Combinatorial proof of identities involving partitions with distinct even parts and 4-regular partitions
针对Andrews与Bachraoui用基本超几何级数证明并寻求组合解释的互异偶数部分分拆与4-正则分拆恒等式，本文通过构造双射给出组合证明。
2025-08-29 math.CO
New Classes of Infinite Image Partition Regular Matrices Near Zero
正则矩阵在零附近象分划推广了Ramsey理论的许多经典结果.有限象分块正则矩阵在零附近有几个特征。与有限情形相比，只有少数几类矩阵是在零附近无限象分划正则的。在目前的工作中，我们已经产生了几个新的例子，这样的类。
2018-08-16 math.CO
Characterizing and computing weight-equitable partitions of graphs
图的权公平划分是著名的公平划分的自然扩张，它已被证明是削弱几个著名的特征值界的正则性假设的有力工具.在这项工作中，我们的目标是进一步我们的代数和计算的重量公平分区的理解。我们这样做，通过显示几个频谱特性和代数特征，并通过提供一种方法来找到粗糙的权重公平的分区。
2021-09-07 math.CO
Asymptotically Almost Every $2r$-regular Graph has an Internal Partition
图的内部划分是将顶点集划分为两部分，使得对于每个顶点，至少有一半的邻居在其一侧。证明了对每一个正整数$r$，几乎每一个$2r$ -正则图都渐近地有一个内部划分.
2017-08-16 math.CO
M-partitions: Optimal partitions of weight for one scale pan
正整数m的M-划分是具有尽可能少的部分的划分，使得任何小于m的正整数具有由从m的该划分中取得的部分组成的划分。这相当于分割重量m，以便能够用尽可能少的重量和仅一个秤盘来称量任何整数重量l < m。我们证明了M-划分的部分数是m的对数线性函数，并且m的M-划分对应于多面体中的格点.我们展示了一个递归关系，用于计算m的M-划分的数量，并且对于正整数的“一半”，这个递归关系将具有生成函数。在某种意义上，生成函数将与用于计算给定整数的不同二进制分区的数量的生成函数相同。
2003-11-14 math.CO
Inferior Regular Partitions and Glaisher Correspondence
在本文中，我们证明了Mizukawa-Yamada的$X-Y=C$和$m$ -元组版本。
2018-04-16 math.CO
Partition regularity in the rationals
一个整系数齐次线性方程组齐次线性方程组是分拆正则的，如果只要自然数是单色的，则该方程组有单色解.有限和定理提供了第一个例子，一个无限分区定期方程组。从那时起，其他这样的方程组已经发现，但每一个都可以被视为有限和定理的修改。我们在这里提出了一个新的无限分区经常方程组，似乎出现在一个真正不同的方式。这是第一个例子的分区定期系统中，一个变量出现无界系数。该系统的一个修改提供了一个在Q上而不是N上分区正则的系统的例子，解决了另一个开放的问题。
2013-12-19 math.CO
Image Partition near an Idempotent
拉姆齐理论的一些经典结果可以很自然地用矩阵的象分块正则性来表述。关于图像分块正则矩阵以及图像分块正则矩阵在零附近的性质已经有了许多有意义的结果。本文研究了任意Hausdorff拓扑半群（T，+）及其稠密子半群S的幂等元附近的象划分正则性。本文基于T的幂等元附近的中心集定理，讨论了有限和无限象分划正则矩阵的一些组合应用。
2014-09-21 math.CO
New infinite families of directed strongly regular graphs via equitable partitions
本文介绍了一种利用均匀划分由小图构造有向强正则图的方法。每个DSRG的公平划分满足几个条件，导致一个有向强正则图的无限族。我们以这种方式构建了几十个无限的家庭。为了最多110，我们确认存在的DSRG为30个以前开放的参数集。
2015-04-01 math.CO
Internal partitions of $5$-regular and $8$-regular graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证实了DeVos提出的关于r-正则图内部划分的问题，证明顶点数≥10^7的5-正则图和8-正则图均存在内部划分，补充了此前仅r∈{3,4,6}成立的结论。
2026-10-15 math.CO
Duality for image and kernel partition regularity of infinite matrices
矩阵A是Q上的图像分区正则的，只要Q - {0}是单色的，就存在具有Q - {0}中的条目的向量x，使得Ax的条目是单色的。它是Q上的核划分正则的，只要Q - {0}是单色的，矩阵的核就有一个单色成员。我们建立了一个对偶这些概念有效的有限和无限矩阵。我们还研究了这种对偶在Q的真子半群上的矩阵划分正则的情况下成立的程度。
2016-09-11 math.CO
Reduction of $m$-Regular Noncrossing Partitions
本文提出了一个约简算法，它将$[n]=\{1, 2, ..., n\}$的正则划分$m$转化为$[n-1]$的正则划分$(m-1)$.我们证明了该算法保持了非交叉性。这产生了一个简单的解释的身份由于西蒙-乌尔曼和克拉扎尔在连接计数问题的非交叉分区和RNA二级结构。对于普通的非交叉分区，减少算法导致表示的非交叉分区在独立的弧和循环，以及身份的Simion和Ullman表示Narayana号码的加泰罗尼亚号码。
2004-06-09 math.CO
A note on internal partitions: the $5$-regular case and beyond
图的内部划分或友好划分是将顶点集划分为两个非空集合，使得每个顶点在自己的类中的邻居至少与另一个类中的邻居一样多。本文证明了除有许多反例外，每一个3、4或6-正则图都有一个内部划分。本文主要讨论了$5$ -正则的情形，证明了在最小度至少为$3$的子图中，存在一些交小的图.我们还讨论了某些Cayley图族的内部划分的存在性，特别是我们确定了所有不具有内部划分的$5$ -正则Abel Cayley图.
2021-09-29 math.CO
A bijection for partitions simultaneously $s$-regular and $t$-distinct
本文构造了n个同时s-正则且t-相异的划分集与n个同时t-正则且s-相异的划分集之间的一个双射。一些影响的地图进行了讨论。作为Glaucet双射的推广，该映射在其他划分组合学中也有广泛的应用。本文给出了Glasgow双射迭代的一个猜想的一个反例。
2022-08-03 math.CO
A general method to obtain the spectrum and local spectra of a graph from its regular partitions
众所周知，一般情况下，图的部分谱可以由其商图的邻接矩阵通过正则划分得到。本文提出了一种从图$Γ$的某些正则剖分的商矩阵得到图的全部谱和局部谱的方法。作为例子，它显示了如何找到的特征值和（本地）的多重性的步行定期，距离定期，距离双正则图。
2019-01-23 math.CO
Partition regularity without the columns property
一个有理元素的有限或无限矩阵A称为分块正则的，如果只要自然数是单色的，就有一个单色向量x，Ax=0。拉姆齐理论的许多经典定理可以自然地解释为断言特定矩阵是划分正则的。在有限情况下，Rado证明了一个矩阵是划分正则的，当且仅当它满足一个可计算的条件，称为列性质。列属性的第一个要求是某些列的总和为零。在无限的情况下，我们知道的要少得多。有许多矩阵的列属性的例子是不分区规则的，但到目前为止，所有已知的分区规则矩阵的例子都有列属性。我们在本文中的主要目的是表明，也许令人惊讶的是，有无限分区正则矩阵没有列属性-事实上，没有一组列的总和为零。我们还提出了一个猜想，如果一个分区正规矩阵（说与整数系数）有界行和，那么它必须有列的属性，并证明了第一步。
2014-01-07 math.CO
An abstract formulation of image partition regularity
受V. Bergelson和John H.Johnson Jr.的论文[1]的启发，莫雷拉，我们制定了一个抽象版本的图像分割规律。为了建立结果，我们使用了第一进入条件的变体，并且对于无限情况，我们将我们的工作包含到密立根-泰勒系统中。
2021-02-01 math.CO
Perfect partition of some regular bipartite graphs
一个图有一个完美划分，如果它的所有完美匹配可以被划分，使得每个部分是图的1-因子分解。令$L_{rm, r}=K_{rm,rm}-mK_{r,r}$。首先给出了计算$L_{rm, r}$的完美匹配数的公式，然后证明了$L_{6,1}$和$L_{8,2}$有完美划分.
2012-12-25 math.CO
Internal Partitions of Regular Graphs
$n$ -顶点图$G=(V,E)$的内部划分是$V$的一个划分，使得每个顶点在其自己的部分中具有至少与在其他部分中一样多的邻居。证明了每一个顶点为$n>N(d)$的$d$ -正则图都有一个内部划分.在这里，我们证明了$d=6$。$d=n-4$的情况下是特别感兴趣的，并导致有趣的新的三次图上的开放问题。我们还提供了新的下界$N(d)$，并找到新的家庭的图没有内部分区。这些问题的加权版本被认为是以及。
2013-07-19 math.CO
Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets
本文给出了“双曲”型强正则Cayley图的一个新的提升构造。基于Singer差集的次差集的划分，给出了有限域的可加群上强正则Cayley图的新构造.我们的结果统一了有限几何中与$m$ -卵形和$i$ -紧集有关的强正则Cayley图的一些新的构造.此外，本文所得到的强正则Cayley图中有一些是新的，或者与已知的具有相同参数的强正则图不同构.
2017-06-17 math.CO
Congruences for 9-regular partitions modulo 3
证明了n的9-正则分拆的个数当n全等于3 mod 4时可被3整除，当n全等于13 mod 16时可被6整除。模3同余的无限族在模4和模5的幂的其他级数中成立。一个集合包括两个同余模2的高次幂和一个大的家庭的“同余与例外”，这些和其他定期分区模3。
2013-06-06 math.CO
Inhomogeneous Partition Regularity
我们说方程组$Ax=b$，其中$A$是一个整数矩阵，$b$是一个（非零）整数向量，是分区正则的，如果每当整数被着色时，都有一个单色向量$x$与$Ax=b$。Rado证明了系统$Ax=b$是划分正则的当且仅当它有常数解。Byszewski和Krawczyk问，当整数被一般环$R$取代时，这是否仍然成立。我们在本说明中的目的是肯定地回答这个问题。主要成分是一个新的“直接”证明雷达的结果。
2018-06-29 math.CO
Multiply partition regular matrices
设$A$是一个有理元素的有限矩阵。我们说$A$是{ \it双像划分正则\/}，如果每当正整数的集合${\mathbb N}$是单色的，存在$\vec x$使得$A\vec x$的条目都是相同的颜色（或{ \it单色\/}），并且$\vec x$的条目也是单色的。哪些矩阵是双像分划正则的？更一般地说，我们说一对矩阵$(A,B)$，其中$A$和$B$具有相同的行数，是{ \it双核分区正则\/}，如果每当${\mathbb N}$是单色的，存在矢量$\vec x$和$\vec y$，每个单色，使得$A \vec x + B \vec y = 0$。存在一个正有理$c$，使得矩阵$M=(\begin{array}{ccccc}A&cB\end{array})$是核划分正则的，这是$(A,B)$是二重核划分正则的一个明显的充分条件. (That只要${\mathbb N}$是单色的，就存在单色的$\vec x$，使得$M \vec x=\vec 0$。）本文的目的是证明这个充分条件也是必要的。因此，我们有一个矩阵$A$是双重图像划分正规的当且仅当存在一个正有理$c$，使得矩阵$(\begin{array}{lr}A&cI\end{array})$是核划分正规的，其中$I$是适当大小的单位矩阵。我们还证明了几个矩阵的情况下的扩展。
2013-06-03 math.CO
A note on 2-distant noncrossing partitions and weighted Motzkin paths
我们证明了Drake和Kim的一个猜想：$\{1,2,...,n\}$的$2$ -远距离非交叉划分的个数等于长度为$n$的Motzkin路的权之和，其中Motzkin路的权是包含斐波那契数的某些分数的乘积.我们给出了猜想的两种证明：一种是利用连分数，另一种是组合证明。
2010-11-02 math.CO
Partitions into parts simultaneously regular, distinct, and/or flat
我们探讨的分区，在于在几个集合的经典利益的交集：分区的部分不可分割的$m$，出现少于$m$倍，或小于$m$不同。我们发现他们的行为和生成函数的结果：更多的结果，同时定期和不同的，最少的那些不同的和平坦的。我们在该地区提供一些建议。
2019-11-12 math.CO
Maximality of Infinite Partition Regular Matrices
一个有限或无限的矩阵$A$有有理元素（并且每行只有1/2个非零元素），如果当自然数是单色的时，有一个向量$x$，元素在自然数中，使得$Ax$是单色的，则称为图像分区正则的。拉姆齐理论的许多经典结果都是用象划分正则性来自然地表述的。本文研究了像分块正则矩阵的极大性问题。何时可以向$A$添加行并保持图像分区规则？什么时候可以增加行，但“没有产生新的东西”？如何添加行和新变量？证明了关于最有趣的无限系统的扩张的一些结果，并作了一些说明。也许我们最令人惊讶的积极结果是米利肯-泰勒系统的兼容性结果，说明（在许多情况下）可以将一个米利肯-泰勒系统与另一个系统的平移相邻，并保持图像分区规则。这与早期的结果相反，早期的结果表明不同的密立根-泰勒系统之间存在强烈的不一致性。我们的主要工具是$βN$的一些代数性质，自然数的Stone-Cech紧化。
2014-08-11 math.CO
Bressoud Style Identities for Regular Partitions and Overpartitions
我们构建了一个家庭的分区身份，其中包含以下身份：罗杰斯-Ramanujan-戈登身份，Bressoud的甚至模推广他们，以及他们的同行overpartitions由于Lovejoy等人。和陈等人。我们获得不寻常的同伴身份已知定理以及新的过程中。这种证明是与传统相反的，是建设性的，并且对自动化开放。
2014-09-18 math.CO
Generalizations of Euler's Theorem to $k$-regular partitions
School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）；MOE Key Laboratory for Complexity Science in Aerospace, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学航天复杂系统教育部重点实验室）；Xi’an-Budapest Joint Research Center for Combinatorics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学西安-布达佩斯组合学联合研究中心）
本文通过提出与$k$-正则分拆集合$B_k(n)$等势的新分拆集合$E_k(n)$，推广了Glaisher关于$k$-互异分拆与$k$-正则分拆等势的结论及欧拉分拆定理。
2025-11-18 math.CO
Destroying Non-Complete Regular Components in Graph Partitions
我们证明，如果$G$是一个图和$r_1, ..., r_k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，使$\sum_{i=1}^k r_i \geq Δ(G) + 2 - k$，然后$V(G)$可以划分成集$V_1, ..., V_k$，使$Δ(G[V_i]) \leq r_i$和$G[V_i]$不包含任何非完整的$r_i$ -定期组件为每个$1 \leq i \leq k$。特别地，任何图$G$的顶点集可以被划分为$\left \lceil \frac{Δ(G) + 2}{3} \right \rceil$集，每个集合都导出三角形和路径的不交并。
2011-02-06 math.CO
Cycle partitions of regular graphs
Magnant和Martin证明了$d$ -正则图$G$在$n$顶点上的顶点集可以被划分为$n / (d+1)$路（存在一个简单的构造表明这个界是最好的）.我们证明了这个猜想时$d = Ω(n)$，改进了韩，谁表明，在这个范围内几乎所有的$G$顶点可以覆盖的$n / (d+1) + 1$顶点不相交的道路。事实上，我们的证明给出了一个分区的$V(G)$到循环。我们还证明了，如果$d = Ω(n)$和$G$是二部图，那么$V(G)$可以划分成$n / (2d)$路（这个界是紧的二部图）。
2020-09-11 math.CO
Splitting a graph by a given partition of the set of vertices based on the minimum weight of the induced trees
本文提出一种按给定顶点划分构造拆分图的方法，利用原子内最小树计算原子间弧，并分析原始有向图信息在拆分中的保留情况。
2025-09-21 math.CO
Weight-preserving bijections between integer partitions and a class of alternating sign trapezoids
我们构造保权双射列严格移位平面分区与一行和交替符号的双射，正好有一列在左半部分，总和为$1$。除其他事项外，他们将交替符号数组中的$-1$的数量与列严格移位平面分区中的某些元素相关联，这些列严格移位平面分区概括了下行平面分区中特殊部分的概念。这些双射的优点是它们包括具有$-1$的配置，这是交替符号阵列领域中的许多双射所缺乏的特征。
2022-09-09 math.CO
Matchings in regular graphs: minimizing the partition function
对于$v(G)$顶点上的图$G$，令$m_k(G)$表示大小为$k$的匹配的数目，并考虑分拆函数$M_{G}(λ)=\sum_{k=0}^nm_k(G)λ^k$。在本文中，我们证明了，如果$G$是一个$d$ -正则图和$0<λ<(4d)^{-2}$，那么$$\frac{1}{v(G)}\ln M_G(λ)>\frac{1}{v(K_{d+1})}\ln M_{K_{d+1}}(λ).$$相同的不等式成立，如果$d=3$和$λ<0.3575$。并给出了更精确的图解。
2020-06-30 math.CO
An Alternative Generating Function for $k$-Regular Partitions
本研究通过组合方法构造了对应每个正整数$k$的$k$重$q$-级数作为$k$-正则分拆的生成函数，验证了$k=1$时对应欧拉互异分拆$q$-级数恒等式，还发现$k=2$情形与Bessel多项式存在关联。
2025-02-24 math.CO
Identities involving partitions with distinct even parts and $4$-regular partitions
本文在已知不同偶数部分分拆数与4-正则分拆数相等的基础上，证明了一类受限的不同偶数部分分拆与受限4-正则分拆之间的恒等式。
2024-10-03 math.CO math.NT
Spectra and eigenspaces from regular partitions of Cayley (di)graphs of permutation groups
本文给出了置换群的Cayley（di）图（即图、有向图或混合图）在$n$字母上的正则（或公平）划分的一种方法.我们证明了数$n$的每一个划分都产生Cayley图的一个正则划分。利用表示论，我们还得到了相应商（di）图的完全谱和特征空间。更准确地说，我们提供了一种方法来找到所有的特征值和特征向量的（di）图，基于他们的不可约表示。作为例子，我们应用这种方法的煎饼图$P(n)$和最近已知的家庭的混合图$Γ(d,n,r)$（有边和没有方向）。作为一个副产品，完美码的存在$P(n)$允许我们给它的特征值$-1$的重数的下界。
2019-06-13 math.CO
On $\ell$-regular partitions and Hickerson's identity
本文利用两个对合和一个双射，完全确定了 $\ell$-正则分拆在偶数部分数与奇数部分数之间的差，推广了 Ballantine 和 Merca 的结果，并给出 Hickerson 恒等式的组合证明。
2024-06-06 math.CO
Glaisher combinatorics of regular partitions
扩展了$r$ -（类）正则划分的概念，定义了$(r_{1},...,r_{m})$ -类正则划分.利用Glasgow对应给出并描述了一个划分恒等式。
2015-03-30 math.CO math.RT
Random $k$-noncrossing partitions
在本文中，我们介绍了多项式时间算法，产生随机$k$ -非交叉分区和2-定期，$k$ -非交叉分区的均匀概率。$k$ -非交叉划分在其规范表示中不包含任何$k$相互交叉的弧，并且如果后者不包含$(i,i+1)$形式的弧，则它是2-正则的。使用Chen的双射{ \it et al.} \cite{Chen,Reidys:08tan}，我们将$k$ -不交叉划分和2-正则，$k$ -不交叉划分解释为受限的广义摇摆表.此外，我们解释tableaux作为抽样路径的马尔可夫过程的形状，并得出其转移概率。
2009-11-16 math.CO
Bisection width, max-cut and internal partitions of 5-regular graphs
本文提出基于局部算法的新因子IID过程，通过重着色阶段改进随机正则图二分宽度与最大割上界，并证明随机5-正则图渐近几乎必然存在内部划分。
2025-09-10 math.CO
Judicious Partitions in Edge-Weighted Graphs with Bounded Maximum Weighted Degree
本文研究边加权图的明智k划分问题，建立k=2和k=3的紧界，指出k≥4需额外低阶项并提出猜想，还证明存在满足特定紧界的k划分，最小化最重诱导子图的总边权并考虑割权。
2025-07-08 math.CO
A note on lower bounds for arithmetic regularity partitions
本文为有限域向量空间上的强算术正则划分匹配了wowzer型下界，并证明高阶算术正则划分的tower型大小增长不可避免。
2025-10-17 math.CO
The partition dimension and $k$-domination number of a family of non-distance regular graph
Payame Noor University（帕亚梅诺尔大学）；Yazd University（亚兹德大学）
本文研究了一类非距离正则图Toeplitz图的划分维度和k-支配数，通过计算得出这两个参数，解决了此前未确定的问题。
2026-05-07 math.CO
Inequalities and asymptotics for hook lengths in $\ell$-regular partitions and $\ell$-distinct partitions
本文通过推导ℓ-正则分拆与ℓ-互异分拆中钩长为1、2、3的钩的总数的渐近公式，建立了这两类分拆之间及其内部的钩长不等式，并证明相应钩数比值趋于依赖ℓ和t的常数。
2025-04-13 math.CO math.NT
Partition regularity of infinite parallelepiped sets
Bar-Ilan University（巴伊兰大学）
研究了半群中无限平行六面体集合的分区正则性，证明其等价于加法Ramsey理论中的基本概念。
2026-10-14 math.CO
Regularity inheritance in hypergraphs
给出了一种处理超图正则性的新方法。这种方法允许顶点的顶点嵌入到超图的常规分区，并推广到稀疏超图的常规分区。我们还证明了一个相应的稀疏超图正则性引理。
2019-01-17 math.CO
Solution on strong partition of $2$-balanced regular multipartite tournaments
本文确定了$2$-平衡正则多部竞赛图的强划分数$ST(2)=6$，并给出了唯一无强划分的$2$-平衡$5$部竞赛图。
2024-03-13 math.CO
Nonlinear Kernel Partition Regularity: Necessary and Sufficient Conditions
本文研究Rado定理向非线性多项式方程组的推广，证明经典列条件在加入非线性项后仍保证核分区正则性，并给出涵盖线性与高次分量依赖关系的结构性必要条件。
2025-07-23 math.CO
The Partition of Paley Graphs into Petersen Graphs and a New Strongly Regular Graph with Parameters (50, 21, 8, 9)
Vyatka State University（维亚特卡国立大学）
本文提出将有限域乘法群的陪集两两组合的思路，发现存在可分解为彼得森图的无限序列佩利图，还构造出参数为(50,21,8,9)的新强正则图。
2026-08-26 math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
Number of Partitions of an n-kilogram Stone into Minimum Number of Weights to Weigh All Integral Weights from 1 to n kg(s) on a Two-pan Balance
我们求出一块n公斤重的石头分成最少部分的不同部分的数量，这样，从1公斤到n公斤的所有整数重量都可以在一次称重中使用两盘天平上任何部分的部分来称重。与传统的划分相比，这些划分在对集合的总权重和划分中的部分的数量有约束的情况下具有优势。它们可以用于确定纸币和硬币的最佳尺寸和重量以及面额。
2015-02-27 math.CO math.HO
Equitable partitions of regular graphs, and perfect sets in normal Cayley graphs
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne（墨尔本大学数学与统计学院）
本文研究了正则图的公平划分条件，并基于此推导了正常赛尔图中存在(a,b)-完美集的必要条件，涉及图的不可约特征标。
2026-05-17 math.CO
Wadge Degrees of Classes of omega-Regular k-Partitions
我们开发了一个理论的k-分区的一组无限的话可识别类的有限自动机。该理论能够完成现有的（非周期）ω-正则k-划分的拓扑分类结果的证明，并提供了处理其他类似问题的工具。特别是，我们的结构特征的Wadge度（非周期性）的ω-定期$k$-分区，证明了许多相关问题的可判定性，并讨论了它们的复杂性。
2021-04-21 cs.FL math.CO
The maximum intersection number of regular simplicial partitions
本文首先给出了正则单纯分拆的相交数的界。
2022-11-08 math.CO math.GT math.MG
