arXiv 2402.079442024-02-09math.NT

关于 Hecke 特征形式非零 Fourier 系数的最大素因数

On the largest prime factor of non-zero Fourier coefficients of Hecke eigenforms

Sanoli Gun, Sunil L Naik

发表信息：: Forum Mathematicum, vol. 36, no. 1, 2024, pp. 173-192
DOI：: 10.1515/forum-2023-0050

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AI总结：

本文研究了 Ramanujan tau 函数及非 CM 规范化 Hecke 特征形式的非零 Fourier 系数的最大素因数，证明了其下界估计，改进了前人工作。

摘要：

设 $τ$ 表示 Ramanujan tau 函数。人们关注 $τ$ 函数可能的素数值。由于 $τ$ 是积性的，且 $τ(n)$ 为奇数当且仅当 $n$ 为奇平方数，我们只需考虑素数 $p$ 和自然数 $n \geq 1$ 的 $τ(p^{2n})$。这是个相当精细的问题。在此方向上，我们证明对于任意 $ε> 0$ 和整数 $n \geq 1$，$τ(p^{2n})$ 的最大素因数记为 $P(τ(p^{2n}))$，对几乎所有素数 $p$ 满足 $$ P(τ(p^{2n})) ~>~ (\log p)^{1/8}(\log\log p)^{3/8 -ε} $$。这改进了 Bennett, Gherga, Patel 和 Siksek 的工作。我们的结果也适用于任何具有整数 Fourier 系数的非 CM 规范化 Hecke 特征形式。

英文摘要：

Let $τ$ denote the Ramanujan tau function. One is interested in possible prime values of $τ$ function. Since $τ$ is multiplicative and $τ(n)$ is odd if and only if $n$ is an odd square, we only need to consider $τ(p^{2n})$ for primes $p$ and natural numbers $n \geq 1$. This is a rather delicate question. In this direction, we show that for any $ε> 0$ and integer $n \geq 1$, the largest prime factor of $τ(p^{2n})$, denoted by $P(τ(p^{2n}))$, satisfies $$ P(τ(p^{2n})) ~>~ (\log p)^{1/8}(\log\log p)^{3/8 -ε} $$ for almost all primes $p$. This improves a recent work of Bennett, Gherga, Patel and Siksek. Our results are also valid for any non-CM normalized Hecke eigenforms with integer Fourier coefficients.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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