An Effective Dichotomy for the Counting Constraint Satisfaction Problem
Bulatov（2008）给出了计数约束满足问题#CSP的二分法。#CSP中的一个问题的特征在于约束语言，它是有限域D上的一个固定的有限关系集。这个问题的一个实例使用这些关系来约束更大集合中的变量。Bulatov证明了从#CSP计算任何问题的实例的满意分配的问题要么是在多项式时间（FP）内，要么是#P-完全的。他的证明在很大程度上利用了泛代数的技术，如果没有对该领域的安全掌握，就无法理解。我们给一个基本的证明布拉托夫的二分法，简洁的表示，我们称之为框架，一类高度结构化的关系，我们称之为强矩形的基础上。我们表明，这些正是根据Mal'tsev多态性是不变的关系。在途中，我们给出了一个简化的决策算法的强矩形约束语言，由于Bulatov和Dalmau（2006）。我们建立了一个新的准则#CSP二分法，我们称之为强平衡，我们证明了这个属性是可判定的。事实上，我们在NP中建立了成员资格。因此，我们证明了二分法是有效的，解决了关于#CSP二分法的最重要的公开问题。
2011-08-17 cs.CC
Weighted First Order Model Counting with Directed Acyclic Graph Axioms
Fondazione Bruno Kessler（布鲁诺·凯斯勒基金会）；University of Trento（特伦托大学）
本文研究带有有向无环图公理的加权一阶模型计数，证明该片段是域可提升的，并提出基于容斥原理的计数方法。
2023-05-08 cs.AI cs.CC cs.LO
Constant Unary Constraints and Symmetric Real-Weighted Counting Constraint Satisfaction Problems
一元约束（在布尔域上）是从{0，1}到实数集的函数。除了输入实例之外，辅助一元约束的自由使用已被证明是有用的，在建立一个完整的分类的近似求解加权计数布尔约束满足问题（或#CSP）的计算复杂性。特别是，两个特殊的常数一元约束是任意约束的arity减少的关键，足以满足所需的分类。在精确计数模型中，两个常数一元约束总是被假设为可用的，因为它们可以使用任意的非空约束集有效地消除。相比之下，我们证明了在近似计数模型，其中至少有一个是有效的近似，从而消除了约由一个非空的约束集。这一事实直接导致一个有效的构造多项式时间随机近似保持图灵约简（或AP约简）从指定约束的#CSP到任何给定的#CSP组成的对称实值约束的任意arities，即使在存在任意额外的一元约束。
2013-10-27 cs.CC
Approximation Complexity of Complex-Weighted Degree-Two Counting Constraint Satisfaction Problems
约束满足问题已经在许多领域中被研究，具有实际意义和理论意义。近年来，在计算约束满足问题（或#CSP）的研究中取得了重大突破。特别是，一个计算复杂性分类的有界度#CSP已被发现的所有程度，除了两个，其中的“度”的输入实例是最大的次数，每个输入变量出现在一组给定的约束。尽管最近的研究的努力，但是，度2 #CSP的复杂性分类已经逃避了我们的理解。本文挑战这个开放的问题，并给出其部分解决方案，采用两种新的证明技术- T_{2} -constructibility和参数化对称化-这是专门设计来处理“任意”的约束下随机近似保持减少。我们将整个约束划分为四个集合，并将所有度为2的#CSP的近似复杂性分类为两类：多项式时间可计算的问题或至少像#SAT一样难的问题。我们的证明利用了复加权度2 #CSP和Holant问题之间的密切关系，这是复加权#CSP的自然推广。
2011-09-27 cs.CC
On the NP-Hardness of Approximating Ordering Constraint Satisfaction Problems
我们改进了近似排序约束满足问题（OCSPs）的NP-困难。对于最大无环子图和最大介数这两个研究最多的OCSP，我们证明了$14/15+ε$和$1/2+ε$的不可逼近性。一个OCSP被称为近似抵抗，如果它是很难近似比采取一致随机排序。我们证明了最大非介数问题是近似抵抗，并有宽度$m$近似抵抗OCSP只接受一小部分$1 / (m/2)!$的分配。这些结果提供了仅对P $\neq$ \NP具有近似抗性的OCSP的第一个实例。
2013-07-18 cs.CC
Constraint Satisfaction with Counting Quantifiers 2
我们研究约束满足问题（CSP）的计数量词$\exists^{\geq j}$的存在下，断言存在$j$不同的证人的变量的问题。作为我们之前（CSR 2012）论文的延续，我们关注无向图模板的复杂性。作为我们的主要贡献，我们解决了（CSR 2012）中提出的两个主要开放问题。首先，我们通过证明计数量词和团大小的所有可能组合的完全可分性来完成团模板的分类，将每种情况放置在P，NP-完全或Pspace-完全中。这涉及到在团$K_{2j}$上有单个量词$\exists^{\geq j}$的情况的解决。其次，我们证实了（CSR 2012）的一个猜想，该猜想提出了所有有限无向图上的$\exists$和$\exists^{\geq 2}$的完全二分法。这第二个结果的主要推力是解决的复杂性，我们证明是一个多项式时间可解的问题的无限路径。通过将算法应用于无限路径，我们就能够解决有限路径的问题，然后是树木和森林。因此，作为这项工作的推论，结合（CSR 2012）中的其他情况，我们得到了有限图上$\exists$和$\exists^{\geq 2}$量词的完全二分法，每个这样的问题要么是P困难的，要么是NP困难的。最后，我们坚持（CSR 2012）的工作，探索在P和P空间完全之间存在二分法的情况，与可能出现中间NP完全性的情况形成对比。
2013-12-30 cs.CC cs.DM cs.LO
Maltsev Constraint Satisfaction Problems and Deterministic Logspace With Counting
Toronto Metroplitan University（多伦多都会大学）
本文证明具有Maltsev同态的有限关系模板的CSP问题属于复杂度类DET，并提出一种新算法，该算法利用2生成子代数图而非显式同态，将问题与带计数的确定性对数空间联系起来。
2026-09-28 cs.CC
Binary Constraint Satisfaction Problems Defined by Excluded Topological Minors
二元约束满足问题是判定一组变量之间是否存在满足特定约束条件的赋值。一个二进制CSP实例可以被表示为一个标记图，它对约束的形式和它们被施加的位置进行编码。我们认为，通过限制允许的形式，这个图定义的子问题。以前考虑过的一种类型的限制是禁止某些指定的子结构（模式）。这捕获了CSP的一些易于处理的类，但没有捕获由语言限制或众所周知的非循环结构属性定义的类。在本文中，我们扩展了模式的概念，并引入了一个二进制CSP实例的拓扑子的概念。通过禁止一组有限的模式发生拓扑未成年人，我们得到了一个紧凑的机制，表达新的易于处理的子问题的二进制CSP，包括新的概括类的非循环实例。禁止一组有限的模式作为拓扑子项也捕获了二进制CSP的所有其他易于处理的结构限制。此外，我们发现，几种模式引起听话的子问题，如果禁止作为拓扑未成年人，但如果禁止作为子模式。最后，我们引入了增强模式的思想，它允许识别更易处理的类，包括二进制CSP的所有语言限制。
2018-09-22 cs.CC
On the Descriptive Complexity of Temporal Constraint Satisfaction Problems
单域约束满足问题要么可以用Datasheet解决，要么甚至不能用带有计数的定点逻辑来表达。这两个政权之间的边界与泛代数中的一个重要二分法相吻合;特别是，边界可以用一个强高度为1的Maltsev条件来描述。对于无限域CSP，即使CSP的模板结构在模型理论上是驯服的，情况也更加复杂。我们证明，没有Maltsev条件，已经为（Q;<）的一阶约简的CSP的Datasheet的特征，这样的CSP被称为时间CSP和无限域约束满足的根本重要性。我们的主要结果是一个完整的分类的时间CSP，可以表示在以下的逻辑形式之一：数据流，定点逻辑（有或没有计数），或定点逻辑与布尔秩运算符。的分类表明，许多等价条件在有限的未能捕捉表达的数据库或定点逻辑已经为时间CSP。
2022-06-07 cs.CC math.LO
Optimization, Randomized Approximability, and Boolean Constraint Satisfaction Problems
我们给出了一个统一的处理，可以表示为非负实加权布尔约束满足问题的形式的优化问题。Creamanu、Khanna、Sudan、Trevisan和Williamson研究了近似其最优解的复杂性，其最优性由约束结果的总和来衡量。为了探索更广泛的优化约束满足问题，继Marchetti-Spaccamela和Romano的早期工作之后，我们研究了由约束结果的乘积来衡量最优性的情况。我们将这些问题完全分为三类：PO问题，NPO困难问题，以及介于前两类之间的中间问题。为了证明这一定理，我们分析了非负实加权约束的特点，使用的T-构造性的概念的一个变体开发复杂的加权计数约束满足问题。
2011-09-16 cs.CC
Complexity of Counting CSP with Complex Weights
本文对具有复权重的计数约束满足问题（简称#CSP）给出了一个复杂性二分法。为此，我们给出了三个条件，其易处理性。设F是复值函数的有限集合，证明了当满足这三个条件时，#CSP（F）是多项式时间可解的，否则是#P-难的.我们的复杂性二分法推广了计数问题的一系列重要结果：（a）图同态的计数问题是F中存在单个对称二元函数的特殊情况，（b）有向图同态的计数问题是F中存在单个不一定对称二元函数的特殊情况;以及（c）#CSP的标准形式是当F中的所有函数都取{0，1}中的值时。
2011-11-10 cs.CC
Beyond #CSP: A Dichotomy for Counting Weighted Eulerian Orientations with ARS
我们定义并探索了约束函数的唯一素分解的概念，并以此作为一个新的工具来证明计数加权欧拉方向问题的复杂性分类与箭头反转对称（ARS）。我们证明了所有这样的问题要么是多项式时间可计算的，要么是#P-hard的。我们证明了一类加权欧拉方向问题包含了布尔变量上的所有加权计数约束满足问题（#CSP）。更重要的是，我们建立了一个新的连接#CSP和计数加权欧拉方向问题，是全球性的。这种连接是基于$\mathbb{Z}_2$上所有半权仿射线性子空间的结构决定，这是使用莫比乌斯反演证明。
2020-06-02 cs.CC
The complexity of counting solutions to Generalised Satisfiability Problems modulo k
广义可满足性问题（或称布尔约束满足问题）是由Schaefer于1978年提出的一种广义可满足性问题，它允许系统地研究具有不同类型约束的可满足性问题的复杂性。1979年，Valiant引入了复杂性类奇偶性P，即计算模2的NP问题的解的个数的问题。其他人已经考虑了对其他整数取模计数的问题。我们给出了一个二分法定理的复杂性计数的解决方案的数量的广义可满足性问题模整数。这是从早期的结果Credilu和赫尔曼这给了计数二分法这些类型的问题，和二分法本身几乎是相同的。具体地说，如果所有的关系都是仿射的，那么计算广义可满足性问题的解的个数可以在多项式时间内完成。否则，除了k = 2的特殊情况外，它是#_kP-完全的。
2008-09-10 cs.CC
The Complexity of Resilience Problems via Valued Constraint Satisfaction
Leipzig University（莱比锡大学）
本文将可数无限域上的VCSP框架用于分析数据库查询韧性，给出基于pp可构造性与分数多态性的困难性和可处理性条件，建立关联无环UCQ及双向正则路径查询的复杂性二分。
2025-10-20 cs.CC cs.DB math.LO
Counting Solutions of Constraint Satisfiability Problems:Exact Phase Transitions and Approximate Algorithm
Northeast Normal University（东北师范大学）
NP完全问题相变现象的研究对于理解困难问题的本质具有重要作用。在本文中，我们遵循这条线的研究考虑的问题计数解决方案的约束满足问题（#CSP）。我们考虑随机模型，即RB模型。我们证明了当变量数趋于无穷大时，#CSP的相变确实存在，并且相变发生的临界值是精确的。初步的实验结果也表明，临界点与理论推导相吻合。此外，我们还提出了一个近似算法来估计RB模型的CSP实例的解数的期望值。
2011-02-24 cs.AI cs.CC
Approximating Constraint Satisfaction Problems Symmetrically
本文研究了约束满足问题（CSP）的最优值在多大程度上可以用带计数的不动点逻辑（FPC）语句来近似。已知，在假设$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$和唯一对策猜想的条件下，通过求解和舍入一个特定的半定规划松弛，给出了任意CSP的最佳多项式时间近似算法.我们证明了一个类似的算法，可定义为FPC的解释，这并没有假设$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$。虽然我们不能放弃（一个FPC版本）的唯一游戏猜想作为一个假设，我们提出了一些部分的结果来证明它。具体来说，我们给出了一个新的结构，它表明，对于所有的$α> 0$，存在一个正整数$q = \text{poly}(\frac{1}α)$，使得没有没有FPC解释给出一个$α$ -近似的唯一游戏的标签集的大小$q$。
2020-08-03 cs.CC cs.LO
Complexity classification of counting graph homomorphisms modulo a prime number
本研究证实了Faben与Jerrum提出的素数模下图同态计数复杂性猜想，并开发出可拓展至一般计数CSP的模计数归约技术，推进了模计数问题的复杂性理论研究。
2025-10-01 cs.CC cs.LO
Improved Parameterized Algorithms for Constraint Satisfaction
对于许多约束满足问题，选择随机分配的算法达到了最佳的近似比。例如，对于{ \sc Max-E3-Sat}的简单随机分配允许7/8近似，并且对于每个$\eps >0$，除非P=NP，否则不存在多项式时间（$7/8+\eps$）近似。另一个例子是有界元的{ \sc Permutation CSP}。给定随机分配（即置换）满足的约束的预期分数$ρ$，假设唯一游戏猜想（UGC），对于每个$\eps >0$，不存在$(ρ+\eps)$ -近似算法。在这项工作中，我们考虑以下参数化的约束满足问题。给定一组常数元的$m$约束，我们是否至少能满足$ρm +k$约束，其中$ρ$是随机分配所满足的约束的期望分数？在文献\cite{Niedermeier2006,MahajanRamanSikdar09}中以不同的形式提出了{ \sc约束满足问题高于平均值}。我们提出了一个更快的参数化算法，以决定是否$m/2+k/2$方程可以同时满足${\mathbb F}_2$。作为结果，我们得到$O(k)$ -变量双内核{ \sc布尔CSP}的arity $c$为每个固定的$c$，和{ \sc置换CSP}的arity 3。这意味着在“高于平均值”参数化下的许多问题的线性双核，例如{ \sc Max-$c$-Sat}、{\sc Set-Splitting}、{ \sc Betweenness}和{ \sc Max A…
2011-10-14 cs.CC cs.DS
The complexity of counting locally maximal satisfying assignments of Boolean CSPs
研究了布尔域{0，1}上约束满足问题（CSP）的最大满足指派计数问题的计算复杂性.一个令人满意的分配是极大的，如果从它得到的任何新的分配是不令人满意的，通过改变0到1。对于每个约束语言Gamma，#MaximalCSP（Gamma）表示计算最大满意分配的问题，给定一个带有Gamma约束的输入CSP。对于最大满意指派的精确计数问题，我们给出了一个复杂性二分法;对于最大满意指派的近似计数问题，我们给出了一个复杂性二分法。相对于问题#CSP（Gamma），这是计算所有满意分配的问题，最大版本有时可能更容易，但从来没有更难。这一发现与最近的发现，大约计数最大独立集的二分图是困难的（在通常的复杂性理论的假设下）比计数所有独立集。
2016-04-06 cs.CC
Understanding the complexity of #SAT using knowledge compilation
Birkbeck College, University of London（伦敦大学伯贝克学院）
到目前为止，已经使用了两种主要技术来解决#P-hard问题#SAT。第一个，在实践中使用，是基于扩展的DPLL的模型计数称为穷举DPLL。第二种方法，更多的理论，利用输入的结构来计算满意的分配的数量，通常使用一个动态规划计划的公式的分解。在本文中，我们对这两种技术的分离，展示了一个家庭的公式，可以解决在多项式时间的第一种技术，但需要一个指数的时间与第二个。我们通过观察这两种技术隐式地构建一个非常具体的布尔电路等效于输入公式。然后，我们表明，每一个β-非循环公式可以表示为一个多项式大小的电路对应的第一种方法，并表现出一个家庭的β-非循环公式，不能表示为多项式大小的电路对应的第二种方法。这一结果揭示了一个新的光的复杂性#SAT和相关问题的β-无环公式。作为一个副产品，我们提供了新的方便的工具来设计算法的β-无圈超图。
2017-01-05 cs.AI cs.CC
Symmetric Parameterised Holants on Hypergraphs: Towards a Classification for Parameterised VCSPs
Hasso Plattner Institute, University of Potsdam（波茨坦大学哈索·普拉特纳研究所）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学学院）
本文研究参数化计数约束满足问题的复杂性，通过超图建模更广泛的问题，建立明确的复杂性二分定理。
2026-04-28 cs.CC
A Dichotomy Theorem for the Approximate Counting of Complex-Weighted Bounded-Degree Boolean CSPs
我们确定了近似计算每个复加权布尔约束满足问题（或CSP）的变量分配的总权重的计算复杂性，其中具有任何数量的附加一元（即，arity 1）约束，特别是当输入实例的度由固定常数从上限定时。显然，所有的1次计数CSP都可以在多项式时间内求解。当实例的度大于2时，我们提出了一个二分法定理，将所有允许自由一元约束的计数CSP分为两类。这一分类定理的扩展，复加权问题，较早的结果的近似复杂性的未加权计数布尔CSP的有界程度。我们的定理的证明框架是基于一个理论的签名开发的Valiant的全息算法，可以有效地解决看似棘手的计数CSP。尽管使用任意复杂的重量，我们的分类定理的证明是相当初级和直观的，由于广泛使用的一个新的概念有限的T-构造。相反，对于其余的2度问题，它们与Holant问题一样难以近似，Holant问题是计数CSP的推广。
2012-03-18 cs.CC
Non-negative Weighted #CSPs: An Effective Complexity Dichotomy
证明了所有非负加权计数约束满足问题的复杂性二分法。这盖了一长串的重要结果计数问题，包括未加权和加权图同态和著名的二分法定理未加权#CSP。我们的二分法定理给出了一个简洁的易处理性标准。如果约束函数的集合F满足该准则，则由F定义的计数CSP问题在多项式时间内可解;如果不满足该准则，则该问题是#P-hard的。我们还证明了F是否满足准则的问题在NP中是可判定的。令人惊讶的是，我们的易处理性标准比以前的标准更简单的限制类的问题，虽然专门为这些情况下，他们在逻辑上是等价的。我们的证明主要使用线性代数，并代表了一个偏离泛代数，近年来占主导地位的方法。
2010-12-27 cs.CC
The complexity of approximating conservative counting CSPs
研究了近似求解加权计数约束满足问题CSP（F）的复杂性.在保守的情况下，其中F包含所有一元函数，有一个分类已知的情况下，在F中的功能域是布尔的。本文对F中函数具有任意有限区域的更一般问题给出了一个分类。我们定义了弱对数-模和弱对数-超模的概念。证明了若F是弱对数模，则#CSP（F）在FP中.否则，它至少和#BIS一样难以近似，即在二分图中计数独立集的问题。#BIS对于逻辑定义的复杂度类#RHPi1的近似保持约简是完备的，并且被认为是难以处理的。我们进一步细分了#BIS-硬案例。如果F是弱对数超模的，那么我们证明了#CSP（F）和（布尔）对数超模加权#CSP一样简单。否则，我们证明它是NP-难近似。最后，我们给出了arity-2情况下的完全可分性，其中#CSP（F）在FP中，或者是#BIS等价的，或者在难度上等价于#SAT，即近似计数合取范式中布尔公式的满足赋值的问题。我们还讨论了我们的分类算法方面。
2014-05-29 cs.CC
Dichotomy for Holant* Problems with a Function on Domain Size 3
Holant问题是研究计数问题算法复杂性的一般框架。计数约束满足问题和图同态都是其特例。以往关于Holant问题的所有结果都是在布尔域上得到的。本文给出了区域大小为$>2$的Holant问题的第一二分法.我们发现意想不到的听话家庭的计数问题，通过新的多项式时间算法。本文还提出了在尺寸为$>2$的域中的全息约化。这是我们的主要算法技术，并用于易于处理的家庭和硬度降低。二分法定理如下：对于任何区域大小为3的复值对称函数${\bf F}$，我们给出了一个关于${\bf F}$的显式准则，使得如果${\bf F}$满足该准则，则问题${\rm Holant}^*({\bf F})$在多项式时间内可计算，否则${\rm Holant}^*({\bf F})$是#P-困难的。
2012-07-10 cs.CC
Set graphs. II. Complexity of set graph recognition and similar problems
一个图$G$被称为“集合图”，如果它允许一个非循环定向，也是“可拓的”，在这个意义上，它的顶点的外邻域是两两不同的。等价地，集合图是遗传有限集合的有向图表示的基础图。在本文中，我们继续研究集图和相关的主题，侧重于计算复杂性方面。我们证明了集图识别是NP-完全的，即使当输入仅限于二分图正好两个叶子。这个问题仍然是NP-完全的，如果，此外，我们需要的外延非循环的方向也是“苗条”，也就是说，通过删除任何弧从它得到的有向图是不外延。我们还表明，上述问题的计数变量是P-完全的，并证明了类似的复杂性结果有关的问题，广义的扩展无环有向图，所谓的“超扩展有向图”，这是由Aczel提出来描述超集。我们的证明是基于减少从变体的哈密顿路径问题。我们还考虑了一个著名的概念的一个分离的代码在一个有向图，所谓的“开放式分离代码”的一个变体，并表明，它是NP-完全的，以确定是否输入扩展无环有向图包含一个开放式分离代码给定的大小。
2012-07-31 cs.CC cs.DM
Boolean approximate counting CSPs with weak conservativity, and implications for ferromagnetic two-spin
本文分析了近似计数约束满足问题$\mathrm{\#CSP}(\mathcal{F})$的复杂性，其中$\mathcal{F}$是布尔变量的一组非负有理值函数.一个完整的分类是已知的保守的情况下，其中$\mathcal{F}$被假定为包含任意一元函数。我们通过固定任何允许的严格增加的一元函数和任何允许的严格减少的一元函数，并仅将它们添加到$\mathcal{F}$来加强这一结果：这是弱保守性。由此产生的分类是用来解释各种各样的双自旋问题的复杂性，完全分类的铁磁情况。为了进一步削弱保守性，我们还考虑了如果只假设钉扎函数在$\mathcal{F}$中（而不是两个允许的一元数）会发生什么。我们表明，任何一组功能的钉扎是不足以恢复两种许可的一元数必须有一个非常简单的范围，或必须满足一定的单调性条件。我们展示了一组函数满足单调性条件的非平凡的例子。
2019-12-15 cs.CC cs.DM
The Exponential-Time Complexity of the complex weighted #CSP
在计数版本（#ETH）的指数时间假设下，考虑了布尔计数约束满足问题（#CSP）的细粒度二分法.设$\mathscr{F}$是布尔域上代数复值函数的有限集合。当$\mathscr{F}$是任意两个特殊函数集的子集时，证明了#CSP（$\mathscr{F}$）是多项式时间可解的，否则它不能在次指数时间内计算，除非#ETH失败.我还通过证明相同的二分法对具有有界度的#CSP（每个变量出现在最多常数约束下），甚至对#R $_3$ -CSP也成立来改进结果。证明结果之前的一个重要准备是证明钉扎（两个特殊的一元函数$[1,0]$和$[0,1]$用于减少arity）也可以保持布尔#CSP问题的次指数下界。本文利用计数问题的P-困难性的一些常用证明方法来讨论这个问题。证明说明了这些常用方法之间的内在联系。
2022-02-06 cs.CC
Symmetric Weighted First-Order Model Counting
University of Washington（华盛顿大学）；KU Leuven（鲁汶大学）
FO模型计数问题（FOMC）如下：给定FO中的一个句子$Φ$和一个数字$n$，计算$Φ$在一个大小为$n$的域上的模型数量;加权变体（WFOMC）通过将权重与每个元组相关联并将模型的权重定义为其元组的权重的乘积来概括该问题。在本文中，我们研究了对称WFOMC的复杂性，其中一个给定的关系的所有元组具有相同的权重。我们的动机来自一个重要的应用，推理知识库软约束，如马尔可夫逻辑网络，但这个问题也是独立的理论兴趣。我们研究了FOMC和WFOMC的数据复杂度以及组合复杂度。对于数据复杂度，我们证明了FOMC是#P $_1$ -完全的FO $^{3}$公式的存在性，以及WFOMC是#P $_1$ -完全的合取查询的存在性.我们还证明了所有的$γ$ -非循环查询具有多项式时间的数据复杂度。对于组合复杂度，我们证明了对于每个片段$^{k}$，$k\geq 2$，FOMC（或WFOMC）的组合复杂度是#P-完全的.
2015-06-01 cs.AI cs.CC cs.DB
Modular Counting CSP: Reductions and Algorithms
本文研究一般约束满足问题（CSP）的解的模计数问题，识别了与图情形的关键差异，在p=2时给出附加条件下的求解算法，并证明了在自同构假设下的困难性，同时将一般CSP归约到满足强条件的二元关系情形。
2025-01-23 cs.CC cs.LO
The expressibility of functions on the Boolean domain, with applications to Counting CSPs
An important tool in the study of the complexity of Constraint Satisfaction Problems (CSPs) is the notion of a relational clone, which is the set of all relations expressible using primitive positive formulas over a particular set of base relations. Post's lattice gives a complete classification of all Boolean relational clones, and this has been used to classify the computational difficulty of CSPs. Motivated by a desire to understand the computational complexity of (weighted) counting CSPs, we develop an analogous notion of functional clones and study the landscape of these clones. One of th…
2012-06-13 cs.CC
Inapproximability of counting hypergraph colourings
最近的发展，在近似计数取得了惊人的进展，在发展快速算法的方法来近似的解决方案的数量约束满足问题（CSP）与大的arities，使用连接到Lovasz局部引理。然而，这些方法的边界与非布尔域的CSP没有很好地理解。我们在本文中的目标是填补这一空白，并通过研究这类CSP，超图着色的原型问题，获得强不可逼近的结果。更准确地说，我们主要研究了度有界的$Δ$的$K$ -一致超图的$q$ -着色的近似计数问题.如果$Δ\lesssim \frac{q^{K/3-1}}{4^KK^2}$（Jain，Pham和Vuong，2021; He，Sun和Wu，2021），则存在有效算法。然而，令人惊讶的是，硬度界限甚至不知道更容易的问题，找到着色。对于计数问题，情况甚至更不清楚，没有证据表明正确的常数控制$K$的指数增长。为此，我们首先建立，对于一般的$q$计算硬度找到一个简单的着色/线性超图发生在$Δ\gtrsim Kq^K$，几乎匹配的算法从Lovasz局部引理。我们的第二个和主要的贡献是获得一个更精细的计数问题，远远超出了硬度找到一个着色，我们猜想是渐近紧（常数因子）。我们特别表明，对于所有甚至$q\geq 4$它是NP-难近似的着色数时，$Δ\gtrsim q^{K/2}$。
2022-08-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Holant* Dichotomy on Domain Size 3: A Geometric Perspective
本文针对定义域大小为 3 的任意对称实值约束函数集合，证明了 Holant 问题的首个复杂性二分定理，并揭示张量分解几何在判据中的核心作用。
2025-04-18 cs.CC
Counting Homomorphisms and Partition Functions
关系结构之间的同态不仅是基本的数学对象，而且在应用计算环境中也是非常重要的。事实上，约束满足问题（CSP），一个发生在计算机科学的许多不同领域（如人工智能或数据库理论）的广泛的算法问题，可以被视为要求两个关系结构之间的同态[FedVar98]。在逻辑环境中，同态可以被视为关系语言中的正本原公式的证明。正如我们将看到的，同态，或者更准确地说，两个结构之间的同态数，也与统计物理学的一个基本计算问题有关。在这篇文章中，我们关注的是从一个给定的结构A到一个固定的结构B的同态计数的复杂性。实际上，我们主要感兴趣的是将这个问题推广到加权同态（或配分函数）。我们几乎只关注图表。文章的第一部分是一个简短的调查什么是已知的问题。在第二部分中，我们给出了Bulatov和本文第一作者[BulGro05]的一个定理的证明，该定理对由具有非负元素的矩阵描述的划分函数的复杂性进行了分类。我们在这里给出的证明基本上与原来的证明相同，由于[Thu09]而有一些捷径，但它是用一种不同的、更图论的语言来表达的，这可能使它更容易被大多数读者所理解。
2011-05-20 cs.CC cs.DM
Holographic Algorithm with Matchgates Is Universal for Planar $\#$CSP Over Boolean Domain
我们证明了一个复杂性分类定理，分类所有计数约束满足问题（$\#$ CSP）在布尔变量正好分为三类：（1）多项式时间易处理的;（2）$\#$ P-硬的一般情况下，但在多项式时间可解的平面图;和（3）$\#$ P-硬的平面图。该分类适用于所有的本地，不一定是对称的，约束函数的布尔变量，采取复杂的值。本文证明了Valiant的带匹配门的全息算法是求解第（2）类问题的通用策略。
2016-03-23 cs.CC
The Computational Complexity of Holant Problems on 4-regular Graphs from the Stable Subgroup Sequence of $SL(2,\mathbb{C})$
本文针对复值4元签名的Holant问题建立二分定理，引入Schur定理、SL(2,C)有限子群分类和稳定子群序列等新方法，为完整分类奠定关键基础。
2026-09-11 cs.CC
Degree two approximate Boolean #CSPs with variable weights
计数约束满足问题（#CSP）要求满足给定约束列表的方式的数量，从固定的约束语言Γ中提取。我们研究了近似估计这个数字有多难。有一个有趣的部分分类，由于戴尔，戈德堡，Jalsenius和Richerby，布尔约束语言，当实例的程度由d>=3限制时-每个变量最多出现在d个约束中-假设“钉扎”被允许作为实例的一部分。我们研究的d=2的情况下，更强的假设，“可变权重”允许作为实例的一部分。我们给出了一个二分法：在每种情况下，要么#CSP是易处理的，要么两个重要的开放问题之一，#BIS或#PM，减少到#CSP。
2012-04-25 cs.CC
A complexity dichotomy for hypergraph partition functions
研究了从$r$ -一致超图$G$到对称$r$ -元关系$H$的同态计数的复杂性.我们给出了一个二分法定理$r>2$，显示为$H$这个问题是在FP和为$H$它是#P-完全的。这推广了Dyer和Greenhill（2000）关于$r=2$情形的定理，它对应于计数图同态。我们的二分法定理扩展到关系$H$是加权的情况，目标是计算\emph{partition function}，这是同态的权重之和。这个问题的动机是统计物理学，它产生于计算粒子模型的配分函数，其中$r$位点的某些组合对称地相互作用。在加权情况下，我们的二分法定理推广了Bulatov和Grohe（2005）关于图的结果，其中$r=2$。当$r=2$时，二分法的多项式时间情况简单地对应于秩1权重。令人惊讶的是，对于所有的$r>2$，二分法的多项式时间情况具有更多的结构。事实证明，权重必须叠加在由阿贝尔群上的方程的解定义的组合结构上。我们的结果也给出了一个二分法密切相关的约束满足问题。
2010-01-01 cs.CC cs.DM
