Neighbour transitivity on codes in Hamming graphs
我们认为一个\emph{code}是一个\emph{Hamming graph}的顶点集的子集。在这种设置中，代码的\emph{neighbour}是与某个码字恰好有一个条目不同的顶点。本文研究了码的自同构群传递作用于码的\emph{set of neighbours}的性质。我们将这些代码称为\emph{neighbour transitive}。我们得到了邻群传递群按集固定码的充分条件。此外，我们构造了一个无限族的邻居传递码，与\emph{minimum distance} $δ=4$，这是不是这种情况。也就是说，即使知道完整的代码邻居集也不能确定代码。
2011-12-06 math.CO
Endomorphisms of Cuboidal Hamming Graphs, Latin Hypercuboids of Class $r$, and Mixed MDS Codes
本文研究了集合$\left[ n_1\right]\times \left[ n_2\right]\times \cdots \times \left[ n_d\right]$上的立方Hamming图$H(n_1,...,n_d,S)$的奇异自同态的存在性，其中$\left[ n\right]=\{1,...,n\}$是$\left[ n\right]^{d}$上著名的（立方）Hamming图的推广. $H$中的两个顶点相邻，如果它们的汉明距离位于集合$S$中。本文首先证明了对于整数$S=\{1,...,r\}$，$H(n,...,n,S)$的最小秩（其象的大小）的奇异自同态对应于$r$类的拉丁超立方体（最初由Kishen（1950）定义）.然后，我们将这些超立方体推广到$r$类的拉丁超立方体。我们讨论这些对象的存在，提供建设和计数拉丁超长方体的小参数。在最后一部分中，我们将$r$类拉丁超立方体与MDS码之间的自然联系推广到$r$类拉丁超立方体，从而定义了混合码的MDS码，即超立方体上的码。在这里，我们证明了图自同态，拉丁超长方体和混合MDS码之间的相互依存关系。
2016-02-17 math.CO
On multifold perfect codes and some other completely regular codes in the Doob graphs and quaternary Hamming graphs
本文研究 Doob 图与四元 Hamming 图中的完全 2-着色，刻画多重 1-完全码参数，并在标准条件下证明大参数时完全 (b,c)-着色存在，同时构造覆盖半径为 2 的完全正则码。
2023-12-12 math.CO
Hamming weights and Betti numbers of Stanley-Reisner rings associated to matroids
对于有限域上的每个线性码，我们将其奇偶校验矩阵的拟阵联系起来。我们展示了在何种程度上可以确定广义汉明重量的代码（或定义为一般的拟阵）从各种各样的贝蒂数的斯坦利-Reisner环的单纯复形相关联的拟阵。
2013-01-02 math.CO
Completely regular codes in graphs covered by a Hamming graph
Hebei Normal University（河北师范大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
本文在GF(2)和GF(3)上的Cayley图中寻找完全正则(CR)码，利用图覆盖关系在Hamming图中发现了多个新参数的CR码，并通过递归构造生成无限序列。
2026-10-16 math.CO
Connectivity and edge-bipancyclicity of hamming shell
从n-立方体Qn中删除长度为n的汉明码所得到的任何图称为汉明码壳。众所周知，Hamming壳是点传递、边传递、保持距离的。此外，它是哈密尔顿的和连通的。本文证明了Hamming壳是边双泛圈的（n-1）-连通的.
2018-04-30 math.CO
The fourth smallest Hamming weight in the code of the projective plane over $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$
设$p$是素数，$C_p$表示${\mathbb Z}/p\mathbb{Z}$上的射影平面的$p$元码.众所周知，$C_p$中非零字的最小权是$p+1$，Chouinard证明了，对于$p \geq 3$，第二和第三最小权是$2p$和$2p+1$。2007年，Fack et.对于$p\geq 5$，确定这三个权重的$C_p$的所有字。在本文中，我们恢复所有这些结果，并证明，对于$p \geq 5$，$C_p$的第四个最小重量是$3p-3$。确定权重为$3p-3$的所有单词的问题仍然是开放的。
2017-12-20 math.CO
Jacobi polynomials and harmonic weight enumerators of the first-order Reed--Muller codes and the extended Hamming codes
本文研究并给出了一阶Reed--Muller码与扩展Hamming码的调和重量枚举器及Jacobi多项式，并据此证明了这些码中不存在组合4-设计。
2024-01-02 math.CO math.NT
A new upper bound for codes with a single Hamming distance
本文利用线性代数界方法，证明了具有单一 Hamming 距离的集族大小的一个新上界。
2024-09-12 math.CO math.MG
On transitive uniform partitions of F^n into binary Hamming codes
本文研究了Galois域$GF(2)$上维数为$n$的向量空间$F^n$到汉明码陪集的传递性均匀划分.将$F^n$划分为长度为$n$的汉明码$H_0,H_1,\ldots,H_n$的陪集的划分$P^n= \{H_0,H_1+e_1,\ldots,H_n+e_n\}$被称为是均匀的，如果任何两个码$H_i$和$H_j$的交集，$i,j\in \{0,1,\ldots,n \}$是常数，这里$e_i$是权重为$1$的$F^n$中的二进制向量，在第$i$个坐标位置中为1。对任意的$n=2^m-1$，$m>4$，我们找到了一类非等价的$2$ -传递均匀分拆，把$F^n$划分为Hamming码的陪集.
2019-04-02 cs.DM math.CO
Solving a Conjecture on Identification in Hamming Graphs
自Karpovsky、Chakrabarty和Levitin在1998年提出图中的识别码以来，图中的识别码得到了广泛的研究。特别地，关于二元超立方体，即Hamming图$K_2^n$，已有很多结果。2008年，Gravier等人开始研究$K_q^2$中的识别。Goddard和Wash在2013年研究了一般Hamming图$K_q^n$中的识别码。例如，他们指出，任何$q$和$n\geq3$的$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-1}$。此外，他们还强调了$γ^{ID}(K_q^3)=q^2$。在这篇文章中，我们表明，$γ^{ID}(K_q^3)\leq q^2-q/4$当$q$是一个4的权力，反驳了猜想。我们的方法是基于递归使用合适的设计。Goddard和Wash也给出了下面的下限$γ^{ID}(K_q^3)\ge q^2-q\sqrt{q}$。我们将此界改进为$γ^{ID}(K_q^3)\ge q^2-\frac{3}{2} q$。用于获得识别码的下限的常规方法在这里没有帮助。因此，我们提供了一个不同的技术戈达德和华盛顿的方法的建设。此外，当$q$是素数幂时，我们将上述的界$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-1}$改进为$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-k}$（对于$n=3\frac{q^k-1}{q-1}$）.对于这个界，我们利用有限域上合适…
2018-05-04 math.CO
On the extention of propelinear structures of Nordstrom-Robinson code to Hamming code
如果一个码的自同构群包含一个子群，该子群规则地作用于该码的码字上，则称该码为Propelinear码，这称为该码上的Propelinear结构。本文给出了Nordstrom-Robinson码的螺旋线性结构的分类，并讨论了将这些结构推广到包含Nordstrom-Robinson码的Hamming码的螺旋线性结构的问题。该结果部分依赖于本文给出的通过Fano平面将Hamming码划分为具有Nordstrom-Robinson码参数的码的表示。
2015-12-10 cs.IT math.CO math.IT
Linear and group identifying codes in Hamming Graphs
COEP Technological University（COEP理工大学）；Savitribai Phule Pune University（萨维特里拜·普莱浦那大学）
本文研究了汉明图中线性识别码和群识别码的性质，确定了最小规模的群识别码和线性识别码，并验证了关于三维汉明图的猜想。
2026-03-19 math.CO
A partition of the hypercube into maximally nonparallel Hamming codes
利用Gold映射，我们构造了一个超立方体的Hamming码陪集的划分，使得每两个陪集对应的Hamming码是最大不平行的，也就是说，它们的相交基数尽可能小，以允许不相交的陪集.
2016-04-29 cs.DM cs.IT math.CO
New families of completely transitive codes and distance transitive graphs
本文提出了新的线性二元完全传递码的无限族。它们具有覆盖半径$ρ= 3$和4，并且分别是长度为$n=2^m-1$和$2^m$的二进制汉明码和二进制扩展汉明码的一半，其中$m$是偶数。从这些新的完全传递码，以通常的方式，即，作为陪集图，构造了直径分别为3和4的距离传递陪集图的无限族的新表示。
2013-04-08 math.CO
Alphabet-Almost-Simple 2-Neighbour Transitive Codes
设$X$是Hamming图$H(m,q)$的全自同构群的一个子群，$C$是Hamming图的顶点子集.我们说$C$是一个\emph{$(X,2)$-neighbour transitive code}，如果$X$在$C$上是传递的，以及$C_1$和$C_2$，顶点集是距离$1$和$2$的距离。本文首先对$(X,2)$ -邻传递码进行分类，其中$X$对Hamming图的元素的作用具有非平凡核.存在$X$的子群，其在字母表上具有$2$ -传递作用;因此这个作用是几乎简单的或仿射的。如果这个$2$传递作用几乎是简单的，我们说$C$是\emph{alphabet-almost-simple}。本文的主要结果是：唯一具有最小距离的字母几乎单$(X,2)$邻传递码$δ\geq 3$是$H(3,q)$中的重复码，其中$q\geq 5$ .
2016-09-07 math.CO
Forbidding Exactly One Hamming Distance
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS-R029-C4)（韩国基础科学研究院）
研究固定整数s≥2和偶数r≥2时，布尔立方体上的r距离图H_r(n)的s独立数的渐进行为，证明其为Θ(2^n /n^{r/2})。通过极值问题和代数构造得出上下界。
2026-04-07 math.CO
On the existence of some completely regular codes in Hamming graphs
本研究解决汉明图中完全正则码的小参数存在性问题，证明多组参数码的存在性与不存在性，找到四元汉明码补集的4-团划分以构造覆盖半径1的完全正则码，还证伪了一组假定参数码在特定汉明图中的存在性。
2023-12-13 cs.DM math.CO
On the Classification of Binary Completely Transitive Codes with Almost-Simple Top-Group
汉明度量中的码$C$，即是汉明图$\varGamma=H(m,q)$的顶点集$V\varGamma$的子集，产生自然距离划分$\{C,C_1,\ldots,C_ρ\}$，其中$ρ$是$C$的覆盖半径。如果自同构群$\rm{Aut}(C)$传递地作用在集合$C$、$C_1$、\ldots、$C_ρ$中的每一个上，则这样的码$C$被称为完全传递的。如果$ρ\geq 2$和$\rm{Aut}(C)$传递地作用于$C$、$C_1$和$C_2$中的每一个，则代码$C$被称为$2$ -邻域传递。设$C$是二进制（$q=2$）Hamming图中的完全传递码，该图具有全自同构群$\rm{Aut}(C)$和最小距离$δ\geq 5$ .由此可知，$\rm{Aut}(C)$在Hamming图的顶点坐标上诱导出一个$2$ -齐次作用.本文的主要结果分类这些$C$，这诱导$2$ -齐次行动是不是一个仿射，线性或辛群。我们发现存在$13$类码，其中$4$类是非线性码.虽然大多数的代码是众所周知的，我们得到了一些新的结果。首先，构造了一个新的非线性完全传递码，以及一个相关的$2$ -邻域传递但不完全传递的非线性码。此外，还给出了几种码的完全传递性的新证明。此外，我们回答的问题，距离正则图的存在性有关的完全传递码出现在我们的主要结果。
2022-07-31 math.CO
The Service Rate Region of Hamming Codes
Indian Institute of Technology Roorkee（印度理工学院罗尔基）
本文利用超图理论研究系统与非系统二进制Hamming码的服务速率区域，给出系统节点子集数据符号服务速率之和的上界及其可实现性，并以生成矩阵奇重量列数限定非系统码的聚合服务速率。
2025-09-26 cs.IT math.CO math.IT
On the generalized Hamming weights of certain Reed-Muller-type codes
Beelen和M.仿射码的第$r$广义汉明重量的Datta。利用这个组合公式，我们给出了一个计算一类仿射码的$r$阶广义Hamming重量的简单公式.若$\mathbb{X}$是有限域上的一组投射点，则根据$\mathbb{X}$上相应的投射Reed-Muller型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量，确定了$\mathbb{X}$上Veronese型码及其对偶码的基本参数和广义Hamming重量.
2019-07-15 cs.IT math.AC math.AG
Optimal codes and arcs for the generalized Hamming weights
Universität Bayreuth（拜罗伊特大学）；Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences（保加利亚科学院数学与信息学研究所）；New Bulgarian University（新保加利亚大学）；Sofia University, Faculty of Mathematics and Informatics（索非亚大学数学与信息学院）
本文研究了广义汉明重量的最优码构造，通过几何方法证明了格里斯默界，并确定了低维下的最优二进制和三进制码参数。
2026-01-01 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Hamming weights of projective Reed--Muller-type codes over graphs
设$G$是一个连通图，$\mathbb{X}$是由$G$的关联矩阵的列向量定义的投影点在具有任意特征的域$K$上的集合.本文利用图论不变量确定了集合$\mathbb{X}$上Reed-Muller型码的广义Hamming重量。作为编码理论的一个应用，我们证明了如果$G$是非二部的，且$K$是${\rm char}(K)\neq 2$的有限域，则由$G$的关联矩阵的行生成的线性码的$r$阶广义Hamming重量是$G$的$r$阶弱边二部性.如果${\rm char}(K)=2$或$G$是二部码，我们证明了该码的第$r$个广义Hamming重量是$G$的第$r$个边连通度.
2019-08-16 cs.IT math.AC math.AG
Perfect Codes As Exact Minimizers Of Quadratic Discrepancy In q-ary Hamming Spaces
MIGAL–Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）；Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（基里亚特谢莫纳和加利利泰尔海大学）
该研究证明q元汉明空间中，当固定长度和基数存在完备码时，完备码是二次偏差的精确极小化元，其存在性等价于显式变分目标的达成。
2026-11-06 cs.IT math.CO math.IT
Vanishing ideals of binary Hamming spheres
我们考虑简化的代数范式（sANF）的布尔函数消失的汉明球面为中心的零和相关的sANF向量。我们表明，这个向量是周期性的，导致一个有效的计算sANF和特定的情况下的具体公式。此外，我们明确地提供了一个连接到二进制M{<$}bius变换的初等对称函数。最后，我们提出了一种基于多项式估计的方法来限制二元非线性码的最小距离。同样的方法可以用来计算二元线性码的最小距离和权重分布。
2021-12-17 math.AC math.CO
Hamming and Symbol-Pair Distances of Constacyclic Codes of Length $2p^s$ over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u, v]}{\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle}$
本文研究了有限非链环上长度为 $2p^s$ 的常循环码，确定了其汉明距离并完全获得了符号对距离。
2024-12-20 cs.IT math.CO math.IT
Evaluation codes and their basic parameters
本文的目的是给出评价码的广义Hamming重量的度公式，并给出这些重量的下界。特别地，我们给出了Reed-Muller型码的广义Hamming重量的度公式，确定了超单形上Toric码的最小距离，以及无平方赋值码的第一和第二广义Hamming重量.
2020-05-19 cs.IT math.AC math.AG
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Generalized Hamming weights of additive codes and geometric counterparts
Ghent University（根特大学）；University of Bayreuth（拜罗伊特大学）
研究加法码的加权哈明重量及几何对应物，确定最大和最小空间数目，给出参数界限和构造。
2026-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Bounds for DNA codes with constant GC-content
我们推导出理论上的上限和下界上的最大尺寸的DNA代码的长度为n与恒定的GC含量w和最小汉明距离d，无论有和没有额外的约束，任何码字和任何码字的反向互补之间的最小汉明距离至少是d。我们还显式地构造了比先前发表的最佳代码更大的代码，对于参数n，d和w的许多选择。
2004-02-26 math.CO q-bio.BM
Twisted Linearized Reed-Solomon Codes: A Skew Polynomial Framework
本文给出了秩和度量码的一个代数描述，即作为斜多项式环的商空间。这种方法同时推广了秩度量码的斜群代数设置和汉明度量码的多项式设置。这允许构造扭曲的线性Reed-Solomon码，一个新的家庭的最大和秩距离码扩展在同一时间Sheekey的扭曲Gabidulin码的秩度量和扭曲Reed-Solomon码的汉明度量。此外，我们还提供了Trombetti-Zhou构造的和秩度量的类似物，它也提供了一族最大和秩距离码。作为一个副产品，在极端情况下的汉明度量，我们得到了一个新的家庭加MDS码在二次域。
2021-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Geometric approach to the MacWilliams Extension Theorem for codes over modules
麦克威廉斯扩张定理指出，线性码的每个线性汉明等距都可以扩张到一个单项式映射。本文观察到模字母表上线性码的扩张定理的一个类似定理。描述了等距可拓性的几何方法。对于一个矩阵模字母表，我们找到了一个不可扩展的汉明等距存在的代码的最小长度。我们还证明了模字母表上MDS码的一个扩张定理。
2015-07-18 cs.IT math.CO math.IT
Quantitative Tiling Stability From Quadratic Discrepancy In Hamming Spaces
Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（泰尔海基里亚特谢莫纳和加利利大学）；MIGAL – Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）
该研究在汉明空间中证明了二次球偏差相关的铺砌缺陷稳定性，推导了不同参数下的系数，为非平凡完美码提供了稳定性保证，关联了偏差与球噪声的多种均匀性度量。
2026-11-06 cs.IT math.CO math.IT
Bounds on ordered codes and orthogonal arrays
我们得到新的估计的大小的代码和正交表的有序汉明空间（Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman空间）。我们还表明，有序的汉明计划，结合计划，描述组合的空间，给出的特征值的多变量Krawtchouk多项式，并建立他们的一些性质。
2009-07-10 cs.IT math.CO math.IT
Digit-Indexed q-ary SEC-DED Codes with Near-Hamming Overhead
University of Washington（华盛顿大学）
本文提出了一种基于数字索引的q元SEC-DED码，通过近汉明开销和简洁结构实现高效解码，同时支持可变长度编码和三元距离4变种。
2025-12-02 cs.IT math.CO math.IT
Linear Cutting Blocking Sets and Minimal Codes in the Rank Metric
这项工作调查的结构秩度量码的概念，从有限几何，最显着的$q$ -类似物的投影系统和阻塞集。我们还说明了如何将一个经典的汉明度量码的秩度量之一，在这样一种方式，各种秩度量性质自然转化为hommandy汉明度量的概念下，这种对应关系。最有趣的应用，我们的结果在于理论的最小秩度量码，我们介绍和研究从几个角度。我们的主要贡献是一个最小的秩度量码，一般存在的组合参数的基础上的结果，和一个明确的代码建设的一些参数集，使用的概念，分散的线性集的参数范围。在整个文件中，我们还显示和评论奇怪的类比/分歧之间的理论纠错码的秩和汉明度量。
2021-06-23 cs.IT math.CO math.IT
Shortest self-orthogonal embeddings of binary linear codes
Sogang University（首尔大学）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Central China Normal University（华中师范大学）
本文利用线性码的 hull 性质确定二元线性码的最短自正交嵌入长度，提出从汉明码构造自对偶码的算法，构造出多个最优自正交码及具新参数的 8 维码。
2026-09-04 cs.IT math.CO math.IT
An eigenvalue proof of Hegedüs's bound for codes with a single Hamming distance
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济学系与数学科学及应用中心）；a16z crypto（a16z加密）
本文给出Hegedüs界的一个简洁线性代数证明：若子集族中所有对汉明距离为固定值λ≠(n+1)/2，则族大小至多为n。该证明通过Gram矩阵的特征值而非行列式，并推广到q元字母表。
2026-06-24 cs.IT math.CO math.IT
On multifold packings of radius-1 balls in Hamming graphs
汉明度量空间中的$λ$ -折叠$r$ -填充（多半径- $r$覆盖）是码$C$，使得以$C$为中心的半径- $r$球覆盖空间的每个顶点不超过（分别不少于）$λ$次.公知的$r$纠错码对应于$λ=1$的情况，而通常多重$r$包装与列表可解码码有关。（a）给出了$q$元$2$ -折叠$1$ -填充的最大尺寸的渐近界，（b）证明了长度为$n$的$q$元距离- $2$ MDS码是最优$n$ -折叠$1$ -填充，如果$q\ge 2n$ ;（c）导出二元$λ$ -折叠$1$ -填充的大小的上限和二元多重半径- $1$覆盖的大小的下限（d）将所有最佳二元$2$ -折叠$1$ -填充分类到长度$9$，特别地，建立长度$9$的二元$2$ -折叠$1$ -填充的最大大小$96$;（e）证明了$1$ -完全单硝酸根的一些性质，它是$2$ -折叠$1$ -填充的特殊情况。保留字：Hamming图，多重球填充，双重球填充，列表可解码码，多重覆盖，完全正则码，线性规划界
2020-05-13 cs.DM cs.IT math.CO
Two Approaches to the Construction of Deletion Correcting Codes: Weight Partitioning and Optimal Colorings
本文从图论的观点出发，研究了在二进制字母表上构造删除纠错码的问题。$n$位$s$删除校正码是特定图中的独立集。我们建议构造这样一个码采取工会的许多恒定汉明码重量。这导致代码具有额外的结构。在常汉明重量导出子图中搜索码比搜索原始图在计算上更容易。我们证明了一个下界的码本的大小构造这种方式为任何数量的删除，并表明，它只是一个很小的因素低于相应的下限不受限制的代码。在单删除的情况下，我们找到了常数汉明重量诱导子图的最优染色。我们证明了所得到的代码是渐近最优的。我们讨论了代码和着色之间的关系，并观察到VT码是最佳的着色意义。证明了删除通道图色数的一个新下界。与此界限相匹配的删除通道图的着色不一定产生渐近最优代码。
2012-11-16 cs.DM cs.IT math.CO
