 math.CO
Alliance polynomial of regular graphs
具有阶$n$和最大度$Δ$的图$G$的联盟多项式是多项式$A(G; x) = \sum_{k=-Δ}^Δ A_{k}(G) \, x^{n+k}$，其中$A_{k}(G)$是$G$中精确防御$k$ -联盟的数目。我们得到了正则图的$A(G; x)$及其系数的一些性质。特别地，我们用正则图的联盟多项式的非零系数的个数来刻画正则图的度。此外，我们还证明了小度$Δ$ -正则图的联盟多项式族是一个非常特殊的联盟多项式族，因为它不包含非$Δ$ -正则图的联盟多项式.利用这一结果，通过直接计算，我们发现联盟多项式唯一地决定了每一个阶小于或等于$10$的三次图。
2015-07-05 math.CO
More on the sixth coefficient of the matching polynomial in regular graphs
图$G$中的匹配集$M$是$G$的边的集合，使得来自$M$的两条边不共享顶点。本文考虑了与正则图匹配有关的一些参数。找到了正则图匹配多项式的第六个系数。因此，每一个阶为$10$的三次图都是匹配唯一的。
2017-10-20 math.CO
m-distance-regular graphs and their relation to multivariate P-polynomial association schemes
该研究定义m-距离正则图概念，证明其为多元P-多项式结合方案提供图论解释，还探究两类对象的精细结构与约束，建立(α,β)型二元P-多项式方案和2-距离正则图的关联。
2024-01-29 math.CO
The Terwilliger polynomial of a Q-polynomial distance-regular graph and its application to the pseudo-partition graphs
设$Γ$是直径至少为$3$的$Q$ -多项式距离正则图. Terwilliger（1993）隐式地证明了存在一个多项式，比如说$T(λ)\in \mathbb{C}[λ]$，其次数$4$仅取决于$Γ$的交集数，并且使得对于局部图$Γ(x)$的任何非主特征值$η$，对于任何顶点$x\in V(Γ)$，$T(η)\geq 0$都成立。我们称$T(λ)$为$Γ$的Terwilliger多项式。本文利用$Γ$与其对偶特征值的交数给出了$T(λ)$的一个显式表达式。然后，我们应用这个多项式表明，所有的伪分区图的直径至少$3$是已知的。
2014-03-17 math.CO
Connectivity concerning the last two subconstituents of a Q-polynomial distance-regular graph
设$Γ$是直径为$d\geq 3$的$Q$ -多项式距离正则图.固定$Γ$的一个顶点$γ$，并考虑$Γ$的最后两个子成分关于$γ$的并集上导出的子图。我们证明了这个子图是连通的。
2020-08-27 math.CO
The cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties and Schubert polynomials
本文研究正则幂零Hessenberg簇的上同调环与Schubert多项式之间的关系。为了描述正则幂零Hessenberg簇的上同调环的显式表示，Abe-Harada-Horiguchi-Masuda引入了多项式$f_{i,j}$.我们证明了每个多项式$f_{i,j}$是某些舒伯特多项式的交替和。
2018-01-24 math.AG math.AT math.CO
Twice $Q$-polynomial distance-regular graphs of diameter 4
已知一个距离正则图的度$k$至少为3，最多允许两个Q-多项式结构.本文证明了所有直径为4、度至少为3且允许两个$Q$ -多项式结构的距离正则图是对偶二部图或几乎对偶非本原图.通过Dickie \cite{Dickie}的工作，这意味着任何直径$d$至少为4且效价至少为3且允许两个$Q$ -多项式结构的距离正则图，如果它不是Hadamard图，则是具有$d$偶数的立方体$H(d,2)$、半立方体${1}/{2} H(2d+1,2)$、折叠立方体$\tilde{H}(2d+1,2)$或具有$q\ge 2$素数幂的$[^2A_{2d-1}(q)]$上的对偶极图。
2014-05-11 math.CO
Nonsymmetric Askey-Wilson polynomials and $Q$-polynomial distance-regular graphs
Douglas Leonard在其著名的定理（1982）中利用$q$-多项式距离正则图的对偶性刻画了Askey方案中的$q$ -Racah多项式及其相关多项式。在本文中，我们考虑在上述情况下的$q$ -Racah多项式的非对称（或Laurent）版本。设$Γ$表示含有Delsarte团$C$的$Q$ -多项式距离正则图.假设$Γ$具有$q$ -Racah类型。固定顶点$x \in C$。我们根据到$x$和$C$的路径长度距离对$Γ$的顶点集进行划分。对于$(C^{\vee}_1, C_1)$型泛双仿射Hecke代数$\hat{H}_q$，对应于该划分中胞元的特征向量的线性跨度具有不可约模结构.从这个模，我们自然地得到一个有限序列的正交洛朗多项式。利用$\hat{H}_q$ -模和Leonard系统理论证明了这些多项式的正交关系。通过将$\hat{H}_q$改为$\hat{H}_{q^{-1}}$，我们展示了我们的Laurent多项式如何与非对称的Askey-Wilson多项式相关，因此我们的Laurent多项式如何可以被视为非对称的$q$ -Racah多项式。
2016-05-04 math.CO
A catalogue of small regular matroids and their Tutte polynomials
在网上提供了基数为$n \leq 15$的所有非同构单连通正则拟阵${\cal M}$的目录。这些拟阵是从基数为$\leq 15$的所有非同构的二元矩阵拟阵中筛选出来的。对于每个${\cal M}$，其Tutte多项式由基于内部和外部碱基活性的算法确定。
2011-07-07 math.CO
Quotient-polynomial graphs
作为轨道多项式图和距离正则图的推广，我们引入了有序多项式图的概念。在这些图中，每个顶点$u$诱导围绕$u$的相同规则划分，其中每个单元的所有顶点与$u$等距。研究了这类图的一些性质和刻画。例如，所有的平行多项式图都是行走正则的和距离多项式的。此外，我们表明，每一个多项式图生成一个（对称）的关联方案。
2015-06-15 math.CO
Strongly regular graph, strongly polynomial sequences, and two-level polynomials
本文研究强正则图与强多项式图序列的特征多项式和色多项式的深度性质，证明强正则图特征多项式具有无限深度，而Paley图色多项式深度为二，并构造了使同态计数保持无限深度的目标序列。
2026-09-29 math.CO
Properties of the corolla polynomial of a 3-regular graph
我们研究了最近引入的以图的半边为指标的图多项式的组合性质，以理解标量场理论的Feynman规则和规范理论的Feynman规则之间的联系。我们调查新的图形多项式作为一个独立的对象。
2012-07-23 hep-th math.CO
Tutte polynomials for regular oriented matroids
本文为正则有向拟阵定义推广的Tutte多项式（A-多项式），其特化可还原底层无向拟阵的Tutte多项式，并能检测无环性与完全循环性，且可计数按重定向元素数分类的无环定向。
2023-10-11 math.CO
Almost-bipartite distance-regular graphs with the $Q$-polynomial property
设$G$表示直径$D$至少为4的$Q$ -多项式距离正则图.假设$G$的相交数满足$0 \leq i \leq D-1$和$a_D\neq 0$的$a_i=0$。我们证明了$G$是一个多边形，一个折叠立方体，或一个奇图。
2005-08-23 math.CO math.RT
The transition matroid of a 4-regular graph: an introduction
给定一个4-正则图$F$，在$F$的变迁集上引入一个二元拟阵$M_τ(F)$. $M_τ(F)$的Tutte多项式的参数化版本产生了几个著名的图和结多项式，包括马丁多项式，homflypt多项式，考夫曼多项式和Bollobás-Riordan多项式。
2015-03-11 math.CO
A duality between pairs of split decompositions for a $Q$-polynomial distance-regular graph
设$Γ$表示直径为$D \geq 3$、标准模为$V$的$Q$ -多项式距离正则图.最近Ito和Terwilliger介绍了$V$的四种直接和分解;我们称之为$(μ,ν)$ --$V$的{ \it分裂分解}，其中$μ, ν\in \lbrace \downarrow, \uparrow \rbrace$。本文证明了（$\downarrow,\downarrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\uparrow$）-分裂分解相对于$V$上的标准埃尔米特形式是对偶的.我们还表明，（$\downarrow,\uparrow$）-分裂分解和（$\uparrow,\downarrow$）-分裂分解的$V$上的标准厄米特形式是对偶的。
2007-05-01 math.CO
On $Q$-polynomial distance-regular graphs with a linear dependency involving a $3$-clique
本文研究满足存在3-团使得对应本原幂等元作用下的向量线性相关的$Q$-多项式距离正则图，完成了此类图的分类并从多视角进行描述。
2025-03-22 math.CO
A classification of $Q$-polynomial distance-regular graphs with girth $6$
本文分类了围长达到上界 $6$ 的 $Q$-多项式距离正则图，证明其同构于奇图或广义六边形。
2025-01-24 math.CO
Polynomial Characterizations of Distance-Biregular Graphs
Fiol、Garriga和Yebra引入了伪距离正则顶点的概念，他们用它来发展距离正则图的一个新特征。在此基础上，Fiol和Garriga发展了距离正则图的谱过剩定理。我们将这两个刻画推广到距离双正则图，并展示了这些刻画如何用于研究具有距离正则的二分图和具有距离双正则图的谱的二部图。
2022-10-13 math.CO
Vertex subsets with minimal width and dual width in $Q$-polynomial distance-regular graphs
本文从所谓的后代的角度研究$Q$ -多项式距离正则图，即那些顶点子集的宽度$w$和对偶宽度$w^*$满足$w+w^*=d$，其中$d$是图的直径.我们在其他结果中表明，一个非平凡的后代与$w\ge 2$是凸的，正是当图具有经典参数。对与短正则半格相关的5类经典图族进行了后代图的分类。我们重新审视和这些家庭的后裔组成的偏序集的特点，并扩展到所有的15个已知的经典参数和无限直径的无限家庭的分类。
2010-11-09 math.CO
A polynomial-time algorithm to determine (almost) Hamiltonicity of dense regular graphs
本文给出了一个在稠密正则图中检测超长圈的多项式时间算法。具体而言，我们表明，给定$α\in (0,1)$，存在一个$c=c(α)$，使以下成立：有一个多项式时间算法，给定$D$ -正则图$G$上的$n$顶点与$D\geq αn$，确定是否$G$包含一个周期至少$n - c$顶点。如果我们放弃密度或正则性条件，这个问题就成为NP完全问题。该算法结合了极值图论和谱分割的工具，以及一些进一步的算法成分。
2020-07-28 cs.DM cs.DS math.CO
Weak and strong regularity, compactness, and approximation of polynomials
设$X$是内积空间，$G$是$X$的正交变换群，$R$是$X$的有界$G$稳定子集.我们定义了这种对$(R,G)$的非常弱和非常强的正则性（在Szemerédi正则引理的意义下），并证明了这两个性质是等价的。而且，这些性质等价于空间$(B(H),d_R)/G$的紧性。这里$H$是$X$（希尔伯特空间）的完备化，$B(H)$是$H$中的单位球，$d_R$是由$d_R(x,y):=\sup_{r\in R}|<r,x-y>|$给出的$H$上的度量，而$(B(H),d_R)/G$是$(B(H),d_R)$的轨道空间（以$G$ -轨道作为商类的商拓扑空间）。作为应用程序，我们给Szemerédi的规律性引理，一个相关的规律性引理分区成区间，和一个低秩逼近定理齐次多项式。
2012-11-15 math.CO
Unicellular LLT polynomials and twin of regular semisimple Hessenberg varieties
Brosnan-Chow对Shareshian-Wachs猜想的解决将单位区间图上正则半单Hessenberg簇的上同调与分次色对称函数联系在一起。另一方面，已知单胞LLT多项式具有与分次色对称函数类似的性质。本文将单胞LLT多项式与Ayzenberg-Buchstaber引入的正则半单Hessenberg簇的孪生簇联系起来。我们从拓扑学的角度证明了它们的回文性。我们还表明，模的对称群所产生的一个置换面体的面有关的移位单胞LLT多项式和观察的$e$ -积极性的移位单胞LLT多项式，这是建立在一般情况下，路径图和完全图通过上同调的孪生。
2022-05-31 math.AG math.AT math.CO
Regular matroids have polynomial extension complexity
证明了$n$元素上的正则拟阵的独立多面体的扩张复杂性为$O(n^6)$。Wong和Martin关于图的生成树多面体的扩展公式的过去结果暗示了（共）图拟阵的特殊情况的$O(n^2)$界。然而，尽管最近的尝试，一般正规拟阵的情况是开放的。我们还考虑了正则拟阵的圈支配的扩张复杂性，并给出了它的一个$O(n^2)$界。
2019-12-20 cs.DM math.CO
The Laplacian polynomial of graphs derived from regular graphs and applications
设$R(G)$是通过添加与$G$的每条边相对应的新顶点并将每个新顶点连接到相应边的端顶点而从$G$获得的图。设$RT(G)$是通过添加与$G$的每个顶点相对应的新边并将每个新边连接到$G$的每个顶点而从$R(G)$获得的图。本文确定了正则图$G$的$RT(G)$的拉普拉斯多项式.此外，我们还得到了图的Kirchhoff指数的计算公式和下界。最后，作为应用，我们还给出了一些特殊图的Kirchhoff指数的计算公式，证明了所得结果的正确性和有效性。
2014-11-20 math.CO
Bipartite Q-polynomial distance-regular graphs and uniform posets
设$\G$表示顶点集为$X$，直径为$D \ge 3$的二部距离正则图.修复$x \in X$并让$L$（分别$R$）表示相应的降低（分别为提升）矩阵。我们发现，每个$Q$多项式结构$\G$产生一定的线性依赖之间的$RL^2$，$LRL$，$L^2R$，$L$。在$X$上定义偏序$\le$，如下所示。对于$y,z \in X$，当$\partial(x,y)+\partial(y,z)=\partial(x,z)$时，设$y \le z$，其中$\partial$表示路径长度距离。我们确定上面的线性依赖是否给这个偏序集一个一致或强一致结构。我们表明，除了一种特殊情况外，获得了一致结构，除了三种特殊情况外，获得了强一致结构。
2011-08-11 math.CO
A characterization of Q-polynomial distance-regular graphs
我们得到了$Q$ -多项式距离正则图的如下刻画。设$\G$表示直径为$d\ge 3$的距离正则图。令$E$表示$\G$的一个极小幂等元，它不是平凡幂等元$E_0$ .令$\{θ_i^*\}_{i=0}^d$表示$E$的对偶特征值序列。证明了$E$是$Q$ -多项式的充要条件是：（i）逐项乘积$E \circ E$是$E_0$，$E$和至多一个$\G$的极小幂等元的线性组合;（ii）存在一个复标量$β$，使得对于$1 \le i \le d-1$，$θ^*_{i-1}-βθ^*_i + θ^*_{i+1}$独立于$i$;（iii）对于$1 \le i \le d$，$θ^*_i \ne θ^*_0$。
2009-08-27 math.AC math.CO
Degrees of P-Grothendieck polynomials and regularity of Pfaffian varieties
本研究利用移位杨表组合数学证明P-Grothendieck多项式次数公式，结合已有结果得到vexillary斜对称矩阵Schubert簇的Castelnuovo-Mumford正则性上界，还得到Grassmannian相关多项式次数与簇正则性的新公式。
2024-06-21 math.AC math.AG math.CO
Analysis of Polynomial Threshold Functions on Random Regular Graphs: Computational Complexity of Detecting Noisy Random Lifts
Yale University（耶鲁大学）
本研究针对含噪随机提升检测的假设检验问题，首次分析低次多项式阈值函数，得到含噪随机提升短环计数分布的新结果，推广了相关经典成果。
2026-09-09 cs.CC cs.DS math.CO
Regular sequences of symmetric polynomials
用p_k表示n个变量的对称多项式的k次幂和。将二项式系数的q-模拟解释为Hilbert函数，我们发现n个变量的n个连续幂和形成一个正则序列。然后，我们考虑以下问题：描述子集n幂和形成一个正则序列。一个必要条件是n！除以元素度数的乘积。要找到一个容易验证的充分条件原来是令人惊讶的困难已经在3个变量。设正整数a<b<c且GCD（a，b，c）=1，我们猜想p_a，p_b，p_c是n=3的正则序列当且仅当6能整除abc.我们通过几个特殊的例子证明了这个猜想。
2018-08-29 math.AC math.CO
Lattice Platonic Solids and their Ehrhart polynomial
首先，我们计算Ehrhart多项式相关联的任意立方体与整数坐标的顶点。然后，我们利用这个结果来推导出规则晶格四面体和规则晶格八面体的Ehrhart多项式之间的关系。这些关系允许人们减少这些多项式的计算，只有一个系数。
2011-11-04 math.CO math.NT
Geometry of the twin manifolds of regular semisimple Hessenberg varieties and unicellular LLT polynomials
本文研究正则半单Hessenberg簇双流形的几何，证明二者通过显式爆破与纤维丛映射关联，取上同调后直接证明模律，确立LLT型Shareshian-Wachs猜想。
2024-01-26 math.AG math.CO math.RT
Castelnuovo-Mumford regularity of matrix Schubert varieties
矩阵舒伯特簇是在完全旗簇的舒伯特演算中产生的仿射簇。本文给出了矩阵Schubert簇的Castelnuovo-Mumford正则性的一个公式，回答了Jenna Rajchgot的一个问题。我们遵循她提出的策略，研究最高程度的齐次部分的Grothendieck多项式，我们称之为卡斯特诺沃-芒福德多项式。除了正则性公式，我们得到的公式的程度的所有Castelnuovo-Mumford多项式和他们的首项，以及一个完整的描述时，两个Castelnuovo-Mumford多项式同意标量倍。Grothendieck多项式的次数是一个新的排列统计量，我们称之为Rajchgot指数;我们发展了Rajchgot指数的性质，并将其与主指数和弱序联系起来。
2021-11-20 math.AC math.AG math.CO
The regularity and $h$-polynomial of Cameron-Walker graphs
固定一个整数$n \geq 1$，并考虑$n \geq 1$顶点上的所有连通有限简单图的集合。对于该集合中的每个$G$，令$I(G)$表示多项式环$R = K[x_1,\ldots,x_n]$中的$G$的边理想。我们开始研究的集合$\mathcal{RD}(n) \subseteq \mathbb{N}^2$组成的所有对$(r,d)$在$r = {\rm reg}(R/I(G))$，Castelnuovo-Mumford正则性，和$d = {\rm deg} h_{R/I(G)}(t)$，$h$ -多项式的程度，因为我们改变了所有的$n$顶点上的连接图。特别地，我们识别集合$A(n)$和$B(n)$，使得$A(n) \subseteq \mathcal{RD}(n) \subseteq B(n)$。当我们限制在$n$顶点上的Cameron-Walker图族时，我们可以完全刻画所有可能的$(r,d)$ .
2020-03-16 math.AC math.CO
Edge-regular graphs with non-negative curvature have polynomial growth
本文证明边正则图中CD(0,∞)条件蕴含多项式增长，并得到仅依赖于度的体积加倍估计，关键是通过自改进现象将CD(κ,∞)提升为CD(κ,n)。
2026-06-09 math.CO math.PR
