Vector-valued fractal functions: Fractal dimension and Fractional calculus
关于实值分形插值函数及其图形的分形维数的研究已有很多。本文主要研究向量值分形插值函数及其Riemann-Liouville分数次积分的维数结果。在这里，我们给出了一些结果，保证了向量值函数的维数结果与实值函数有很大的不同。我们确定了向量值分形插值函数图的豪斯多夫维数的有趣界。我们还得到了支持在向量值分形插值函数图上的相伴不变测度的豪斯多夫维数的界。其次，我们讨论了测度的豪斯多夫维数在概率向量和压缩比意义下的更有效的上界。此外，我们确定了向量值分形插值函数的Riemann-Liouville分数次积分图的维数结果。
2022-07-26 math.DS
Hausdorff dimension for fractals invariant under the multiplicative integers
我们考虑（符号）数列空间的子集是不变的乘法整数半群的作用下。代表性示例是所有0-1序列$(x_k)$的集合，使得对于所有$k$，$x_k x_{2k}=0$。我们计算这些集合的Hausdorff和Minkowski维数，并表明它们通常是不同的。证明过程中通过一个变分原理乘法子移位。
2011-07-19 math.DS
Hausdorff dimension of intersections between the Jarník sets and Diophantine fractals
Keio Institute of Pure and Applied Sciences (KiPAS), Department of Mathematics, Keio University（庆应义塾大学纯应用科学研究所，数学系）
研究了Jarník集与迪奥菲内分数集合交集的Hausdorff维度，证明其为满维，并指出无理数指数大于2且部分商有界的集合维度为1。
2025-12-29 math.DS math.NT
Exact Hausdorff dimension of some sofic self-affine fractals
本文针对 sofic 仿射不变集 Hausdorff 维数极限难以计算的问题，提出受 Kenyon 与 Peres 启发的新技术，在 R^3 若干情形中将精确维数表为显式系数无限次方程的解及线性算子谱半径。
2024-12-08 math.DS
On some non-conformal fractals
本文给出了一类非共形分形的豪斯多夫维数的一种简单计算方法。
2010-04-20 math.DS
The McMillan theorem for colored branching processes and dimensions of random fractals
对于最简单的有色分支过程，我们证明了一个类似的麦克米伦定理和计算豪斯多夫维数的随机分形定义的有限遗传线产生的经验措施的极限行为。在这种情况下，香农熵的作用是由Kullback-Leibler发散和豪斯多夫维数计算的所谓的比林斯利-Kullback熵，在该文件中定义。
2012-11-30 math.DS
Study of attractors and fractal functions on the product spaces and Dimensional aspects
Presidency University（总统大学）
本文研究了产品空间上的吸引子与分形函数，探讨了产品Hausdorff度量与吸引子维度的关系，建立了同构性和维度界。
2026-03-13 math.DS
Topological pressure and fractal dimensions of cookie-cutter-like sets
定义了一系列经典cookie-cutter映射的极限集为类cookie-cutter集。对于这个切饼集，证明了拓扑压力函数的存在性，并证明了其豪斯多夫维数、packing维数和计盒维数等分形维数都等于压力函数的唯一零点$h$.证明了$h$维Hausdorff测度和$h$维packing测度是有限的正测度.
2019-03-20 math.DS
Variational principles for Hausdorff and packing dimensions of fractal percolation on self-affine sponges
本文建立了一类统计自仿海绵（包括Barański和Gatzouras-Lalley地毯与海绵的分形渗透集）的Hausdorff维数与packing维数的变分原理，通过计算非齐次Mandelbrot测度的维数并利用局部化数字频率构建有效覆盖，获得了维数的精确上界。
2025-09-15 math.DS math.PR
A note on Diophantine-type fractals for α-Lüroth systems
给出了某些实数集合用α-Lüroth展开式描述的豪斯多夫维数.
2010-11-24 math.DS
Dimension conservation for self-similar sets and fractal percolation
我们介绍了一种技术，利用分形渗流的投影特性，建立确定性自相似集的部分尺寸守恒的结果。例如，假设$K$是具有Hausdorff维数$\dim_H K >1$的$\mathbb{R}^2$的自相似子集，使得底层相似性的旋转分量生成完整旋转群。然后，对于所有$ε>0$，将$π_θ$写为在$θ$方向上投影到线$L_θ$上，对于正勒贝格测度的$x \in L_θ$集合，对于除了Hausdorff维数为0的集合中的方向之外的所有方向$θ$，截面的豪斯多夫维数满足$\dim_H (K\cap π_θ^{-1}x)> \dim_H K - 1 - ε$。对于一类自相似集，我们在所有方向上得到了类似的结论，只是用较低的盒维数代替了截面的豪斯多夫维数.我们得到了关于Mandelbrot渗流集的截面维数的类似不等式。
2014-09-24 math.DS math.PR
Dimensions of some fractals defined via the semigroup generated by 2 and 3
我们计算的Hausdorff和Minkowski维数的符号空间$Σ_m=\{0,...,m-1\}^\N$的子集是不变的乘整数。结果适用于集合$\{x\in Σ_m: \forall\, k, \ x_k x_{2k}... x_{n k}=0\}$，其中$n\ge 3$。我们证明，对于这样的集合，豪斯多夫维度和闵可夫斯基维度通常不同。
2012-06-21 math.DS
Improved dimension theory of sofic self-affine fractals
该研究建立了任意欧氏空间中自仿射分形Hausdorff维数的组合表达式，推广了平面sofic集相关研究，给出高维sofic集精确维数及平面两类维数相等的条件，同时补充了相关先行研究说明与后续工作进展。
2024-12-16 math.DS
Hausdorff measure of cartesian product of Cantor sets
本文研究了$1/3$ Cantor集$d$重笛卡尔积的Hausdorff测度界限，通过应用强开集条件定理并推广已有工作，计算了几个小整数$d$下更严格的上下界。
2025-10-09 math.CA math.DS
Estimating the Hausdorff measure by recurrence
本文提出一种通过计算点自身最近回归时间来从下方估计分形集豪斯多夫测度的新方法。
2023-08-09 math.DS
Fractal dimensions of graph of Weierstrass-type function and local Hölder exponent spectra
本文研究了Weierstrass型函数\[ W(x)=\sum_{n=0} ^\infty λ(x) λ(τx) \cdots λ(τ^{n-1}x)\, g(τ^n x), \]的几个分形性质，其中$τ:[0,1)\to[0,1)$是一个可能具有分形排斥子的cookie cutter映射，$λ$和$g$是具有适当正则性的函数.在第一部分中，我们确定了$W$图的盒维数和它的随机化版本的豪斯多夫维数。在第二部分中，Housdorff谱的本地Hölder指数的特点是在热力学形式主义。此外，在随机的情况下，一个新的公式，提升的豪斯多夫频谱上的图形。
2017-04-25 math.DS
On microsets, Assouad dimension and lower dimension of random fractals, and Furstenberg's homogeneity
我们研究随机构造的分形的微集的集合，在本文中，被称为Galton-Watson分形。这是一个推广Mandelbrot渗流的模型，其中Galton-Watson树（其后代分布不一定是二项分布）通过编码映射投影到$\mathbb{R}^d$，该编码映射来自相似性映射的迭代函数系统（IFS）。我们证明了对于这样一个随机分形$E$，只要基本IFS满足开集条件，几乎肯定的Assouad维数的$E$是一个集的最大豪斯多夫维数在$\text{supp}\left(E\right)$，低维是一个集的最小豪斯多夫维数在$\text{supp}\left(E\right)$，和之间的每一个值是豪斯多夫维数的一些微集的$E$。为了获得上述内容，我们首先分析（确定性）集合的微集合集合与该集合的适当编码树的子树的某些限制之间的关系。这种分析的结果也适用，与所需的调整，以获得一些见解Furstenberg的同质性。我们定义了一个比齐性弱的性质，并证明了对于$\mathbb{R}$中的自相似集，当豪斯多夫维数小于1时，它等价于弱分离条件.
2022-01-06 math.DS math.MG math.PR
Box dimension of generic Hölder level sets
本文研究一般Hölder水平集的盒维数，扩展了之前关于Hausdorff维数的研究，发现下盒维数与Hausdorff维数行为相似，而上盒维数则不同，并通过对Sierpiński三角形的估计说明差异。
2023-06-19 math.CA math.DS
Hausdorff dimension of shrinking targets on Przytycki-Urbański fractals
本研究针对仿射迭代函数系统，计算点反复进入几何球收缩目标集的豪斯多夫维数，通过分析 Przytycki-Urbański 系统并扩展伯努利卷积理论，克服了仿射映射带来的几何-动力复杂性。
2025-04-24 math.DS
Quasi-self-similar fractals containing "Y" have dimension larger than one
设$X$是紧连通度量空间，$f: X \to X$是Haïssinsky-Pilgrim意义下的度量粗扩张共形映射.证明了如果$X$包含字母“Y”的同胚拷贝，则$X$的豪斯多夫维数大于1.作为应用，我们证明了半双曲有理映射$f$的朱利亚集$\mathcal{J}_f$拟对称等价于豪斯多夫维数1的空间当且仅当$\mathcal{J}_f$同胚于圆或闭区间.
2022-09-21 math.DS math.MG
Irreducible fractal structures for Moran's type theorems
本文刻画了完全度量空间上IFS-吸引子的一个新的分离性。这样的分离性比强开集条件（SOSC）弱，并且对于达到严格自相似集的相似性和豪斯多夫维数之间的相等是必要的。我们还调查的重叠的大小，从分离性能的观点。此外，我们给出了作者在有限覆盖下引入的IFS吸引子的相似维数与一个新的Hausdorff型维数相等的等价条件.
2017-07-09 math.DS math.MG
An elementary proof that the Rauzy gasket is fractal
本文用完全初等的方法证明了 Rauzy 垫片的 Hausdorff 维数严格小于二，从而说明其具有分形性质。
2023-06-12 math.DS
Bivariate functions of bounded variation: Fractal dimension and fractional integral
与单变量情况相反，有几个定义可用于二元函数的有界变差的概念。本文试图研究R2中矩形区域上有界变化的连续函数的图的豪斯多夫维数和盒维数。我们还证明了在Arzela意义下的有界变差函数的Riemann-Liouville分数次积分也是有界变差的.进一步，我们导出了二元连续有界变差有界变差函数的分数次积分图的豪斯多夫维数和盒维数。
2019-05-13 math.DS
Sierpiński fractals and the dimension of their Laplacian spectrum
本文为Sierpiński格点、无限Sierpiński垫片等post-critically finite自相似集的Laplacian谱建立了Hausdorff维数的严格估计。
2023-07-31 math.DS
Fractal Dimension of the Kronecker Product Based Fractals
提出了一种计算基于Kronecker积分形的Hausdorff-Besicovitch维数的简单方法，并给出了一个实现该方法的紧凑R脚本，该公式基于传统的自相似对象数和标度因子的值，而现在则利用初始分形矩阵和二阶合成矩阵的适当值来计算。这种方法是可靠的，并产生尺寸等于许多已知的分形已经确定的值。
2018-03-06 math.DS
Rigorous bounds on the Hausdorff dimension of Feigenbaum attractors
我们计算了具有二次、三次和四次临界点的映射族在倍周期级联累积时吸引子的豪斯多夫维数的严格界。为了做到这一点，我们表示为适当的迭代函数系统使用严格的边界上相应的重整化不动点函数的极限集的吸引子。我们使用区间运算和严格的有向舍入模式来证明相应的维数位于区间（0.5370，0.5392），（0.6040，0.6091）和（0.6395，0.6474）的子区间中。
2021-02-22 math-ph math.DS math.MP
Analysis of Fractal Dimension of Mixed Riemann-Liouville Fractional Integral
本文研究了矩形区域上不同选择的连续函数的混合Riemann-Liouville分数次积分图的分形维数。本文对属于连续函数类和属于Holder连续函数类的函数的混合Riemann-Liouville分数次积分图的盒维数和豪斯多夫维数的界进行了估计.我们还证明了二维连续函数的混合Riemann-Liouville分数次积分图的盒维数也是2。进而给出了无界变分连续函数的构造。证明了无界变分连续函数的混合Riemann-Liouville分数次积分图的盒维数和豪斯多夫维数也是2。
2021-05-14 math.CA math.DS
Large intersection classes on fractals
研究了一类共形迭代函数系的极限集，引入了极限集的子集类，并证明了该类在可数交下是闭的，且该类中的所有集合都具有大的豪斯多夫维数.我们展示了它在遍历论、丢番图逼近和复动力学中的一些应用。
2009-12-04 math.DS math.NT
Fractal dimensions of continuous piecewise linear iterated function systems
我们考虑实直线上的迭代函数系统，它由连续的分段线性函数组成。在一个温和的分离条件下，我们证明了吸引子的Hausdorff维数和盒维数等于1和吸引子最自然覆盖系统的指数中的最小值.
2023-02-08 math.DS
Dimension of uniformly random self-similar fractals
计算了一致随机自相似分形的几乎几乎必然豪斯多夫维数。这些随机分形是从一个有限族的相似性，其中的线性部分的映射是独立的均匀分布的随机变量在每一步的迭代。我们还证明了在某些情况下，这类集合的勒贝格测度几乎必然是正的。
2013-11-07 math.DS math.PR
Rigorous computation of invariant measures and fractal dimension for piecewise hyperbolic maps: 2D Lorenz like maps
考虑一类从单位平方到其自身的分段双曲映射，它保持一个收缩叶理，并导出一个分段扩张商映射，具有无穷导数（类似于Lorenz流的第一返回映射）.我们展示了如何这些系统的物理测量可以严格近似的错误上的明确给出的界限，相对于Wasserstein距离。我们将其应用到严格的计算的尺寸的措施。给出了利用区间运算的算法的严格实现，并对一个非平凡的Lorenz类映射及其吸引子的例子进行了计算，得到了关于其局部维数的说明.
2014-02-24 math.DS
Fractal Measures, p-Adic Numbers And Continues Transition Between Dimensions
分析了从p进数集Qp到复平面C的连续映射象的分形测度。给出了“反常”分形的例子，即D维Hausdorff测度（HM）为平凡的集合，即为零或σ-无限（D是该集合的豪斯多夫维数（HD））。利用Caratheodory构造方法，构造了在这类分形上非平凡的广义标度协变HM（GHM）。特别是，我们提出了一个例子0-分形，连续HD=0和非平凡GHM不变量w.r.t.群C是所有自同态的群。对于R^n中区域的保角变换，得到了GHM的变量变换公式.得到了C中连续映射族Qp连续依赖于C中的“复维数”d.这个家庭是这样的：1）如果d=2（1），则Qp的像是C（2）分形测度与Qp中Haar测度的图像一致，在d=2时（1）它们也与平坦（线性）勒贝格测度一致; 3）对于Qp中的任一紧集，整函数在象的分形测度上的积分在d中是全纯的，类似于QFT中的维数正则化方法。
2003-02-13 math.DS
Dimensions of random affine code tree fractals
本文计算了一类随机仿射平面码树分形的几乎处处Hausdorff维数。描述随机性的概率测度集包括随机$V$-变量和齐次马尔可夫结构中的自然测度。
2012-02-01 math.CA math.DS math.PR
Rigorous effective bounds on the Hausdorff dimension of continued fraction Cantor sets: a hundred decimal digits for the dimension of $E_2$
我们证明了[13]中利用动力系统的周期点来近似动态定义的Cantor集的豪斯多夫维数的算法可以用来建立维数的完全严格的高精度界。这些严格的估计的有效性示出的康托集组成的连分数扩展与限制数字。例如，集合$E_2$（其连分数展开式仅包含数字1和2的实数）的豪斯多夫维数可以被严格地近似，精确度超过100个小数位，使用最多25的周期点。建立严格维数界的方法涉及到与允许的连分数位数相关联的映射的全纯扩张，由这些映射收缩的适当圆盘，以及作用于该圆盘上的解析函数的Hilbert Hardy空间的相关转移算子。我们介绍的方法，严格限制的近似数的转移算子，这导致有效的估计泰勒系数的相关行列式，因此明确的界限上的豪斯多夫维数。
2017-12-06 math.DS math.FA math.NT
Hausdorff dimension of the Wedding cake type surfaces
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文针对非强不可约的自仿射迭代函数系统，研究三角域上婚礼蛋糕型分形插值曲面的豪斯多夫维数，证明其维数在零测度缩放参数集外等于仿射维数，并通过计算重叠数确定特定参数范围的维数。
2026-07-31 math.DS
Non-affine fractal hypersurfaces: construction and dimensions
本文提出在$\mathbb{R}^n$的$n$-单纯形上构造非仿射超曲面的方法，并估计了非仿射多元实值分形函数图像的分形维数及其不变概率测度的Hausdorff维数上界。
2024-11-13 math.DS
Recurrence to shrinking targets on typical self-affine fractals
我们探讨的问题，找到豪斯多夫维数的一组点，返回到收缩目标的自仿射分形。更确切地说，我们研究了一个相关的符号递归集的维数。在许多情况下，这个集合等价于分形上的循环集合。
2015-10-19 math.CA math.DS
General fractals represented by $\mathcal{F}$-limit sets of compression maps
本文提出利用集值压缩映射将一般非齐次分形表示为固定参数化空间中的 $\mathcal{F}$-极限集，证明了其计算复杂度与序列无关，并引入“一致覆盖条件”估计极限集的 Hausdorff 维数下界。
2024-06-02 math.CA math.DS nlin.PS
Singular Vectors on Fractals and Projections of Self-similar Measures
奇异向量是指由狄利克雷定理提供的有理逼近的质量可以通过任意小的乘法常数得到改善的向量。给出了满足开集条件的$\mathbb{R}^d$中自相似分形上奇异向量的豪斯多夫维数的一个上界.的限制是在数量密切相关的Frostman指数的投影的Hausdorff措施支持的分形。我们的界是最佳的意义上，它同意张和Chevallier得到的奇异向量的确切维数时，分形是平凡的（即有非空的内部）。作为推论，我们证明了如果分形是Cantor中三分之一集的$2$拷贝的乘积或平面齐次无理IFS的吸引子，则上界是分形的维数$2/3$.这解决了Bugeaud，Cheung和Chevallier提出的问题的上界部分。我们将我们的方法应用于平面上平移流的情形，证明了属于分形的非唯一遍历方向的维数至多是分形的维数$1/2$。
2020-02-05 math.DS math.MG math.NT
Generic Hölder level sets and fractal conductivity
定义在分形上的一般连续函数的水平集的豪斯多夫维数可以给出与分形集$F$相对应的“网络”的“厚度/窄横截面”的信息。由此引出分形的拓扑豪斯多夫维数的定义。在本文中，我们继续我们的研究一般$1$ -Hölder- $α$功能的水平集。虽然在以前的文件中，我们给出了初始定义，并建立了这些通用的水平集的一些属性，在本文中，我们提供了数值估计的情况下的谢尔皮斯基三角形。这些计算提供了更好的洞察力，并说明了为什么人们可以认为这些通用的$1$ -Hölder- $α$水平集是测量分形“网络”的“厚度/窄截面/电导率”的东西。我们还给出了一个例子，我们称之为$D_{*}(α, F)$相变的现象。这大致意味着，对于某个较低的范围{$α$ s }，只有$F$的几何形状决定了$D_{*}(α, F)$，而对于较大的值，Hölder指数$α$也很重要。
2022-08-31 math-ph math.CA math.DS
Fractal dimensions for Iterated Graph Systems
本研究将分形几何引入图论，通过替换方法定义迭代图系统，证明确定性系统中Minkowski与Hausdorff维数解析一致，随机系统中几乎处处数值一致，为复杂网络奠定理论基础。
2024-05-28 math.CO math.DS
Fractal dimensions of subfractals induced by sofic subshifts
本文考虑满足开集条件的双曲迭代函数系的亚分形。子分形将由与符号空间上的有限型子移位或sofic子移位的无限串相关联的点组成。我们发现，下，上拓扑压力函数的零点是下，上界，分别为Hausdorff，包装，下，上盒维数的子分形。
2016-01-19 math.DS
Counterexamples in theory of fractal dimension for fractal structures
分形维数构成了在欧几里得背景下检验分形图案的主要工具。为了这个目的，它总是使用盒维数，因为它很容易计算，虽然豪斯多夫维数，这是最古老的，也是最准确的分形维数，提出了最好的分析性质。此外，分形结构提供了一个适当的拓扑背景下，分形结构的分形维数的新模型可以开发，以推广的分形维数的经典模型。在本文中，我们提供了一些关于这些新的模型的分形维数的反例，以显示读者如何他们的数学行为相对于经典模型，并指出这些模型的功能，可以利用强大的效果在应用中。
2015-10-12 math.DS
Fractals as Sculptures
Anadolu University（阿纳多卢大学）
本文证明在紧致有界度量空间上，迭代函数系统存在紧致不变子空间，使吸引子可表示为递减紧致空间序列的交集。
2025-10-29 math.DS math.MG
On an abrasion motivated fractal model
该研究提出一种受凸多面体顶点削切磨损启发的分形模型，证明边网在温和假设下收敛到紧极限集，并分析了极限对象的上盒计数维数与Hausdorff维数。
2024-09-11 math.DS
Badly approximable points on self-affine sponges and the lower Assouad dimension
我们强调之间的连接丢番图逼近和较低的Assouad维使用有关后者的信息表明，豪斯多夫维数的一组严重逼近的点，位于某些非共形分形，称为自仿射海绵，是有界的动力学尺寸以下这些分形。特别地，对于具有相等的Hausdorff维数和动力维数的自仿射海绵，在海绵中的不良可逼近点的集合具有完全的豪斯多夫维数。我们的研究结果，这是第一个超越共形设置，包括Sierpienski海绵/地毯（也称为贝德福德-麦克马伦海绵/地毯）和Baraenski地毯的情况下。我们使用的事实，即较低的Assouad维的超平面扩散集构成了一个下界的豪斯多夫维数的一组严重逼近点在该集合。
2017-03-13 math.DS
Counting and Hausdorff measures for integers and $p$-adic integers
本文利用 $p$-进整数的分形结构研究整数集合，建立计数测度界、计数维数与盒计数维数关系，并给出整数集为闭集投影的充要组合条件。
2024-08-06 math.CO math.DS math.NT
Conformal Fractals for Normal Subgroups of Free Groups
研究了由至少有两个生成元的自由群的Cayley图构成的共形图有向Markov系统的极限集的多重分形分解的子集.我们考虑的子集是参数化的正规子群$N$的自由群和模仿径向极限集的克莱因群。我们的主要结果表明，关于这些集合的豪斯多夫维数，克莱因群的各种结果可以推广。也就是说，在某些自然的对称性假设下的多重分形分解，我们证明了，对于一个子集参数化$N$，豪斯多夫维数是最大的当且仅当$\F_{d}/N$是顺从的，并且该尺寸是大于一半的最大值。我们还通过$N$的Poincaré级数的发散性给出了顺从性的一个判据。我们的结果被应用到Schottky型Kleinian群的正规子群的Lyapunov谱。
2013-06-08 math.CV math.DS
Hausdorff dimension of the spectrum of the square Fibonacci Hamiltonian
用$\mathrm{HD}_λ$表示耦合$λ$的Fibonacci哈密顿量的Hausdorff维数，证明了除了可数个$λ$之外，耦合$λ$的平方Fibonacci哈密顿量的谱的Hausdorff维数是$\min\{2\mathrm{HD}_λ, 1\}$ .我们的证明依赖于斐波那契迹映射的动力学，并结合M。Hochman和P. Shmerkin关于Cantor集的和的Hausdorff维数，这些Cantor集是正则迭代函数系统的吸引子（Local entropy averages and projects of fractal measures，Ann.Math.175（2012），1001- 1059）。
2014-10-22 math-ph math.DS math.MP
