Differential Equations for Approximate Solutions of Painlevé Equations: Application to the Algebraic Solutions of the Painlevé-III $({\rm D}_7)$ Equation
本文利用Alexander Its提出的方法，从外参数矩阵的简单条件直接导出极限微分方程，建立Painlevé-III (D$_7$)代数解的局部近似与Weierstrass方程的联系。
2024-01-20 math-ph math.CA math.MP
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation: Large Parameter Asymptotics
当$n\in\mathbb{Z}$满足时，具有参数$Θ_0=n+m$和$Θ_\infty=m-n+1$的Painlevé-III方程有唯一的有理解$u(x)=u_n(x;m)$和$u_n(\infty;m)=1$.利用\cite{BothnerMS18}中提出的Riemann-Hilbert表示，研究了当$m\in\mathbb{C}$保持不变时，$u_n(x;m)$在极限$n\to+\infty$中的渐近行为.我们在$y=n^{-1}x$平面上孤立出一个眼形域$E$，它渐近地限制了第二参数$m$的所有值的$u_n(x;m)$的极点和零点.然后，我们表明，除非$m$是一个半整数，$E$的内部充满了一个局部均匀的晶格的极点和零点，和密度的极点和零点是小的边界附近的$E$，但炸毁附近的原点，这是唯一的固定奇点的Painlevé-III方程。在内部和外部域，我们提供了精确的渐近公式为$u_n(x;m)$，我们比较$u_n(x;m)$本身的$n$有限值，以说明其准确性。我们还考虑了$m$是半整数的例外情况，表明$u_n(x;m)$的极点和零点现在仅沿着两个“眉毛”中的一个或另一个积累，即，$E$的外边界弧。
2018-08-04 math-ph math.CA math.CV
Rational Solutions of the Painlevé-III Equation
所有的六个Painlevé方程，除了第一个有家庭的合理解决方案，这是经常重要的应用。第三个一般形式的Painlevé方程依赖于两个参数$m$和$n$，当且仅当至少一个参数是整数时，它有有理解。我们使用已知的代数表示的解决方案，研究数值的极点和零点的分布如何表现为$n\in\mathbb{Z}$增加，以及如何与$m\in\mathbb{C}$的图案变化。研究表明，在大$n\in\mathbb{Z}$极限下，以$m\in\mathbb{C}$为辅助参数考虑有理解是合理的.为了分析在这个极限的合理的解决方案，代数技术需要补充的分析，本文的主要新贡献是开发一个Riemann-Hilbert表示的合理的解决方案的Painlevé-III，是服从渐近分析。进一步假设$m$是一个半整数，我们从Riemann-Hilbert表示导出了一个有限维Hankel系统的有理解，其中$n\in\mathbb{Z}$作为一个显式参数出现.
2018-01-13 math-ph math.CA math.MP
An Asymptotic Reduction of a Painleve' VI equation to a Painleve' III (January 2011)
当自变量接近一个临界点时，PVI可以渐近地退化为PIII。以这种方式，可以从PIII超越的行为开始计算PVI超越的临界行为的首项。
2011-01-25 math.CA
Open Problems for Painlevé Equations
本文讨论了Painlevé方程的一些公开问题。特别是以下公开的问题进行了说明：（一）Painlevé等价问题;（二）符号的解决方案的Painlevé方程;（三）数值解的Painlevé方程;及（四）分类的性质Painlevé方程。
2019-01-29 math-ph math.CA math.MP
How instanton combinatorics solves Painlevé VI, V and III's
我们详细阐述了Painlevé超越和2D CFT的关系。Painlevé VI、V和III的通解用$c=1$共形块及其不规则极限表示，AGT与$N_f=0,1,2,3,4$的$\mathcal{N}=2$超对称规范理论中的瞬子配分函数有关。由此产生的组合系列表示的Painlevé函数提供了一个有效的工具，其数值计算在有限值的参数。该系列涉及总和bipartisons在最简单的情况下，符合Gessel扩展某些Toeplitz决定。考虑的应用程序包括Fredholm决定因素的经典可积内核，缩放间隙概率的大部分GUE，和所有阶共形微扰理论展开的关联函数在正弦戈登场论在自由费米子点。
2013-03-04 hep-th math-ph math.CA
Four-Dimensional Painlevé-Type Equations Associated with Ramified Linear Equations III: Garnier Systems and Fuji-Suzuki Systems
这是最后一部分的一系列三篇论文题为“四维Painlevé型方程与分歧线性方程“。在这一系列的论文中，我们的目标是构造四维Painlevé型方程的完全退化格式。本文研究了二元Garnier系统和Fuji-Suzuki系统的退化问题。
2017-12-25 math.CA
Special solutions of a discrete Painlevé equation for quantum minimal surfaces
本文研究量子极小曲面中离散Painlevé方程的解，发现其与Painlevé V方程共享初始值空间，并揭示迭代与Bäcklund变换的对应，最终用修正Bessel函数给出唯一正解。
2025-05-12 math-ph math.CA math.MP
Painlevé-III Monodromy Maps Under the $D_6\to D_8$ Confluence and Applications to the Large-Parameter Asymptotics of Rational Solutions
该研究通过Bäcklund变换生成Painlevé-III($D_6$)的解族，结合级数分析与Riemann-Hilbert方法证明其在大参数标度下收敛于Painlevé-III($D_8$)的解，并推导了相关有理解、Umemura多项式的渐近性质。
2024-03-09 math-ph math.CA math.CV
The Painlevé III equation of type (0,0,4,-4), its associated vector bundles with isomonodromic connections, and the geometry of the movable poles
本文研究Painlevé III方程及其与P^1上具有亚纯联络的向量丛的同构族的关系。本文的目的是双重的：它提供了一个概念语言的几何对象Painlevé方程，它提供了一个特定的Painlevé III方程，我们表示为P_{III}（0，0，4，-4）的新结果。这等价于径向正弦（或sinh）戈登方程，因此，它在几何和物理中广泛存在。C^* 上的复多值解是本文大部分内容的自然背景，但在最后三章中，我们讨论了正实数线上的实解（有或没有奇点）。结果的渐近性的真正的解决方案在0附近和无穷大附近的初始数据和monodromy数据的模空间的整体几何的结果相结合。这导致了一个新的全球图片的所有零和极点的所有真正的解决方案的正实数线。
2015-01-20 math.AG math.CA
Boundary conditions associated with the Painlevé III' and V evaluations of some random matrix averages
在以前的工作中的随机矩阵平均拉盖尔酉系综，概括的概率，间隔$ (0,s) $在硬边包含$ k $特征值的生成函数，进行了评估方面的Painlevé V超越$ σ$ -形式。然而，相应的微分方程的边界条件没有指定的完整的参数空间。在这里，这一任务是完成一般，并获得的功能形式进行比较，对最一般的小$ s $行为的Painlevé V方程的$ σ$ -形式已知的工作Jimbo。一个类似的研究进行了硬边缩放限制的随机矩阵的平均值，我们以前评估的Painlevé \IIId超越$ σ$形式。应用后者的结果给出了快速评估的汉克尔行列式出现在最近的工作康利，鲁宾斯坦和Snaith有关的衍生物的黎曼ζ函数。
2005-12-06 math.CA
A Class of Special Solutions for the Ultradiscrete Painlevé II Equation
对超离散类似的$q$ -Painlevé II（$q$ -PII）方程，用直观的方法构造了一类特解.根据函数类型和系统参数的不同，将解分为四组。
2011-07-22 math.CA nlin.SI
On the Linearization of the Painleve' III-VI Equations and Reductions of the Three-Wave Resonant System
我们将耦合（2+1）维三波共振相互作用系统的相似约化推广到Lax对。这样，我们得到了第三和第五Painleve方程的新的3 × 3矩阵Fuchs-Garnier对，以及第四和第六Painleve方程的已知Fuchs-Garnier对.这些Fuchs-Garnier对具有一个重要的功能：：它们与光谱参数成线性关系。因此，我们可以应用拉普拉斯变换来研究这些对。用这种方法，我们找到了所有对到标准2 × 2矩阵Fuchs-Garnier对的约化。Jimbo和T.美和作为3 × 3矩阵对的一个应用，我们找到了第五类Painleve方程的标准Fuchs-Garnier对的积分自变换。它为第五个Painleve方程生成一个Okamoto式的Bäcklund变换。另一个应用是第三个Painleve方程的两个不同的2 × 2矩阵Fuchs-Garnier对的积分变换。
2007-11-15 math.CA
Painlevé III asymptotics of Hankel determinants for a singularly perturbed Laguerre weight
本文考虑了奇异摄动拉盖尔权$w(x)=x^αe^{-x-t/x}$，$x\in (0, \infty)$，$t>0$和$α>0$的Hankel行列式.当矩阵的大小为$n\to\infty$时，得到了Hankel行列式的一个渐近公式，对$t\in (0, d]$，$d>0$固定一致有效.一个特定的Painlevé III超越参与的近似，以及在大$n$渐近的首项系数和相应的扰动拉盖尔多项式的递归系数。推导的基础上的渐近结果在早期的论文中的作者，通过使用Deift-Zhou非线性最速下降法。
2014-11-05 math.CA
Transition asymptotics for the real solutions of the sinh-Gordon Painlevé III equation
Indiana University（印第安纳大学）
研究 sinh-Gordon Painlevé III 方程实解在参数和变量同时趋于无穷时的过渡行为，揭示奇异解与光滑解之间的渐近转换。
2026-06-26 math-ph math.CA math.MP
Hypergeometric $τ$ Function of the $q$-Painlevé Systems of Type $(A_2+A_1)^{(1)}$
本文考虑由$(A_2+A_1)^{(1)}$型仿射Weyl群的双有理表示所产生的$q$-Painlevé III方程和$q$-Painlevé II方程.我们在$τ$函数水平上研究了它们的超几何解。
2010-10-14 math.CA nlin.SI
The Padé interpolation method applied to $q$-Painlevé equations
建立了从$E_7^{(1)}$到$(A_2+A_1)^{(1)}$的所有$q$ -潘勒韦方程的插值问题.通过求解这些问题，我们可以得到相应的$q$ -潘勒韦方程的演化方程、标量拉克斯对和特解的行列式公式.
2015-03-10 math-ph math.CA math.MP
Extreme Superposition: Rogue Waves of Infinite Order and the Painlevé-III Hierarchy
研究了聚焦非线性薛定谔方程在高阶极限下的基本反常波解。使用最近提出的Riemann-Hilbert表示的流氓波解决方案的任意阶$k$，我们建立了一个限制配置文件的流氓波在大$k$限制时，解决方案被视为在适当的重新缩放的变量捕获的近场区域的解决方案具有最大的振幅存在。极限剖面是聚焦非线性薛定谔方程在重新标度变量下的一种新的特解--无限阶的流氓波--它也满足关于空间和时间的常微分方程。空间微分方程确定与某些成员的Painlevé-III层次。我们计算了近场极限解的远场渐近行为，并借助数值方法求解Riemann-Hilbert问题，将渐近公式与精确解进行了比较。在一定的过渡区域的渐近近场极限函数描述的一个特定的全球定义的tritronquée解决方案的Painlevé-II方程。这些性质使我们把无限级的无赖波看作一种新的特殊函数。
2018-06-01 math.AP math.CA nlin.PS
Asymptotic and monodromy problems for higher-order Painlevé III equations
本文研究高阶III型Painlevé方程的渐近行为与monodromy变形问题，推导了Stokes矩阵和连接矩阵的显式公式，并应用于$tt^{*}$方程分析。
2025-12-22 math.CA
The Padé interpolation method applied to $q$-Painlevé equations II (differential grid version)
最近我们研究了$q$ -网格上的Padé插值问题，涉及到$E_7^{(1)}$，$E_6^{(1)}$，$D_5^{(1)}$，$A_4^{(1)}$和$(A_2+A_1)^{(1)}$型的$q$-Painlevé方程.通过求解这些问题，我们可以得到相应的$q$ -Painlevé方程的发展方程、标量Lax对和特解的行列式公式. $q$ -Painlevé方程是用$D_5^{(1)}$-网格的插值方法导出的，这是很自然的，但在微分网格方面，Y.伊川本文继续上述研究，并将Padé逼近方法应用于$E_6^{(1)}$，$D_5^{(1)}$，$A_4^{(1)}$和$(A_2+A_1)^{(1)}$型的$q$-Painlevé方程.利用终止$q$-Appell Lauricella函数给出了$E_6^{(1)}$型$q$ -Painlevé方程特解的行列式公式.
2016-08-23 math-ph math.CA math.MP
New Airy-type solutions of the ultradiscrete Painleve II equation with parity variables
q-差分Painleve II方程承认特殊的解决方案书面方面的行列式的条目是一般的解决方案的q-艾里方程。利用奇偶变量超离散化方法，研究了该方程特解的超离散极限。在此基础上，我们得到了具有宇称变量的超离散Painleve II方程的新的Airy型解，这些解比已知解具有更丰富的结构.
2015-09-17 math-ph math.CA math.MP
The Padé interpolation method applied to additive difference Painlevé equations
研究了加性网格上的Padé插值问题，涉及$E_7^{(1)}$，$E_6^{(1)}$，$D_4^{(1)}$和$A_3^{(1)}$型加性差分（$d$ -）潘勒韦方程.通过选择适当的Padé问题，我们可以导出相应的$d$ -潘勒韦方程的时间演化方程、邻接型标量拉克斯对和用超几何函数表示的特解的行列式公式.
2021-12-08 math-ph math.CA math.MP
A note on the connection problem of some special Painlevé V functions
作为Bassom，Clarkson，Law和McLeod提出的“一致渐近性”方法的一个新应用，我们给出了Andreev和Kitaev早先建立的第五类Painlevé方程的某些特解的联系公式的一个更简单、更严格的证明.
2016-01-05 math.CA
Special Solutions of the Sixth Painleve Equation with Solvable Monodromy
我们将研究第六类Painleve方程的两类特解，它们在由Backlund变换得到的对称下是不变的。在大多数情况下，Backlund变换的不动点是经典解，但我们的解对于一般参数不是经典的。我们将精确地计算这些解的线性单值性，并将它们刻画在单值性的Sparke三次曲面上。
2006-10-23 math.CA
Joint moments of characteristic polynomials in the circular Jacobi ensemble and Painlevé equations
University of Bristol（布里斯托大学）；Beijing University of Posts and Telecommunications（北京邮电大学）
该研究建立圆雅可比系综中特征多项式联合矩与σ-Painlevé V、III'方程解的联系，解决相关问题并将Hua-Pickrell测度联合矩结果从实参数扩展到复参数。
2026-08-26 math-ph math.CA math.MP
The Toda and Painlevé Systems Associated with Semiclassical Matrix-Valued Orthogonal Polynomials of Laguerre Type
考虑拉盖尔多项式，并通过引入零点处的指数奇异性来变形它们。在[Chen Y.，它的A，J.近似值Theory 162（2010），270-297，arXiv：0808.3590]，作者证明了这种变形可以通过对应递归系数的微分/差分方程系统来描述，并且这些方程最终等价于Painlevé III方程及其Bäcklund/Schlesinger变换。在这里，我们证明了一个类似的结果保持某种半经典矩阵值正交多项式的Laguerre型。
2018-07-21 math-ph math.CA math.MP
Large $z$ Asymptotics for Special Function Solutions of Painlevé II in the Complex Plane
本文得到了Painlevé II型微分方程的特殊函数解所对应的τ函数在复平面上的大$z$渐近展开式.利用这一事实，这些tau函数可以被写为$n\times n$ Wronskian行列式涉及经典的艾里函数，我们使用海涅的公式来重写它们作为$n$ -折叠积分，这可以渐近近似使用经典的方法在复平面的最速下降。
2018-10-03 math.CA
Singular linear statistics of the Laguerre Unitary Ensemble and Painlevé III (${\rm P_{III}}$): Double scaling analysis
我们继续研究的汉克尔行列式，$$ D_{n}(t,α):=\det\left(\int_{0}^{\infty}x^{j+k}w(x;t,α)dx\right)_{j,k=0 }^{n-1}, $$产生的奇异摄动拉盖尔权，$$ w(x;t,α):=x^α{\rm e}^{-x}\:{\rm e}^{-t/x}, \quad 0\leq x<\infty,\;\;\;α>0,\;\;\;\;t>0, $$通过变形的拉盖尔权函数，$$ w(x;0,α):=x^α{\rm e}^{-x},\quad 0\leq x<\infty,\;\; α>0, $$通过乘法因子${\rm e}^{-t/x}$。早期的研究是在有限的$n$方面的问题，这已经出现在\cite{ci1}。在本文中，我们证明了，在双重标度下，其中$n$，Hankel矩阵的阶趋向于$\infty,$和$t$，趋向于$0$，缩放的-因此，在某种意义上，无穷维-Hankel行列式，具有$C$势及其衍生物的积分表示。$C$势满足的二阶非线性微分方程在变量的微小变化之后是另一个${\rm P_{III}},$，尽管具有较少的参数。得到了双尺度行列式在小参数和大参数下的展开式
2015-04-09 math.CA
Asymptotics of Polynomials Orthogonal With Respect to a Generalized Freud Weight With Application to Special Function Solutions of Painlevé-IV
该研究推导了双切区域内广义Freud权正交多项式的渐近性，进而得到用抛物柱面函数表示的几类Painlevé-IV解的渐近公式，证明采用Riemann-Hilbert问题与Deift-Zhou非线性最速下降法。
2024-06-22 math-ph math.CA math.CV
Unique positive solution for an alternative discrete Painlevé I equation
我们证明了另一种离散Painlevé I方程（alt-dP $_{\rm I}$）有唯一的解，并且对所有$n \geq 0$都保持正解.此外，我们确定了这个正解的第二潘勒韦方程（P $_{\rm II}$）的一个特殊的解决方案涉及的Airy功能$\mathop{\rm Ai}(t)$。因此，只涉及Airy函数$\mathop{\rm Ai}(t)$的$_{\rm II}$的特函数解具有对所有$n\geq 0$和所有$t \geq 0$保持正的性质，这是P $_{\rm II}$和alt-dP $_{\rm I}$的这些特函数解的新特征。
2015-11-26 math.CA nlin.SI
On existence and properties of roots of third Painlevé' transcendents
本文研究第三Painlevé超越函数根的性质，通过哈密顿形式转化方程，证明非零点处零值解的存在性与解析性，构造根邻域近似解算法，推导根间及根与极点距离的下界。
2025-10-29 math.CA nlin.SI
Invariant subspaces of biconfluent Heun operators and special solutions of Painlevé IV
我们表明，有一个完全对应的参数空间的退化biconfluent Heun连接（BHC）和Painlevé IV，承认特殊的解决方案。当$\infty$处的不规则奇点的Stokes数据退化或原点处的正则奇点变为表观奇点时，BHC退化。证明了如果BHC表示为双汇流Heun方程的同构族，则在选择适当的辅助参数后，当BHC允许双汇流Heun算子在由抛物柱面函数张成的有限维解空间的特殊构造的不变子空间的特征解时，BHE精确退化.在选择了适当的辅助参数后，除了三种例外情况外，我们找到了该参数空间上的所有本征解。这些本征解表示为某些有限的抛物柱面函数和。我们将上述和推广到BHE上，得到了一个新的关于抛物柱面函数的收敛级数展开式。当BHE的参数与退化双汇流Heun连接的参数相同时，BHE的无穷和解正好终止，除非在三个实例中选择了正确的辅助参数。
2019-05-24 math-ph math.CA math.MP
New Coalescences for the Painlevé Equations
在这里，潘勒韦方程通过连接潘勒韦方程的相同简并过程（合并）与具有潘勒维性质的其他类方程（因斯方程）相连接。这里的这些因斯方程也像传统的潘勒维聚结级联一样相互连接。对于特殊方程、对称方程和贝克隆变换也考虑了这种退化性。
2021-03-03 math.CA nlin.SI
Asymptotics for a special solution of the thirty fourth Painleve equation
在以前的文章中，我们研究了Z_{n,N} ^{-1}型酉随机矩阵系综的双尺度极限|\det M| ^{2α} e^{-N \Tr V（M）} dM，其中α> -1/2。因子|\det M| ^{2α}在原点附近诱导临界本征值行为。假设与V相关的极限平均特征值密度是正则的，并且原点是其支撑的右端点，我们计算了双标度极限中的极限特征值相关核为n，\to \infty使得n^{2/3}（n/N-1）= O（1），用Deift-Zhou最速下降方法求解Riemann-多项式在关于权|x| ^{2α} e^{-NV（x）}正交的直线上的Hilbert问题。我们的主要注意力是利用与Painleve XXXIV方程的一个特殊解u_α相联系的λ-函数构造原点附近的一个局部参数。这个解与Painleve II方程的一个特解有关，但它不同于通常的Hastings-McLeod解。本文将u_α（s）的渐近行为计算为s \to \pm \infty .我们猜想u_α的渐近性是由这一渐近性刻画的，并通过对包含u_α的Painleve XXXIV方程的一个单参数解族的渐近分析给出了支持性的论据.我们确定这个家庭作为家庭的tronquee解决方案的第三十四Painleve方程。
2008-11-24 math-ph math.CA math.MP
Similarity reductions of peakon equations: integrable cubic equations
本文研究了两个具有峰值孤子解的可积三次非线性偏微分方程（Modified Camassa-Holm（mCH）方程和Novikov方程）的标度相似解.通过利用适当的倒数变换，将mCH方程和Novikov方程分别映射到负mKdV流和负Sawada-Kotera流，我们证明了这些尺度相似性降低中的每一个都通过速端图变换与Painlevé型方程相关：对于mCH方程，其约化是二阶和二次的，而对于Novikov方程，约化是Painlevé V的特殊情况。此外，我们表明，这两个不同的Painlevé型方程的每一个都与Painlevé III的特殊情况有关，Painlevé III的特殊情况分别来自Camassa-Holm和Degasperis-Procesi方程的相似性约化。对于每一个考虑的立方非线性偏微分方程，我们也给出了明确的参数形式的椭圆函数的周期行波解。我们提出了一些参数图的后者，并通过使用显式的代数解Painlevé III，我们做同样的一些最简单的例子的缩放相似的解决方案，连同描述其领先的顺序渐近行为。
2022-05-29 math-ph math.AP math.CA
Special polynomials related to the supersymmetric eight-vertex model. II. Schrödinger equation
我们证明了作者以前引入的对称多项式满足一定的微分方程。在变量变化后，它可以写成具有椭圆势的非定常薛定谔方程，它与Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard方程和Painlevé VI方程的正则量子化密切相关。在随后的论文中，这将用于构建Painlevé VI的tau函数的四维晶格。
2014-05-21 math-ph math.CA math.MP
Modified Painlevé systems with meromorphic solutions for polynomial Hamiltonians of all degrees
Faculty of Mathematics Informatics and Mechanics, University of Warsaw（华沙大学数学、信息学与机械学院）；School of Mathematics and Physics, University of Portsmouth（朴茨茅斯大学数学与物理学院）
本文研究了具有多项式哈密顿量的所有次数的非自治哈密顿系统，其所有解均为复平面上的有理函数。通过计算Okamoto的初始条件空间，得到关于系数函数的微分约束，从而确定了多项式哈密顿量的三种、四种、五种和七种系统，揭示了新的Painlevé等价问题参考哈密顿量。
2026-05-20 math-ph math.CA math.MP
$q$-Discrete Painlevé equations for recurrence coefficients of modified $q$-Freud orthogonal polynomials
提出了一个非对称的$q$ -Painlevé方程。我们将使用关于广义弗洛伊德权重的$q$ -正交多项式推导出这一点：它们的递归系数将服从这个$q$ -Painlevé方程（直到一个简单的变换）。我们将展示一个稳定的方法来计算一个特殊的解决方案，它给出了递归系数。我们与$α-q-P_V$建立连接。
2008-08-07 math-ph math.CA math.MP
Application of uniform asymptotics to the connection formulas of the fifth Painlevé equation
将Bassom，Clarkson，Law和McLeod提出的一致渐近方法应用于一类特殊的Painlevé V型方程，给出了McCoy和Tang利用等单点法和WKB方法建立的方程特解的联系公式的一个更简单、更严格的证明.
2015-01-02 math.CA
Autonomous limit of 4-dimensional Painlevé-type equations and degeneration of curves of genus two
Painlevé方程的高维类似物已经从各个方面提出。在最近的研究中，Painlevé方程的四维类似物被分为40种类型。本文的目的是几何特征这40种类型的方程。为此，我们研究了这类方程的自治极限和谱曲线的退化。我们得到两个功能独立的守恒量$H_1$和$H_2$的每个系统。我们构造了在一般点$h_i $处的纤维是$H_i=h_i$为$i=1, 2$的系统的光谱曲线的纤维化。$H_{i}=\infty$上的奇异纤维是Namikawa和Ueno分类的亏格2的退化曲线之一。Liu的算法使我们能够给出40类可积系统的退化型谱曲线。这个结果类似于下面的观察：二维自主Painlevé方程$P_{\rm I}$、$P_{\rm II}$、$P_{\rm IV}$、$P_{\rm III}^{D_8}$、$P_{\rm III}^{D_7}$、$P_{\rm III}^{D_6}$、$P_{V}$和$P_{\rm VI}$的谱曲线纤维化是椭圆曲面，在$H=\infty$处的奇异纤维分别为Dynkin型$E_8^{(1)}$、$E_7^{(1)}$、$E_6^{(1)}$、$D_8^{(1)}$、$D_7^{(1)}$、$D_6^{(1)}$、$D_5^{(1)}$和$D_4^{(1)}$。
2018-05-02 math.CA
Painlevé IV: roots and zeros
我们考虑（实）第四Painlevé方程，其中两个参数消失，分析其解决方案的平方根，并特别注意他们的零。
2016-09-08 math.CA
Solutions of Darboux Equations, its Degeneration and Painlevé VI Equations
本文研究了经典形式和系统形式的Darboux方程，利用等单点变形方法得到了椭圆型Painlevé VI方程.然后我们建立了特殊的Darboux方程和特殊的Painlevé VI方程之间的完全对应。我们特别关注标量形式的达布方程，而不是系统形式，它是经典Lamé方程的推广。本文对Darboux方程的解在四个正则奇点的每一个周围引入一个新的无穷级数展开式（用超几何函数和雅可比椭圆函数的合成表示），并将Darboux方程的特解作为这些终止级数.达布方程的特点是以这种方式有一个几乎（但不完全）完全对应的特殊类型的Painlevé VI方程。最后讨论了这些无穷级数展开式的收敛性。
2019-01-10 math.CA
Painléve III and a singular linear statistics in Hermitian random matrix ensembles I
在本文中，我们研究了酉Laguerre系综的某些线性统计，部分原因是有限温度下的可积量子场论。这表明这等价于关于权重$$ w(x)=w(x,s):=x^{\al}\rme^{-x}\rme^{-s/x}, \quad 0\leq x<\infty, \al>0, s>0, $$正交的多项式序列的特征化，即确定相关的汉克尔行列式和递归系数。这里$w(x,s)$是Laguerre权$x^{\al}\:\rme^{-x}$“扰动”的乘法因子$\rme^{-s/x},$，它在原点诱导一个无限强的零。对于多项式正交的单位圆，一个特殊的例子，其中有明确的公式，其重量有无限强零，是由Pollazcek和Szegö许多年前。由于违反Szegö条件，这样的权重被称为“奇异”或不规则。在我们的问题中，线性统计量是正随机变量$\{x_j:j=1,..,,n\};$ $\sum_{j=1}^{n}1/x_j.$的倒数的总和。我们证明了矩母函数，或该线性统计量的密度函数的拉普拉斯变换被表示为汉克尔行列式的比率和作为特定的第三Painlevé函数的组合的积分。
2009-02-04 math.CA
The relationship between semi-classical Laguerre polynomials and the fourth Painlevé equation
讨论了正交多项式关于半经典Laguerre权的递推系数与第四类潘勒韦方程的经典解之间的关系.我们表明，这些递归关系中的系数可以表示在抛物柱面函数的特殊功能解决方案的第四潘勒韦方程的描述中出现的Wronskians。
2013-07-24 math.CA nlin.SI
Location of Poles for the Hastings-McLeod Solution to the Second Painlevé Equation
证明了第二类Painlevé方程的Hastings-McLeod解在区域$\arg x \in [-\fracπ{3},\fracπ{3}]\cup [\frac{2π}{3},\frac{ 4 π}{3}]$内是无极点的，从而证明了Novokshenov提出的关于Painlevé超越的极点分布的一般猜想的一个重要特例.我们的策略是在复平面的不同区域构造逼近Hastings-McLeod解的显式拟解，并严格估计误差。其主要思想与用于证明第一个Painlevé方程的Dubrovin猜想的思想非常相似，但有各种技术改进。
2015-07-09 math-ph math.CA math.MP
Connection Formulae for Asymptotics of the Fifth Painlevé Transcendent on the Imaginary Axis: I
找到了第五类Painlevé方程一般复解的渐近展开式的首项$t\to\imath\infty$，这些渐近性由相应的线性常微分方程的单值数据参数化. $$ \frac{d}{dλ}Y= \left(\frac t2σ_3 + \frac{A_0}λ+\frac{A_1}{λ-1}\right)Y. $$参数化允许导出渐近的连接公式。我们提供了数值验证的结果。还考虑了连接公式的重要特殊情况。
2019-04-14 math-ph math.CA math.MP
The Painlevé transcendents with solvable monodromy
我们将研究第四，第五和第六Painlevé方程的特殊解决方案与一般值的参数，其线性monodromy可以明确计算。我们将展示梅村的经典解与我们的解之间的关系。
2007-01-09 math.CA
On a q-Deformation of the Discrete Painlevé I Equation and q-Orthogonal Polynomials
我提出了一个$q$ -模拟的离散Painlevé I方程，并在$q$ -正交多项式的特殊实现。
1993-10-28 hep-th math.CA math.QA
On the connection problem for the second Painlevé equation with large initial data
利用Bassom等人提出的一致渐近方法，考虑了第二类Painlevé方程（PII）的连接问题的两种特殊情况.给出了PII在负（正）实轴上的实解相对于初值的分类。通过乘积，严格证明了Bender和Komijani最近揭示的PII在实轴上的非线性本征值问题的一个性质，并导出了Stokes乘子的渐近行为.
2021-03-11 math-ph math.CA math.MP
Unique special solution for discrete Painlevé II
本文证明具有初值 $a_{-1}=-1$ 的离散 Painlevé II 方程存在唯一满足 $-1 < a_n < 1$ 的解，该解对应单位圆上正交多项式的 Verblunsky 系数，并基于正交多项式方法给出不同于 Duits 和 Holcomb 的新证明及该解的上界。
2023-08-14 math.CA
Dessins d'Enfants, Their Deformations and Algebraic the Sixth Painlevé and Gauss Hypergeometric Functions
我们考虑应用Grothendieck的dessins d'enfants理论的第六Painlevé和高斯超几何函数：两个经典的特殊功能的isomonodromy型。证明了高斯超几何函数的高阶变换和Schwarz表与某些特殊的Belyi函数密切相关。此外，我们引入了变形的dessins d'enfants的概念，并表明，一维变形是一个有用的工具，代数第六Painlevé函数的建设。
2003-10-09 math.CA nlin.SI
Recurrence coefficients for discrete orthonormal polynomials and the Painlevé equations
我们调查的Charlier和Meixner多项式，这是离散的正交多项式，满足三项递归关系的半经典推广。结果表明，对于广义Charlier多项式和广义Meixner多项式，这些递推关系中的系数可以分别用修正Bessel函数和合流超几何函数的Wronskian表示.这些Wronskians出现在第三和第五潘勒韦方程的特殊功能解决方案的描述。
2013-03-08 math.CA nlin.SI
Coupled Painlevé systems with affine Weyl group symmetry of types $A_7^{(2)},A_5^{(2)}$ and $D_4^{(3)}$
我们发现了一类四参数的四维Painlevé VI系统，它们具有$A_7^{(2)}$型的仿射外尔群对称性.这是第一个例子，给出了高阶Painlevé方程的类型$A_{2l+5}^{(2)}$。然后，我们给出了一个明确的描述，从这个系统的合流过程中的一个3-参数家庭的耦合Painlevé V和III系统在4维$W(A_5^{(2)})$对称性。对于$A_5^{(2)}$系统的退化系统，我们还发现了一类具有$D_4^{(3)}$型仿射外尔群对称性的四维常微分系统.这是给出$D_4^{(3)}$型高阶Painlevé方程的第一个例子。我们表明，对于每个系统，我们给它的对称性和全纯性条件。这些对称性、全纯条件和不变因子都是新的。
2009-11-09 math.AG math.CA
Unitary monodromy implies the smoothness along the real axis for some Painlevé VI equation, I
本文研究了带参数$(\frac {9}{8},\frac{-1}{8},\frac{1}{8},\frac{3}{8})$的Painlevé VI方程.我们证明了（i）一个计算单值群$D_{N}$的代数解的极点个数的显式公式，其中$D_{N}$是$2N$阶的二面体群. (ii)在$\mathbb{C}\backslash \left \{ 0,1\right \} $中只有四个解没有极点。(iii)如果解$λ\left( t\right) $的相关线性常微分方程的单值群是酉的，则$λ( t) $在$\mathbb{R}% \backslash \{ 0,1\} $中没有极点。
2017-01-16 math.CA
