关于一类非紧黎曼流形的闭测地线的注记

具有共轭点的黎曼曲面上的测地线射线变换

The geodesic ray transform on Riemannian surfaces with conjugate points

本文研究了具有共轭点的紧致黎曼曲面上的测地X射线变换$X$。无论类型的共轭点，我们表明，我们不能恢复的奇异性，因此，这种变换总是不稳定的（不适定）。我们描述了微局部内核的$X$和它的共轭轨迹。我们提出的数值例子说明奇异性的消除。我们还表明，衰减的X射线变换是适定的，如果衰减是积极的，有不超过两个共轭点沿每个测地线，但仍然不适定，如果有三个或更多的共轭点。这些结果来自我们对加权X射线变换的分析。

运动学逆问题与黎曼曲面的边界刚性

Inverse kinematic problem and boundary rigidity of Riemannian surfaces

给定一个具有未知黎曼度量的边界带边流形的紧致流形。问题是从所有闭测地线（运动学数据）的长度知识中重构一类共形度量中的度量。一个积分不等式，这意味着唯一性和稳定性的问题。如果不知道共形类，由于信息的缺乏，唯一的重建是不可能的。本文证明了在一个紧曲面上，所有测地线长度的列表足以唯一地确定一个黎曼度量，该曲面的边界直到一个固定边界的自同构。研究了积分几何中的一些相关问题。关键词：测地线，走时，共轭点，测地流，速端图，测地线积分变换。

关于光滑概率密度下黎曼流形的测地完备性

On Geodesic Completeness for Riemannian Metrics on Smooth Probability Densities

最优输运和信息论的几何方法引发了概率密度作为无限维黎曼流形的解释。研究最多的黎曼结构是奥托度量，产生最佳质量输运的$L^2$ -Wasserstein距离，以及在信息几何理论中占主导地位的Fisher-Rao度量。在光滑概率密度的空间上，这些黎曼度量都不是测地线完备的-例如在成像应用中，这是一个理想的性质。也就是说，测地流方程解的存在区间不能扩展到整条实数线。本文研究光滑概率密度空间上高阶Sobolev型度量的一类作为测地流方程的Hamilton-Jacobi型偏微分方程.我们给出了整体存在唯一性的序条件，从而提供了测地完备性。我们研究的系统是一个有趣的例子，流方程损失的衍生物，这是适定的光滑类，但非抛物和完全非线性。在一个更一般的说明，本文建立了一个链接的概率密度空间的几何分析和分析的欧拉-阿诺德方程的拓扑流体力学。

具有全测地叶的黎曼叶理上的横截Weitzenböck公式和曲率维数不等式

Transverse Weitzenböck formulas and curvature dimension inequalities on Riemannian foliations with totally geodesic leaves

本文证明了一类关于全测地叶的黎曼叶理的新Weitzenböck公式。这些Weitzenböck公式自然地被度规的正则变分参数化。因此，在自然几何条件下，水平拉普拉斯算子满足一个广义曲率维数不等式。除此之外，这个曲率维数不等式意味着水平热方程的正解的李-丘估计和一个次黎曼Bonnet-Myers紧性定理，其假设只依赖于水平分布的内在几何。

Eigenfunctions restriction estimates for curves with nonvanishing geodesic curvatures in compact Riemannian surfaces with nonpositive curvature

For $2\leq p<4$, we study the $L^p$ norms of restrictions of eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on smooth compact $2$-dimensional Riemannian manifolds. Burq, Gérard, and Tzvetkov \cite{BurqGerardTzvetkov2007restrictions}, and Hu \cite{Hu2009lp} found the eigenfunction estimates restricted to a curve with nonvanishing geodesic curvatures. We will explain how the proof of the known estimates helps us to consider the case where the given smooth compact Riemannian manifold has nonpositive sectional curvatures. For $p=4$, we will also obtain a logarithmic analogous estimate, by using a…

黎曼流形上退化的特殊拉格朗日方程

The degenerate special Lagrangian equation on Riemannian manifolds

我们表明，退化的特殊拉格朗日方程，最近推出的鲁宾斯坦-所罗门，导致一个整体方程的每一个黎曼流形，并为某些相关的几何这个方程的统治，因为它在欧几里德设置，测地线在正拉格朗日空间。例如，光滑卡-丘环面纤维化的正拉格朗日截面空间中的测地线由基流形上的黎曼DSL支配。然后，我们开发他们的分析技术，特别是修改的Dirichlet对偶理论的哈维-劳森，在黎曼设置，以获得连续的解决方案的狄利克雷问题的黎曼DSL，因此连续测地线在空间中的正拉格朗日。

圆的自同构群上的测地流

Geodesic Flow on the Diffeomorphism Group of the circle

我们发现，某些右不变度量赋予的无限维李群的所有光滑的方向保持与黎曼结构的圆的同态。黎曼指数映射的研究使我们能够证明经典黎曼几何结果的无穷维对应：黎曼指数映射是光滑的局部自同构，测地线的长度最小化性质成立。