Coloring so that no Pythagorean Triple is Monochromatic
我们解决了勾股方程a^2+b^2=c^2的“分割正则性”问题;特别是，自然数是否可以被赋予2-着色，使得没有勾股三元组（即，方程的解）是单色的？我们证明了勾股三元组超图不可能包含Steiner三元系，这是2-可染性的一个自然障碍。然后，在将问题转化为关于3-CNF可满足性的问题并应用一些约简之后，使用SAT求解器来找到{1，...，7664}。工作继续，因为我们寻求改善的减少和扩展的计算。
2015-05-09 cs.DM cs.LO math.CO
Rado's criterion over squares and higher powers
我们建立了五个或更多变量的广义毕达哥拉斯方程的分区正则性。此外，我们展示了如何Rado的分区正则方程的特征仍然有效的正$k$次幂的集合，提供的方程至少有$(1+o(1))k\log k$变量。因此，我们完全描述了哪些对角形式是分区规则的，哪些不是，给定足够多的变量。此外，我们证明了一个过饱和版本的Rado定理的线性方程限制到平方减一或几何光滑的数字。
2018-09-19 math.CO math.NT
Partition regularity and multiplicatively syndetic sets
我们展示了如何乘法syndetic集可以用于研究的伸缩不变系统的多项式方程的分割正则性。特别地，我们证明了一个膨胀不变的多项式方程组是划分正则的当且仅当它在每个乘法合集内都有解。我们还采用了Green-Tao和Chow-Lindqvist-Prendiville的方法来开发Roth密度增量策略的联合版本。然后，该参数用于获得形式为$\{x, d, x + d, x + 2d\}$的配置的Rado数的界限。
2020-06-16 math.CO math.NT
Partition regularity for systems of diagonal equations
我们考虑$n$对角方程组的$k$次幂。我们的主要结果表明，如果这样的系统的系数矩阵是充分非奇异的，那么系统是划分正则的当且仅当它满足Rado列条件。此外，如果系统也允许常数解，那么我们证明了系统在每个正上密度的整数集合上都有非平凡解。
2020-03-24 math.CO math.NT
Extremal Sidon sets are Fourier uniform, with applications to partition regularity
推广Erdens-Freud和Lindström的结果，我们证明了整数的有界区间的最大Sidon子集在玻尔邻域中是等分布的。我们建立这表明，极值西顿集是傅里叶伪随机，因为它们没有大的非平凡的傅里叶系数。作为进一步的应用，我们推出，任何分区正则方程在五个或更多的变量，每一个有限着色的极值西顿集有一个单色的解决方案。
2021-10-26 math.CO math.NT
On the partition regularity of arithmetic progressions and linear equations in k-IP-sets
本文将范德瓦尔登定理和拉多定理推广到IP集与k-IP集的有限着色情形，其中k-IP集限制每个被加项的重数不超过k-1，从而刻画了其中等差数列和线性方程的分割正则性。
2025-09-21 math.CO math.NT
Partition regularity of generalised Fermat equations
令$α,β,γ\in\mathbb{N}$。我们证明了给定$\mathbb{F}_p$的$r$着色与$p$素数，方程$x^α+y^β=z^γ$有多个$c_{r,α,β,γ} p^2$解，所有$x,y,z$都是相同的颜色.这里$c_{r,α,β,γ}>0$是一个常数，取决于方程中的颜色数和指数。这已经是$α=β=1$和$γ=2$的新结果，也就是说对于方程$x+y=z^2$。
2017-05-04 math.CO math.NT
Centrally Image partition Regularity near 0
零附近的图像划分正则性的概念首先由De和Hindman提出。证明了$\mathbb{N}$上的类象分划正则性，证明了无穷远象分划正则矩阵在零附近的主要来源是Milliken- Taylor矩阵。但是美利肯-泰勒矩阵相距很远，在中心集中有图像。在这方面，引入了中心图像分区规则性的概念。本文对$(\ber^+,+)$的稠密子半群提出了在零附近中心分划正则矩阵的概念，它不同于有限情况下的中心分划正则矩阵.
2013-09-28 math.CO
Partition regularity of homogeneous quadratics: Current trends and challenges
本文介绍算术拉姆齐理论中齐次二次型分划正则性的近期进展，涵盖基本问题、遍历理论方法及未来挑战。
2025-08-07 math.CO math.NT
Partition regularity with congruence conditions
一个无限整数矩阵A称为图象分块正则的，如果当自然数是单色的时，存在一个整数向量x使得Ax是单色的。给定一个像分块正则矩阵A，我们是否也能坚持每个变量x_i是某个给定d_i的倍数？这是一个关于Hindman、Leader和Strauss的问题。我们在这个简短的说明中的目的是表明答案是否定的。作为一个应用，我们证明了两种主要形式的划分正则性，即图像划分正则性和核划分正则性之间的等价性。
2013-12-19 math.CO
Partition regularity of a system of De and Hindman
证明了在R上非零附近象分划正则的矩阵在N上是象分划正则的。这就回答了德和欣德曼的一个问题。
2013-08-02 math.CO
Partition regularity in imaginary quadratic rings of integers
Universidad de Chile（智利大学）；Centro de Modelamiento Matemático（数学建模中心）；Complutense University of Madrid（马德里康普顿斯大学）；Aristotle University of Thessaloniki（塞萨洛尼基亚里士多德大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文研究了具有良好线性因子分解的二次 homogeneous 方程在虚二次整数环中的分拆正则性，提出了数论结果，如无周期完全乘法函数的特征化、Turán-Kubilius 不等式和乘法函数的新集中估计。
2026-04-07 math.CO math.DS math.NT
An abstract formulation of image partition regularity
受V. Bergelson和John H.Johnson Jr.的论文[1]的启发，莫雷拉，我们制定了一个抽象版本的图像分割规律。为了建立结果，我们使用了第一进入条件的变体，并且对于无限情况，我们将我们的工作包含到密立根-泰勒系统中。
2021-02-01 math.CO
Uniformity of multiplicative functions and partition regularity of some quadratic equations
自Schur和van der Waerden定理以来，人们对线性方程证明了大量的剖分正则性结果，但对非线性方程的剖分正则性研究进展甚微，最困难的情况是三元方程。我们证明分区正则性的某些方程涉及形式在三个变量，例如，显示的方程$16x^2+9y^2=n^2$和$x^2+y^2-xy=n^2$是分区规则，其中$n$允许自由变化的$\mathbb{N}$。对于每一个这样的问题，我们建立一个密度模拟，可以制定在遍历条款作为一个递归属性的行动由膨胀的概率空间。我们的关键工具，建立这样的递归性质是一个分解结果的乘性函数，这是独立的利益。粗略地说，它指出模为1的任意乘性函数可以分解为两项，一项是近似周期性的，另一项具有三次的小Gowers一致性范数。
2014-03-06 math.CO math.DS math.NT
Duality for image and kernel partition regularity of infinite matrices
矩阵A是Q上的图像分区正则的，只要Q - {0}是单色的，就存在具有Q - {0}中的条目的向量x，使得Ax的条目是单色的。它是Q上的核划分正则的，只要Q - {0}是单色的，矩阵的核就有一个单色成员。我们建立了一个对偶这些概念有效的有限和无限矩阵。我们还研究了这种对偶在Q的真子半群上的矩阵划分正则的情况下成立的程度。
2016-09-11 math.CO
A note on lower bounds for arithmetic regularity partitions
本文为有限域向量空间上的强算术正则划分匹配了wowzer型下界，并证明高阶算术正则划分的tower型大小增长不可避免。
2025-10-17 math.CO
Regularity partitions and the topology of graphons
我们突出的拓扑方面的图极限理论。图子是稠密图的收敛序列的极限对象。我们引入了一个唯一的度量空间上的图子的表示，我们把这个度量空间的维数与正则划分的大小联系起来。证明了如果一个图子有一个被排除的导出子偶图，那么它所对应的度量空间是紧的，并且有有限的填充维数。这意味着特别是这样的图子有多项式大小的正则性分区。
2010-02-23 math.CO math.PR
Regularity inheritance in hypergraphs
给出了一种处理超图正则性的新方法。这种方法允许顶点的顶点嵌入到超图的常规分区，并推广到稀疏超图的常规分区。我们还证明了一个相应的稀疏超图正则性引理。
2019-01-17 math.CO
Inhomogeneous Partition Regularity
我们说方程组$Ax=b$，其中$A$是一个整数矩阵，$b$是一个（非零）整数向量，是分区正则的，如果每当整数被着色时，都有一个单色向量$x$与$Ax=b$。Rado证明了系统$Ax=b$是划分正则的当且仅当它有常数解。Byszewski和Krawczyk问，当整数被一般环$R$取代时，这是否仍然成立。我们在本说明中的目的是肯定地回答这个问题。主要成分是一个新的“直接”证明雷达的结果。
2018-06-29 math.CO
Partition regularity in the rationals
一个整系数齐次线性方程组齐次线性方程组是分拆正则的，如果只要自然数是单色的，则该方程组有单色解.有限和定理提供了第一个例子，一个无限分区定期方程组。从那时起，其他这样的方程组已经发现，但每一个都可以被视为有限和定理的修改。我们在这里提出了一个新的无限分区经常方程组，似乎出现在一个真正不同的方式。这是第一个例子的分区定期系统中，一个变量出现无界系数。该系统的一个修改提供了一个在Q上而不是N上分区正则的系统的例子，解决了另一个开放的问题。
2013-12-19 math.CO
C-image partition regularity near zero
在\cite{dehind1}中，首次提出了零附近图像分割规则性的概念。与有限情形相比，无穷像分块正则矩阵在零附近的分析是非常有趣的。在这方面，在\cite{biswaspaul}中引入了接近零的中心图像分区正则矩阵的抽象。本文提出了$((0,\infty),+)$的稠密子半群在零附近C-象划分正则的矩阵的概念。
2018-06-07 math.CO math.GN math.GR
Partition regularity of polynomial systems near zero
最近，S.~ Kanti Patra和Md.~ Moid Shaik证明了$((0,\infty),+)$的特定稠密子半群$S$的多项式方程组在零附近的单色解的存在性。我们将他们的结果扩展到更大的一类系统，同时削弱$S$的要求，仅使用基本的结果超滤波器。
2021-02-09 math.CO math.LO
A Wowzer Type Lower Bound for the Strong Regularity Lemma
Szemeredi的正则性引理断言，人们可以将每个图划分为有界数目的拟随机二部图。然而，在某些应用中，人们希望对这些二部图的准随机性有很强的控制。阿隆、费舍尔、克里维列维奇和塞格迪得到了正则引理的一个强大的变体，它允许人们对这种准随机性的度量进行任意控制。然而，他们的证明只能保证产生一个分区，其中部分的数量由Wowzer函数给出，这是Tower函数的迭代版本。我们在这里表明，这种类型的界限是不可避免的，通过构建一个图H，与属性，即使一个人想要一个非常温和的控制准随机性的一个经常分区，那么任何这样的分区H必须有一些部分由Wowzer型函数。
2012-06-17 math.CO
On regularity lemmas and their algorithmic applications
Szemerédi的正则性引理及其变体是组合数学中一些最强大的工具。在本文中，我们建立了几个结果周围的正则引理。首先，我们证明，无论我们是否包括的条件，所需的顶点划分的正则性引理是公平的分区的部分的数量上的影响最小。其次，我们使用的（弱）Frieze-Kannan正则引理的算法版本，给一个更快的确定性近似算法计算子图在一个图。以前，只有一个指数依赖的运行时间上的错误参数是已知的，我们改进它的多项式依赖。第三，我们重新审视了寻找算法正则性引理的问题，给出了几个co-NP-complete问题的近似算法。我们展示了如何使用弱Frize-Kannan正则引理来近似一对顶点子集的正则性。我们还展示了如何快速找到，为每个$ε'>ε$，一个$ε'$定期分区与$k$部分，如果存在一个$ε$定期分区与$k$部分。最后，给出了置换正则引理的一个简单证明，该引理将以往证明中的部件个数的塔型界改进为一个指数界。
2018-01-17 math.CO
Partition regularity of infinite parallelepiped sets
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究了半群中无限平行六面体集合的分区正则性，证明其等价于加法Ramsey理论中的基本概念。
2026-10-14 math.CO
Image Partition near an Idempotent
拉姆齐理论的一些经典结果可以很自然地用矩阵的象分块正则性来表述。关于图像分块正则矩阵以及图像分块正则矩阵在零附近的性质已经有了许多有意义的结果。本文研究了任意Hausdorff拓扑半群（T，+）及其稠密子半群S的幂等元附近的象划分正则性。本文基于T的幂等元附近的中心集定理，讨论了有限和无限象分划正则矩阵的一些组合应用。
2014-09-21 math.CO
Partition regularity without the columns property
一个有理元素的有限或无限矩阵A称为分块正则的，如果只要自然数是单色的，就有一个单色向量x，Ax=0。拉姆齐理论的许多经典定理可以自然地解释为断言特定矩阵是划分正则的。在有限情况下，Rado证明了一个矩阵是划分正则的，当且仅当它满足一个可计算的条件，称为列性质。列属性的第一个要求是某些列的总和为零。在无限的情况下，我们知道的要少得多。有许多矩阵的列属性的例子是不分区规则的，但到目前为止，所有已知的分区规则矩阵的例子都有列属性。我们在本文中的主要目的是表明，也许令人惊讶的是，有无限分区正则矩阵没有列属性-事实上，没有一组列的总和为零。我们还提出了一个猜想，如果一个分区正规矩阵（说与整数系数）有界行和，那么它必须有列的属性，并证明了第一步。
2014-01-07 math.CO
Growth of regular partitions 2: Weak regularity
University of Illinois at Chicago（芝加哥伊利诺伊大学）
本文研究了3-正则超图的正则划分增长，定义了弱超图正则性，并证明了该函数的增长率分为四个类别。
2026-06-26 math.CO math.LO
Nonlinear Kernel Partition Regularity: Necessary and Sufficient Conditions
本文研究Rado定理向非线性多项式方程组的推广，证明经典列条件在加入非线性项后仍保证核分区正则性，并给出涵盖线性与高次分量依赖关系的结构性必要条件。
2025-07-23 math.CO
Decomposition of degree-regular graphs into quasi-random pairs without the Regularity lemma
Bolyai Institute, University of Szeged（塞格德大学博莱伊研究所）
本文提出一种替代Szemerédi正则引理的顶点划分框架，适用于密度趋于零且顶点集较小的图，并将其应用于二分图打包问题。
2026-05-24 math.CO
On Rado conditions for nonlinear Diophantine equations
在Di Nasso和Lujiang Baglini工作的基础上，我们给出了丢番图方程是分拆正则的一般必要条件.这些条件的灵感来自Rado的分区定期线性齐次方程的表征。我们猜想，这些条件也是足够的分区规则，至少对于方程，其相应的单变量多项式是线性的。这将提供Rado定理的自然推广。我们验证了这样的猜想成立的方程$x^{2}-xy+ax+by+cz=0$和$x^{2}-y^{2}+ax+by+cz=0$为$a,b,c\in \mathbb{Z}$，使$abc=0$或$% a+b+c=0$。为了处理这些方程，我们建立了新的结果有关的分区规则的多项式配置$\mathbb{Z}$，如$\left\{ x,x+y,xy+x+y\right\} $，最近的结果上的分区规则的$\left\{ x,x+y,xy\right\} $的建设。
2021-01-16 math.CO math.LO math.NT
Equations resolving a conjecture of Rado on partition regularity
一个线性方程L称为k-正则的，如果每个正整数的k-染色都包含L的单色解. Richard Rado证明了对于每一个正整数k，存在一个线性方程是（k-1）-正则的但不是k-正则的.证明了方程$\sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1} x_i = (-1 + \sum_{i=1}^{k-1} \frac{2^i}{2^i-1}) x_0$具有这一性质。这个猜想是Richard K. Guy的书“Unsolved problems in数论“，在那里它被归因于Rado的1933年论文，“Kombinatorik”。
2009-01-25 math.CO
Bootstrapping partition regularity of linear systems
假设$A$是一个整数的$k \times d$矩阵，对于将$r$取为最大的$N$的函数写为$\mathfrak{R}_A:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\cup \{ \infty\}$，使得存在一个$r$着色的$\mathcal{C}$，$[N]$具有$\bigcup_{C \in \mathcal{C}}{C^d}\cap \ker A =\emptyset$。我们表明，如果$\mathfrak{R}_A(r)<\infty$的所有$r \in \mathbb{N}$，然后$\mathfrak{R}_A(r) \leq \exp (\exp(r^{O_{A}(1)}))$的所有$r \geq 2$。当$A$的核仅由Brauer组态组成时--即$(y,x,x+y,\dots,x+(d-2)y)$形式的向量--Chapman和Prendiville已经证明了上述情况，并给出了$O_A(1)$项的良好界。
2019-11-15 math.CO
Chordal bipartite graphs, biclique vertex partitions and Castelnuovo-Mumford regularity of $1$-subdivision graphs
本文研究1-细分图的正则性与双团顶点划分数之间的关系，证明了一般图的下界不等式，并针对弦二部图建立了等式，同时刻画了其独立复形的同伦类型。
2024-10-19 math.CO
Growth of regular partitions 4: strong regularity and the pairs partition
本文研究3-均匀超图强正则分解中顶点对划分规模的增长函数L_ℋ的渐近行为，证明其仅可能为常数、多项式有界或指数下界，且仅要求ε₂具有多项式增长率。
2025-08-01 math.CO math.LO
The two-block odd partition function
National University of Science and Technology Politehnica Bucharest（布加勒斯特理工大学）；Academy of Romanian Scientists（罗马尼亚科学家学院）
本文研究二块奇数分拆函数的算术与组合性质，证明其非负性及模3整除性质，揭示了此类分拆函数的算术正则性。
2026-09-29 math.CO math.NT
Stable regularity for relational structures
我们将Malliaris和Shelah的稳定图正则性引理推广到有限关系语言中的有限结构的情况，例如，有限超图我们表明，在模型理论的假设下的稳定性，这样的结构有一个公平的规则性分区的大小多项式在所需的精度的倒数，并为每个$k$ -ary关系和$k$ -元组的部分分区，密度接近0或1。此外，我们提供的有限和Borel结构，满足一个较弱的概念，我们称之为几乎稳定的正则性结果。
2018-01-15 math.CO math.LO
A tight lower bound for Szemerédi's regularity lemma
解决一个问题的Gowers，我们确定的顺序塔的高度分区大小的一个版本的Szemerédi的正则引理。
2014-03-07 cs.DM math.CO
A characterization and an application of weight-regular partitions of graphs
图的规则（或公平）划分的自然推广（其对于非正则图也有意义）是所谓的权重规则划分，其向每个顶点$u\in V$赋予等于Perron特征向量$\mathbfν$的对应条目$ν_u$的权重。本文主要研究了图的权正则划分问题。第一个是用双随机阵刻画权正则分拆。受Hoffman对正则图的一个刻画的启发，我们利用Hoffman多项式给出了权正则图的一个新的刻画.作为推论，我们得到了正则图的Hoffman结果.此外，我们展示了一个应用程序的重量定期分区研究图，达到平等的经典霍夫曼的下界的色数的一个图，我们表明，重量正则性提供了一个条件下，霍夫曼的界限可以得到改善。
2019-01-18 math.CO
Monochromatic sums and quotients in $\mathbb N$
Università di Pisa（比萨大学）；Università di Milano（米兰大学）；Charles University（查理大学）；Albert-Ludwigs-Universität Freiburg（弗赖堡大学）
本文证明了配置x,y,x+y,y/x在强无穷形式下的分拆正则性，扩展了Hindman定理，并研究了涉及x和y一次多项式乘积的分拆正则性问题。
2026-04-24 math.CO math.LO math.NT
Rado functionals and applications
我们研究了Rado泛函和极大条件（最早由J.M. Barret等人）根据线性方程与不等式混合制系统的剖分正则性，得到了一个新的解.通过加强极大Rado条件，给出了交换环的无穷子集上多项式方程的分块正则性的一个充分条件.应用这些结果，我们得到了M. Di Nasso和L.本文讨论了关于三元剖分正则非齐次多项式的LuvaniBaglini定理，并给出了$H(xz^ρ,y)=0$形式方程的剖分正则性条件，其中$ρ$是非零有理数，$H\in\mathbb{Z}[x,y]$是齐次多项式。
2022-09-16 math.CO math.LO
Growth of regular partitions 3: strong regularity and the vertex partition
本文研究3-均匀超图强正则分解的顶点划分增长函数$T_{\n\b\b{H}}$的渐近增长率，证明其可分为常数、多项式、指数、至少wowzer四类，不同层级对应不同增速的$ε_2$参数选择。
2025-08-02 math.CO math.LO
Efficient Removal without Efficient Regularity
三角形去除引理的有效界是极值组合学最突出的公开问题之一。也许实现这一目标的主要瓶颈是无三角形图可能是高度非结构化的。例如，无三角形图可能只有塔型大小的规则分区（在Szemerédi意义上）。事实上，基本上所有的图的性质${\cal P}$的去除引理与合理的界限，是这样的，每个图满足${\cal P}$有一个小的定期分区。因此，在某种意义上，获得性质${\cal P}$的有效移除引理的障碍是具有满足${\cal P}$的图的有效正则引理。在本文中，我们考虑的属性被诱导$C_4$ -免费的，这也遭受的事实，即一个图可能满足这一性质，但仍然只有塔型大小的常规分区。通过开发一种新的方法来解决这个问题，我们设法克服这个障碍，从而获得一个仅仅是指数界的诱导$C_4$删除引理。因此，我们得到了第一个有效的去除引理，不依赖于一个有效的版本的正则性引理。这是阿隆在2001年提出的一个问题的第一个实质性进展，最近阿隆，康伦和福克斯提出了这个问题。
2017-09-24 math.CO
On The Partition Regularity of $ax+by = cw^mz^n$
本文推广了方程 $x+y=wz$ 的划分正则性，部分分类了 $ax+by=cw^mz^n$ 在 $\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ 上的划分正则条件，并证明了 Grunwald-Wang 判据的部分推广以支持结论。
2023-06-25 math.CO math.NT
A tower lower bound for the degree relaxation of the Regularity Lemma
Heidelberg University（海德堡大学）；Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences（捷克科学院计算机科学研究所）
该研究证明了图的度数正则划分所需的簇数下界为塔函数，揭示了即使在正则性放松的情况下，Szemerédi正则引理的界仍不可大幅改进。
2024-10-15 math.CO
An edge labeling of graphs from Rados partition regularity condition
本文基于 Rados 划分正则性条件定义并研究图的 AR-标号与 AR-图，要求各顶点关联边标号的所有子集和互异。
2025-02-17 math.CO
An Algebraic Hypergraph Regularity Lemma
Szemerédi正则性引理是图论中的一个强有力的工具。证明了对任意大的图，存在边集的有界划分，使得大多数诱导子图是拟随机的。当图是有限域$F_q$中的可定义集$ϕ(x, y)$时，Tao的代数图正则引理证明了存在图$ϕ(x, y)$的一个划分，使得所有诱导子图都是拟随机的，且拟随机的误差界是$O(q^{-1/4})$ .本文证明了有限域中可定义集的一个代数超图正则引理，从而回答了Tao的一个问题。我们还将代数正则引理推广到差域$(F_q^{alg}, x^q)$中的可定义集合上，并对代数正则引理的几何内容提供了一个新的观点。
2022-09-16 math.CO math.LO
Solution Regularity of k-partite Linear Systems -- A Variant of Rado's Theorem
组合数论中的一个经典问题是，一个方程在其定义域的某个子集内是否有解。Rado定理给出了线性方程组在正整数着色时有单色解的一组充要条件。在本文中，我们提供了这个定理的一个变体。对于$k \ge 2$，我们提出的条件，使得当一组变量被划分成$k$子集，有一个解决方案，使每个子集的变量是单色的，我们称之为半单色的解决方案。我们采用Graham，Rothschild和Spencer的smod $p$染色，将半单色解的存在性转化为线性多项式公共根的存在性.利用这一思想，我们可以进一步将定理推广到一般代数数域上的线性方程组。
2022-10-01 math.CO math.NT
A Short Proof of Gowers' Lower Bound for the Regularity Lemma
Gowers的一个著名结果是：对于每个ε> 0，存在一个图G，使得G的每个ε-正则划分（在Szemeredi正则引理的意义下）的阶由1/ε中高度多项式的指数塔给出。在本说明中，我们给出了一个新的证明这个结果，使用的建设和证明的正确性，显着更简单，更短。
2013-08-24 math.CO
Asymptotic Ramsey theory of Diophantine equations
该研究提出丢番图方程的渐近划分正则性概念，证明其为方程拉姆齐理论中已知否定结果的核心，借助超自然数的阿基米德等价类将其转化到非标准扩张语境，得出费马-卡塔兰方程等新的否定结果。
2025-10-22 math.CO
Regular partitions of gentle graphs
Szemeredi正则性引理是极值组合学中一个非常有用的工具。最近，这个开创性的结果得到了一些特殊的，更结构化的图类的改进。我们调查这些结果在其丰富的组合背景。特别是，我们强调（结构）稀疏性理论的联系，从而导致替代证明，改进和解决方案的开放问题。值得注意的是，这些类中有许多都提出了具有挑战性的问题。然而，从正则性引理类型陈述的观点来看，它们看起来是“温和”的类。
2020-03-29 cs.DM cs.LO math.CO
Bounds for graph regularity and removal lemmas
本文证明了，对于任意正整数k，存在一个图，它的顶点被均匀划分为k个部分，其中至少有ck^2/ \log^* k对部分不是ε-正则的，其中c，ε>0是绝对常数.这个界限是紧的常数c和地址的问题高尔斯的数量不规则对Szemerédi的规律性引理。为了获得对不规则对的一些控制，另一个正则性引理，称为强正则性引理，由阿隆，费舍尔，Krivelevich和Szegedy开发。对于这个引理，我们证明了一个关于强正则引理中部分个数的Wowzer型下界，它在Ackermann族中比塔函数高一级，本质上与上界相匹配.另一方面，对于导出图移除引理，强正则引理的标准应用，我们找到了一个不同的证明，它产生了一个塔型界。我们还讨论了几个相关的正则性引理的界，包括Frieze和Kannan的弱正则性引理以及最近建立的正则逼近定理。特别地，我们证明了具有近似参数ε的弱划分可能需要多达2^{Ω（ε^{-2}）}个部分。这是紧到隐含常数，并解决了一个问题的研究Lovász和Szegedy。
2011-07-25 cs.DM math.CO
Rado's theorem for rings and modules
将Rado关于整系数线性方程组的划分正则性的经典结果推广到系数环为任意整环或诺特环的情形.特别地，我们证明了无穷整环上的齐次线性方程组是划分正则的当且仅当相应的矩阵满足列条件。其关键思想是研究一般模的划分正则性，而不仅仅是环。与以往的方法不同，我们的方法不依赖于系数环的特性。
2021-03-05 math.AC math.CO
Ramsey's witnesses
Università di Pisa（比萨大学）；Università di Milano（米兰大学）；Charles University（查理大学）
本文提出拉姆齐见证的概念，用于研究多项式和指数配置在自然数上的拉姆齐分拆正则性，并反驳了近期提出的问题。
2026-02-19 math.CO math.LO
