New families of completely transitive codes and distance transitive graphs
本文提出了新的线性二元完全传递码的无限族。它们具有覆盖半径$ρ= 3$和4，并且分别是长度为$n=2^m-1$和$2^m$的二进制汉明码和二进制扩展汉明码的一半，其中$m$是偶数。从这些新的完全传递码，以通常的方式，即，作为陪集图，构造了直径分别为3和4的距离传递陪集图的无限族的新表示。
2013-04-08 math.CO
On the existence of some completely regular codes in Hamming graphs
本研究解决汉明图中完全正则码的小参数存在性问题，证明多组参数码的存在性与不存在性，找到四元汉明码补集的4-团划分以构造覆盖半径1的完全正则码，还证伪了一组假定参数码在特定汉明图中的存在性。
2023-12-13 cs.DM math.CO
Covering $\mathbb{F}_2^n$ with Hamming Balls
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
研究将 $\mathbb{F}_2^n$ 划分为 $K$ 个集合时，是否存在某个集合的和集包含低余维数陪集的问题，并在汉明球划分和低密度球两种特殊情形下给出肯定答案。
2026-06-06 math.CO math.NT
Linear programming bounds for codes via a covering argument
我们恢复的第一线性规划界的McEliece，Rodemich，拉姆齐和韦尔奇的二进制纠错码和设计通过覆盖参数。通过适当地解释下面的概念，我们可以证明，如果一个码的距离很大，那么它的对偶码的覆盖半径就很小，因此也很大。这意味着原始代码很小。我们还指出（结合进一步的工作），这是一个自然界的汉明立方体，其Faber-Krahn极小等周常数。虽然我们的方法属于Delsarte的线性规划方法的一般框架，其主要技术成分是傅立叶对偶的汉明立方体。特别是，我们不直接处理Delsarte的线性规划或正交多项式理论。
2007-02-14 math.CO
On the Classification of Binary Completely Transitive Codes with Almost-Simple Top-Group
汉明度量中的码$C$，即是汉明图$\varGamma=H(m,q)$的顶点集$V\varGamma$的子集，产生自然距离划分$\{C,C_1,\ldots,C_ρ\}$，其中$ρ$是$C$的覆盖半径。如果自同构群$\rm{Aut}(C)$传递地作用在集合$C$、$C_1$、\ldots、$C_ρ$中的每一个上，则这样的码$C$被称为完全传递的。如果$ρ\geq 2$和$\rm{Aut}(C)$传递地作用于$C$、$C_1$和$C_2$中的每一个，则代码$C$被称为$2$ -邻域传递。设$C$是二进制（$q=2$）Hamming图中的完全传递码，该图具有全自同构群$\rm{Aut}(C)$和最小距离$δ\geq 5$ .由此可知，$\rm{Aut}(C)$在Hamming图的顶点坐标上诱导出一个$2$ -齐次作用.本文的主要结果分类这些$C$，这诱导$2$ -齐次行动是不是一个仿射，线性或辛群。我们发现存在$13$类码，其中$4$类是非线性码.虽然大多数的代码是众所周知的，我们得到了一些新的结果。首先，构造了一个新的非线性完全传递码，以及一个相关的$2$ -邻域传递但不完全传递的非线性码。此外，还给出了几种码的完全传递性的新证明。此外，我们回答的问题，距离正则图的存在性有关的完全传递码出现在我们的主要结果。
2022-07-31 math.CO
The covering radius of $\mathrm{PGL}_2(q)$
对称群$\mathrm{S}_n$的子集$C$的覆盖半径是$\mathrm{S}_n$的元素到$C$的最大汉明距离。本文确定了有限一般射影线性群的覆盖半径。证明了当$q$为偶数时，$\mathrm{PGL}_2(q)$的覆盖半径为$q-2$，当$q$为奇数时，覆盖半径为$q-3$.
2017-06-02 math.CO
Density of normal binary covering codes
具有覆盖半径$R$的二进制码是超立方体$Q_n=\{0,1\}^n$的子集$C$，使得每个$x\in Q_n$在某个码字$c\in C$的汉明距离$R$内，其中$R$尽可能小。对于固定坐标$i\in[n]$，对于$b=0,1$，将$C(b,i)$定义为在$i$第位置具有$b$的码字集合。则$C$是正常的，如果存在$i\in[n]$使得对于任何$v\in Q_n$，从$v$到$C(0,i)$和$C(1,i)$的汉明距离之和至多为$2R+1$。我们重新定义了它意味着一个非对称的覆盖码是正常的，并考虑最坏情况下的渐近密度$ν^*(R)$和$ν^*_+(R)$恒定半径$R$对称和非对称正常覆盖码，分别。使用概率删除的方法，和分析改编自以前的工作Krivelevich，Sudakov，和Vu，我们表明，这两个有界以上的$e(R\log R + \log R + \log\log R+4)$，给出的证据表明，最小尺寸恒定半径覆盖码可能仍然正常。
2004-09-09 math.CO
$s$-Elusive Codes in Hamming Graphs
码是汉明图的顶点集的子集。码的$s$ -邻居的集合是距其最近码字的汉明距离为$s$的所有顶点的集合。一个码$C$是$s$ -难以捉摸的，如果存在一个不同的码$C'$，它在汉明图的全自同构群下等价于$C$，使得$C$和$C'$具有相同的$s$ -邻居集。本文证明了$s$ -难以捉摸码的最小距离至多为$2s+2$，且最小距离至少为$2s+1$的$s$ -难以捉摸码产生具有一定参数的$q$ -元$t$ -设计.这导致了以下的构造：$1$ -难以捉摸且完全传递的码的无限族，$2$ -难以捉摸的码的无限族，以及$3$ -难以捉摸的码的单个示例。还提供了一些关于难以捉摸的代码的开放性问题的答案。
2020-01-07 math.CO
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
2026-05-27 math.CO
Norton algebras of the Hamming Graphs via linear characters
通过对距离正则图的每个特征空间进行正交投影，定义了诺顿积。由此产生的代数，称为诺顿代数，是一个交换非结合代数，由于其有趣的自同构群，在群论中很有用。利用线性特征标给出了Hamming图的特征空间上的Norton积的计算公式。本文构造了Hamming图的Norton代数的一个大的自同构子群，并在某些情况下完整地描述了自同构群。我们还表明，诺顿产品上的每个特征空间的汉明图是尽可能的非结合，除了一些特殊情况下，它是结合的或同样的非结合的所谓的双减操作以前研究的作者，米奇，徐。我们的结果仅限于超立方体，并扩展到半立方体和/或折叠立方体，双线性型图，更一般地，所有的凯莱图的有限阿贝尔群。
2021-01-14 math.CO
Families of nested completely regular codes and distance-regular graphs
本文构造了线性二元套完全正则码的无限族。它们具有等于$3$或$4$的覆盖半径$ρ$，并且对于长度为$n=2^m-1$（分别为$2^m$）的二进制（分别为扩展二进制）汉明码的$i\in\{1,\ldots,u\}$是第$1/2^i$部分，其中$m=2u$。在通常的情况下，即，作为陪集图，构造了直径$D$等于$3$或$4$的嵌入距离正则陪集图的无限族。在某些情况下，所构造的码也是完全传递码，并且相应的陪集图是距离传递的。
2014-04-25 math.CO
Covering Codes using Insertions or Deletions
覆盖码是一组码字，其性质是围绕这些码字的球的并集（适当定义）覆盖整个空间。通常，目标是找到具有最小尺寸码本的覆盖码。虽然大多数以前的工作覆盖码集中在汉明度量，我们考虑的问题，设计覆盖码定义的插入或删除。首先，我们提供了新的球覆盖下界的最小可能的大小，这样的代码。然后，我们提供了新的最佳覆盖码的大小的存在性上界的一个单一的插入或一个单一的删除是紧到一个常数因子。最后，我们得到了改进的上限覆盖码使用$R\geq 2$插入或删除。我们证明了码的密度是唯一的一个因素$O(R \log R)$大于所有固定的~ $R$的下界。特别是，我们的上界有一个最佳的依赖于字长，我们实现了渐近密度匹配的最佳已知的汉明距离覆盖码的界限。
2020-05-25 cs.CC cs.IT math.CO
Hypercube Packings and Coverings with Higher Dimensional Rooks
我们介绍了一个推广的经典$q$ -ary码，允许点覆盖其他点的汉明距离$1$或$2$在一个自由选择的子集的所有方向。更具体地说，我们推广了$q$元码的$1$ -覆盖，$1$ -填充和$2$ -填充的概念.在覆盖的情况下，我们建立了类似的球包装的情况下，我们建立了一个模拟的单点界。给定这些类似物，在覆盖的情况下，我们建立了球包装界是渐近从来没有紧，除了在平凡的情况下。这实质上是Rodemich关于$q$ -ary码的开创性结果的模拟。在包装的情况下，我们建立了$1$包装和$2$包装的情况下，模拟的单点界是紧在几种可能的情况下，并推测这些边界是最佳的一般。
2018-01-31 math.CO
On multifold packings of radius-1 balls in Hamming graphs
汉明度量空间中的$λ$ -折叠$r$ -填充（多半径- $r$覆盖）是码$C$，使得以$C$为中心的半径- $r$球覆盖空间的每个顶点不超过（分别不少于）$λ$次.公知的$r$纠错码对应于$λ=1$的情况，而通常多重$r$包装与列表可解码码有关。（a）给出了$q$元$2$ -折叠$1$ -填充的最大尺寸的渐近界，（b）证明了长度为$n$的$q$元距离- $2$ MDS码是最优$n$ -折叠$1$ -填充，如果$q\ge 2n$ ;（c）导出二元$λ$ -折叠$1$ -填充的大小的上限和二元多重半径- $1$覆盖的大小的下限（d）将所有最佳二元$2$ -折叠$1$ -填充分类到长度$9$，特别地，建立长度$9$的二元$2$ -折叠$1$ -填充的最大大小$96$;（e）证明了$1$ -完全单硝酸根的一些性质，它是$2$ -折叠$1$ -填充的特殊情况。保留字：Hamming图，多重球填充，双重球填充，列表可解码码，多重覆盖，完全正则码，线性规划界
2020-05-13 cs.DM cs.IT math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
Intersection Arrays of Completely Regular Codes of Covering Radius One in Generalized Petersen Graphs
Georgia State University（佐治亚州立大学）
研究广义Petersen图GP(n,k)中覆盖半径1的完全正则码的所有可能交数组，通过完美2-着色等价转化为商矩阵枚举，给出存在性的充要算术条件并构造显式周期着色。
2026-06-15 math.CO
On Lattice Packings and Coverings of Asymmetric Limited-Magnitude Balls
对于有限误差信道，我们构造了整数纠错码和覆盖码。代码是用适当的错误球填充或覆盖空间的网格。一些结构达到一个渐近的包装/覆盖密度是恒定的。结果是通过各种方法，包括使用代码的汉明度量，模块化$B_t$ -序列，$2$倍西顿集，避免算术级数。
2020-05-29 cs.IT math.CO math.IT
Toroidal boards and code covering
我们用$\mathbb{F}_q$表示具有$q$元素的字段。在$\mathbb{F}_q^3$的$1$维向量子空间$V$中具有中心的半径- $r$扩展球是$\mathbb{F}_q^3$的元素的集合，其中到$V$的汉明距离至多为$r$。我们定义$c(q)$为半径- $1$扩展球对$\fqt$的最小覆盖的大小.我们定义一个半皇后为一个环形棋盘上的一个棋子，它通过西南-东北对角线延伸了车的覆盖范围。令$ξ_D(n)$为$n\times n$环形棋盘上覆盖除西南-东北对角线之外的整个棋盘所需的最小半皇后数。证明了对于$q\ge 7$，$c(q)=ξ_D(q-1)+2$ .此外，我们的证明展示了一种方法来建立这样的覆盖$\mathbb{F}_q^3$从半皇后覆盖的董事会。通过这种新方法，我们确定了$q$的奇数值的$c(q)$，并改进了偶数情况下的两个现有界限。
2019-10-21 math.CO
Ordered Covering Arrays and Upper Bounds on Covering Codes in NRT spaces
本文给出了利用投影、融合、列增广、求导、连接和笛卡儿积构造有序覆盖数组的几种直接和递归方法。通过改进一个一般的上界，得到了NRT空间中覆盖码的上界。我们探讨了NRT空间中的有序覆盖阵列和覆盖码之间的联系，推广了Hamming度量的类似结果。结合NRT空间中覆盖码的新上界和有序覆盖阵列，我们改进了NRT空间中覆盖码的上界，使其适用于较大的字母表。我们给表格比较新的上界覆盖码现有的。
2022-07-31 cs.IT math.CO math.IT
Hamming and Symbol-Pair Distances of Constacyclic Codes of Length $2p^s$ over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u, v]}{\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle}$
本文研究了有限非链环上长度为 $2p^s$ 的常循环码，确定了其汉明距离并完全获得了符号对距离。
2024-12-20 cs.IT math.CO math.IT
Matrix Algebras and Semidefinite Programming Techniques for Codes
这篇博士论文关注代码的SDP界：（非）二进制纠错码的上界和（非）二进制覆盖码的下界。该方法是基于Schrijver的方法，使用三重距离，而不是对在经典的Delsarte界。讨论的主要议题是：1）矩阵 *-代数的块对角化，2）非二元Hamming格式的Terwilliger-代数（包括显式块对角化），3）（非二元）纠错码和覆盖码的SDP-界（包括计算结果），4）与矩阵割关系的讨论，5）仿射帽的计算结果。
2010-07-06 math.CO
On lifting perfect codes
在本文中，我们考虑完全正规码，从完美（汉明码）码通过提升地面领域。更确切地说，对于给定的具有奇偶校验矩阵H_m的F_q上的长度为n=（q^m-1）/（q-1）的完美码C，我们定义了具有该奇偶检验矩阵H_m的F_{q^r}上的长度为n的新码C_{(m,r)}，r > 1。得到的码C_{(m,r)}是完全正则的，覆盖半径R = min{r，m}。我们计算这些代码的交集数，最后，我们证明了汉明码是唯一的代码，提升地面领域后，导致完全正规的代码。
2010-02-01 cs.DM cs.IT math.CO
Completely regular codes in Johnson and Grassmann graphs with small covering radii
设L是Grassmann图$J_q(n,2)$中的一个Deserkesian 2-散布.证明了不包含L的子空间的4-子空间的集合是$J_q(n,4)$中的完全正则码。同样，我们构造了一个完全正则码的约翰逊图$J(n,6)$从扩展汉明码的Steiner四重系统。利用二元线性规划得到了Grassmann图$J_2(6,3)$中几个新的覆盖半径为1的完全正则码.
2020-12-13 cs.IT math.CO math.IT
The weighted poset metrics and directed graph metrics
Etzion等人基于$n$顶点上的有向图引入了$\mathbb{F}_2^n$上的度量，并发展了有向图度量空间上的一些基本编码理论。本文研究了将扩展汉明码作为完美码的有向图的分类问题。我们首先考虑加权偏序集度量作为偏序集度量的自然推广，并研究加权偏序集度量与基于有向图的度量之间的相互关系。其次，我们对八元集上的加权偏序集和八顶点有向图进行了分类，证明了扩展汉明码$\widetilde{\mathcal{H}}_3$是$2$ -完美码。我们还为任何$k \geq 3$构造了一些这样的结构族。这些族使我们能够在某些映射下构造半径为2的填充码或覆盖码。
2017-03-01 math.CO
Completely regular codes with different parameters and the same distance-regular coset graphs
研究了一种已知的完全正则码的Kronecker构造方法，在分量码中取不同的字母。这种方法也与完全正则码的提升构造有关。得到了几类参数不同但相交数组相同的完全正则码。给定一个素数幂$q$和任意两个自然数$a,b$，构造了不同域上具有覆盖半径$ρ=\min\{a,b\}$和相同交数组的完全传递码，具体地说，对于$a$或$b$的每个因子$r$，构造了一个$\F_{q^r}$上的码.作为推论，对于任意的素数幂$q$，我们证明了距离正则双线性型图可以作为陪集图从几个具有不同参数的完全正则码得到。在同样的条件下，给出了一类覆盖半径为$ρ$的非完全正则$q$元均匀填充码（广义）的显式构造.
2015-10-23 math.CO
Coverings, Matchings and the number of maximal independent sets of graphs
利用图的覆盖数确定了任意图的极大独立集的最大个数，并对极图进行了完全刻画。作为应用，我们给出了König-Egerváry图的匹配数的一个类似结果.
2016-10-19 math.CO
On Completely Regular Codes
本文是对完全正则码的一个综述。叙述了已知的性质、与其它组合结构和构造的关系。讨论了存在性问题，并对某些特殊情况给出了已知结果。特别是，我们提出了一些新的结果覆盖半径为2的完全正则码和扩展的完全正则码。
2017-03-25 math.CO
Perfect Codes As Exact Minimizers Of Quadratic Discrepancy In q-ary Hamming Spaces
MIGAL–Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）；Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（基里亚特谢莫纳和加利利泰尔海大学）
该研究证明q元汉明空间中，当固定长度和基数存在完备码时，完备码是二次偏差的精确极小化元，其存在性等价于显式变分目标的达成。
2026-11-06 cs.IT math.CO math.IT
Classification of a family of completely transitive codes
Hamming图中的完全正则码具有高度的组合对称性，自Delsarte于1973年提出以来，引起了人们极大的兴趣。本文研究了完全传递码的子族，即自同构群在距离划分的每一部分上都是传递的。这个家庭是一个自然的推广二进制完全传递码介绍了索尔在1990年。我们采取的第一步对这些代码的分类，确定那些自同构群是忠实的条目。
2012-10-26 cs.IT math.CO math.IT
Improved efficiency for covering codes matching the sphere-covering bound
一个覆盖码是一个子集$\mathcal{C} \subseteq \{0,1\}^n$，它的性质是任何$z \in \{0,1\}^n$在汉明距离上都接近某个$c \in \mathcal{C}$。对于每个$ε,δ>0$，我们证明了一族码的结构，相对覆盖半径$δ+ ε$和率$1 - \mathrm{H}(δ) $的块长度至多$\exp(O((1/ε) \log (1/ε)))$，每个$ε> 0$。这改进了仅保证块长度为$\exp(1/ε^2)$的码的传统构造。这个证明背后的主要思想是找到一个分布的代码与相对较小的支持，使大多数这些代码具有良好的覆盖性能。
2020-08-10 cs.CC cs.DM cs.IT
On $q$-ary shortened-$1$-perfect-like codes
研究$q$元缩短Hamming码的最优性，推广了多重填充界，并证明了从$n=20$起存在无法由缩短$1$完美码获得的$4$元缩短$1$完美类码。
2023-06-28 cs.DM cs.IT math.CO
Near-Optimal Covering Sequences
Hanoi University of Science and Technology（河内大学科学技术学院）；VinUniversity
本文针对有限字母表上的覆盖序列，提出一种确定性显式构造，在固定半径和足够大长度下达到球覆盖下界（常数因子内），消除了对数因子，并补充了特殊二元半径1族的结果。
2026-06-28 math.CO
Arithmetic completely regular codes
本文研究了Hamming图及其相关图中的完全正则码。实验证据表明，许多完全正则码具有码的特征值是等差数列的性质。为了更好地理解这类“算术完全正则码”，我们着重研究了加法情形下完全正则码的笛卡儿积及其相应陪集图的积。利用以前的结果，我们然后能够证明一个定理，几乎分类这些代码的情况下，图承认一个完全正规的分区到这样的代码（例如，陪集的一些添加剂完全正规的代码）。连接到理论的距离正则图进行了探讨，并提出了几个开放的问题。
2016-02-11 cs.IT math.CO math.IT
Sparse graphs with local covering conditions on edges
本文研究Erdős边覆盖问题的两类推广：将三角形替换为k≥3阶团并刻画所有极图，以及要求每条边含于至少ℓ个三角形并完全解决ℓ=2的情形，完善了相关图论问题的结论。
2024-09-17 math.CO
Characterizing completely regular codes from an algebraic viewpoint
我们首先总结了完全规则代码的外部分发模块的基本结构。然后，采用一个简单的引理有关本征向量的关联计划，我们建议研究最严格的情况下，出现在外部分布模块的本征空间的指数是等距的。除了算术代码的配套文件，这个高度结构化的类包括其他美丽的例子，我们提出了分类的$Q$ -多项式完全正规码的汉明图。一个关键的结果是定理3.10，它发现$Q$ -多项式条件等价于某个Leonard对的存在。这种联系在两个方向上产生影响。首先，伦纳德对被分类，我们获得了相当多的信息的代数结构的任何代码在我们的类。但这也给了一个新的设置伦纳德对的研究，一个密切相关的经典之一，伦纳德对产生于每个薄/双薄不可约模块的Terwilliger代数的一些$P$ -和$Q$ -多项式的关联计划，但以前没有研究。特别有趣的是，与某些代码$C$相关联的Leonard对可能属于Askey方案中的一个族，而发现代码的距离正则图可能属于另一个族。
2009-11-10 math.CO
On linear $q$-ary completely regular codes with $ρ=2$ and dual antipodal
当对偶码对映时，刻画了所有覆盖半径为$ρ=2$的线性$q$ -ary完全正则码.这些完全正则码是覆盖半径为1的线性完全正则码的推广，它们都是可分类的。对于$ρ=2$，我们给出了我们已知的所有此类代码的列表。这也给出了两个重量线性对跖码的特征。
2010-02-24 cs.IT math.CO math.IT
Semidefinite lower bounds for covering codes
Delft Institute of Applied Mathematics, Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；Tilburg University（蒂尔堡大学）
本文通过引入新的半定约束和对称性约化方法，改进了Gijswijt (2005)提出的覆盖码半定规划下界，在多个参数范围内创下新纪录。
2026-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Quantitative Tiling Stability From Quadratic Discrepancy In Hamming Spaces
Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（泰尔海基里亚特谢莫纳和加利利大学）；MIGAL – Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）
该研究在汉明空间中证明了二次球偏差相关的铺砌缺陷稳定性，推导了不同参数下的系数，为非平凡完美码提供了稳定性保证，关联了偏差与球噪声的多种均匀性度量。
2026-11-06 cs.IT math.CO math.IT
On null completely regular codes in Manhattan metric
本文研究 Manhattan 度量下 n 维无限网格中零完全正则码的存在性，刻画若干参数族的来源或不存在性，并用二元线性规划分析 3、4 维情形。
2025-05-15 cs.IT math.CO math.IT
On the Generalized Packing and Covering Radii of Codes
Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Xidian University（西安电子科技大学数学与交叉科学研究院）；Department of Electrical and Computer Engineering, McMaster University（麦克马斯特大学电气与计算机工程系）
本文证明了码的广义填充半径不超过同阶广义覆盖半径的猜想，对二阶半径、码率至多3/5的所有阶以及任意码率下足够长的码均成立。
2026-09-15 cs.IT math.CO math.IT
A proof of the generalized packing-covering conjecture
Université de Rennes（雷恩大学）；University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
该论文通过计算机辅助方法，结合奇偶校验重构、反例长度界和连续删余论证，证明了任意有限域上线性码的广义打包-覆盖猜想，解决了所有阶t≥32并验证了剩余有限情况。
2026-09-29 cs.IT math.CO math.IT
New completely regular q-ary codes based on Kronecker products
对任意整数$ρ\geq 1$和任意素数幂q，给出了一个覆盖半径为$ρ$，d=3的完全正则（且完全传递）q元码的无限族的显式构造.还计算交集数组。在同样的条件下，给出了覆盖半径为$ρ$的非完全正则的q元均匀填充码（广义）的显式构造.在这两种构造中，克罗内克积都是使用的基本工具。
2008-10-28 cs.DM cs.IT math.CO
The punctured dodecacode is unique
International Centre for Theory of Quantum Technologies, University of Gdansk（格但斯克大学量子技术理论国际中心）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；I2M (Aix Marseille Univ, CNRS)（马赛大学/法国国家科学研究中心数学与交叉学科研究所）
本文证明了穿孔十二码在4元码中是唯一的，并研究了其在Doob图中的非存在性。
2026-01-12 math.CO
Extremal graphs with local covering conditions
本文系统地研究了极值图论中的一个自然问题，即在满足一定的局部条件下，使一个顶点数固定的图中的边数最小化：每个顶点必须在一个固定图$H$的一个副本中.我们完全解决了这个问题时，$H$是一个团，以及更一般地当$H$是任何正则图的度至少约一半的顶点数。当$H$是Erdens-Rényi随机图时，我们也刻画了极图的特征.极值结构的形式与局部约束的极值结构类似，但又是一个复杂的问题：在所有度都有固定上界的图中，最大化固定团的副本数。
2020-03-06 math.CO
Group actions on codes in graphs
本文是关于距离正则图中编码的书籍章节，综述了带置换群对称性的图编码，提出完全可迁、邻域可迁编码概念，研究了多类典型图及其q-模拟等相关图类。
2024-07-13 cs.IT math.CO math.IT
On generalized covering radii of binary primitive double-error-correcting BCH codes
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
本文通过广义超码引理简化了二进制原始双错误纠正BCH码的广义覆盖半径下界证明，并建立了新的下界，同时结合组合论与Weil型指数和估计，证明了广义覆盖半径的范围。
2026-10-23 cs.IT math.CO math.IT
On completely regular codes with minimum eigenvalue in geometric graphs
证明了在任意几何图G中具有最小特征值的完全正则码对应于G的团图中的完全正则码。通过研究这些码之间的相互关系，得到了覆盖半径为w-1，强度为1的Johnson图J（n，w）中完全正则码的一个完整刻画.特别地，这一结果完成了Johnson图J（n，3）中完全正则码的一个刻画.我们还对Johnson图J（n，4）中强度为1的完全正则码进行了分类，其中J（n，4）的特征值只有一种情况是开的.
2022-12-22 cs.IT math.CO math.IT
On weight distributions of perfect colorings and completely regular codes
一个图的顶点着色称为“完美”，如果对于任何两个颜色$a$和$b$，一个颜色-$a$顶点$x$的颜色-$b$邻居的数量不依赖于$x$的选择，也就是说，只依赖于$a$和$b$（顶点集的相应划分称为“公平”）。一个顶点集被称为“完全正则”，如果根据距离这个集合的着色是完美的。所谓染色关于集合的“权重分布“是指每种颜色在距离集合的每一个距离上的顶点数的信息。研究了图关于完全正则集（特别是距离正则图关于顶点）的完美染色（公平划分）的权重分布。我们展示了如何计算这个分布的知识的颜色组成的集合。对于完全正则集的某些部分情形，我们导出了权重分布的显式公式。由于任何（其他）完全正则集本身生成完美着色，这给出了从其参数计算任何完全正则集的权重分布的通用公式。在Hamming图的情况下，我们证明了一个非常简单的公式的重量计数器的任意完美染色。暗号：完全正规码公平分割;分区设计;完美的着色;结构完善;规则划分;权重分布;重量计数器
2011-05-02 cs.IT math.CO math.IT
Dirac-type results for tilings and coverings in ordered graphs
Balogh，Li和Treglown最近的一篇论文开始了有序图的Dirac-type问题的研究。在本文中，我们证明了在这方面的一些结果。特别地，我们渐近地确定了（i）对于任何区间色数至少为$3$的固定有序图$H$，在有序图中强制完美$H$ -平铺的最小度阈值;（ii）对于覆盖$G$的固定比例的顶点的有序图$G$，在有序图中强制$H$ -平铺的最小度阈值（对于任何固定有序图$H$）;（iii）有序图中的$H$ -覆盖（对于任何固定有序图$H$）.前两个这些结果解决问题的Balogh，李和Treglown，而（三）解决了一个问题的Falgas，Ravry。请注意，（i）与Balogh，Li和Treglown的结果相结合，完全确定了用于强制完美$H$平铺的渐近最小度阈值。此外，我们证明了一个结果，结合Balogh，李和Treglown定理，渐近确定的最小度阈值，迫使几乎完美的$H$ -平铺在有序图（任何固定的有序图$H$）。因此，我们的工作提供了Kühn和Osthus [Combinatorica 2009]和Komlós [Combinatorica 2000]的开创性平铺定理的有序图类似物。我们的每一个结果都表现出一些奇怪的，也许是意想不到的行为。我们对（i）的解决方案使用了一个新颖的吸引人的论点。
2022-10-17 math.CO
On maximum distance separable and completely regular codes
Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；A.A. Kharkevich Institute for Problems of Information Transmission, Russian Academy of Sciences（俄罗斯科学院 A.A. 哈尔维奇信息传输问题研究所）
本文研究了最大距离可分码与完全正则码的关系，分类了不同参数下的$MDS$码，并填补了自对偶$CR$码的分类空白。
2025-12-30 cs.IT math.CO math.IT
Conway groupoids and completely transitive codes
对于每个超简单的$2-(n,4,λ)$设计$\mathcal{D}$，人们关联一个“康威广群”，它可以被认为是与$M_{13}$相关联的康威马蒂厄广群的自然推广，$M_{13}$是从$\mathbb{P}_3$构造的。我们发现，$\operatorname{Sp}_{2m}(2)$和$2^{2m}.\operatorname{Sp}_{2m}(2)$自然发生的康威广群与某些设计。结果表明，关联矩阵与这些设计之一产生一个新的家庭的完全传递的$\mathbb{F}_2$ -线性码的最小距离为4，覆盖半径为3，而关联矩阵的其他设计给出了一个替代的建设以前已知的家庭的完全传递的代码。我们还给出了$M_{13}$的一个新的刻画，并证明了对于一个固定的$λ> 0,$，存在100多个Conway广群，它们的态射集不包含全交错群或对称群的所有元素.
2015-04-08 math.CO math.GR
On extended 1-perfect bitrades
研究Hamming方案中扩展1-完美交易的定义与性质，通过五种等价方式定义并证明其等价性，得出q=2^m时的存在条件及n为奇数时的不存在性结论。
2024-08-29 cs.DM math.CO
On Nearly-Perfect Covering Codes Beyond Radius One
McMaster University（麦克马斯特大学）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文研究二元近完备覆盖码，修正原Van Wee界以纳入最小距离，确定R=2、3的此类码等价于构造的码，且R≥3时此类码数量有限。
2026-08-14 cs.IT math.CO math.IT
Distance-2 MDS codes and latin colorings in the Doob graphs
Doob图D（m，n）中的最大独立集类似于Hamming图中的距离为2的MDS码和拉丁超立方体。我们证明了这些集的特征，说明每一个这样的集合是半线性或可约的。作为相关对象，我们研究了D（m，n）中具有最大割（边边界）的顶点集，并证明了它们的结构。我们认为，两个类（最大独立集和最大割集）可以定义为类的完全正则集指定的2 × 2的商矩阵。值得注意的是，对于所考虑的类的集合，商矩阵的特征值是图的最大和最小特征值。对于D（m，0），我们证明了存在第三个，中间，类完全正则集具有相同的性质。
2019-08-27 cs.DM cs.IT math.CO
