The $L^1$ mean of the exponential sum of the divisor function
Tomos Parry
本文给出了除数函数指数和的 $L^1$ 均值与 $\sqrt{x}$ 同阶的一个相对简单的证明。
我们给出一个相对简单的证明，表明 \\[ \int _0^1\left |\sum _{n\leq x}d(n)e(nα)\right |dα\asymp \sqrt x.\\]
We give a relatively simple proof that \[ \int _0^1\left |\sum _{n\leq x}d(n)e(nα)\right |dα\asymp \sqrt x.\]
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Exponential and infinitary divisors
我们的论文致力于修改因子领域的几个问题：即指数和无穷因子。我们研究了修改的因子，因子和和totient函数的行为。主要结果涉及的平均值和极值阶的显式估计的渐近行为。
Moments of an exponential sum related to the divisor function
我们使用圆的方法来获得紧界的$L^p$范数的指数和涉及除数函数的$p > 2$。
On certain arithmetic functions involving exponential divisors, II
研究了一类含指数因子的算术函数的渐近性质。
On the $L^1$ norm of an exponential sum involving the divisor function
本文给出了和$\sum_{n\le x}τ(n) e(αn)$的$L^1$范数的界，其中$τ(n)$是除数函数.
Exponential unitary divisors
我们说$d$是$n=p_1^{a_1}... p_r^{a_r}>1$的指数幺正因子，如果$d=p_1^{b_1}... p_r^{b_r}$，其中$b_i$是$a_i$的幺正因子，即，每个$i\in \{1,2,...,r\}$的PDMATHAMR和$(b_i,a_i/b_i)=1$。本文综述了有关数论函数的性质，并引入了指数酉完满数的概念。
A note on the exponential sums of the localized divisor functions
我们证明了与局部$k-$除数函数相关的指数和的上界，即，将正整数$n$写成$k\ge 2$正整数的乘积的方法的计数函数，每个正整数都属于一个指定的区间。特别地，这给出了$k-$除数函数$d_k(n)$的指数和的估计。
On certain arithmetic functions involving exponential divisors
整数$d$被称为$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$的指数除数，如果$d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$，其中$c_i \mid a_i$对于每个$1\le i \le r$。具有相同素因子的整数$n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$称为指数互质，如果对每个$1\le i\le r$都有$(a_i,b_i)=1$。研究了一类含指数因子和指数互质整数的算术函数的渐近性质。
Exponential divisor functions
考虑算术函数上的算子$E$，使得$Ef$是由$(Ef)(p^a) = f(a)$对每个素数幂$p^a$定义的乘法算术函数。我们研究了$E^mτ_k$的行为，其中$τ_k$是一个$k$ -维除数函数，$E^m$代表$E$的$m$ -倍除数.我们估计的误差项$\sum_{n\le x} E^mτ_k(n)$的$m$和$k$的各种组合。我们还研究了任意$f$和足够大的$m$的$E^mf$的性质。我们的研究提供了一个统一的方法来处理函数的指数因子。本文改进了Dirichlet非对称除数问题的特殊情形以及指数除数和幂函数的几个结果。
The Riemann zeta function and exact exponential sum identities of divisor functions
本文证明了一个计算两个移位黎曼zeta函数乘积的显式积分公式，由此推导出涉及除数函数的无穷族精确指数和恒等式，并提出了无需算术技巧的矩阵求逆计算除数函数的推测性方法。
An order result for the exponential divisor function
如果对于每个$i\in \{1,2,...,s\}$都有$b_i \mid a_i$，则整数$d=\prod_{i=1}^s p_i^{b_i}$称为$n=\prod_{i=1}^s p_i^{a_i}>1$的指数除数。令$τ^{(e)}(n)$表示$n$的指数约数，其中按照惯例为$τ^{(e)}(1)=1$。本文的目的是建立函数$τ^{(e)}$的$r$次幂的一个带余项的渐近公式，其中$r\ge 1$为整数.这改进了{ \sc M. V. Subbarao} [5]。
Rational exponential sums over the divisor function
我们考虑了Shparlinski提出的一个问题，给出了算术函数$τ(n)$上有理指数和的非平凡界，计算了$n$的因子数。这是使用一些想法萨特有关的分布在剩余类的功能$ω(n)$，计数的数量素因子的$n$，使问题的形式，在那里，一般的模，我们可以应用一个界布尔增益有关指数和子群的有限阿贝尔群和素模的一些结果Korobov和Shkredov。
Combinatorial Sums and Identities Involving Generalized Sum-of-Divisors Functions with Bounded Divisors
用$L_α(q)$表示的Lambert级数生成函数类（LGF）形式上枚举了对所有整数$n \geq 1$和固定实参数$α\geq 0$的广义约数和函数$σ_α(n) = \sum_{d|n} d^α$.我们证明了新的公式扩大这些LGF的高阶导数。我们得到的结果结合起来，表示新的恒等式扩展广义因子和函数。这些新的身份的形式展开的多项式缩放倍数的一个相关类的除数和取决于$n$和$α$的总和。
Multidimensional exponential divisor function over Gaussian integers
令$\taue_k \colon \Z\to\Z$是乘性函数，使得$ \taue_k(p^a) = \sum_{d_1... d_k=a} 1 $。本文介绍了高斯整数环$\Zi$上的$\taue_k$的推广.通过证明一个一般性结果确定了它们的极大序模，并建立了它们的平均序模的渐近公式。
On Additive Divisor Sums and minorants of divisor functions
我们建立了各种相关性的渐近公式，涉及一般除数函数$d_k(n)$和部分除数函数$d_l(n,A)=\sum_{q|n:q\leq n^A}d_{l-1}(q)$，其中$A\in[0,1]$是一个参数和$k,l\in\mathbb{N}$是固定的。我们的结果与参数$A$的等差数列，其中$d_k(n)$是均匀分布的长度。作为对可加除子和的应用，我们建立了新的渐近解的下界和一个新的等价条件。我们还证明了一般加法因子和的Tauberian定理。
Higher correlations of divisor sums related to primes I: triple correlations
我们得到了与素数有关的截断因子和的三重相关。我们还得到了这个因子和在素数上求和时的混合相关性，并给出了它在短区间素数上的一些应用。
New recurrences for divisor sum functions and triangular numbers
欧拉发现了递归的除数和函数的结果，五边形数定理。基于类似的思想，并受Ewell在1977年工作的启发，我们证明了某些因子和函数与三角数的新递归性。
Higher correlations of divisor sums related to primes III: k-correlations
我们得到了与素数有关的短因子和的一般k-相关性。
Moment estimates for the exponential sum with higher divisor functions
我们得到了量$\int_0^1 \bigg|\sum_{n\le X}τ_k(n)e(nα)\bigg|dα$的渐近解，其中$τ_k(n) = \sum_{d_1\dots d_k = n} 1$ .这是圆方法的快速应用的结果。一路上，我们发现劣弧界的指数和与$τ_k$，高时刻的狄利克雷内核和渐近。
Partial Liouville sums over divisors
本文运用筛法与初等变换，证明了刘维尔函数在除数上的部分和符号具有强意义下的均匀分布性质。
On fractional sums of the divisor functions
本文研究了除数函数的分数和问题。我们改进了Bordellés \cite{Bo}和Liu-Wu-Yang \cite{LWY}的已有结果.
On restricted divisor sums associated to the Chowla-Walum conjecture
我们首先研究的平均值的某些限制因子和涉及的Chowla-Walum和，特别是改进最近的估计Iannucci。本工作的第二部分的目的是推广以前的研究，通过限制范围的研究除数和的除数，扩展Chowla-Walum猜想，证明这个扩展猜想的一小部分，并推广以前在第一部分中得到的渐近公式。
Exponential sums over integers without large prime divisors
本文通过更精确地利用无大素因子整数的因数分解并结合Type I和Type II界，改进了此类整数及其 $ν$ 次幂上的指数和的现有界限。
Solutions to some sign change problems on the functions involving sums of divisors
本文针对 Pongsriiam 近期提出的涉及除数和函数的符号变化问题给出解答，填补了相关数论问题的研究空白。
On arithmetic sums involving divisor functions in two variables
我们证明了类似的一个身份的Huard，欧，斯皮尔曼和威廉姆斯和应用它来评估各种款项涉及除数函数在两个变量。事实证明，这些和计数涉及根式的正整数的表示。
Quasi-modularity of generalized sum-of-divisors functions
1919年，P.A. MacMahon研究了广义除数和的生成函数。在本文中，我们提供了一个框架，在其中查看这些生成函数的雅可比形式，并证明它们是准模形式。
On the mean value of the magnitude of an exponential sum involving the divisor function
我们得到了指数和$M(α) = \sum_{n\le X}τ(n)e(nα)$的L^1范数的一个渐近公式，其中$τ(n) = \sum_{d|n} 1$是除数函数。特别是，我们表明，它是$\sim C\sqrt{X}\log X$与$C = \frac{18}{π^3} - \frac{12\log 2}{π^3} - \frac{1}{2π}\approx 0.153\dots$。
Divisor Problem and an Analogue of Euler's Summation Formula
用简单的初等方法，得到了除数问题余项的一个非常简单的表达式，并利用它得到了除数函数求和的Euler-Maclaurin模拟，同时得到了除数问题余项与黎曼ζ函数及其平方的近似函数方程的解之间的一个关系，其中自变量为正值.
Proof of conjecture regarding the level of Rose's generalized sum-of-divisor functions
Rose在最近的一篇文章中证明了某些广义除数函数的和对于某些同余子群是拟模形式，并证明了这些形式对于$Γ_1(n)$是拟模的.在这里，我们证明这个猜想。
A Successive Approximation Algorithm for Computing the Divisor Summatory Function
给出了一个在O（n^（1/3））时间和O（log n）空间内计算除数求和函数孤立值的算法.该算法是基本的，并使用逐次逼近与坐标变换相结合的几何方法。
A Voronoi summation formula for the shifted triple divisor function
本文证明了由加性特征扭曲的移位3重除数函数的Voronoi求和公式，主要工具是提供了移位$GL(3)$ Estermann函数的函数方程。
The sum of the unitary divisor function
本文建立了函数$σ^{*}(n)$（$n$的所有互质因子之和）的一个新的上界.文章最后对这一功能提出了两个问题。
Powerfree sums of proper divisors
令$s(n):= \sum_{d\mid n,~d<n} d$表示$n$的真因子之和。很自然地推测，对于每个整数$k\ge 2$，等价性\[ \text{$n$ is $k$th powerfree} \Longleftrightarrow \text{$s(n)$ is $k$th powerfree} \]几乎总是成立（这意味着，在一组渐近密度$1$上）。我们证明了这一点的$k\ge 4$。
A summation involving the number of divisors function and the GCD function
令$N$为正数。对所有的$a$和具有$ab \le N$的$b$，给出了$τ(\gcd(a,b))$和的渐近公式.
Two explicit divisor sums
我们给出了$d(n)^2$和$d_4(n)$的和的明确界，其中$d(n)$是$n$的约数，$d_4(n)$是将$n$写成四个数的乘积的方法的数目。在这样做时，我们对四次数域的类数的上界作了一点改进。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: III
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文研究了经典的除数和移位卷积问题的结构公式的精确输入，从而得到了以除数函数为系数的长度为$T^2$的Dirichlet多项式沿$[T,2T]$的均方渐近公式中的所有低阶项.
A Proof of Merca's Conjectures on Sums of Odd Divisor Functions
在最近的一篇论文中，Merca提出了三个关于广义$m$ -实数的奇除数函数和与生成函数的特定卷积的同余的定理。扩展Merca的工作，我们完成了这些命题的证明。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: IV
在这个系列中，我们研究的$2k$阶矩和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文开始了我们所谓的II型和的一般性研究，利用循环方法框架和卷积的移位卷积和获得所有的低阶项的渐近公式中的均方沿$[T,2T]$的狄利克雷多项式的长度达$T^3$与除数函数作为系数。
Fixed points of the sum of divisors function on $F_2[x]$
我们在多项式上模拟一个经典的算术问题。更准确地说，我们研究的不动点$F$的除数和功能$σ: F_2[x] \mapsto F_2[x]$（定义\emph{mutatis mutandi}像通常的除数和整数）的形式$F := A^2 \cdot S$，$S$无平方，与$ω(S) \leq 3$，互质与$A$，$A$甚至，无论程度，在某些条件下。这给出了$11$的$5$的特征，已知$F_2[x]$中$σ$的不动点
On Ramanujan Sums of a Real Variable and a New Ramanujan Expansion for the Divisor Function
我们证明了Ramanujan展开的绝对收敛性并不保证其实变量推广的收敛性，该推广是通过用一个实数替换Ramanujan和中的整数自变量而得到的。我们还构造了一个新的Ramanujan展开式的除数函数。虽然我们的扩展是服从一个连续的和绝对收敛的实变量推广，它只内插局部$\mathbb{R}$上的除数函数。
A weighted divisor problem and exponential sum
本文针对 $ζ'(s)^2$ 的 Dirichlet 级数系数 $D_{(1)}(n)$ 的加权指数和，建立截断 Voronoï 型公式，并由此得到误差项的均方估计，同时研究了相应 Riesz 和及其误差项的均方估计。
Moments of zeta and correlations of divisor-sums: V
在这一系列的文件中，我们检查的$2k$次时刻和移动的时刻的黎曼ζ函数的临界线使用长狄利克雷多项式和除数相关的计算。本文完成了我们称之为II型和的一般性研究，它利用循环方法框架和移位卷积和的卷积来获得以除数函数为系数的任意长度的Dirichlet多项式的均方沿$[T,2T]$的渐近公式中的所有低阶项。
On Power Values of Sum of Divisors function in Arithmetic Progressions
令$a\geq 1, b\geq 0$和$k\geq 2$是任何给定的整数。证明了存在无穷多个自然数$m$，使得$m$的约数之和是完全$k$次幂.当$m$的值属于任意给定的无穷等差数列$an+b$时，我们试图推广这个结果。证明了若$a$与$b$互质，且$b$模$a$的阶与$k$互质，则存在无穷多个自然数$n$使得$an+b$的约数之和为完全$k$次幂.我们还证明了，在一般情况下，无论是$an+b$的因子之和是不是一个完美的$k$次幂的任何自然数$n$或$an+b$的因子之和是一个完美的$k$次幂的无限多个自然数$n$ .
Sums of proper divisors follow the Erdős--Kac law
令$s(n)=\sum_{d\mid n,~d<n} d$表示$n$的真因子之和。第二个作者证明了$ω(s(n))$有正规序$\log\log{n}$，它是Hardy和Ramanujan的一个经典结果的$s$ -值的类似物。我们建立了相应的Erdens-Kac定理：$ω(s(n))$服从均值和方差渐近正态分布$\log\log{n}$ .同样的方法也适用于用其他几个非常规算术函数中的任何一个来替换$s(n)$，例如$β(n):=\sum_{p\mid n} p$、$n-ϕ(n)$和$n+τ(n)$（$τ$是除数函数）。
On the variance of sums of divisor functions in short intervals
给定一个正整数$n$，$k$ -倍除数函数$d_k(n)$等于正整数的有序$k$ -元组的数量，其乘积等于$n$ .在Lindelöf假设下，研究了$d_k(n)$和在短区间上的方差，并建立了$k=3$和$k \ge 4$在一定长度的短区间上的方差的渐近公式.
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
The divisor function along sums of two biquadrates
本文研究了二平方四次幂上除数函数的渐进行为，采用二维delta方法和GL₂自守形式分析，改进了Daniel的成果。
A survey of the alternating sum-of-divisors function
本文研究了由$β(p^a)=p^a-p^{a-1}+p^{a-2}-...+(-1)^a$对每一个素数幂$p^a$（$a\ge 1$）定义的交替因子和函数$β$的算术性质和渐近性质，并将其推广到乘法上.还提出了一些有待解决的问题。
On a sum of the error term of the Dirichlet divisor function over primes
本文研究素数上Dirichlet除数函数误差项平方的求和问题，并证明了该和式存在渐近公式。
A summation of the number of distinct prime divisors of the lcm
令$x$为正整数。给出了$ω(\operatorname{lcm}(m,n))$对所有正整数$m$和$n$与$mn \le x$求和的渐近结果.这回答了最近一篇论文中提出的一个悬而未决的问题。
Trigonometric analogue of the identities associated with twisted sums of divisor functions
本文受 Ramanujan 丢失笔记启发，推导出与除数函数扭曲和相关恒等式的三角函数等价版本，并给出了 $r_6(n)$ 的模拟恒等式。
Glaisher's divisors and infinite products
拉马努金给出了一个递归关系的分拆函数的总和的除数函数$σ(n)$。1885年，J.W. Glasgow认为七个除数和密切相关的总和的除数函数。我们开发了一个演算，将生成函数与这些除数和中的每一个相关联。这产生了类似的拉马努金的递归关系的几个分区理论的功能，以及$r_k(n)$和$t_k(n)$，功能计数的方式写一个数的平方和（分别为三角形）的数字。作为这种关联的副产品，我们得到了除数函数的几个卷积、递归和同余。我们给出两个经典定理的交替证明，一个是由于勒让德和其他-拉马努金的同余$p(5n+4) \equiv 0 \pmod 5$。
The variance of divisor sums in arithmetic progressions
我们研究了稀疏等差数列上$k$ -倍除数函数$d_k(n)$的和的方差，并对剩余类和模进行了平均。在一个有限的范围内，我们证实了最近的一个猜想，这个方差的渐近平均版本。这个结果与Dirichlet $L$ -函数的矩密切相关，并且我们的证明依赖于渐近大筛.
Note on the number of divisors of reducible quadratic polynomials
在最近的一篇论文中，Lapkova使用陶伯定理推导出除数和$\sum_{n \leq x} d( n (n+v))$的渐近公式，其中$v$是一个固定的整数，$d(n)$表示$n$的除数。我们根据Hooley的一个建议重新证明了她的结果，即研究这个和与著名的和$\sum_{n \leq x} d( n ) d (n+v)$之间的关系。因此，我们能够在渐近公式中提供附加项。
Divisor sums representable as the sum of two squares
令$s(n)$表示自然数$n$的真约数之和。证明了使$s(n)$是两个平方和的$n \leq x$的个数具有数量级$x/\sqrt{\log x}$，这与两个平方和的$n \leq x$的个数一致.我们的结果证实了Erd{ \H o}s，Granville，Pomerance和Spiro猜想的一个特例，他们在1990年的一篇论文中断言，如果$\mathcal{A} \subset \mathbb{N}$具有渐近密度零（例如，如果$\mathcal{A}$是两个平方和的$n \leq x$的集合），则$s^{-1}(\mathcal{A})$也具有渐近密度零。
Mean values of divisors twisted by quadratic characters
在本文中，我们评估和$\sum_{m,n}\leg {m}{n}d(n)$，其中$\leg {m}{n}$是克罗内克符号和$d(n)$是除数函数。
Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums
对于正整数的非空有限集$A$，设$\gcd\left(A\right)$表示$A$中元素的最大公约数。令$f\left(n\right)$和$Φ\left(n\right)$分别表示使得$\gcd\left(A\right) = 1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目和使得$\gcd\left(A\cup\left\{n\right\}\right) =1$的$\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$的子集$A$的数目。令$D\left(n\right)$是$f\left(n\right)$的除数和。本文得到了$f\left(n\right)$，$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的部分和.我们还得到了$D\left(n\right)$的组合解释和同余性质。在本文的最后，我们给出了有关$Φ\left(n\right)$和$D\left(n\right)$的开放性问题。
The sum of divisors of a quadratic form
研究了二次型$m_1^2+m_2^2+m_3^2$的因子和.设$$S_3(X)=\sum_{1\le m_1,m_2,m_3\le X}τ(m_1^2+m_2^2+m_3^2).$$我们得到了渐近公式$$S_3(X)=C_1X^3\log X+ C_2X^3+O(X^2\log^7 X),$$其中$C_1,C_2$是两个常数.这改进了郭和翟获得的误差项$O_\varepsilon(X^{8/3+\varepsilon})$。
Sums of divisor functions and von Mangoldt convolutions in $\mathbb F_q[T]$ leading to symplectic distributions
在[arXiv：1504.07804]中，Keating、Rodgers、Roditty-Gershon和Rudnick建立了除数函数$d_k(f)$在短间隔上和函数域$\mathbb F_q[T]$的等差数列上的和的均方与酉矩阵系综上的某些积分的关系。我们考虑类似的问题，导致分布在合奏辛矩阵。我们也考虑类似的问题，涉及卷积的冯Mangoldt功能。
On an approximate functional equation involving the divisor function
在适当的近似函数方程的参数条件下，含有除数函数的指数和的近似函数方程中的误差项将得到改善。
The asymptotic formulae of sums of two smooth squares for divisor function
一个自然数$n$是$y$ -光滑的，如果$n$的最大素因子不超过$y$。设$s_{1}$和$s_{2}$是$y$ -光滑数.考虑二元Titchmarsh除数问题的光滑平方和，给出了$(\log x)^{K}\le y<x^{\frac{1}{2}}$的$\sum_{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\le x}τ(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1)$的渐近公式，其中$K$足够大.
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