Constructive Discrepancy Minimization by Walking on The Edges
最小化集合系统的差异是组合数学中的一个基本问题。这一领域的基石之一是著名的六个标准偏差结果斯宾塞（AMS 1985）：在任何系统的n套在宇宙大小为n，总是存在一个着色，实现差异6 \sqrt{n}。Spencer的原始证明本质上是存在性的，并且没有给出一个有效的算法来找到这样的着色。最近，Bansal（FOCS 2010）的突破性工作给出了一个有效的算法，找到这样的着色。他的算法是基于一个SDP松弛的差异问题和一个聪明的舍入程序。在这项工作中，我们给出了一个新的随机算法，找到一个着色的斯宾塞的结果的基础上的限制随机游动，我们称之为“边行走”。我们的算法和它的分析只使用基本的线性代数，是“真正的”建设性的，因为它不呼吁存在的论点，给斯宾塞定理和部分着色引理的一个新的证明。
2012-10-11 cs.DM cs.DS math.CO
An abstract approach to polychromatic coloring: shallow hitting sets in ABA-free hypergraphs and pseudohalfplanes
本文的目的是给出一个新的，抽象的方法来覆盖分解和多色染色使用超图有序顶点集。我们介绍了一个抽象版本的框架Smorodinsky和Yuditsky，用于多色着色半平面，并将其应用到所谓的ABA-免费超图，这是一个推广的区间图。利用我们的方法，我们证明了（2k-1）-一致ABA-自由超图有多色k-染色，这是第二作者提出的一个问题。我们也证明了相同的超图上定义的点集的伪半平面。这些结果是最好的。对于由伪半平面定义的对偶超图和由伪半球定义的超图，我们只能证明稍弱的结果。我们还介绍了另一个新的概念，这似乎是重要的多色着色和epsilon-nets，浅碰集的调查。我们证明了，如果超图的超边是无包含的，则所有超图都有浅碰集。
2019-02-22 math.CO
Progressions and Paths in Colorings of $\mathbb Z$
$\textit{ladder}$是一个集合$S \subseteq \mathbb Z^+$，使得$\mathbb Z$的任何有限着色包含任意长的单色级数，在$S$中具有公差。Van der Waerden定理著名地断言$\mathbb Z^+$本身就是一个梯子。我们还讨论了梯子的变体，即$\textit{accessible}$和$\textit{walkable}$集，这是集$S$，使任何着色的$\mathbb Z$包含任意长（可访问集）或无限（可行走集）单色序列连续差异$S$。我们证明了上密度为1的集合是梯子和可行走的。我们还证明了所有具有无限色数的有向图都是可达的，并将稀疏集的可行走阶的界从3降到了2，使其变紧。
2017-06-06 math.CO
On Sequential Coloring of Graphs and its Defining Sets
本文在Tucker（1983）和Seb{Ign}（1992）的基础上，将图的顺序着色的概念推广到一个框架中，在这个框架中，算法可以使用从适当的强制结构中得到的着色规则库。在这方面，我们介绍了{ \it弱}和{ \it强序列定义数}的着色和作为主要结果，证明了一些基本性质后，我们表明，这两个参数是本质上不同的，它们的谱是非平凡的。此外，我们认为自然的问题有关的复杂性计算这些参数，我们表明，在各种情况下，这些问题是${\bf NP}$ -完整的。我们猜想，这一结果并不依赖于所有非平凡的情况下，规则库。
2008-12-29 math.CO
A note on extendable sets of colorings and rooted minors
本文将 DeVos 和 Seymour 关于平面图中 3-着色可扩展集合的结果推广到无 $K_{k+2}$ 子式且以 $X$ 为根的无 $K_{k+1}$ 子式图上的 $k$-着色情形。
2025-04-10 math.CO
Graph Homomorphisms Based On Particular Total Colorings of Graphs and Graphic Lattices
基于格的密码学不仅是为了挫败未来的量子计算机，也是全同态加密的基础。本文从图同态的优点出发，将图同态与图全染色结合起来，设计了一类新的图同态：全有色图同态、从集合到集合的图格同态、从集合到集合的每零图群同态。我们的图同态格是由图同态构成的。这些新的同态引出了一些图论问题，例如数串分解问题和图同态问题。
2020-05-05 math.CO
Reflections on the Erd\H {o}s Discrepancy Problem
我们考虑一些着色问题有关的著名的Erd \H {o}的离散问题。形式为$A_{s,k}=\{s,2s,\dots,ks\}$的集合，加上$s,k\in \mathbb{N}$，称为\emph{homogeneous arithmetic progression}。我们证明了对于每个固定的$k$，存在$\mathbb N$的$2$ -着色，使得每个集合$A_{s,k}$都是\emph{perfectly balanced}（集合$A_{s,k}$中红色元素和蓝色元素的个数至多相差1）.这促使反映各种限制版本的Erd \H {o}s'的问题，通过对参数$s,k$施加不同的限制。在一个稍微不同的方向，我们讨论了一个\emph{majority}问题的变体，其中每个集合$A_{s,k}$都应该有多余的元素，颜色与集合中的第一个元素不同。这个问题导致，出乎意料的是，一些深层次的问题，完全乘法函数的值在$\{+1,-1\}$。特别是，是否存在这样一个函数的部分和从上界。
2020-05-28 math.CO
Hitting sets and colorings of hypergraphs
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯技术与经济大学）
本文研究了超图家族中最小边数保证存在多色着色的问题，即一种k色着色使得每个超边包含所有k个颜色类的顶点。同时探讨了该问题与c浅击中集的关系，即每个超边至少有一个顶点但最多c个顶点的集合。对于某些超图家族，确定了存在c浅击中集的最小c值，并研究了由给定集合差值的算术等差数列诱导的特殊超图家族，展示了几何超图家族与该问题的联系，并证明了差集与多色着色性的关系。
2026-05-19 math.CO
Extracting list colorings from large independent sets
我们将Kostochka和Yancey的核引理应用于其逻辑结论。其结果是一种神奇的方法，可以从一个独立集的存在性中得出关于列表着色（和在线列表着色）的结论。我们用它来证明在线列表着色的布鲁克斯定理的Ore度版本。图$G$中边$xy$的Ore度为$θ(xy) = d_G(x) + d_G(y)$。$G$的矿石级为$θ(G) = \max_{xy\in E(G)}θ(xy)$。我们证明了每个具有$θ\ge18$和$ω\le\fracθ{2}$的图都是在线$\left\lfloor \fracθ{2}\right\rfloor $可选择的。此外，我们还证明了在线列表着色无三角形图的一个上界：$χ_{OL}\leΔ+1-\lfloor\frac{1}{4}\lg(Δ)\rfloor$。最后，我们把Gallai树刻画为连通图$G$，它至少有$|G|$边没有独立集。
2015-12-26 math.CO
Independent sets, cliques, and colorings in graphons
研究了图子的色数与团数、分数色数、b-色数和分数团数的对应关系。建立了图子集上独立集多面体的一些基本性质，以及分数色数与分数团数之间的对偶性质。我们提出了完美图子的概念，并根据奇圈及其补圈的诱导密度来刻画它们。
2019-06-04 math.CO
Sidorenko's conjecture, colorings and independent sets
令$\hom(H,G)$表示从图$H$到图$G$的同态的数目。Sidorenko猜想断言，对于任何二分图$H$和图$G$，我们有$$\hom(H,G)\geq v(G)^{v(H)}\left(\frac{\hom(K_2,G)}{v(G)^2}\right)^{e(H)},$$，其中$v(H),v(G)$和$e(H),e(G)$分别表示图$H$和$G$的顶点和边的数目。本文对某些特殊图$G$证明了Sidorenko猜想：对$q$顶点上的完全图$K_q$，对$K_2$的一个端点上加了一个环，对$3$顶点上的一条路的每个顶点上加了一个环.这些情形对应于图$H$的计数着色、独立集和Widom-Rowlinson着色。例如，对于一个二分图$H$，$q$ -着色数$\textrm{ch}(H,q)$满足$$\textrm{ch}(H,q)\geq q^{v(H)}\left(\frac{q-1}{q}\right)^{e(H)}.$$事实上，我们将证明在后两种情况下（独立集和Widom-Rowlinson着色），图$H$不需要是二分的。在所有情况下，我们首先证明了一定的相关不等式，这意味着Sidorenko猜想在一个更强的形式。
2017-02-02 math.CO
Monochromatic products and sums in $2$-colorings of $\mathbb{N}$
我们表明，任何$2$ -着色的$\mathbb{N}$包含无限多个单色集的形式$\{x,y,xy,x+y\},$和更一般的单色集的形式$\{x_i,\prod x_i,\sum x_i: i\leq k\}$的任何$k\in\mathbb{N}.$沿的方式，我们证明了单色产品的总和定理，扩展Hindman定理和丰富多彩的变体，这一结果，在任何“平衡”着色。
2022-05-25 math.CO
Subgraph discrepancies in the complete graph
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Toronto（多伦多大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）
研究完全图中子图的不一致度，证明了对于特定图结构，其2着色下存在副本的不一致度下界。
2026-02-03 math.CO
Symmetric Set Coloring of Signed Graphs
有很多符号图着色的概念，它们都是通过给图的顶点赋予颜色来定义的。这些概念通常在使用的自反色数量上有所不同。我们引入了一个统一的概念，这种着色分配元素从对称集的顶点的符号图。本文的第一部分研究了自逆元个数固定的对称集上的元素的着色问题。我们证明了一个Brooks型定理和相应的色数的上界，根据基础图的色数。这些结果被用于第二部分，我们引入了符号图$(G,σ)$的对称集色数$χ_{sym}(G,σ)$。我们证明了对称集-色数给出了一个符号图的最小划分为独立集和非二部反平衡子图。特别是$χ_{sym}(G,σ) \leq χ(G)$。在最后一节中，我们表明，这些着色也可以形式化为$DP$ -着色。
2022-11-04 math.CO
The Komlos Conjecture Holds for Vector Colorings
差异理论中的Komlos猜想指出，对于某个常数K和任何列位于单位球中的m × n矩阵A，存在+/- 1向量x，使得Ax的无穷范数上界于K。这个猜想也蕴涵了关于有界度超图的差异性的Beck-Fiala猜想。在这里，我们证明了一个自然放松的科姆洛斯猜想：如果列A被分配单位实向量，而不是+/- 1，那么科姆洛斯猜想与K=1。我们的结果排除了基于半定规划的猜想的反例的可能性。它也开辟了一条道路，证明更紧密有效的（多项式时间可计算）上界的猜想使用半定规划技术。
2013-08-01 cs.DM math.CO
First-Fit coloring of Cartesian product graphs and its defining sets
本文研究笛卡尔积图在准字典序下的 First-Fit 着色，引入 descent 给出颜色数相等的充分条件，并证明不同准字典序下贪心定义集一致，还给出其最小基数的上下界。
2016-06-17 math.CO
On the coloring of 3-element subsets
本文证明了对于数$n = 8k+1$，使得$8k-1$是素数，存在{1，.，n}，使得任何集合$A, B: |A\cap B|=2$具有不同的颜色。
2017-01-10 math.CO
Between proper and square colorings of planar graphs with maximum degree at most four
Xi’an Jiaotong-Liverpool University（西交利物浦大学）；Xidian University（西安电子科技大学）
本文研究平面图最大度数不超过四的着色问题，证明了该类图可被(1,2^10)和(1^2,2^7)着色，为Wegner猜想提供新进展。
2026-04-01 math.CO
Combinatorial designs, difference sets and bent functions as perfect colorings of graphs and multigraphs
本文建立独立集、超图横截集与完美着色的等价关系，并证明组合设计、$q$-设计、差集、Hadamard 矩阵及 bent 函数可表示为特定图或多重图的完美着色。
2024-03-05 math.CO
Constructive Algorithms for Discrepancy Minimization
给定集合系统（V，S），V={1，.，n}且S={S1，...，Sm}，最小差异问题是找到V的2-着色，使得每个集合尽可能均匀地着色。在本文中，我们给出了第一个多项式时间算法的差异最小化，实现类似的边界已知存在使用所谓的熵方法。我们也给出了一个第一近似的结果的差异。我们算法的主要思想是通过让元素的颜色从0开始执行随机游走（以微小的增量），直到它们达到$-1$或$+1$，从而随着时间的推移产生着色。在每一个时间步的随机跳为各种元素相关的使用的解决方案，以一个半定的程序，其中该程序是由当前状态和熵的方法。
2010-08-09 cs.DM cs.DS math.CO
On the Color Discrepancy of Spanning Trees in Random and Randomly Perturbed Graphs
Nankai University（南开大学）
本文研究随机图和随机扰动稠密图中生成树的颜色偏差，证明在连通阈值以上的随机图及添加少量随机边的稠密图中，任意2-边着色下都存在具有较大颜色偏差的生成树。
2025-11-07 math.CO math.PR
A Generalization of Kochen-Specker Sets Relates Quantum Coloring to Entanglement-Assisted Channel Capacity
本文介绍了Kochen-Specker（KS）集的两种推广：投影KS集和广义KS集。然后，我们使用投影KS集的特征色数严格大于量子色数的所有图。在这里，量子色数是通过基于图着色的非局部博弈定义的。我们进一步表明，从这两个量之间的分离的任何图，可以构建一个经典的通道，其中纠缠援助增加了一次性零错误容量。作为一个例子，我们展示了一个新的家庭的经典信道的指数增长。
2012-07-24 math.CO quant-ph
Deterministic Discrepancy Minimization via the Multiplicative Weight Update Method
Spencer的一个著名定理表明，任何在$n$元素上具有$n$集合的集合系统允许差异着色$O(\sqrt{n})$。虽然最初的证明是非建设性的，但最近的进展带来了Bansal，Lovett和Meka以及Rothvoss的多项式时间算法。所有这些算法都是随机的，尽管Bansal的算法承认一个复杂的去随机化。我们提出了一个优雅的确定性的多项式时间算法的灵感来自Lovett-Meka以及乘法权重更新方法。该算法迭代地更新分数着色，同时控制分配给集合约束的指数权重。Meka的一个猜想表明Spencer界可以推广到对称矩阵。我们证明了$n \times n$矩阵是块对角的块大小$q$允许染色的差异$O(\sqrt{n} \cdot \sqrt{\log(q)})$。Bansal，Dadush和Garg最近给出了一个随机算法来在多项式时间内找到一个在$\lbrace{-1,1\rbrace}$中具有$\|Ax\|_{\infty} \leq O(\sqrt{\log n})$的条目的向量$x$，其中$A$是列长度至多为1的任何矩阵。我们表明，我们的方法可以用来确定性地获得这样一个向量。
2017-03-11 cs.CG cs.DM cs.DS
The determinant bound for discrepancy is almost tight
1986年，Lovasz，Spencer和Vesztergombi证明了集合系统F的遗传a差异的一个下界，该下界是由F的关联矩阵的平方子矩阵的行列式表示的. Hoffman的一个例子表明，这个界可以与herdisc（F）相差一个几乎log n阶的乘法因子，其中n是F的基集的大小。我们证明，它从来没有不同的超过O（（log n）3/2），假设|F|有界的多项式n。我们还证明了，如果这样的F是t个系统F_1，. . ., F_t，各遗传差异最大为D，则其方差（F）\leq O（t^（1/2）（log n）^（3/2）D）。对于t = 2，这几乎回答了一个Sos问题。证明是基于最近的算法结果Bansal，计算低差异着色使用半定规划。
2011-07-06 math.CO
A simplified disproof of Beck's three permutations conjecture and an application to root-mean-squared discrepancy
$n$顶点上的$k$ -置换族是由整数$1$到$n$的$k$置换的区间组成的集合系统。集合系统的差异是在所有红-蓝顶点着色中，系统中任何集合中红色和蓝色顶点数量之间的最大差异的最小值。2011年，Newman和Nikolov反驳了Beck的一个猜想，即任何$3$ -置换族的差异至多是一个与$n$无关的常数。本文给出了$3$ -置换族的Newman和Nikolov序列具有矛盾性$Ω(\log n)$的一个较简单的证明.我们还展示了一个序列的$6$置换家庭的均方根差异$Ω(\sqrt{\log n})$，也就是说，在任何红蓝顶点着色，期望的红色和蓝色的顶点之间的差异在一个区间内的系统的数量的平方根是$Ω(\sqrt{\log n})$。
2018-11-27 cs.DM math.CO
On the number of star-shaped classes in optimal colorings of Kneser graphs
如果一个集合族的所有成员都有一个公共点，则该集合族被称为星形。本文的主要目的是对James Aisenberg等人提出的以下问题提供否定的答案[Kneser-Lovasz着色原理的简短证明，信息与计算，261：296-310，2018。对于k=2的情况。
2022-02-07 math.CO
Maximum number of sum-free colorings in finite abelian groups
有限阿贝尔群$G$的子集$A$的$r$ -着色称为无和，如果它不诱导单色Schur三元组，即，三元组元素$a,b,c\in A$与$a+b=c$。我们研究了$G$的子集所允许的最大无和$r$ -着色数$κ_{r,G}$，并且我们的结果显示了$κ_{r,G}$与$G$的最大无和集之间的密切关系.给定一个足够大的$I$型阿贝尔群$G$，即，$|G|$有一个素因子$q$和$q\equiv 2\pmod 3$。对于$r=2,3$，我们证明了一个子集$A\subset G$达到$κ_{r,G}$当且仅当$A$是$G$的最大和自由集。对于偶数阶$G$，结果扩展到$r=4,5$，其中只有当$G$具有唯一的最大和自由集时，该现象才持续。相反，如果$G$中的最大自由和集不是唯一的，则$A$达到$κ_{r,G}$当且仅当它是两个最大自由和集的并集（在$r=4$的情况下）和三个（“独立”）最大自由和集的并集（在$r=5$的情况下）。我们的方法依赖于所谓的容器方法，并可以扩展到更大的$r$的情况下$G$是偶数阶，并包含足够多的最大和自由集。
2017-10-23 math.CO
Strong edge coloring of subcubic bipartite graphs
图$G$的强边染色是每一个色类都是$G$的导出匹配的真边染色. 1993年Brualdi和Quinn Massey提出了一个猜想，即不含$4$ -圈且两个部集$2$和$Δ$的度最大的二部图存在至多$Δ+2$色的强边染色.我们证明了这个猜想对具有$Δ=3$的图成立。我们还证实了Faudree等人提出的关于次立方二部图的猜想。
2013-12-06 math.CO
Sums, products, and exponents in two-colorings of the naturals
University of Cambridge（剑桥大学）；University of Oxford（牛津大学）；McGill University（麦吉尔大学）
该研究证明了在自然数双色染色中，存在特定结构的单色子集，揭示了颜色分配下数学结构的不变性。
2025-12-10 math.CO
Total coloring and efficient domination applications to non-Cayley non-Schreier vertex-transitive graphs
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
本文研究了非凯莱非施雷耶顶点传递图的全着色和有效支配集的构造方法，并推广了Dejter-Serra关于此类图E集的研究。
2026-01-23 math.CO
Maximum average degree and relaxed coloring
如果$V(G)$可划分为$b$独立集$O_1,O_2,\ldots,O_b$和$a$集$D_1, D_2,\ldots, D_a$，且$D_1, D_2,\ldots, D_a$的导出图的最大度至多为$d$，则称一个图是$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$的$a$和$0$的$b$的$(d, d, \ldots, d, 0, \ldots, 0)$ -可着色图.图$G$的最大平均度$mad(G)$是$G$的所有子图的最大平均度。对非负整数$a, b$，证明了若$mad(G)< \frac{4}{3}a + b$，则$G$是$(1_1, 1_2, \ldots, 1_a, 0_1, \ldots, 0_b)$ -可着色的.
2018-06-19 math.CO
Coloring Questions on Axis-Parallel Rectangles and Arithmetic Progressions
本文提出了一类显式超图族，解决了轴对齐矩形和算术进展的着色问题，并给出了相关定理的新证明。
2026-02-20 math.CO
Improper coloring of graphs with no odd clique minor
作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
2018-09-14 math.CO
Constructive discrepancy minimization for convex sets
Spencer的一个经典定理表明，任何具有n个集合和n个元素的集合系统允许差异着色O（n^1/2）。Bansal、Lovett和Meka最近令人兴奋的工作表明，这种着色可以在多项式时间内找到。事实上，Lovett-Meka算法在任何“足够大”的多面体中找到半整数点。然而，他们的算法严重依赖于刻面结构，不适用于一般的凸集。我们证明了对于任何测度至少为exp（-n/500）的对称凸集K，以下算法在K \cap [-1，1]^n中找到一个点y，其Omega（n）坐标在{-1，+1}中：（1）取一个随机高斯向量x;（2）计算K \cap [-1，1]^n中最接近x的点y。(3)返回y。这提供了另一个真正建设性的证明斯宾塞的定理和第一建设性的证明定理的Gluskin和Giannopoulos。
2016-04-12 cs.CG cs.DM math.CO
Partition subcubic planar graphs into independent sets
本文研究次三次平面图的packing $(1^{\ell}, 2^k)$-染色，证明了每个次三次平面图都是packing $(1,2^5)$-可染色的，且该结果是最优且紧的。
2025-06-25 math.CO
The (theta, wheel)-free graphs Part III: cliques, stable sets and coloring
本文进一步利用无theta和wheel图的分解定理，为最大权团、最大权稳定集和着色问题提出了多项式时间算法，并证明了该图类的色数界及3-团可着色性。
2019-07-25 math.CO
Adjacent Vertex Distinguishing Total Coloring of Corona Product of Graphs
图$G$的邻点可区别全$k$ -染色$f$是$G$的真全$k$ -染色，使得没有一对邻顶点具有相同的色集，其中一个点$v$的色集$C^G_f(v)$是$\{f(v)\} \cup \{f(vu)|u \in V (G), vu \in E(G)\}$ . 2005年Zhang等人提出了一个猜想（AVDTCC）：每个单图$G$都有邻点可区别全$(Δ(G)+3)$ -染色.在本文中，我们证实了猜想的许多冠，特别是广义的，简单的和$l$ -冠的图，不涉及特定的图形类的结果。
2022-08-23 math.CO
Small Maximal Independent Sets and Faster Exact Graph Coloring
证明了对任意n-顶点图G和整数参数k，至多存在3^{4k-n}4^{n-3 k}个极大独立集I \subset G，其中|I| <= k，并且所有这些集都能在O（3^{4k-n} 4^{n-3 k}）内列出.当n/4 <= k <= n/3时，这些边界是紧的。因此，我们证明了如何计算图的精确色数，时间复杂度为O（（4/3 + 3^{4/3}/4）^n）~= 2.4150^n，改进了Lawler（1976）的算法，时间复杂度为O（（1+3^{1/3}）^n）~= 2.4422^n.
2000-11-06 cs.DS math.CO
Centerpole sets for colorings of Abelian groups
给定一个拓扑群$G$，我们计算或评估基数特征$c_k(G)$（和$c_k^B(G)$）等于$G$的（Borel）着色的$k$ -中心极点子集$C\subset G$的最小基数。一个拓扑群$G$的子集$C\subset G$称为{ \em $k$ -centerpole}，如果对于$G$的每一个（Borel）$k$ -染色，都有一个无界单色子集$G$，它关于点$c\in C$对称，在这个意义上，$S=cS^{-1}c$ .
2010-12-02 math.CO math.GN math.GR
Cooperative coloring of matroids
设$M_1,M_2,\ldots,M_k$是同一基集$E$上拟阵的集合。一个着色$c:E \rightarrow \{1,2,\ldots,k\}$称为\emph{cooperative}，如果对于每个颜色$j$，颜色$j$中的元素集合在$M_j$中是独立的。我们证明了这样的着色总是存在的条件下，每一个拟阵$M_j$本身是$k$ -着色（集$E$可以分裂成最多$k$独立集的$M_j$）。我们从Seymour的拟阵列表着色定理的推广中得到这个事实，该定理断言每个$k$ -可着色的拟阵也是$k$ -列表可着色的。我们还指出了一些后果的对策论变种的合作着色拟阵。
2023-03-15 math.CO
Acyclic sets and colorings in digraphs under restrictions on degrees and cycle lengths
LAMSADE, Université Paris Dauphine - PSL（巴黎第九大学-PSL大学 LAMSADE）；Department of Statistics, University of Oxford（牛津大学统计系）
本文研究了有向图中无环集和着色问题在度数和环长限制下的性质，证明了在随机有向图中无环集大小的渐进行为，并提出了相关猜想。
2026-03-03 math.CO
Correspondence coloring of random graphs
本文证明了密度常数 $p<1$ 的 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的对应色数为 $O(n/\sqrt{\log n})$，与线性 Hadwiger 猜想的预测相符，其证明基于独立集数量的简单充分条件。
2023-07-27 math.CO
Minimal reconstructions of a coloring
该研究围绕集合上着色的极小重构问题展开，定义了相关的齐次集、非平凡重构与极小重构概念，证明了当基础集足够大时，着色的极小重构距离r(φ)仅能取1或4两个值，推进了着色重构理论的研究。
2024-07-15 math.CO
Relaxed Locally Identifying coloring of Graphs
图的\textit{locally identifying coloring}（$lid$ -着色）是一种真着色，使得出现在具有不同邻域的任何一对相邻顶点的闭邻域中的颜色集是不同的。本文的目的是研究一个图的\textit{relaxed locally identifying coloring}（$rlid$ -染色），它类似于局部可识别染色，但它的染色并不一定是真的.我们用$χ_{rlid}(G)$表示图$G$的松弛局部可识别染色所用的最少颜色数.本文证明了判定$2$ -退化平面图$G$的$χ_{rlid}(G)=3$是$NP$ -完全的问题.我们给出了$χ_{rlid}(G)$的几个界限，并构造了其中一些界限被收紧的图。通过研究某些图族，我们可以将该参数与图$G$的局部可识别着色中所用的最小颜色数（$χ_{lid}(G)$）、$G$的最小可识别码的大小（$γ_{id}(G)$）和$G$的色数（$χ(G)$）进行比较.
2014-06-14 math.CO
On the densities of cliques and independent sets in graphs
令r，s >= 2为整数。设完全图K_n的边的红/蓝染色中蓝r-团的个数已知且固定.在这个假设下，红色s-集团的最大可能数量是多少？著名的Kruskal-Katona定理回答了r=2或s=2的问题。利用极值集合论中的移位技术和一些分析论证，我们在一般情况下解决了这个问题，并证明了在极值着色中，蓝边或红边形成一个团.
2013-12-08 math.CO
Coloring intersection graphs of arc-connected sets in the plane
平面上的集合族是单的，如果它的任意子族的交是弧连通的，并且它被线$L$穿过，如果它的任意成员与$L$的交是非空线段。证明了平面上被一条公共线穿过的紧致弧连通集的简单族的交图的色数受其团数的函数限制。
2014-08-26 cs.CG cs.DM math.CO
Two-coloring triples such that in each color class every element is missed at least once
我们给出元素三元组的有限集的特征（例如，正整数），其可以用两种颜色着色，使得对于每个颜色类中的每个元素$i$，存在不包含$i$的三元组。我们给出了一个线性（在三元组的数量）时间算法，以确定是否存在这样的着色，并找到一个，如果它。我们还考虑推广这一结果和应用程序的匹配问题，这促使这项研究。最后，我们展示了这些结果如何转化为着色的超图，其中每个顶点的度是$k$小于的超边的数量的结果。
2020-08-20 math.CO
Uniform sets with few progressions via colorings
本文通过着色方法研究 Fourier 一致集合中少等差数列的问题，证明 Ruzsa 问题与算术 Ramsey 问题等价，并给出偶数长度及奇数长度 AP 的类似结果。
2025-05-15 math.CO
Intersecting edge distinguishing colorings of hypergraphs
图的边标记通过集合（分别为多集合）来区分邻居，如果对于任意两个相邻顶点$u$和$v$，出现在与$u$和$v$相关的边缘上的标记的数量是不同的。以类似的方式，我们定义总标签区分邻居集或多集：对于每个顶点，我们考虑标签的事件边缘和标签的顶点本身。在本文中，我们表明，这些问题，以及其他问题的类似风味，承认一个优雅和自然的推广超图着色问题。ieds着色（iedm着色，resp.）超图的顶点着色是一个顶点着色问题，其中的集合（多集）每对相交边上的颜色都是不同的。我们展示了列表大小的上界，这保证了ieds-或iedm-着色的存在，尊重这些列表。证明实质上是一个随机算法，其期望时间复杂度是多项式的。作为推论，我们得出了新的结果，关于列表变量的图形标签问题，区分邻居集或多集。我们还表明，我们的方法是强大的，可以很容易地扩展到不同的，相关的问题。我们还研究了二部图的边标号，区分邻居集，和超图的所谓性质\textbf{B}之间的密切联系。我们讨论计算方面的问题，并提出了一些类的二分图，承认这样的标签使用两个标签。
2018-04-27 cs.DM cs.DS math.CO
Equitable total coloring of corona of cubic graphs
图$G=(V,E)$的$V \cup E$的全部独立划分集的最小数目称为$G$的\emph{total chromatic number}，记为$χ''(G)$。如果任意两个完全独立集的基数之差至多为1，则$V \cup E$的最小完全独立划分集的个数称为\emph{equitable total chromatic number}，记为$χ''_=(G)$。本文研究了三次图的晕的均匀全染色问题，即$G \circ H$ .结果表明，不依赖于因子$G$和$H$的合理全色数，日冕$G \circ H$的合理全色数等于$Δ(G \circ H) +1$ .从而证实了Behzad在1964年提出的关于三次图的晕的全染色猜想（TCC）和Wang在2002年提出的关于三次图的晕的均匀全染色猜想（ETCC）。作为一个直接结果，我们得到所有三次图的冠都是1型的。
2018-11-04 cs.DM math.CO
On the Lipschitz continuity of the Spherical Cap Discrepancy around generic point sets
本文证明球冠差异在一般点集附近具有Lipschitz连续性，该性质对球面上固定大小点集的最优量化问题在算法和最优性条件推导方面具有潜在影响。
2025-04-08 math.CO math.OC
The coloring problem for classes with two small obstructions
研究了由两个禁止导出子图定义的图类的着色问题。我们证明了在这样的类的问题的有效可解性的一些充分条件。作为推论，我们确定了除13种显式枚举情形外，顶点数不超过5的所有两连通禁止导出子图集合的计算复杂性
2013-07-01 cs.DM math.CO
Equitable Colorings of Corona Multiproducts of Graphs
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的均匀色数，记为$χ_{=}(G)$。我们知道这个问题在一般情况下是NP-难的，对于冠图也是如此。在“Equitable colorings of Cartesian products of graphs”（2012）中，Lin和Chang研究了图的Cartesian products的均匀着色。在本文中，我们考虑了相同的着色模型的情况下，图的冠积。特别地，我们得到了关于$l$ -冠积$G \circ ^l H$的均匀色数的一些结果，其中$G$是均匀3-或4-可着色图，$H$是$r$ -部图、路、圈或完全图.我们的证明是建设性的，因为它们导致多项式算法的公平着色的图形产品提供了一个公平着色的$G$。此外，我们还证实了这类图的晕积的均匀着色猜想。本文推广了\cite{hf}的结果.
2012-10-24 cs.DM math.CO
From independent sets and vertex colorings to isotropic spaces and isotropic decompositions
在20世纪70年代，Lovász在完美匹配的背景下建立了图和交替矩阵空间之间的桥梁（FCT 1979）。二分图和矩阵空间之间的类似联系在最近解决非交换秩问题中起着关键作用（Garg-Gurvits-Oliveira-Wigderson，FOCS 2016; Ivanyos-Qiao-Subrahmanyam，ITCS 2017）。在本文中，我们奠定了另一个图和交替矩阵空间之间的桥梁的基础，在独立集和顶点着色的背景下。交错矩阵空间中的相应结构是迷向空间和迷向分解，这两种结构在群论和流形理论中都很有用。我们首先证明了极大独立集问题和顶点c-着色问题分别归结为极大迷向空间问题和迷向c-分解问题。接下来，我们证明了关于独立集和顶点着色的几个主题和结果对于迷向空间和分解具有自然的对应关系。这些包括算法问题，如二分图的最大独立集问题，色数的精确指数时间算法，以及数学问题，如最大独立集的数量，最大度和色数之间的关系。这些联系导致了图论和代数之间新的相互作用。一些结果有具体的应用群论和流形理论，我们在量子信息论的背景下，这些结构的变体。最后，我们提出了几个有待进一步探讨的问题。谨以此文纪念柯可一。
2019-09-22 cs.DS math.CO math.GR
