Multiplicity and stability of closed geodesics on bumpy Finsler 3-spheres
本文证明了对于每一个具有凹凸不可逆度量$F$的$\Q$ -同调Finsler 3-球面$(M,F)$，要么存在两条非双曲素闭测地线，要么至少存在三条素闭测地线.
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The type numbers of closed geodesics
简述了闭测地线的型数、莫尔斯理论在证明闭测地线存在性中的应用以及变分方法在Finsler和磁性测地线周期问题中的应用
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The second closed geodesic on Finsler spheres of dimension n>2
证明了n维球面上存在至少两条几何上不同的闭测地线，其中n>2，Finsler度量是不可逆的。
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Minimizing closed geodesics on polygons and disks
在本文中，我们研究1/k测地线，那些闭测地线，最小化的所有子区间的长度$L/k$，其中$L$是测地线的长度。我们开发了新的技术来研究这些曲线的最小化性质的双重多边形，并证明了一系列的双重多边形的闭测地线表现出无界最小化性质。我们还计算了最短的闭测地线的长度，并证明了这个长度接近4倍的直径。
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The length of the shortest closed geodesics on a positively curved manifold
利用截曲率的下界和最短闭测地线的长度给出了欧氏球面的度量刻画。
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The length of the shortest closed geodesics on a positively curved manifold
利用截曲率的下界和最短闭测地线的长度给出了欧氏球面的度量刻画。
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Spectral flow and iteration of closed semi-Riemannian geodesics
我们引入的概念，沿着周期性的半黎曼测地线的谱流，作为一个合适的替代的莫尔斯指数在黎曼的情况下。我们研究了谱流沿闭测地线的迭代增长，确定了其渐近行为。
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Multiple closed geodesics on positively curved Finsler manifolds
本文证明了在任何具有可逆性$λ$和旗曲率$K$满足$\left(\fracλ{λ+1}\right)^2<K\le 1$的Finsler流形$(M,\,F)$上，存在$[\frac{\dim M+1}{2}]$闭测地线.若闭测地线的个数有限，则存在$[\frac{\dim M}{2}]$非双曲闭测地线。此外，当$\dim M=3$时，$(M,\,F)$上有3条闭测地线满足上述Pinching条件。
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A simply connected nilpotent Lie group with a closed geodesic
University of Wollongong（伍伦贡大学）
给出一个六维单连通幂零李群及左不变黎曼度量，其存在非常值闭测地线，回答了Böhm--Lafuente关于同胚于欧氏空间的齐性黎曼流形能否有闭测地线的问题。
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Existence of closed geodesics on positively curved Finsler manifolds
对于球面和射影空间上具有正旗曲率的不可逆Finsler度量，我们给出了关于闭测地线的个数和长度以及它们的稳定性的结果.
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Closed geodesics on positively curved Finsler spheres
本文证明了：对于任意Finsler $n$ -球面$(S^n, F)$，对于$n\ge 3$，如果可逆性$λ$和旗曲率$K$满足$(\fracλ{λ+1})^2<K\le 1$，则存在无穷多条素闭测地线，或者存在一条椭圆闭测地线，其线性化Poincaré映射至少有一个特征值为带无理$μ$的$\exp(πi μ)$形式.而且，在满足上述拼挤条件的任何$(S^3, F)$上，总存在三条素闭测地线.
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Multiple closed geodesics on bumpy Finsler $n$-spheres
本文证明了：对于任意有理同调$n$维球面$S^n$上的任意凹凸Finsler度量$F$，总存在至少两条不同的素闭测地线.
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Closed geodesics on doubled polygons
本文研究1/k-测地线，即在长度为$L/k$的任意子区间上最小的闭测地线，其中$L$是测地线的长度。我们研究了二重多边形上这些曲线的存在性和性质，证明了每一个二重正则$n$ -多边形都有一条$1/2n$ -测地线。对于二重正则$p$ -ε，当$p$为奇素数时，我们猜想$k=2p$是$k$使得空间允许$1/k$ -测地线的最小值.
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The length of the shortest closed geodesic on positively curved 2-spheres
我们证明了具有非负曲率的2-球面上的最短闭测地线的长度以直径的3倍为界。我们证明了一个新的等周不等式的2-球的捏曲率，这使我们能够提高我们的最短的闭测地线的长度上的限制在捏曲率设置。
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On causality and closed geodesics of compact Lorentzian manifolds and static spacetimes
证明了与紧致洛伦兹流形的因果性相关的一些结果：（1）任何包含类时共形向量场的紧致洛伦兹流形都是完全邪恶的;（2）被整体双曲时空正则覆盖的紧致洛伦兹流形包含类时闭测地线，如果某些自然的拓扑假设（例如，如果包含封闭类时曲线的甲板变换的共轭类之一是有限的，则满足）保持。因此，任何与静态时空共形的紧致洛伦兹流形都是由因果测地线测地线连接的，并且允许类时闭测地线。
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An arithmetic property of the set of angles between closed geodesics on hyperbolic surfaces of finite type
对于有限型双曲曲面S，我们考虑S上闭测地线之间的夹角集A（S）。我们的主要结果是：A（S）中π的有理数倍数只有1/2。
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Counting closed geodesics on Riemannian manifolds
固定光滑闭流形$M$。令$R_M$表示所有对$(g,L)$的空间，使得$g$是$M$上的$C^3$黎曼度量，并且实数$L$不是任何闭$g$ -测地线的长度。构造了一个局部常数测地线计数函数$π_M:R_M\rightarrow Z$。为此，定义了闭$g$ -测地线空间的紧开子集的权，并研究了任意黎曼度量$g$的紧开子集的权.
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Homogeneous Finsler spaces with only one orbit of prime closed geodesics
当闭Finsler流形允许连续等距作用时，估计素闭测地线的轨道数似乎是估计素闭测地线数的更合理的替代。推广了H. Duan，Y. Long，H.B. Rademacher，W. Wang等人关于两条素闭测地线存在性的研究推广到等变情形，我们研究了闭Finsler流形是否只有一条素闭测地线轨道当且仅当它是紧致秩1的黎曼对称空间.本文在齐次Finsler几何中研究了这一问题，当维数为偶数或度量可逆时，得到了肯定的答案。我们猜想本文中的秩不等式和代数技巧对于讨论非齐次情形下的问题可能继续发挥重要作用。
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Existence of closed geodesics on Finsler $n$-spheres
本文证明了：在任何可逆性$λ$满足$F^2<(\frac{λ+1}λ)^2g_0$和$l(S^n, F)\ge π(1+\frac{1}λ)$的Finsler $n$ -球面$(S^n, F)$上，总存在至少一条不自交的$n$素闭测地线，其中$g_0$是$S^n$上常曲率为1的标准黎曼度量，$l(S^n, F)$是$(S^n, F)$上最短测地线环的长度.我们还研究了这些闭测地线的稳定性。
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Morse Index bound of simple closed geodesics on 2-spheres and strong Morse Inequalities
本文利用Morse理论刻画黎曼二维球面上的简单闭测地线，证明在通用度量下存在Morse指标为1、2、3的简单闭测地线，并对可定向黎曼曲面上的简单闭曲线空间建立了长度泛函的强Morse不等式。
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Two short closed geodesics on a sphere of odd dimension
本文证明了在奇数维球面$n=2m-1 \ge 3$上，对于开稠密的不可逆Finsler度量，存在第二条Morse指标为$\le 4(m+2)(m-1)+2.$的闭测地线
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Simple closed geodesics in dimensions $\ge 3$
本文证明在维数至少为三的紧致流形上，一般黎曼或可逆芬斯勒度量的所有闭测地线都是简单且互不相交的，并由此推出单连通情形下闭测地线数量呈指数增长。
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Curve shortening and the topology of closed geodesics on surfaces
我们研究紧致曲面M^2上测地线的“平结型”。对于每一个平坦纽结类型和任意黎曼度量g，我们引入一个与M^2上浸入曲线空间上的曲线缩短流相关联的康利指标。我们的结论是存在的闭测地线规定的平结类型，提供相关的康利指数是非平凡的。
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Two elliptic closed geodesics on positively curved Finsler spheres
本文证明了：对于任意Finsler $n$维球面$(S^{n},F)$，若可逆性$\lm$和旗曲率$K$满足$\left(\frac{\lm}{1+\lm}\right)^2<K\le 1$，则存在无穷多条闭测地线，或至少存在两条椭圆闭测地线，且每个线性化Poincaré映射至少有一个特征值为$e^{\sqrt{-1}þ}$形式，其中$þ$是$π$的无理倍数.
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Closed Magnetic geodesics on Heisenberg nilmanifolds
Universidad Nacional de Rosario（罗萨里奥国立大学）
本文研究了在三维Heisenberg nilmanifolds上对于每一个左不变洛伦兹力存在闭磁测地线的问题，主要贡献是证明了在紧凑商 manifold M 上对于任意能量水平低于Mañé临界值总存在可缩的闭磁测地线，同时展示了某些例子中不存在非可缩的闭磁测地线。
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Finsler spheres with constant flag curvature and finite orbits of prime closed geodesics
本文研究了一类Finsler球面$(M,F)=(S^n,F)$，其维数为$n>1$，旗曲率为$K\equiv 1$ .连接等距群$G=I_o(M,F)$对$M$的作用，连同$T=S^1$移动闭合曲线$c(t)$的参数$t\in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$的作用，定义了$\hat{G}=G\times T$对$M$的自由循环空间$λM$的作用。特别地，对于每个闭合测地线，我们有一个闭测地线的$\hat{G}$ -轨道。我们假设上面描述的芬斯勒球$(M,F)$只有有限的素闭测地线轨道。我们的主要定理是，如果保闭测地线的等距群的子群$H$有维数$m$，则存在素闭测地线的$\mathcal{B}_i$的$m$几何上不同的轨道$\mathcal{B}_i$，使得对于每个$i$，$\mathcal{B}_i$中测地线的并集${B}_i$是$(M,F)$中具有非平凡$H_o$ -作用的全测地线子流形.这个定理推广并改进了以前的一个定理，该定理只讨论有限素闭测地线的情形。最后，我们证明，在某些一般条件下，Katok度量，即具有$K\equiv 1$的球面上的Randers度量，为我们的主要定理提供了精确的估计。
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On Closed Geodesics in Non-negatively Curved Finsler Structures with Large Volume Growth
证明了具有基独立非负径向旗曲率和大体积增长的可逆Berwaldian Finsler结构$\left(M,F\right)$不具有任何闭测地线.
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Holomorphic torsion and closed geodesics
埃尔米特局部对称空间的全纯挠率被表示为一个特殊的几何zeta函数值。
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Existence and Non-existence of Half-Geodesics on $S^2$
在本文中，我们研究半测地线，这些闭测地线，最小化的任何子区间的长度$l(γ)/2$。对于每个非负整数$n$，我们构造了与$S^2$同构的黎曼流形，它恰好包含$n$半测地线。此外，我们还构造了一个黎曼流形序列，每个黎曼流形都是双纯的$S^2$，不允许半测地线，但在Gromov-Hausdorff意义下收敛到一个具有无限多个半测地线的极限空间。
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Closed Geodesics on Compact Nilmanifolds with Chevalley Rational Structure
我们继续研究了由单连通二步幂零李群和格构成的具有左不变度量的幂零流形上的闭测地线的分布。考虑实有限维向量空间上紧致半单李代数的不可约表示所构造的李群及其2步幂零李代数.本文在半单李代数上确定了由Chevalley有理结构产生的格的零流形具有闭测地线密度性质的充分条件。
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The number of geometrically distinct reversible closed geodesics on a Finsler sphere with $K\equiv 1$
本文研究了具有常旗曲率$K\equiv 1$和有限素闭测地线的Finsler球$(S^n,F)$.在这种情况下，连通等距群$I_0(S^n,F)$必须是维数满足$0<\dim I(S^n,F) \leq[\frac{n+1}{2}]$的环面。我们将证明$(S^n,F)$上几何上不同的可逆闭测地线的个数至少为$\dim I(S^n,F)$。当$\dim I_0(S^n,F)=[\frac{n+1}{2}]$时，等式成立，且恰好存在$2[\frac{n+1}{2}]$素闭测地线，从而验证了Anosov猜想在此特殊情况下的正确性.
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On the existence of infinitely many closed geodesics on orbifolds of revolution
利用旋转曲面上的测地线理论，我们引入了周期函数。我们用它作为主要工具，证明任何同胚于S^2的二维旋转轨道褶必包含无穷多个几何上不同的闭测地线。由于任何这样的旋转轨道折叠都可以看作是具有度量奇点的拓扑二球面，我们将推广Bangert关于任何光滑黎曼二球面上存在无穷多条闭测地线的定理。此外，我们给出了一个具有单根闭测地线的两球面旋转锥流形的例子，从而表明Bangert的结果在更广泛的一类具有锥流形结构的闭曲面中不成立.
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Characterizations of the round two-dimensional sphere in terms of closed geodesics
闭黎曼流形是否有无穷多条几何上不同的闭测地线的问题由来已久。虽然在一般情况下没有解决，但在曲面的情况下很容易理解。对于球面的旋转曲面，Borzellino、Jordan-Squire、Petrics和Sullivan对这个问题进行了改进。在这篇文章中，我们量化他们的结果，通过计数不同的有界长度的测地线。此外，我们重新定义这些结果，以获得一对夫妇的圆形双球的特征。
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The second closed geodesic, the fundamental group, and generic Finsler metrics
对于具有无限基本群的紧致流形，我们给出了保证存在两条几何上不同的闭测地线的充分拓扑或度量条件。我们还展示了如何通用黎曼度量的结果可以结转到芬斯勒度量。
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Characterizing Round Spheres Using Half-Geodesics
半测地线是实现其任意一对点之间的距离的闭测地线。在一个圆球中的所有测地线都是半测地线。相反，这个注记证明了所有测地线都是闭的且有足够多的半测地线的黎曼球面是圆的。
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Morse theory, closed geodesics, and the homology of free loop spaces
本文是关于莫尔斯理论和闭测地线存在性问题的综述。自由闭路空间起着中心作用，因为闭测地线是能量泛函的临界点。因此，它们可以通过变分方法进行分析。我们讨论的主题包括：黎曼背景，Lyusternik-费特定理，Lyusternik-Schnirelmann原则的从属类，Gromoll-迈耶定理，博特迭代的指数公式，同调计算使用莫尔斯理论，$SO(2)$ -与$O(2)$ -对称性，Katok的例子和芬斯勒度量，关系到辛几何，并指导文献。附录写的翁贝托Hryniewicz给出了一个帐户的问题存在的无穷多个闭测地线的$2$ -球。
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Shortest closed geodesics on three-dimensional isospectral manifolds
Tsinghua University（清华大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本文证明光滑闭三维流形的谱能给出其最短非平凡闭测地线长度的正下界，并由此推出等谱族在微分同胚意义下的光滑紧致性。
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SVD-closed subgroups of the unitary group: generalized principal logarithms and minimizing geodesics
利用李代数$\mathfrak{g}$，研究了$U_n$的连通SVD-闭子群$G$中任意矩阵的广义主$\mathfrak{g}$ -图集.这个集合是有限个同构于齐性空间的子集的非空不交并，并且它与一个适当的极小化测地线集合有关。明确分析了$G$组的许多特殊情况。
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Local extremality of the Calabi-Croke sphere for the length of the shortest closed geodesic
最近，F. Balacheff证明了由两个平面1单位边等边三角形沿其边界胶合而成的Calabi-Croke球面是具有固定面积圆锥奇点的黎曼球面中最短闭测地线长度的局部极值。我们给出了这个定理的另一种证明，它不使用单值化定理，并将结果推广到Finsler度量。
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Length of a shortest closed geodesic in manifolds of dimension four
本文证明了对于任意具有里奇曲率$|Ric|\leq 3$，体积$vol(M)>v>0$和直径$diam(M)<D$的闭四维单连通黎曼流形$M$，最短闭测地线的长度由一个仅依赖于$v$和$D$的函数$F(v,D)$有界.我们的结果的证明是基于最近由J.Cheeger和A.纳伯
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Closed magnetic geodesics on closed hyperbolic Riemann surfaces
证明了在闭双曲曲面上Alexandrov嵌入的闭磁测地线的存在性。闭合磁测地线对应于具有规定的测地曲率的闭曲线。
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Minimizing Closed Geodesics via Critical Points of the Uniform Energy
本文研究了1/k-测地线，即在长度为$l(γ)/k$的任意子区间上最小的闭测地线。我们采用能量方法来提供1/k-测地线和我们定义为均匀能量的平衡点之间的关系。证明了在黎曼流形的格罗莫夫-豪斯多夫收敛下，一类具有一致能量的平衡点是持续存在的.此外，我们与半测地线（1/2测地线）的Grove-Shiohama临界点的距离函数。这种关系使我们能够通过临界点理论研究半测地线的行为。在此过程中，我们提供了黎曼距离函数的可微性的完整表征。
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Odd-dimensional orbifolds with all geodesics closed are covered by manifolds
所有测地线都是闭的流形已经被研究了很多，但已知的例子很少。如果另外考虑轨道奇点，情况就不同了。然而，我们表明，丰富的新的例子是有限的，甚至尺寸。作为一个关键的组成部分，我们提供了一个特征类方面的可定向orbifold中的可定向流形的特征。
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Closed geodesics on compact Lorentzian solvmanifolds
本文研究具有双不变洛伦兹度量的可解李群经余紧格商得到的紧致齐性空间上的测地线闭合性，给出光、时间、类空测地线闭合的条件，并指出光测地线闭合性依赖于格的选取，同时讨论了等距群及六维计算。
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On the Berger conjecture for manifolds all of whose geodesics are closed
伯杰的一个猜想指出，对于任何单连通的黎曼流形，其所有测地线都是闭的，所有素测地线都有相同的长度。我们首先证明了这类流形的自由闭路空间上的能量函数是关于适当上同调的完美Morse-Bott函数。其次，我们解释了临界流形上的负丛何时是可定向的。这两个一般的结果，然后导致解决伯杰猜想时，基本的流形是一个领域的维度至少4。
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Remark on non-contractible closed geodesics and homotopy groups
University of Montreal（蒙特利尔大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文证明：当闭流形的高阶同伦群在基本群作用下有非平凡不变量或余不变量时，$C^4$-一般度量下存在无穷多条几何不同的闭测地线；若基本群含无穷多共轭类，则对所有度量成立。
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Length of closed geodesics on Riemannian manifolds with good covers
本文推广了先前结果，证明n维单连通黎曼流形若存在含N个元素的良好覆盖，其最短闭测地线长度可由仅依赖于体积V、直径D和N的函数界定。
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Short closed geodesics and the Willmore energy
University of Augsburg（奥格斯堡大学）；University of Vienna（维也纳大学）；University of Bonn（波恩大学）
研究证明Willmore能量低于6π的球面闭合测地线长度下界，并探讨其对注入半径的影响。
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On the multiplicity of closed geodesics on Finsler spheres with irrationally elliptic closed geodesics
若$(S^n,F)$上所有具有不可逆Finsler度量$F$的素闭测地线都是无理椭圆的，则存在精确的$2\left[\frac{n+1}{2}\right]$或无穷多个不同的闭测地线.作为应用，我们证明了当任意素数闭测地线的Morse指数不为零时，凹凸Finsler $(S^3,F)$上存在三条不同的闭测地线.
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Two closed geodesics on compact bumpy Finsler manifolds
本文证明了具有有限基本群的紧致颠簸Finsler流形上至少存在两条闭测地线，并指出该下界可由Katok 2-球面和2-实射影空间达到。
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Iteration of closed geodesics in stationary Lorentzian manifolds
根据R. Bott（Comm. Pure Appl. Math.9，1956）研究了定常Lorentzian流形中闭测地线的迭代Morse指数，或者更一般地，研究了允许类时周期Jacobi场的闭Lorentzian测地线的迭代Morse指数。给定一个这样的闭测地线$γ$，我们证明了单位圆上的局部常数整数值映射$Λ_γ$的存在性，其性质是迭代的$γ^N$的Morse指数直到修正项$ε_γ\in\{0,1\}$为止等于$Λ_γ$在$N$次单位根上的值之和. $Λ_γ$的不连续性发生在单位圆上的有限个点上，这些点是$γ$的线性化Poincaré映射的特殊特征值。我们讨论了该理论的一些应用。
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Generic density of stationary geodesic nets that are not closed geodesics
本研究针对维数≥3的闭光滑流形，证明了Baire通有黎曼度量下非闭合测地线的平稳测地网之并集稠密，证实了Nabutovsky-Parsch猜想的对应情形。
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Simple closed geodesics on regular spherical polyhedra
本文研究了正则球面多面体上的简单闭测地线，完整确定了八面体和立方体的所有此类测地线，并估计了四面体上的数量。
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A Note on Closed Geodesics for a Class of non-compact Riemannian Manifolds
证明了非紧柱面流形上多重闭测地线的存在性。
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