Projected distances for multi-parameter persistence modules
本研究依托层论提出多参数持久化模的投影条形码与两类投影距离，证明其稳定性及与卷积距离的关系，且γ-线性版本可通过单参数TDA软件计算，复杂度更低。
2024-04-18 cs.CG math.AT
Induced Matchings and the Algebraic Stability of Persistence Barcodes
我们定义了一个简单的显式映射，将逐点有限维持久性模块的态射$f:M \rightarrow N$发送到$M$和$N$的条形码之间的匹配。我们的主要结果是，在精确的意义上，这种匹配的质量是严格控制的$\ker f$和$\mathop{\mathrm{coker}} f$的条形码中的最长间隔的长度。作为一个直接的推论，我们得到了一个新的证明的代数稳定性的持久性，一个基本的结果，在理论的持久性的同源性。与以前的证明相比，我们明确地显示了两个持久性模块之间的$δ$交织态射如何诱导两个模块的条形码之间的$δ$匹配。我们的主要结果还专门的子模块和持久模块的子模块的结构定理，并产生一个新的“单态射”的持久模块上的交织关系的特征。
2016-04-30 cs.CG math.AC math.AT
Ripser: efficient computation of Vietoris-Rips persistence barcodes
我们提出了一个算法的计算Vietoris-Rips持久性条形码，并描述了其在软件Ripser中的实现。该方法依赖于上边缘算子和单形滤除阶的隐式表示，避免了滤除上边缘矩阵的显式构造和存储.此外，它利用了明显的对，一个简单的，但强大的方法，从一个单纯复形，这也是独立的兴趣的单形上的总阶构造一个离散梯度场。我们的实现显示了在时间和内存使用方面比以前的软件有了很大的改进。
2021-02-26 cs.CG cs.MS math.AT
The Space of Barcode Bases for Persistence Modules
持久化模块的条形码充当其同构类的完整组合不变量。条形码通常通过在持久性模块上执行基的改变来提取，直到组成矩阵具有特殊形式。在这里，我们描述了一种新的算法，用于计算条形码，也跟踪，并输出，这样的变化的基础。我们的主要结果是一个明确的特征的转换组，发送一个条形码的基础上，另一个。武装的条码基地的整个空间的知识，我们能够表明，任何地图的持久性模块可以表示通过一个部分匹配的酒吧之间的源和目标都不承认嵌套的酒吧在其条码。我们还概括了上述的算法和结果的工作zizag模块。
2022-07-06 math.AT math.RT
An Introduction to Multiparameter Persistence
在拓扑数据分析（TDA）中，人们通常通过构造过滤拓扑空间来研究数据的形状，然后利用持久同调来检验其结构。然而，一个单一的过滤空间往往不能充分捕捉数据中的结构感兴趣，并导致考虑多参数持久性，这与数据的空间配备了多参数过滤。多参数持续性已成为TDA中最活跃的研究领域之一，在几个方面取得了令人兴奋的进展。在这篇文章中，我们介绍了多参数持久性和调查的一些最近的进展，重点是可能导致在不久的将来的实际应用的想法。
2023-03-13 cs.CG math.AT math.RT
A Framework for Differential Calculus on Persistence Barcodes
我们定义的概念，从持久性条形码的空间和映射的微分。受拓扑空间理论的启发，所提出的框架使用了有序条形码空间的提升，可以从中计算导数。两个导出的可微性概念（分别来自条形码空间和到条形码空间）自然地组合在一起以产生链式规则，该链式规则使得能够使用梯度下降来通过条形码空间分解目标函数。我们说明了这个框架的多功能性，展示了它如何可以用来分析拓扑数据分析中产生的各种参数化家庭的过滤的平滑度。
2021-05-04 cs.CG math.AT math.DG
Persistence barcodes and Laplace eigenfunctions on surfaces
利用黎曼度量得到了Laplace-Beltrami特征函数及其线性组合在紧致曲面上的持久性条码的限制条件。本文还讨论了拉普拉斯本征函数的线性组合在一致逼近中的一些应用。
2019-02-05 math.AP math.AT math.SP
Multiparameter Persistence Landscapes
拓扑数据分析领域的一个重要问题是定义拓扑摘要，它可以与传统的数据分析工具相结合。在最近的工作中，Bubenik介绍了持久性景观，持久性图的稳定表示服从统计分析和机器学习工具。在本文中，我们概括的持久性景观多参数持久性模块提供了一个稳定的表示的秩不变。我们表明，多参数景观是稳定的交织距离和持久性加权Wasserstein距离，多参数景观的集合忠实地代表了秩不变。最后，我们提供了示例计算和统计测试，以展示一系列潜在的应用程序，以及如何解释与多参数模块相关的景观。
2018-12-24 math.AT
Stable Vectorization of Multiparameter Persistent Homology using Signed Barcodes as Measures
DataShape, Centre Inria d’Université Côte d’Azur（DataShape，蔚蓝海岸大学Inria中心）；Mathematics, Vrije Universiteit Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学数学学院）；GeomeriX, Inria Saclay and École polytechnique（GeomeriX，法国国家信息与自动化研究所萨克雷中心、巴黎综合理工学院）；Mathematics, University of Oxford（牛津大学数学学院）
本文提出将多参数持续同调的符号条形码解释为符号测度，从而将单参数向量化策略自然扩展到多参数，所得特征向量易于计算且稳定，在多种数据上优于现有拓扑方法。
2024-02-07 cs.CG cs.LG math.AT
$\ell^p$-Distances on Multiparameter Persistence Modules
出于拓扑数据分析的理论和实践考虑，我们将条形码上的$p$ -Wasserstein距离推广到多参数持久性模块。对于每个$p\in [1,\infty]$，我们实际上引入了两个这样的推广$d_{\mathcal I}^p$和$d_{\mathcal M}^p$，使得$d_{\mathcal I}^\infty$等于交织距离，而$d_{\mathcal M}^\infty$等于匹配距离。我们证明了在素域上的1-或2-参数持久模上，$d_{\mathcal I}^p$是泛模（即，最大）度量满足自然稳定性性质;这扩展了Skraba和Turner在1参数情况下针对条形码上的$p$ -Wasserstein距离的稳定性定理，并且也是第二作者给出的交织距离的普适性性质的密切类似物。我们还表明，$d_{\mathcal M}^p\leq d_{\mathcal I}^p$的所有$p\in [1,\infty]$，延长观察兰迪在$p=\infty$的情况下。我们观察到，在2参数持久性模块上，可以有效地逼近$d_{\mathcal M}^p$。在即将到来的配套文件中，我们应用这些结果的一些研究（$2$参数）多覆盖持续同源性的稳定性。
2021-11-11 cs.CG math.AT
Tropical Coordinates on the Space of Persistence Barcodes
应用拓扑学的目的是为应用数学、科学和工程应用和发展拓扑方法。主要工具之一是持久同源性，这是经典同源性的一种适应，它将条形码（即间隔的集合）分配给有限的度量空间。由于不变量的性质，条形码并不适合从业者在机器学习任务中使用。我们可以通过为条形码分配数字量来规避这个问题，然后这些输出可以用作标准算法的输入。本文的目的是确定条码空间上的热带坐标，并证明它们相对于瓶颈距离和Wasserstein距离是稳定的。
2017-12-28 math.AT
Persistent Extension and Analogous Bars: Data-Induced Relations Between Persistence Barcodes
本文提出持久延拓和类比条形码两种计算同调代数方法，利用交叉不相似性度量与见证复形建立跨系统持久同调类之间的关系，用于比较样本间拓扑结构并判断聚类与降维是否保持拓扑。
2022-03-01 cs.CG math.AT
Computing Conley-Morse Persistence Barcode Efficiently by Updating Matrix Decompositions
Purdue University（普渡大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
本文针对Conley-Morse持续同调条形码计算成本高的问题，提出用更简单的块取代指数对，通过更新矩阵分解的方法实现高效计算，优化了现有算法。
2026-08-10 cs.CG math.AT math.DS
Signed Barcodes for Multi-Parameter Persistence via Rank Decompositions and Rank-Exact Resolutions
本文提出带符号条形码，将多参数持久性模的秩不变量分解为指示模秩不变量的线性组合，揭示了其存在与唯一性条件，并证明其反映模的极小秩正合分解结构，最后通过实验验证了其有效性。
2024-08-22 cs.CG math.AT math.RT
Stabilization of codimension of persistence barcodes
Wake Forest University（维克森林大学）；University of Michigan（密歇根大学）
本文证明了持久条码的余维数公式，将其推广至任意全序集上的持久模，并利用箭图表示的稳定性实现任意自然数余维数。
2025-03-27 math.AT
A Theory of Sub-Barcodes
本文提出子条形码理论，通过持久模同态的分解构造从分解范畴到条形码偏序集的函子，在缺乏交错的情况下仅利用上下界即可对未知条形码作出强有力断言。
2025-04-11 cs.CG math.AT
Topological Correlation
本文提出拓扑差异与拓扑相关性两个新概念，从新视角阐释多参数持续同调的判别优势，并量化过滤函数间的相互依赖性，为相关应用提供基础。
2025-06-20 cs.CG math.AT
Conley-Morse persistence barcode: a homological signature of combinatorial bifurcations
Purdue University（普渡大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）；Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
本文提出Conley-Morse持续条形码，用于描述组合分岔的同调特征，基于拓扑持续性理论，利用Conley指数构建持续模块，并通过gentle代数证明其分解为简单区间。
2026-04-10 math.AT math.DS
Confidence Bands for Multiparameter Persistence Landscapes
本文在统计环境下研究多参数持续同调不变量——多参数持续景观，推导其泛函中心极限定理以计算置信带，提供了首批统计推断方法之一，并在合成数据机器学习任务中验证了其应用。
2025-04-01 cs.CG math.AT math.ST
A Schauder Basis for Multiparameter Persistence
本文针对多参数持久性模的统计与机器学习需求，提出通过迭代细化三角剖分构建紧支撑Lipschitz泛函的Schauder基，将带符号持久性图嵌入实值序列空间，并证明该基在相对Radon测度空间中具有最小性。
2025-10-11 math.AT
MuRiT: Efficient Computation of Pathwise Persistence Barcodes in Multi-Filtered Flag Complexes via Vietoris-Rips Transformations
多参数持久同源性自然出现在持久拓扑对数据的应用中，所述数据具有取决于附加参数的额外信息，例如时间序列数据。我们引入了Vietoris-Rips变换的概念，这种方法将多过滤标志复形中的路径子复形的单参数持久同调的计算减少到某些半度量空间的Vietoris-Rips持久同调的计算。相应的路径持久性条形码跟踪环境多重过滤复合物的持久性特征，并且特别可用于恢复多参数持久性同源性中的秩不变量。我们提出了MuRiT，一种可扩展的算法，通过Vietoris-Rips变换计算多过滤标志复合物的路径持久性条形码。此外，我们提供了一个有效的软件实现的MuRiT算法诉诸Ripser的Vietoris-Rips持久性条形码的实际计算。为了证明MuRiT对真实世界数据集的适用性，我们将MuRiT建立为CoVtRec管道的一部分，用于监测当前COVID-19大流行中冠状病毒SARS-CoV-2的收敛进化。
2022-07-07 cs.CG math.AT math.GT
Persistence Diagrams as Diagrams: A Categorification of the Stability Theorem
持久同源性是拓扑数据分析的核心工具，它提供了称为条形码（也称为持久性图）的数据的不变量。条形码只是一个真实区间的多重集合。Edelsbrunner、Jablonski和Mrozek最近的工作提出了条形码作为函子R -> Mch的等价描述，其中R是实数的偏序集范畴，Mch是其对象是集合并且其态射是匹配的范畴（即，部分内射函数）。这样的函子形成范畴Mch^R，其态射是自然变换。因此，条形码的这种解释给了我们一个迄今为止尚未研究的条形码分类结构。本说明的目的是表明，这种范畴结构导致了众所周知的持久同调稳定性定理和最近的一个称为诱导匹配定理的推广的令人惊讶的简单重新表述。
2019-06-10 cs.CG math.AT math.CT
On the complexity of zero-dimensional multiparameter persistence
多参数持久性是持久性同源性的自然扩张，引起了人们的广泛兴趣。然而，有重大的理论障碍，阻止充分发展这一有前途的理论。在本文中，我们认为有趣的特殊情况下，多参数持久性零维，可以被视为一种形式的多参数聚类。特别地，我们考虑了滤子拓扑空间的零维同调的多参数持久模，当它们是零生成的时候。在一定的假设下，我们刻画了这类模，并研究了它们的分解。特别是，我们确定了一个自然类的表示，分解，并可以扩展回形成零维多参数持久性模块。我们对这组表示的研究得出结论，尽管有限制，在这组中仍然有无限多类不可分解的。
2020-08-26 math.AT math.CO math.RT
Generalized Persistence Algorithm for Decomposing Multi-parameter Persistence Modules
经典的持久化算法计算由输入单纯过滤隐式给出的持久化模块的唯一分解。该算法基于矩阵约简，是拓扑数据分析这一新兴领域的基石。其输入是在整数$\mathbb{Z}$上定义的单纯过滤，从而产生$1$参数持久化模块。人们已经认识到，由$d$维整数网格$\mathbb{Z}^d$上的单纯过滤给出的多参数版本的持久化模块在数据科学应用中同样重要或者可能更重要。然而，在多参数设置中，一个主要的挑战是，基于代数结构的拓扑摘要，如分解和瓶颈距离不能有效地计算$1$参数的情况下，因为没有已知的持久化算法扩展到多参数持久化模块。本文给出了一个有效的算法来计算定义在多参数$\mathbb{Z}^d$上的持久化模块$M$的唯一分解。该算法首先假设该模块具有一组$N$生成器和关系，即\emph{distinctly graded}。基于广义矩阵约简技术，它在$O(N^{2ω+1})$时间内运行，其中$ω<2.373$是矩阵乘法的指数。这比在这样的输入上以$\tilde{O}(N^{6(d+1)})$时间运行的称为Meataxe的众所周知的算法好得多。在实践中，持久化模块通常由单纯过滤导出。对于由$n$单形组成的输入，我们的算法在$O(n^{(d-1)(2ω+ 1)})$时间内运行$d\geq 2$。对于零维同调的特殊情况，它在时间$O(n^{2ω+1})$中运行。
2021-12-06 cs.CG math.AT
A stability theorem for bigraded persistence barcodes
Department of Mathematics, Rider University, Lawrenceville, NJ 08648, USA；Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences；Department of Mathematics；Mechanics, Moscow State University, Russia；Institute for Information Transmission Problems, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia；National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russia；Department of Mathematics Education, Pusan National University, Busan, Republic of Korea；Statistics, University of Regina, Regina, Saskatchewan, Canada
本文定义了有限伪度量空间的大梯度持续持续同调模块和大梯度条形码，并证明了大梯度持续双同调模块和条形码的稳定性。
2025-09-08 cs.CG cs.LG math.AT
Positivity of Multiparameter Persistence Diagrams and Bottleneck Stability
持久同调研究参数化空间族中圈的生与死。在本文中，我们研究的出生和死亡的循环在多重过滤的链复形的目标是产生持久性图，满足瓶颈稳定性。
2021-07-06 math.AT
Stable Invariants for Multiparameter Persistence
在本文中，我们解释了如何转换为稳定的离散不变量，通过我们所谓的分层稳定。我们说明了这个过程，通过构建稳定的不变量的多参数持久性模块的交织距离和所谓的简单噪声系统。对于一个参数，我们恢复标准条形码信息。对于多个参数，我们证明了构造的不变量一般是NP-难计算的。一个结果是，计算的特征计数函数，提出了由Scolamiero等。（2016）是NP难的。
2021-04-14 math.AT
Persistent Homology and Applied Homotopy Theory
本文是一个调查的持续同源性，主要是因为它是用于拓扑数据分析。它包括持久性模块理论，以及持久性条形码的稳定性定理、广义持久性、持久性条形码的矢量化以及一些应用。
2020-04-01 math.AT
Ephemeral persistence features and the stability of filtered chain complexes
该研究基于Usher和Zhang的构造强化了有限度量空间VR持久同调的稳定性定理，提出区分能力更强的verbose barcode并证明其在特定度量下稳定，给出计算方法并通过例子证实其比标准barcode更优。
2025-08-21 math.AT
A metrically complete and Krull--Schmidt space of multiparameter persistence modules
本文研究了多参数持续性模块的可观测范畴，证明其在度量和代数上具有完备性和唯一分解性，并展示了其在多参数持续性研究中的重要性。
2026-03-12 math.AT math.RA math.RT
Lifespan Functors and Natural Dualities in Persistent Homology
本文引入寿命函子，根据有界性过滤条形码区间，用于分类内射与投射对象，推广了持久（上）同调的对偶性结果，并为高效计算态射像、核与余核的条形码奠定基础。
2021-10-18 cs.CG math.AT
Fast Computation of Zigzag Persistence
Zigzag持久性是标准持久性的一个强大的扩展，它除了允许插入外还允许删除单纯形。然而，计算锯齿持久性通常比标准持久性花费更多的时间。我们提出了一种算法，称为FastZigzag，缩小这种效率差距。我们的主要结果是，一个输入单形的锯齿形过滤可以转换为一个单元格的非锯齿形过滤的$Δ$ -复杂的具有相同的长度，其中的细胞是输入单形的副本。FastZigzag中的这一转换步骤成本很低。此外，原始过滤的条形码可以容易地从新的逐单元过滤的条形码读取，因为转换体现了拓扑数据分析中已知的一系列菱形开关。这个看似简单的观察为改进zigzag持久性的计算提供了巨大的可能性，因为任何用于标准持久性的有效算法/软件现在都可以应用于计算zigzag持久性。我们的实验表明，这确实实现了显着的性能增益超过现有的国家的最先进的软件。
2022-07-04 cs.CG math.AT
2-Categorical Foundations for Multiparameter Persistence
本文提出基于2-范畴结构的多参数持久性新框架，捕捉过滤参数层级交互，产生新不变量以表征多维拓扑特征，并证明稳定性定理，应用于基因组学和复杂网络分析。
2025-08-04 math.AT math.DG
Local Equivalence of Metrics for Multiparameter Persistence Modules
理想的多参数持久性不变量应该是可区分的、可计算的和稳定的。在这项工作中，我们分析了一个稳定的，可计算的不变量的多参数持久性模块：纤维条形码的鉴别力。纤维条形码等价于秩不变量，它编码多参数模块的单参数子模块的条形码。众所周知，这个不变量是全局不完全的。然而，在这项工作中，我们表明，纤维条形码是局部完整的，通过显示一个局部等价的交织距离（这是完全的有限提出的模块）和匹配距离纤维条形码之间的度量。更准确地说，我们表明：对于有限提出的多参数模块$M$有一个邻域的$M$，在交织距离$d_I$，匹配距离，$d_0$，满足以下双Lipschitz不等式$\frac{1}{34}d_I(M,N) \leq d_0(M,N) \leq d_I(M,N)$的所有$N$在这个邻域约$M$。因此，该区域内没有其他模块具有与$M$相同的纤维条形码。
2020-04-24 math.AC math.AT
Multiparameter persistent homology via generalized Morse theory
定义了一类由拓扑空间上的单参数函数族所产生的多参数持久模，并证明了这类持久模是稳定的。我们表明，这种结构可以产生不可分解的持久性模块与任意大的维度。对于紧致流形上的光滑函数，我们应用协边理论和Cerf理论研究了由此得到的持久模.我们给出的例子中，我们得到一个完整的描述的持久性模块作为一个直和的不可分解的被加数，并提供相应的可视化。
2022-05-06 math.AT math.GT
Notes on pivot pairings
我们提出了一个行约简算法来计算持久化模块的条码分解。该算法使标准持久性算法二重化，并澄清了清晰和压缩优化之间的对称性。
2021-03-11 cs.CG math.AT
Expected Complexity of Persistence Barcode Computation via Matrix Reduction
该研究针对随机滤过的持久条形码计算问题，提出基于约简矩阵密度的期望复杂度通用界定技术，在三类滤过上得到优于最坏情况的界，且部分界渐近紧，还构造了达到最坏情况的滤过实例。
2025-09-04 cs.CC math.AT
Deformations, Derived Categories, and Multiparameter Persistence: A Theoretical Framework
本文提出一个将变形理论与导出范畴结合的理论框架，研究多参数持续性问题，揭示了持续模块的扩展群和障碍类，建立了持续距离与导出卷积度量的统一猜想。
2026-04-11 math.AT math.DG
Cup Product Persistence and Its Efficient Computation
本文提出计算持久杯模及更判别性的杯积分区模的高效算法，复杂度分别为O(d n^4)和O(c(d)n^4)，并加速了持久杯长的计算。
2024-03-17 cs.CG math.AT
Persistence Steenrod modules
长期以来一直设想，可以使用上同调运算来增加过滤的细胞复合物的条形码不变量的强度。利用Steenrod平方计算的最新进展，我们引入了一个新的家庭的可计算的不变量模2持久上同调称为$Sq^k$-条形码。我们提出了一个完整的算法管道，他们的计算，并说明其现实世界的适用性，使用空间的环辛烷分子的构象。
2022-04-02 math.AT
On the bottleneck stability of rank decompositions of multi-parameter persistence modules
本文研究了多参数持续模秩分解的瓶颈稳定性，证明了最小秩分解在带符号瓶颈匹配下不稳定，转而证明秩正合分解具有瓶颈稳定性，并得出多个独立理论结果。
2024-08-30 cs.CG math.AT math.RT
Multiparameter persistence modules in the large scale
University of Regina（里贾纳大学）
本文研究了大规模下多参数持续模块的分类问题，通过有限支持图示对二维情况进行了不可分解图示的分类，并在更高维度中部分分类不可分解图示，证明了完整分类问题是野的。
2026-05-20 math.AT math.RT
Matrix Algebra for Persistence Modules Yields a Proof of the Isometry Theorem
本文通过矩阵化简为单参数持续模的等距定理提供证明，发展了持续模的矩阵计算方法，实现了函子性持续同调条形码及特定条件下的同调条形码与态射的计算。
2026-08-20 math.AC math.AT
When Left and Right Turns Inside Out: A Geometric and Categorical Introduction to an Inverse Problem in Persistence
在本文中，我们介绍了在R^3中的嵌入球体的计数问题，这些球体在z轴上的投影产生了一种特定类型的水平集条形码。如果两个嵌入球体通过保持合痕的z水平集相关，则它们被认为是高度等价的。先前用于对具有相同子水平集持久性条形码的区间上的函数进行计数的公式提供了具有相同水平集持久性的高度等价类的下界。还提供了约束的上界。
2019-02-25 math.AT
From Frames to Features: Scalable Zigzag Persistence for Binary Video
Durham University（杜伦大学）
提出一种直接从连通分量动力学提取H0和H1条形码的方法，通过图编码避免立方复形构造，利用Dey-Hou近线性时间算法实现4k视频实时分析。
2026-06-29 math.AT
Interactive Visualization of 2-D Persistence Modules
这项工作的目标是扩展标准的持久同源管道的探索性数据分析的2-D持久设置，在一个实用的，计算效率高的方式。为此，我们介绍RIVET，一个软件工具的可视化的2-D持久性模块，并提出了这个工具的数学基础。RIVET提供了一个2-D持久性模块$M$的1-D仿射切片条形码的交互式可视化。它还计算和可视化$M$中每个向量空间的维数和$M$的双阶贝蒂数。在我们的计算方法的核心是一个新的数据结构的基础上，平面线的安排，我们可以执行快速查询，找到条码的任何切片的$M$。我们提出了一个有效的算法来构建这种数据结构，并建立其复杂性的界限。
2015-12-01 cs.CG math.AC math.AT
Universality of persistence diagrams and the bottleneck and Wasserstein distances
本文证明带p-瓦瑟斯坦距离的持久性图在特定度量空间上构成普适p-次可加交换幺半群，结果适用于多类持久性结构，且1-瓦瑟斯坦距离满足康托罗维奇-鲁宾斯坦对偶性。
2021-10-27 cs.CG math.AT
Dualities in Multiparameter Persistence
Technical University of Munich (TUM)（慕尼黑工业大学）；Munich Data Science Institute (MDSI)（慕尼黑数据科学研究所）；Munich Center for Machine Learning (MCML)（慕尼黑机器学习中心）；Institute of Mathematics, Technical University of Berlin（柏林工业大学数学研究所）；Department of Mathematics, SUNY Albany（纽约州立大学奥尔巴尼分校数学系）
本文研究多参数持续性的对偶性，提出点wise对偶和global对偶两种 functor，证明链复形的对偶关系，并通过长正合列和多格格罗滕迪克局部对偶性给出两种证明，为计算 Vietoris-Rips 双滤波的自由分解提供基础。
2026-03-18 math.AC math.AT
Fibers of point cloud persistence
本文将持久同调与实代数几何及刚性理论结合，研究了具有相同条形码的点云空间，给出了维数界限和组合条件，并证明了一般点云在图全局或超图局部刚性条件下可通过VR或Čech持久同调识别。
2024-11-12 math.AT
Local characterization of block-decomposability for multiparameter persistence modules
该研究将2参数情形下持久模可分解为block modules的局部条件推广到n参数情形，证明了相应结构定理，并对原证明中依赖2参数的部分做了关键适配。
2024-12-11 math.AT math.RT
Instability of the Betti Sequence for Persistent Homology and a Stabilized Version of the Betti Sequence
拓扑数据分析（TDA）是一个相对较新的数据分析领域，已被证明在各种应用中非常有用。TDA的主要持久化工具是持久化同源性，其中在许多尺度上检查数据结构。持久同源性的表示包括持久性条形码和持久性图，这两者都不容易与传统的机器学习算法相协调，因为它们是间隔集或多集。忠实地表示条形码和持久图的问题一直沿着两个主要途径进行：内核方法和矢量化。一种矢量化是从持久性条形码导出的Betti序列或Betti曲线。虽然贝蒂序列已被用于各种应用中的分类问题，但据我们所知，序列的稳定性以前从未被讨论过。在本文中，我们表明，贝蒂序列是不稳定的1-Wasserstein度量方面的小扰动的条形码从它的计算。此外，我们提出了一种新的稳定版本的贝蒂序列的基础上看到的高斯平滑的稳定持久性袋字持久同源性。然后，我们介绍了规范化的累积贝蒂序列，并提供数值例子，支持的主要声明的文件。
2021-09-19 cs.CG cs.NA math.AT
Generalized Persistence Diagrams for Persistence Modules over Posets
当范畴$\mathcal{C}$满足一定的条件时，我们从范畴论的角度定义了任意偏序集索引函子$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$的秩不变量的概念.这推广了秩不变的标准概念以及帕特尔最近的扩展。具体地说，利用容斥原理，可以从秩不变量中提取出有限维向量空间的任意区间可分解持久性模块$F:\mathbf{P} \rightarrow \mathbf{vec}$的条码.推广这一思想允许自由选择索引偏序集$\mathbf{P}$的$F: \mathbf{P} \rightarrow \mathcal{C}$在定义帕特尔的广义持久性图的$F$。特别重要的是，定义$F$的广义持久性图而不管$F$是否是区间可分解的。通过将我们的想法专门化到锯齿形持久性模块，我们还表明，Reeb图的条形码可以在纯粹的集合论设置中获得，而无需传递到向量空间的类别。这导致推广的帕特尔的连续性定理类型$\mathcal{A}$持久图Lipschitz连续性定理的集范畴。
2021-08-03 cs.CG math.AT
Efficient Computation of Image Persistence
我们提出了一个算法，用于计算的图像的条形码的一个态射在持久的同源性所导致的过滤有限维链复形的包含。这些算法利用了清除优化，并可应用于单纯复形对过滤的持久绝对同调和持久相对上同调的包含诱导映射.它们构成了我们在软件Ripser框架中实现Vietoris-Rips复合体的基础。
2022-01-11 cs.CG math.AT
Decomposing Multiparameter Persistence Modules
本文提出了一种高效算法，用于分解多参数持续模块，并引入了参数限制理论，实现了O(n³)的时间复杂度。
2025-11-22 math.AT math.RT
