Decay Rates of global weak solutions for the MHD equations in $\dot{\mbox{\boldmath{$H$}}}^{s}(\mathbb{R}^n)$
我们证明了不可压MHD方程的Leray解$t^{s/2} \Vert (\mbox{\boldmath $ u $}, \mbox{\boldmath $ b $})(.,t)\Vert_{\dot{H}(\mathbb{R}^{n})} \rightarrow 0,$ as $t\rightarrow \infty$，其中$2 \leq n \leq 4$和$s \geq 0.$作为前面主要结果的推论，我们还得到了$\lim_{t\rightarrow\infty} t^{\frac{n}{2} - \frac{n}{2q}} \Vert(\mbox{\boldmath $ u $},\mbox{\boldmath $ b $})(.,t)\Vert_{L^{q}(\mathbb{R}^{n})} = 0, 2\leq q\leq \infty.$
2017-03-19 math.AP
Characterization of the traces on the boundary of functions in magnetic Sobolev spaces
刻画了定义在半空间或光滑有界区域中的磁索伯列夫空间的迹，其中磁场$A$是可微的，其对应于磁场$dA$的外导数是有界的.特别地，我们证明了，对于$d \ge 1$和$p>1$，磁Sobolev空间$W^{1, p}_A(\mathbb{R}^{d+1}_+)$的迹正好是$W^{1-1/p, p}_{A^{\shortparallel}}(\mathbb{R}^d)$，其中$A^{\shortparallel}(x) =( A_1, \dotsc, A_d)(x, 0)$对于$x \in \mathbb{R}^d$与约定$A = (A_1, \dotsc, A_{d+1})$，当$A \in C^1(\overline{\mathbb{R}^{d+1}_+}, \mathbb{R}^{d+1})$。刻划了分数磁索伯列夫空间为插值空间，并给出了从半空间到全空间的扩张定理。
2019-05-03 math.AP math.FA
Haj\lasz-Sobolev Imbedding and Extension
本文建立了Haj \lasz -Sobolev $\dot M^{s,\,p}_\ball$ -扩张的几何判据（分别为：${\mathbb R}^n$的$\dot M^{s,\,p}_\ball$ -嵌入）结构域与$n\ge2$、$s\in(0,\,1]$和$p\in[n/s,\,\infty]$（分别为$p\in(n/s,\,\infty]$）。特别地，作者证明了有界平面连通域$\boz$是具有$α\in(0,\,1)$的弱$α$ -雪茄域当且仅当对部分/全部$s\in[α,\,1)$和$p=(2-\az)/(s-α)$有$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2)|_\boz=\dot M^{s,\,p}_\ball(\boz)$，其中$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2)|_\boz$表示Triebel-Lizorkin空间$\dot F^s_{p,\,\infty}({\mathbb R}^2) $对$\boz$的限制.
2010-04-30 math.AP math.CA math.FA
Global well-posedness and scattering for the defocusing $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$-critical nonlinear Schrödinger equation in $\mathbb{R}^2$
本文研究 $\mathbb{R}^2$ 中 defocusing quintic 非线性 Schrödinger 方程在临界空间 $\dot{H}^{\frac{1}{2}}$ 中的 Cauchy 初值问题，证明了解的有界性蕴含整体存在性与 scattering。
2019-10-01 math.AP
Global Well-Posedness For Half-Wave Maps With $S^2$ and $\mathbb{H}^2$ Targets For Small Smooth Initial Data
我们证明了整体适定性的半波映射与$S^2$目标小$\dot{H}^{\frac{n}{2}} \times \dot{H}^{\frac{n}{2}-1}$初始数据。对于小的光滑$\dot{B}^{\frac{n}{2}}_{2,1} \times \dot{B}^{\frac{n}{2}-1}_{2,1}$初始数据，我们还证明了以$\mathbb{H}^2$为目标的方程的整体适定性。
2022-09-22 math.AP
Global existence for a 3D Tropical Climate Model with damping and small initial data in $\dot H^{1/2}(\mathbb{R}^3)$
Università di Pisa（比萨大学）；Università di Firenze（佛罗伦萨大学）；Università eCampus（伊坎普斯大学）
研究考虑具有阻尼项的三维热带气候模型，证明在初始数据为小的homogeneous空间˙H^{1/2}(R^3)下，系统在时间上全局存在。
2023-05-13 math.AP
Initial-Boundary value problem of the Navier-Stokes equations in the half space with nonhomogeneous data
本文讨论了半空间中Navier-斯托克斯方程的初边值问题，当初值$ h\in \dot{ B}_{q σ}^{α-\frac{2}{q}}(\R_+)$和边界值$ g\in \dot{ B}_q^{α-\frac{1}{q},\frac{\al}{2}-\frac{1}{2q}}({\mathbb R}^{n-1}\times {\mathbb R}_+) $与$g_n\in \dot B^{\frac12 α}_q ({\mathbb R}_+; \dot B^{-\frac1q}_q ({\mathbb R}^{n-1}))\cap L^q({\mathbb R}_+;\dot{B}^{α-\frac{1}{q}}(\Rn))$，对于任意的$0<α<2$和$q =\frac{n+2}{α+1}$，在时间上的整体可解性. $h$和$g$需要兼容性条件。
2018-06-07 math.AP
Well-posedness and Gevrey Analyticity of the Generalized Keller-Segel System in Critical Besov Spaces
本文研究了胞扩散受分数扩散控制的广义Keller-Segel方程组的Cauchy问题：\begin{equation*} \begin{cases} \partial_{t}u+Λ^αu-\nabla\cdot(u\nabla ψ)=0\quad &\mbox{in}\ \ \mathbb{R}^n\times(0,\infty), -Δψ=u\quad &\mbox{in}\ \ \mathbb{R}^n\times(0,\infty), u(x,0)=u_0(x), \ \ &\mbox{in}\ \ \mathbb{R}^n. \end{cases} \end{equation*}在$1<α\leq 2$的情形下，我们证明了临界Besov空间中任意初始数据的局部适定性和小初始数据的整体适定性，用$1\leq p<\infty$，$1\leq q\leq \infty$证明了$\dot{B}^{-α+\frac{n}{p}}_{p,q}(\mathbb{R}^{n})$，用$1< p<\infty$，$1\leq q\leq \infty$证明了初始数据$u_{0}\in \dot{B}^{-α+\frac{n}{p}}_{p,q}(\mathbb{R}^{n})$解的解析性.在临界Besov空间$\dot{B}^{-α}_{\infty,1}(\mathbb{R}^{n})$…
2015-08-18 math.AP
Global well-posedness to the 3-D incompressible inhomogeneous Navier-Stokes equations with a class of large velocity
本文考虑一类具有大速度的三维不可压非齐次Navier-斯托克斯方程的整体适定性。更准确地说，假设$a_0 \in \dot{B}_{q,1}^{\frac{3}{q}}(\mathbb{R}^3)$和$u_0=(u_0^h,u_0^3)\in \dot{B}_{p,1}^{-1+\frac{3}{p}}(\mathbb{R}^3)$的$p,q \in (1,6)$与$\sup(\frac{1}{p}, \frac{1}{q})\leq\frac{1}{3}+ \inf (\frac{1}{p}, \frac{1}{q})$，我们证明了，如果$C\|a_0\|_{\dot{B}_{q,1}^{\frac{3}{q}}}^α(\|u_0^3\|_{\dot{B}_{p,1}^{-1+\frac{3}{p}}}/μ+1)\leq1$，$\frac{C}μ(\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,1}^{-1+\frac{3}{p}}}+\|u_0^3\|_{\dot{B}_{p,1}^{-1+\frac{3}{p}}}^{1-α}\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,1}^{-1+\frac{3}{p}}}^α)\leq 1$，那么系统有一个唯一的全局解$a\in\widetilde{\mathcal{C}}([0,\infty);\dot{B}_{q,1}^{\frac{3}…
2014-10-23 math.AP
Matrix-Weighted Besov-Type and Triebel--Lizorkin-Type Spaces III: Characterizations of Molecules and Wavelets, Trace Theorems, and Boundedness of Pseudo-Differential Operators and Calderón--Zygmund Operators
本文为矩阵加权Besov型与Triebel--Lizorkin型空间系列研究的收官之作，建立了分子与波lets刻画，并应用几乎对角算子尖锐有界性，得到迹算子、伪微分算子及Calderón--Zygmund算子的最优有界性，改进了既有结果。
2023-12-27 math.AP math.CA math.FA
Sobolev trace inequality on $W^{s,q}(\mathbb{R}^n)$
建立了非齐次分式索伯列夫空间上的Sobolev迹不等式.
2019-09-07 math.AP
Global solutions to the Navier--Stokes equations with large vertical velocities in $\dot{B}_{\infty,σ}^{-1}(\mathbb{R}^3)$
Graduate School of Science, Nagoya City University（名古屋城市大学理学院研究生课程）
研究三维不可压缩纳维-斯托克斯方程柯西问题，通过速度场水平分量在临界Besov空间小、垂直分量在$\dot{B}_{\infty,\sigma}^{-1}(\mathbb{R}^3)$中大的框架，证明全局解的存在唯一性。
2026-07-07 math.AP
Bounded Solutions to an Energy Subcritical Non-linear Wave Equation on R^3
在这项工作中，我们考虑一个能量亚临界半线性波动方程（$3 < p < 5$）\[ \partial_t^2 u - Δu = ϕ(x) |u|^{p-1} u, \qquad (x,t) \in {\mathbb R}^3 \times {\mathbb R} \]与初始数据$(u,u_t)|_{t=0} = (u_0,u_1)\in \dot{H}^{s_p} \times \dot{H}^{s_p-1}({\mathbb R}^3)$，其中$s_p = 3/2 - 2/(p-1)$和函数$ϕ: {\mathbb R}^3 \rightarrow [-1,1]$是一个径向连续的功能与极限在无穷远。我们证明了，除非椭圆方程$-ΔW = ϕ(x) |W|^{p-1} W$有一个非零的径向解$W \in C^2 ({\mathbb R}^3) \cap \dot{H}^{s_p} ({\mathbb R}^3)$，任何径向解$u$的临界Sobolev范数$\|(u(\cdot,t), \partial_t u(\cdot,t))\|_{\dot{H}^{s_p}\times \dot{H}^{s_p}({\mathbb R}^3)}$的最大寿命的所有$t$上的有限的一致上界必须是在时间和分散的整体解决方案。
2015-08-20 math.AP
A trace inequality for solenoidal charges
我们证明了对于$α\in (d-1,d]$，对于所有的螺线管向量测度$F$都有迹不等式\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^d} |I_αF| \;dν\leq C |F|(\mathbb{R}^d)\|ν\|_{\mathcal{M}^{d-α}(\mathbb{R}^d)} \end{align*}，即，$F\in M_b(\mathbb{R}^d,\mathbb{R}^d)$和$\operatorname{div}F=0$。这里$I_α$表示$α$阶的Riesz势，$\mathcal M^{d-α}(\mathbb{R}^d)$表示$\mathbb{R}^d$上$(d-α)$维测度的Morrey空间.
2021-09-05 math.AP math.CA math.FA
Ill-posedness of the incompressible Navier-Stokes equations in $\dot{F}^{-1,q}_{\infty}({R}^3)$
本文证明了三维不可压斯托克斯方程在临界Triebel-Lizorkin空间$ q>2 $中的不适定性，即任意小的初始数据都可能导致相应的解在任意短的时间后变得任意大.鉴于Koch和Tataru在$ BMO^{-1} $（即Triebel-Lizorkin空间$ \dot{F}^{-1,2}_{\infty}(\mathbb{R}^3) $）中证明了三维不可压Navier-斯托克斯方程的适定性，我们的工作在Triebel-Lizorkin空间框架中完成了适定性和不适定性的二分法，这取决于$ q=2 $或$ q>2 $ .
2013-02-28 math.AP
Mixed-Norm Herz Spaces and Their Applications in Related Hardy Spaces
本文引入了一类混合范数Herz空间$\dot{E}^{\vecα,\vec{p}}_{\vec{q}}(\mathbb{R}^{n})$，它是混合Lebesgue空间的自然推广，在研究混合范数Lebesgue空间上的傅里叶变换的可和性时，自然会出现它的一些特殊情况.给出了它们的对偶空间，得到了$\dot{E}^{\vecα,\vec{p}}_{\vec{q}}(\mathbb{R}^{n})$上的Riesz-Thorin内插定理.利用Riesz-Thorin内插定理和外推定理中的一些思想，建立了$\dot{E}^{\vecα,\vec{p}}_{\vec{q}}(\mathbb{R}^{n})$上Hardy-Littlewood极大算子和向量值极大不等式的有界性.作为应用，利用球拟Banach函数空间的Hardy空间的已有结果，发展了与$\dot{E}^{\vecα,\vec{p}}_{\vec{q}}(\mathbb{R}^{n})$相联系的Hardy空间的各种实变量理论.这些结果强烈依赖于$\dot{E}^{\vecα,\vec{p}}_{\vec{q}}(\mathbb{R}^{n})$的对偶性和Riesz-Thorin内插定理中辅助函数的非平凡构造.
2022-04-26 math.AP math.CA math.FA
New Regularity Criteria for Navier-Stokes and SQG Equations in Critical Spaces
本文针对三维不可压缩Navier-Stokes方程与二维超临界SQG方程，在Besov空间、Lorentz空间及临界空间和等多种临界空间框架下推导了新的正则性准则，拓展了两类方程正则性条件的适用范围。
2024-04-13 math.AP
Global existence of non-Newtonian incompressible fluids in half space with nonhomogeneous initial-boundary data
本文研究了半空间中具有非齐次初边值条件的非牛顿不可压缩流体方程，在各向异性Besov空间中证明了弱解的全局存在性，并建立了相应的嵌入关系。
2024-08-04 math.AP
Well-posedness of inhomogeneous nonlinear wave equations in $\mathbb{R}^3$
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Computational Science, Xiangtan University（湘潭大学数学与计算科学学院）
本文研究非齐次非线性波方程在$\mathbb{R}^3$中的适定性，结合Strichartz估计与压缩映射原理，在特定函数空间中建立局部和全局适定性，扩展并改进了现有文献结果。
2026-04-04 math.AP
Analyticity for the (generalized) Navier-Stokes equations with rough initial data
研究了（广义）不可压Navier-斯托克斯方程的Cauchy问题\begin{align} u_t+(-Δ)^αu+u\cdot \nabla u +\nabla p=0, \ \ {\rm div} u=0, \ \ u(0,x)= u_0. \nonumber \end{align}利用$1< p<\infty, \ 1\le q\le \infty $证明了在临界Besov空间$\dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$中任意初值下Navier- Stokes方程（$α=1$）局部解的解析性，并且当$u_0$在$\dot{B}^{n/p-1}_{p,q}(\mathbb{R}^n)$中充分小时，解是整体解.在$p=\infty$情形下，得到了调制空间$M^{-1}_{\infty,1}(\mathbb{R}^n)$中任意初始值的Navier-Stokes方程（$α=1$）局部解的解析性.在临界Besov空间$\dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) \ (1\leq p\leq\infty)$中证明了小初值分数阶Navier-Stokes方程（$α=1/2$）的整体适定性，并证明了小初值解在$\dot{B}^{n/p}_{p,1}(\mathbb{R}^n) \ (1\leq p<\infty)$或$\dot{B}^0_…
2013-10-31 math.AP
On limiting trace inequalities for vectorial differential operators
建立了向量场$u\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{n};\mathbb{R}^{N})$的迹不等式$$\|D^{k-1}u\|_{L^{\frac{n-s}{n-1}}(\mathbb{R}^{n},dμ)} \leq c \|μ\|_{L^{1,n-s}(\mathbb{R}^{n})}^{\frac{n-1}{n-s}}\|\mathbb{A}[D]u\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n},d\mathscr{L}^{n})}$$成立的充要条件是$\mathbb{R}^{n}$上的$k$阶齐次线性微分算子$\mathbb{A}[D]$是椭圆的且可消的，条件是$s<1$，并给出了$s=1$的部分结果，其中对$\mathbb{A}[D]$需要更强的条件.这里，$\|μ\|_{L^{1,λ}}$表示测度$μ$的$(1,λ)$范数，使得例如可以相对于限于余维$0<s<1$的分形的Hausdorff测度$\mathscr{H}^{n-s}$采取这样的迹。上述一类不等式给出了亚当斯迹不等式的系统推广到极限情况$p=1$，并可用于证明有界$\mathbb{A}$ -变差函数的迹嵌入，从而包括Sobolev函数和有界变差或变形函数。我们还建立了上述不等式的一个乘法形式，它蕴涵了$\text{BV}^{\mathbb{A}}$上相应迹算子的（$\mathbb{A}$…
2019-03-20 math.AP
On the Trace Operator for Functions of Bounded $\mathbb{A}$-Variation
本文考虑有界$\mathbb A$ -变差函数空间$\mathrm{BV}^{\mathbb A}(Ω)$.对给定的一阶常系数线性齐次微分算子$\mathbb A$，这是$L^1$ -函数$u:Ω\rightarrow\mathbb R^N$空间，使得分布微分表达式$\mathbb A u$是有限（向量）Radon测度.证明了对于Lipschitz域$Ω\subset\mathbb R^{n}$，$\mathrm{BV}^{\mathbb A}(Ω)$ -函数有$L^1(\partialΩ)$ -迹当且仅当$\mathbb A$是$\mathbb C$ -椭圆的（或者等价地，当$\mathbb A$的核是有限维的）. $L^1(\partialΩ)$迹的存在以前只在$\mathbb A u$与函数$u$的完全梯度或对称梯度一致的特殊情况下才知道（因此涵盖了特殊情况$\mathrm{BV}$或$\mathrm{BD}$）。作为一个主要的新颖性，我们不使用微积分的基本定理来构造迹算子（这种方法只适用于$\mathrm{BV}$ -和$\mathrm{BD}$ -设置），而是在接近边界时比较零空间上的投影。作为一个例子，我们研究了线性增长的拟凸变分泛函的Dirichlet问题，该问题依赖于$\mathbb A u$ .
2019-03-09 math.AP
On the ill-posedness for the Navier--Stokes equations in the weakest Besov spaces
本文通过构造初始数据证明解映射在零点不连续，解决了全可压缩Navier--Stokes方程在最弱Besov空间端点情形下的不适定性，并附带证明了不可压缩方程的不适定性。
2024-01-09 math.AP
Weak Solutions for the Navier-Stokes Equations for ${B}^{-1(ln)}_{\infty\infty}+{B}_{\dot{X}_r}^{-1+r,\frac{2}{1-r}}+L^2$ Initial Data
1934年Leray证明了Navier-斯托克斯方程在$L^2(\mathbb{R}^N)$中对初值有全局弱解。1990年Calderón将这一结果推广到初值空间$L^p(\mathbb{R}^N)$（$2\leq p<\infty$）。在2002年出版的《{ \em Recent developments in the Navier-Stokes problems}》一书中，Lemarié-Rieusset将Calderón的这个结果推广到空间$B_{\widetilde{X}_r}^{-1+r,\frac{2}{1-r}}(\mathbb{R}^N)+L^2(\mathbb{R}^N)$（$0<r<1$），其中${X}_r$是其与$H^r$函数的逐点乘积属于$L^2$的函数空间，$\widetilde{X}_r$表示$C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$在${X}_r$中的闭包，而$B_{\widetilde{X}_r}^{-1+r,\frac{2}{1-r}}(\mathbb{R}^N)$是$\widetilde{X}_r$上的Besov空间。本文将Lemarié-Rieusset的结果推广到更大的初值空间${B}^{-1(ln)}_{\infty\infty}(\mathbb{R}^N)+{B}_{\widetilde{\dot{X}}_r}^{-1+r,\f…
2012-04-22 math.AP math.DS
Carleson measure problems for parabolic Bergman spaces and homogeneous Sobolev spaces
设$b_α^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})$是抛物型方程$\partial_{t}u+(-\triangle)^αu=0$ $(α\in(0, 1])$具有有限$L^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})$范数的解的空间.同时，用$v(t,x)$表示上述方程的解，用Cauchy数据$v_{0}(x),$刻画了$\mathbb{R}^{1+n}_{+}$上的非负Radon测度$u(t,x)\in b_α^{p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+})\cap \dot{W}^{1.p}(\mathbb{R}^{1+n}_{+}).$，满足$\|v(t^{2α},x)\|_{L^{q}(\mathbb{R}_{+}^{1+n}, μ)}\lesssim\|v_{0}\|_{\dot{W}^{β,p}(\mathbb{R}^{n})},$ $β\in (0,n),$ $p\in [1, n/β],$ $q\in(0, \infty).$，并得到了$v(t,x),$的衰减、等$-$容量不等式和迹不等式.
2009-04-21 math.AP
Global Well-Posedness of the Energy-Critical Nonlinear Schrödinger Equation on $\mathbb{T}^4$
在本文中，我们首先证明了整体适定性的散焦三次非线性薛定谔方程（NLS）的4维环面-无论是合理的或不合理的-和初始数据在$H^1$。进一步证明了如果聚焦三次NLS $u: I\times\mathbb{T}^4\to \mathbb{C}$的最大寿命解满足$\sup_{t\in I}\|u(t)\|_{\dot{H}^1(\mathbb{T}^4)}<\|W\|_{\dot{H}^1(\mathbb{R}^4)}$，则它是全局解。$W$表示欧几里得空间上的基态，其是$\mathbb{R}^4$中的对应聚焦方程的稳态解。
2018-05-24 math.AP
Initial traces and solvability for a semilinear heat equation on a half space of ${\mathbb R}^N$
证明了半空间${\mathbb R}^N$上半线性热方程在零Dirichlet边界条件下非负解的初始迹的存在唯一性.进一步得到了相应的Cauchy-狄利克雷问题可解的初值必要条件和充分条件。我们的必要条件和充分条件是尖锐的，使我们能够找到最佳的奇异性的初始数据的可解性的柯西-狄利克雷问题。
2022-09-14 math.AP
Global self-similar solutions for the 3D Muskat equation
本文证明了同黏度异密度流体下三维Muskat方程全局自相似解的存在性，给出其初始数据形态与解的差值估计，并借助新的函数空间估计完成证明。
2025-07-30 math.AP
Well-posedness for the Navier-Stokes equations with datum in Sobolev-Fourier-Lorentz spaces
本文对$s \in \mathbb R$和$1 \leq p, r \leq \infty$引入并研究了Sobolev-Fourier-Lorentz空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$ .在族空间$\dot{H}^s_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d)$中，Navier-斯托克斯方程的临界不变空间对应于值$s = \frac{d}{p} - 1$ .当初始数据属于临界空间$\dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p,r}}(\mathbb{R}^d)$，$d \geq 2, 1 \leq p <\infty$和$1 \leq r < \infty$时，我们建立了Navier-斯托克斯方程的Cauchy问题在具有任意初值的$L^\infty([0, T]; \dot{H}^{\frac{d}{p} - 1}_{\mathcal{L}^{p, r}}(\mathbb{R}^d))$空间中局部温和解的存在性，以及当Besov空间$\dot{B}^{\frac{d}{\tilde p} - 1, \infty}_{\mathcal{L} ^{\tilde p,\infty}}(\mathbb{R}^d)$中的初值范数足够小时，在$L^\infty([0, …
2016-01-07 math-ph math.AP math.MP
$L^p$-trace-free generalized Korn inequalities for incompatible tensor fields in three space dimensions
对于$1<p<\infty$，我们证明了$ W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$中不相容张量场$P$的广义无迹Korn不等式的$L^p$ -版本。更精确地说，设$Ω\subset\mathbb{R}^3$是一个有界Lipschitz域.则存在一个常数$c>0$，使得\[ \|{ P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\leq c\,\left(\|{\operatorname{dev} \operatorname{sym} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})} + \|{ \operatorname{dev} \operatorname{Curl} P }\|_{L^p(Ω,\mathbb{R}^{3\times3})}\right) \]对所有张量场$P\in W^{1,\,p}_0(\operatorname{Curl}; Ω,\mathbb{R}^{3\times3})$成立，即，其中$ν$表示$ P\times ν=0 $的向外单位法向量场，$\operatorname{dev} P := P -\frac13 \operatorname{tr}(P)\,\mathbb{1}_3$表示$P$的偏（无迹）部分。我们还证明了张量场…
2021-10-13 math.AP
On well-posedness of generalized Hall-magneto-hydrodynamics
在Besov空间${\dot B^{-(2α_1-γ)}_{\infty, \infty}} \times {\dot B^{-(2α_2-β)}_{\infty,\infty}(\mathbb R^3)}$中利用适当的指标$α_1, α_2, β$和$γ.$得到了广义Hall磁流体力学系统的局部适定性结果.作为推论，对于小的初始数据，广义电子磁流体力学系统在${\dot B^{-(2α_2-2)}}_{\infty, \infty}(\mathbb R^3)$中是全局适定性的.
2019-09-11 math.AP
Ill-posedness for the stationary Navier-Stokes equations in critical Besov spaces
本文对鹤见提出的一个开放性问题进行了研究。机械肛门234：2，2019）：从$\dot{B}_{p, q}^{-2}$到$\mathbb{P} \dot{B}_{p, q}^{0}$，用$p=d$和$1 \leq q \leq 2$，讨论了$\R^d$中定常Navier-斯托克斯方程是否适定。本文证明了对于$1\leq q<\frac d2$与$d\geq4$情形，定常Navier-斯托克斯方程从$\dot{B}_{d, q}^{-2}(\R^d)$到$\mathbb{P} \dot{B}_{d, q}^{0}(\R^d)$是不适定的，证明了构造一系列外力以显示解映射在零点处的不连续性.实际上，在$q$的这种情况下，存在一个外力序列，它在$\dot{B}_{d, q}^{-2}$中收敛到零，并产生一个解序列，它在$\dot{B}_{d, q}^{0}$中不收敛到零。特别地，我们还证明了定常Navier-斯托克斯方程是从$\dot{B}_{d, 2}^{-2}(\R^d)$到$\mathbb{P} \dot{B}_{d, 2}^{0}(\R^d)$的适定方程.基于这两种情况，我们证明了上述开放问题的尺寸$d\geq4$已完全解决。
2022-06-01 math.AP
Leray's backward self-similar solutions to the 3D Navier-Stokes equations in Morrey spaces
本文证明了三维斯托克斯方程在Morrey空间$\dot{\mathcal{M}}^{q,1}(\mathbb{R}^{3})$（$3/2<q<6$）或$\dot{\mathcal{M}}^{q,l}(\mathbb{R}^{3})$（$6\leq q<\infty$和$2<l\leq q$）中不存在非平凡的Leray向后自相似解.这推广了Nečas-Råužička-Šverák [19，Acta.Math. 176（1996）]在$L^{3}(\mathbb{R}^{3})$，Tsai [25，Arch. Ration.机械肛门143（1998）]在$L^{p}(\mathbb{R}^{3})$与$p\geq3$中，Chae-Wolf [3，Arch. Ration.机械肛门225（2017）]中的洛伦兹空间$L^{p,\infty}(\mathbb{R}^{3})$与$p>3/2$，和Guevara-Brack [11，SIAM J. Math. Anal. 12（2018）]在$\dot{\mathcal{M}}^{q,\frac{12-2q}{3}}(\mathbb{R}^{3})$和$12/5\leq q<3$中以及在$L^{q, \infty}(\mathbb{R}^3)$和$12/5\leq q<6$中。
2020-06-29 math.AP
Higher order Sobolev trace inequalities on balls revisited
受Ache和Chang [AC 15]在球$\mathbb B^{n+1}$上发现的一个四阶Sobolev迹不等式的启发，我们提出了一个稍微不同的方法来重新证明Ache-Chang的迹不等式.为了说明这种方法，我们重新证明了$\mathbb B^{n+1}$上的经典二阶Sobolev迹不等式，并给出了$\mathbb B^{n+1}$上的六阶和八阶Sobolev迹不等式.作为Sobolev迹不等式的极限情形，还考虑了一个阶数为8的Lebedev-Milin型不等式.
2018-11-02 math.AP
Global in time solvability of the Navier-Stokes equations in the half-space
本文研究半空间中Navier-斯托克斯方程的初值问题。设在函数空间$ \dot{B}_{pq,0}^{α-\frac{2}{2}}({\mathbb R}^n_+)$中给定$α+1 = \frac{n}p + \frac2q$和$0<α<2$的螺线管初速度。当给定初速度在函数空间$ \dot{B}_{p_0q_0,0}^{-\frac{2}{q_0}}({\mathbb R}^n_+)$中具有小范数时，我们用$\frac{n}{p_0} +\frac2{q_0} =1$证明了某些$ 1<p_0, q_0<\infty$弱解$u\in L^q(0,\infty; \dot B^α_{pq}({\mathbb R}^n_+))\cap L^{q_0}(0, \infty; L^{p_0}({\mathbb R}^n_+)) $的整体时间存在性。该解在类$L^{q_0}(0, \infty; L^{p_0}({\mathbb R}^n_+))$中是唯一的。还给出了压力估计。
2019-01-17 math.AP
Stochastic Hamiltonian flows with singular coefficients
本文研究了二阶随机微分方程${\mathbb R}^{2d}$中的随机Hamilton系统$$ d \dot X_t=b(X_t,\dot X_t)d t+σ(X_t,\dot X_t)d W_t,\ \ (X_0,\dot X_0)=(x,v)\in{\mathbb R}^{2d}, $$，其中$b(x,v):{\mathbb R}^{2d}\to{\mathbb R}^d$和$σ(x,v):{\mathbb R}^{2d}\to{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$是两个Borel可测函数.证明了若$σ$是有界的一致非退化的，且$b\in H^{2/3,0}_p$和$\nablaσ\in L^p$对于某个$p>2(2d+1)$，其中$H^{α,β}_p$是Bessel位势空间，其可微性指数$α$在$x$中，$β$在$v$中，则上述随机方程存在唯一强解，使得$(x,v)\mapsto Z_t(x,v):=(X_t,\dot X_t)(x,v)$形成随机同胚流，对所有的$q\geq 1$和$T\geq 0$，$(x,v)\mapsto Z_t(x,v)$与ess. $\sup_{x,v}E\left(\sup_{t\in[0,T]}|\nabla Z_t(x,v)|^q\right)<\infty$弱可微.此外，通过证明相应鞅问题的适定性，利用Figa…
2017-02-07 math.AP math.PR
Relaxation approximation and asymptotic stability of stratified solutions to the IPM equation
本文证明了不可压缩多孔介质方程（IPM）的稳定分层解的非线性渐近稳定性，其中初始扰动在具有$s > 3$的$\dot H^{1-τ}(\mathbb{R}^2) \cap \dot H^s(\mathbb{R}^2)$中，且对任何$0 < τ<1$ .这一结果改进了已有文献中证明了至少对$H^{20}(\mathbb{R}^2)$的初始扰动是渐近稳定性的结果.更确切地说，该条的目的有三个。首先，我们用$s > 3$和$0 < τ<1$证明了在$H^{1-τ}(\mathbb{R}^2) \cap \dot H^s(\mathbb{R}^2)$中强阻尼涡Boussinesq方程的时间整体适定性。其次，我们证明了具有阻尼涡度的Boussinesq系统在适当的尺度下向（IPM）的强收敛性。最后，（IPM）的分层解的渐近稳定性作为副产品。近似系统的对称化和通过各向异性Littlewood-Paley分解对方程的各向异性性质的仔细研究对于获得一致的能量估计起着关键作用。最后，一个主要的新的和关键的点是可积的时间衰减的垂直速度$\|u_2(t)\|_{L^\infty (\mathbb{R}^2)}$的初始数据只有在$\dot H^{1-τ}(\mathbb{R}^2) \cap \dot H^s(\mathbb{R}^2)$与$s >3$。
2022-10-05 math-ph math.AP math.MP
The Chang-Marshall Trace Inequality for Sobolev functions in domains in higher dimensional space $\mathbb{R}^n$
Chang和Marshall在他们的著名工作[5]中建立了复平面上单位圆上均值为零的全纯函数的Moser-Trudinger型临界迹不等式.主要目的是解决S. Y. Alice Chang问复平面上单位圆盘上全纯函数的Chang-Marshall型不等式是否对高维欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中一般域上的Sobolev函数对所有$n\ge 2$都成立。我们部分肯定地回答了她的问题。
2021-08-21 math.AP math.CA math.CV
