A new upper bound for codes with a single Hamming distance
Gábor Hegedüs
本文利用线性代数界方法，证明了具有单一 Hamming 距离的集族大小的一个新上界。
在这篇短文中，我们给出了具有单一 Hamming 距离的集族大小的新上界。我们的证明是线性代数界方法的应用。
In this short note we give a new upper bound for the size of a set family with a single Hamming distance. Our proof is an application of the linear algebra bound method.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hegedus' Conjecture and Tighter Upper Bounds for Equidistant Codes in Hamming Spaces
本文研究Hamming空间中等距码的上界问题，围绕Hegedus猜想展开，旨在给出比已有结果更紧的界。
Upper bounds for the size of set systems with a symmetric set of Hamming distances
该研究针对汉明对称集合族（其汉明距离集合关于$n$对称）的规模问题，采用线性代数界方法，给出了这类集合族规模的紧上界。
Hamming Distance for Conjugates
设x，y是等长的字符串。x和y之间的汉明距离h（x，y）是x和y不同的位置的数量。如果x是y的循环移位，我们说x和y是共轭的。我们考虑f（x，y），共轭xy和yx之间的汉明距离。在一个二进制字母表上，f（x，y）总是偶数，并且必须满足另一个技术条件。相比之下，在一个长度为3或更大的字母表上，f（x，y）可以取0到|x| + |y|之间的任何值，除了1;此外，我们总是可以假设较小的字符串只有一种类型的字母。
A Generalized Hamming Distance of Sequence Patterns
我们定义序列模式的长度$n$和水平$\ell$是等价类的序列，$n$元素的集合的$\ell$整数符号$\{1,2,\ldots,\ell\}$没有限制的重复，其中的等价关系是由符号重新标记而不交换符号的位置。我们定义了一组$k$序列模式的长度$n$和水平$\ell$通过推广序列之间的汉明距离的距离。我们计算了长度为$n$和级别为$\ell$的$k$序列模式的最大距离，并演示了如何计算一对长度- $n$级别- $\ell$序列模式之间的精确距离。
Bi-Lipschitz Bijection between the Boolean Cube and the Hamming Ball
我们构造了一个从布尔立方体到等体积汉明球的双Lipschitz双射。更精确地说，我们证明了对于所有偶数n，存在从n维布尔立方体到嵌入在（n+1）维布尔立方体中的等体积汉明球的显式双射f，使得对于所有x和y，距离（x，y）/ 5 <=距离（f（x），f（y））<= 4距离（x，y），其中距离（，）表示汉明距离。特别地，这意味着汉明球是双李普希茨传递的。这一结果对Lovett和Viola [CC 2012]的一个开放问题给出了强烈的否定回答，他们在低级别复杂性类中的抽样分布的背景下提出了这个问题。概念上的含义是，在抽样分布的背景下证明下界的问题将需要一些新的想法，超出了Boppana [IPL 97]的基于灵敏度的结构结果。我们进一步研究了映射f，并证明了它（及其逆）在DLOGTIME-均匀TC 0中是可计算的，但在AC 0中不可计算。此外，我们证明，f是“近似本地”的意义上说，所有的，但最后一个输出位的f基本上是由一个单一的输入位。
Formulas and Upper Bounds for the Carath{é}odory Number of Hamming Graphs
设$G$是一个简单图，$S$是它的顶点的子集.我们说$S$是$P_3$ -凸的，如果每个顶点$v \in V(G)$在$S$中至少有两个邻居也属于$S$ . $S$的$P_3$ -壳集是包含$S$的$G$的最小$P_3$ -凸集。图$G$的Carathéodory数，记为$c(G)$，是最小整数$c$，使得对于$G$的每个子集$S \subseteq V(G)$和$P_3$ -壳中的每个顶点$p$，存在一个子集$F \subseteq S$，其$|F| \leq c$使得$p$属于$F$的$P_3$ -壳.本文给出了Hamming图的$P_3$ -Carathéodory数的上界和计算公式，Hamming图定义为$n$完全图的笛卡尔积.
The smallest eigenvalues of Hamming graphs, Johnson graphs and other distance-regular graphs with classical parameters
证明了Van Dam和Sotirov关于（距离- $j$）Hamming图的最小特征值的一个猜想和Karloff关于（距离- $j$）Johnson图的最小特征值的一个猜想.更一般地，我们研究了经典的$P$ -和$Q$ -多项式结合方案的关系图的最小特征值和第二大特征值的绝对值。
On subsets of the hypercube with prescribed Hamming distances
在极值组合学中，Kleitman的一个著名定理指出，$\{0, 1\}^n$中直径为$d$的二元向量的集合的基数至多为半径为$d/2$的汉明球的基数。本文通过对某些Hamming图仔细选择伪邻接矩阵，并利用独立数的Cvetković界，给出了Kleitman定理的一个代数证明.这种方法还允许我们证明几个扩展和推广的Kleitman定理，其他允许的距离集，特别是块连续整数，不一定线性增长与$n$。改进了Alon关于$\mathbb{F}_{p}^{n}$的差集与$\left\{0,1\right\}^{n}$非平凡相交的子集的定理.
Hamming Distances in Vector Spaces over Finite Fields
设$\mathbb{F}_q$是阶为$q$和$E\subset \mathbb{F}_q^d$的有限域，其中$4|d$ .使用傅里叶分析技术，我们证明，如果$|E|>\frac{q^{d-1}}{d}\binom{d}{d/2}\binom{d/2}{d/4}$，则$E$的点确定每个偶数$r$的海明距离$r$。
Semidefinite programming bounds for few-distance sets in the Hamming and Johnson spaces
本文研究了Hamming空间和Johnson空间中少数距离集的最大基数问题。我们为这个问题制定半定计划，并扩展了2011年的工作Barg-Musin和Musin-Nozaki。作为我们的主要结果，我们找到了新的参数，其中的最大尺寸的两个和三个距离集是已知的。
Quantum Chromatic Number of Subgraphs of Orthogonality Graphs and the Distance-2 Hamming Graph
本文研究了正交图子图和距离-2汉明图的量子色数，利用组合设计技术确定了它们的精确值。
Forbidding Exactly One Hamming Distance
研究固定整数s≥2和偶数r≥2时，布尔立方体上的r距离图H_r(n)的s独立数的渐进行为，证明其为Θ(2^n /n^{r/2})。通过极值问题和代数构造得出上下界。
Maximal $m$-distance sets containing the representation of the Hamming graph $H(n,m)$
在欧几里得空间$\mathbb{R}^d$中的集合$X$称为$m$ -距离集合，如果$X$中两个不同点之间的欧几里得距离的集合具有大小$m$。如果在$\mathbb{R}^d$中不存在矢量$x$使得$X$和$\{x\}$的并集仍然只有$m$距离，则称$\mathbb{R}^d$中的$m$距离集$X$是最大的。Bannai-Sato-Shigezumi（2012）研究了包含Johnson图$J(n,m)$的欧几里得表示的最大$m$ -距离集。在本文中，我们考虑同样的问题的汉明图$H(n,m)$。$H(n,m)$的欧几里德表示是$\mathbb{R}^{m(n-1)}$中的$m$距离集。我们证明了最大$n$是$m^2 + m - 1$，使得$H(n,m)$的表示不是最大的$m$ -距离集。此外，我们分类的最大$m$距离集，其中包含的表示$H(n,m)$为$m\leq 4$和任何$n$。我们还分类的最大$2$ -距离集在$\mathbb{R}^{2n-1}$，其中包含的表示$H(n,2)$的任何$n$。
$s$-Elusive Codes in Hamming Graphs
码是汉明图的顶点集的子集。码的$s$ -邻居的集合是距其最近码字的汉明距离为$s$的所有顶点的集合。一个码$C$是$s$ -难以捉摸的，如果存在一个不同的码$C'$，它在汉明图的全自同构群下等价于$C$，使得$C$和$C'$具有相同的$s$ -邻居集。本文证明了$s$ -难以捉摸码的最小距离至多为$2s+2$，且最小距离至少为$2s+1$的$s$ -难以捉摸码产生具有一定参数的$q$ -元$t$ -设计.这导致了以下的构造：$1$ -难以捉摸且完全传递的码的无限族，$2$ -难以捉摸的码的无限族，以及$3$ -难以捉摸的码的单个示例。还提供了一些关于难以捉摸的代码的开放性问题的答案。
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
On Robust Colorings of Hamming-Distance Graphs
定义$H_q(n,d)$为顶点集为${\mathbb Z}_q^n$且两个顶点的汉明距离至少为$d$的图.这些图的色数的各种参数$(q,n,d)$。对于图$H_2(n,n-1)$的$4$ -着色，引入了鲁棒性的概念.它是基于沿边交换颜色而不破坏着色适当性的公差。给出了$H_2(n,n-1)$的最大鲁棒$4$ -着色的显式描述.
The computational complexity of calculating partition functions of optimal medians with Hamming distance
本文证明了用Hamming距离计算二进制串的最优中值的配分函数对于多个权函数是P-完全的.当权重函数是阶乘函数时的情况在生物信息学中有应用。在这种情况下，配分函数在生物信息学的几种模型下计算星树上最简约的进化情景。将所得结果推广到二叉树，并证明了在任意二叉树上，在生物序列的替换模型和基因组重排的单切割或连接模型下，计算最简约进化方案也是P-完全的.
An upper bound on the number of relevant variables in a bounded degree Boolean function on the Hamming graph
本文证明了 Hamming 图上有限度布尔函数相关变量数量的上界，并针对 q=3 至 7 给出了改进的常数因子。
On the minimum Hamming distance between vectorial Boolean and affine functions
本文研究向量布尔函数与仿射函数的Hamming距离，证明了2017年关于该度量的猜想上界对两类向量bent函数成立，改进了单项式函数的已知界，并计算了维数不超过9的APN函数到仿射函数的精确距离。
A characterization of Johnson and Hamming graphs and proof of Babai's conjecture
距离正则图表示论的一个重要结果是对具有$μ\geq 2$和第二大特征值$θ_1= b_1-1$的距离正则图进行分类。本文给出了几何距离正则图在（较弱）近似特征值约束$θ_1\geq (1-\varepsilon)b_1$下的一个分类。作为应用，我们证实了Babai关于距离正则图的自同构群的最小度的猜想。
Hamming and Symbol-Pair Distances of Constacyclic Codes of Length $2p^s$ over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u, v]}{\langle u^2, v^2, uv-vu\rangle}$
本文研究了有限非链环上长度为 $2p^s$ 的常循环码，确定了其汉明距离并完全获得了符号对距离。
Weak isometries of the Boolean cube
考虑由配备海明距离的$n$维布尔立方体组成的度量空间$\mathcal{C}$。$\mathcal{C}$的弱等距是$\mathcal{C}$的保持给定汉明距离子集的置换。在\cite{Krasin} Krasin表明，在大多数情况下，保持一个单一的汉明距离部队弱等距是等距。在这篇文章中，我们研究那些弱等距，不自动等距，提供了一个完整的分类弱等距$\mathcal{C}$。
Binary necklaces with minimum nontrivial rotational Hamming distance 2
本文分类并计数了最小非平凡旋转汉明距离为2的二进制项链，给出了半转、单对和子群模式类的闭式公式以及|D_2(n)|的显式Möbius-欧拉除数求和公式。
An efficient dual sampling algorithm with Hamming distance filtration
最近，一个框架考虑RNA序列和RNA二级结构的配对，导致一些信息论的观点如何在RNA序列中编码的语义可以推断。在这种情况下，配对自然产生于RNA二级结构的能量模型。在配对中固定序列产生RNA能量景观，其分配函数由麦卡斯基尔发现。双重地，固定结构诱导序列的能量景观。后者已被认为是设计更有效的反折叠算法。我们在这里提出的汉明距离过滤，双分区函数，连同玻尔兹曼采样器使用新的动态编程例程的循环为基础的能量模型。该算法的时间复杂度为$O(h^2n)$，其中$h,n$分别为汉明距离和序列长度，降低了采样器的时间复杂度，文献中已有$O(n^2)$的报道。然后，我们提出了两个应用程序，第一个是在自然序列结构对microRNA的进化和第二个构建中性路径的背景下。前者研究序列-结构对的反向折叠率（IFR），通过汉明距离过滤，观察到这样的对朝着更高水平的鲁棒性发展，即，增加IFR。后者是一种构造中性路径的算法：给定一个神经网络中的两个序列，我们使用采样器来构造连接它们的短路径，这些短路径由所有包含在神经网络中的序列组成。
Quasihomomorphisms from the integers into Hamming metrics
一个函数$f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}^n$是一个$c$ -拟同态，如果$f(x+y)$和$f(x)+f(y)$之间的汉明距离对于所有$x,y \in \mathbb{Z}$至多是$c$.我们表明，任何$c$ -拟同态的距离最多有一些常数$C(c)$到一个实际的群同态，这里$C(c)$只依赖于$c$，而不是对$n$或$f$。这给出了一个积极的回答一个特殊情况下提出的问题Kazhdan和齐格勒。
Vanishing ideals of binary Hamming spheres
我们考虑简化的代数范式（sANF）的布尔函数消失的汉明球面为中心的零和相关的sANF向量。我们表明，这个向量是周期性的，导致一个有效的计算sANF和特定的情况下的具体公式。此外，我们明确地提供了一个连接到二进制M{<$}bius变换的初等对称函数。最后，我们提出了一种基于多项式估计的方法来限制二元非线性码的最小距离。同样的方法可以用来计算二元线性码的最小距离和权重分布。
On the $Q$-polynomial property of the full bipartite graph of a Hamming graph
本文证明了由Hamming偏序集的Hasse图导出的图具有$Q$-多项式性质，填补了此前对衰减空间偏序集研究中的空白。
Improved Lower Bound for Locating-Dominating Codes in Binary Hamming Spaces
本文研究二元Hamming空间$\mathbb{F}^n$中的位置控制码。自从Slater和Rall在20世纪80年代提出定位控制码以来，定位控制码得到了广泛的研究。它们是适合于区分图中顶点的控制集。Hamming空间中的控制集和位置控制码已经在多篇文章中得到了研究。在此之前，Honkala等人（2004）已经给出了二元Hamming空间中位置控制码的一个下界。在本文中，我们改进了所有值$n\geq10$的下界。特别是，当$n=11$，我们设法提高以前的下界从$309$到$317$。该值非常接近$320$的当前最佳已知上界。
Burning numbers via eigenpolytopes -- Hamming graphs, Johnson graphs, and halved cubes
该研究针对汉明图、约翰逊图和半立方体图的燃烧数问题，利用特征多面体1-骨架与原图同构的性质给出上下界，并基于Alon的超立方体燃烧数研究思想，提出特征多面体动态搜索算法寻找未燃烧顶点。
The number of maximal independent sets in the Hamming cube
令$Q_n$是$n$维汉明立方体，而$N=2^n$ .我们证明了$Q_n$中的极大独立集的个数是渐近的\[2n2^{N/4},\]，正如Ilinca和第一作者在Duffus，Frankl和Rödl的一个问题中所证明的那样.该值是一个自然的下界，来自极大独立集和诱导匹配之间的连接。证明它也是一个上界借鉴了各种工具，其中“稳定性”的结果，极大独立集计数和旧的和新的结果等周行为$Q_n$。
The sequence reconstruction problem for permutations with the Hamming distance
本文研究了Hamming距离下排列的序列重构问题，通过在对称群上定义Cayley图并分析其性质，求出了$d=2r$时两度量球最大交集的精确值，并给出了$d=2r-1$时的下界。
Avoiding right angles and certain Hamming distances
在本文中，我们表明，避免直角的$\mathbb{F}_q^n$的子集，即不同的矢量$x,y,z$，使$x-z$和$y-z$相互垂直的最大可能的大小是最多$O(n^{q-2})$。这改进了以前最有名的界限，由于Naslund \cite{Naslund}和驳斥了一个猜想葛和上官\cite{Ge}。给出了$n^{q/3}$的下界。它还表明，$\mathbb{F}_q^n$避免三角形与所有直角的子集可以有大小最多$O(n^{2q-2})$。此外，渐近紧界给出的最大可能的大小的子集$A\subseteq \mathbb{F}_q^n$的$x-y$是不自正交的任何不同的$x,y\in A$。确定了$q=3$和$n\equiv 2\pmod {3}$的确切答案。我们的方法也可以用来限制一个二进制码的最大可能的大小，其中没有两个码字的汉明距离可以被一个固定的素数$q$整除。我们的下限和上限是渐近紧的，在无限多的情况下都是尖锐的。
Bootstrap percolation on a generalized Hamming cube
研究了在具有顶点集V={0,1}^n且边连接汉明距离为1,2,…,k的图上的r-邻居bootstrap渗流过程，确定了r=2,3时渗流临界概率的渐进行为，并在确定性设定下获得了k≥2时最小渗流集大小的多个结果。
New families of completely transitive codes and distance transitive graphs
本文提出了新的线性二元完全传递码的无限族。它们具有覆盖半径$ρ= 3$和4，并且分别是长度为$n=2^m-1$和$2^m$的二进制汉明码和二进制扩展汉明码的一半，其中$m$是偶数。从这些新的完全传递码，以通常的方式，即，作为陪集图，构造了直径分别为3和4的距离传递陪集图的无限族的新表示。
An upper bound on the number of relevant variables for Boolean functions on the Hamming graph
本文利用Fourier谱约束，证明了 $\mathbb{Z}_q^n$ 上Boolean函数及Hamming图均等2-划分的相关变量数上界。
The Size of the Intersection of $q$-ary Hamming Balls
针对DNA存储中多汉明球交大小问题，给出精确公式，并分析大n下三球交最大化的充要条件。
A moment ratio bound for polynomials and some extremal properties of Krawchouk polynomials and Hamming spheres
令$p \ge 2$。我们改进了布尔立方体$\{0,1\}^n$上的次数为$s$的多项式$f$的界$\frac{\|f\|_p}{\|f\|_2} \le (p-1)^{s/2}$，它来自于超压缩性，用$p$和$s$的显式二元函数代替这个不等式的右边，对于任何$p > 2$和$s > 0$，它小于$(p-1)^{s/2}$。我们表明，新的界限是紧的，在一个较小的顺序因素，为Krawchouk多项式的程度$s$。这意味着Krawchouk多项式和汉明球（等价于汉明球）的几个近似极值性质。特别是，Krawchouk多项式（几乎）在所有相同次数和$\ell_2$范数的多项式中具有最重的尾部（这必须小心解释）。汉明球面具有以下近似的边等周性质：对于所有$1 \le s \le \frac{n}{2}$和所有偶数距离$0 \le i \le \frac{2s(n-s)}{n}$，半径为$s$的汉明球面在$O(i)$的乘法因子内包含尽可能多的距离为$i$的点对，在相同大小的集合中（对于一般距离有一个类似的，但稍微弱一些，稍微复杂一些的要求）。这也意味着，汉明球是（几乎）稳定的噪音之间的集合相同的大小。在编码理论中，这意味着在所有相同速率的二进制码中，汉明球（相当于汉明球）具有最大的未检测到错误的概率。我们还描述了一个家庭的超压缩不等式$\{0,1\}^n$上的功能，提高了“通常”的“$q \r…
Entropy Distance
受随机线性码方法的启发，有限域上向量空间中的一个新距离被定义为汉明球的“表面积”的对数，其半径是对应的汉明距离。由于它与熵函数有着密切的联系，所以被称为熵距离。证明了熵距离对于非二元域是一个度量，对于二元域是一个伪度量。线性码的熵距离被定义为码的不同码字之间的最小熵距离。类比的吉尔伯特界，汉明界，和辛格尔顿界的最大尺寸的线性代码的长度和熵距离的代码。此外，作为与无损联合信源-信道编码相关的一个重要性质，定义了线性编码器的熵距离。在给定输入输出向量空间维数的情况下，得到了线性编码器的最大熵距离的严格上界和下界。
An eigenvalue proof of Hegedüs's bound for codes with a single Hamming distance
本文给出Hegedüs界的一个简洁线性代数证明：若子集族中所有对汉明距离为固定值λ≠(n+1)/2，则族大小至多为n。该证明通过Gram矩阵的特征值而非行列式，并推广到q元字母表。
On words that nearly $θ$-commute
研究当两个等长词\(x\)、\(y\)满足\(xy\)与\(\theta(y)x\)的汉明距离为1时的性质，给出此类\(x\)、\(y\)的完整刻画，引入二元关系\(R_\theta\)并讨论相关集合性质。
The Helly number of Hamming balls and related problems
本文证明了半径受限的Hamming球的Helly定理变体，指出任意至多$2^{t+1}$个球子族有公共点即可保证全族有公共点，该界紧致且不依赖于环境空间维数。
The Complexity Classes of Hamming Distance Recoverable Robust Problems
本文研究了汉明距离可恢复鲁棒问题的复杂性，证明其为Σ^P_3完全，并扩展至多阶段问题的Σ^P_{2m+1}完全性。
The Service Rate Region of Hamming Codes
本文利用超图理论研究系统与非系统二进制Hamming码的服务速率区域，给出系统节点子集数据符号服务速率之和的上界及其可实现性，并以生成矩阵奇重量列数限定非系统码的聚合服务速率。
Resolvability of Hamming Graphs
本文用受约束线性系统刻画 Hamming 图可分辨性，提出 ILP 快速评估与 Gröbner 基确定性判定方法，并在八肽空间找到大小为 77 的可分辨集。
Upper bound on list-decoding radius of binary codes
考虑一个给定相对半径的汉明球的填充问题，该问题的约束是它们覆盖周围汉明空间的任何点，且重数至多为$L$。对于奇$L\ge 3$的任何这样的包装率的渐近上界被证明。所得的界改进了最著名的界（由于Blinovsky'1986）低于一定阈值的速率。方法是Ashikhmin，Barg和Litsyn的线性规划思想（以前用于改善Blinovsky对$L=2$的估计）和Blinovsky的拉姆齐理论技术的叠加。作为一个应用，它表明，对于所有奇数$L$的斜率的速率半径权衡是零，在零速率。
A note on the distinct distances problem over finite fields
研究Hamming度量下Erdős不同距离问题的有限域类比，证明了紧的距离下界，并探讨了彩虹集的存在性及显式构造。
Lower bounds on the minimum average distance of binary codes
推导了二进制码的最小平均汉明距离的新下界。使用线性规划方法得到的界限。
Channel Metrization
我们提出了一种算法，给定一个通道，确定是否有一个距离，使最大似然解码器与最小距离解码器相一致。我们还表明，任何度量，直到解码等价，可以等距嵌入到超立方体的汉明度量，因此，在解码方面，汉明度量是普遍的。
Optimal codes and arcs for the generalized Hamming weights
本文研究了广义汉明重量的最优码构造，通过几何方法证明了格里斯默界，并确定了低维下的最优二进制和三进制码参数。
Levenshtein Graphs: Resolvability, Automorphisms & Determining Sets
我们引入Levenshtein图的概念，类似于Hamming图，但使用编辑距离而不是Hamming距离;特别是，Levenshtein图允许不同长度的底层字符串（节点）。我们刻画了这些图的各种性质，包括它们的测地距离与编辑距离相同的充分必要条件，它们的自同构群和决定数，以及它们的度量维数的上界。对于后者，我们构造了一个解析集组成的两个运行字符串和一个算法，该算法计算的编辑距离之间的字符串长度$k$和任何单运行或两个运行字符串在$O(k)$操作。
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