Graph clustering via generalized colorings
我们提出了一种新的方法来定义和搜索集群的图，代表真正的技术或交易网络。与寻找图的密集部分的标准方法相反，我们专注于集群之间的边缘结构，因为它是由一些早期的观察所激发的，例如，在生态学和经济学中的网络结构以及离散断层扫描的应用。研究了图的数学特殊染色和色数。
2021-03-14 math.CO
Sequential edge-coloring on the subset of vertices of almost regular graphs
设$G$是一个图，而$R\subseteq V(G)$ .一个图$G$的正常边染色称为$R$ -顺序$t$ -染色，如果每个顶点$v\in R$的边都被颜色$1,\ldots,d_{G}(v)$染色，其中$d_{G}(v)$是$G$中顶点$v$的度.本文证明了：如果$G$是一个具有$Δ(G)-δ(G)\leq 1$和$χ^{\prime}(G)=Δ(G)=r$（$r\geq 3$）的图，则$G$有一个具有$\vert R\vert \geq \left\lceil\frac{(r-1)n_{r}+n}{r}\right\rceil$的$R$ -顺序$r$ -染色，其中$n=\vert V(G)\vert$和$n_{r}=\vert\{v\in V(G):d_{G}(v)=r\}\vert$ .作为推论，我们得到了如下结果：如果$G$是一个具有$Δ(G)-δ(G)\leq 1$和$χ^{\prime}(G)=Δ(G)=r$（$r\geq 3$）的图，则有$Σ^{\prime}(G)\leq \left\lfloor\frac {2n_{r}(2r-1)+n(r-1)(r^{2}+2r-2)}{4r}\right\rfloor$，其中$Σ^{\prime}(G)$是$G$的边色和.
2014-01-04 cs.DM math.CO
On some variations of coloring problems of infinite words
给定集合$A$上自由半群$A^+$的有限染色（或有限划分），我们考虑了右端无限字$x\in A^ω$的各种类型的单色分解.一些更强的版本通常的概念单色因式分解的介绍。当连续块的连接是单色的时，因式分解被称为顺序单色。一个顺序单色分解被称为超单色分解，如果任意置换块的分解的任何级联具有相同的颜色的单个块。我们建立联系，并在某些情况下，这些分解和拉姆齐理论的基本结果，包括无限拉姆齐定理，Hindman的有限和定理，分区规则的IP集和密立根-泰勒定理的存在之间的等价关系。本文证明了对每个有限集$A$和几乎所有字$x\in A^ω,$的每个有限着色$φ: A^+\rightarrow C,$，在允许一个$φ$ -超单色分解的$x$生成的子移位中存在$y$，其中“几乎所有”指的是$A^ω.$上的Bernoulli测度
2015-08-10 math.CO
Vertex-Coloring 2-Edge-Weighting of Graphs
图$G$的$k$ -{ \it edge-weighting} $w$是将整数权重$w(e)\in \{1,\dots, k\}$分配给每个边$e$。通过为每个$u \in V(G)$定义$c(u)=\sum_{u\sim e} w(e)$，边加权自然地诱导顶点着色$c$。图$G$的$k$ -边加权是\emph{vertex-coloring}，如果诱导着色$c$是适当的，即，$c(u) \neq c(v)$用于任何边$uv \in E(G)$。给定一个图$G$和一个顶点着色$c_0$，是否存在一个边权使得导出的顶点着色是$c_0$？我们研究这个问题，考虑边加权定义的阿贝尔群。证明了每个3-可着色图都有一个点着色$3$ -边权\cite{KLT} .是否每个2-可着色图（即，二部图）允许顶点着色2-边加权吗？得到了图是点着色2-边赋权图的几个简单的充分条件。特别地，我们证明了3-连通二部图允许顶点着色2-边加权。
2010-07-12 math.CO
Coloring of a Digraph
\qquad有向图$D=(V,E)$的\emph{coloring}是其顶点的着色，遵循以下规则：令$uv$是$D$中的一条弧。如果尾部$u$先着色，则头部$v$的颜色应不同于$u$。$D$的\emph{dichromatic number} $χ_d(D)$是$D$着色中所需的最小颜色数。除了得到类似于图的色数的$χ_d(D)$的许多结果和界外，我们还证明了当$D$是无圈的时，$χ_d(D)=1$是有界的.引入了图/有向图序列着色的新概念。利用点标有向图的$L$ -矩阵给出了无圈有向图的一个刻划.
2013-03-30 math.CO
Number of colors needed to break symmetries of a graph by an arbitrary edge coloring
图$G$的可区分阈值（记为$θ(G)$）是使$G$的每一个$k$ -染色都可区分的最小颜色数。我们通过定义一个替代指标$θ'(G)$将这个概念推广到边着色。我们考虑了某些图族的$θ'$，并找到了它与自同构群的边圈之间的联系。证明了$θ'(G)=2$当且仅当$G\simeq K_{1,2}$和$θ'(G)=3$当且仅当$G\simeq P_4, K_{1,3}$或$K_3$ .此外，我们还证明了判别阈值为3的图的一些辅助结果，并证明了虽然有无穷多个这样的图，但它们不是线图。最后，当$G$是简单素图的笛卡尔积时，我们计算了$θ'(G)$。
2022-05-06 math.CO
Collision Times in Multicolor Urn Models and Sequential Graph Coloring With Applications to Discrete Logarithms
考虑一个骨灰盒模型，其中在每个步骤中，根据某个概率分布对$q$颜色之一进行采样，并且将该颜色的球放置在骨灰盒中。将球分配给骨灰盒的分布可以取决于球的颜色。当一个球被放在一个已经包含不同颜色的球的瓮中时，就会发生碰撞。等价地，这可以被看作是顺序地着色一个完整的$q$-部分图，其中碰撞对应于单色边的出现。使用泊松嵌入技术，第一碰撞时间的极限分布被确定，并明确地描述了可能的限制。导出了连续碰撞次数和多次碰撞次数的联合分布。所得结果可用于求解离散对数问题的各种基于生日问题的算法中运行时间的极限分布，推广了以往只考虑期望运行时间的结果.对于其他图，也得到了单色边出现时间的渐近分布。
2016-05-24 cs.CR math.CO math.PR
Impartial coloring games
着色游戏是一种组合游戏，玩家交替将图中未着色的顶点涂上$k > 0$颜色之一。每个不同的规则指定游戏的着色约束。本文研究了六个公正的规则集（五个新的），来自以前研究的图着色方案，包括适当的地图着色，定向着色，2-距离着色，弱着色，顺序着色。对于每一个，我们研究了特殊情况下的结果类和一般的计算复杂性。在某些情况下，我们要特别注意Grundy函数。
2012-02-26 cs.CC cs.DM math.CO
A fresh look to a randomized massively parallel graph coloring algorithm
本文重新审视 Petford-Welsh 随机图着色算法，利用现代大规模并行计算能力在更大规模上分析其行为，重点研究相变现象，以深化对该算法的理解。
2023-09-21 math.CO
Improving Lower Bounds for Equitable Chromatic Number
在许多实际应用中，底层图形必须尽可能均匀地着色。一个图的着色称为均匀着色，如果每种颜色所着色的顶点数相差至多1，并且一个图具有这种着色的最少颜色数称为它的均匀色数。我们引入了一个新的整数线性规划方法来研究图的公平染色数，并展示了如何使用它来提高这个数字的下界。两阶段方法的基础上找到或上界的最大基数的一个公平的颜色类在一个有效的公平着色，然后，依次提高公平着色数的下界。在DIMACS图和文献中的其他图上进行了计算实验。
2021-06-07 math.CO
Characterization of forbidden subgraphs for bounded star chromatic number
图的色数是使图具有正常$k$ -染色的最小$k$.在文献中有许多着色参数是正确的着色，也禁止双色子图。一些例子是$2$ -距离着色、无环着色和星着色，它们分别禁止三个顶点上的双色路、双色圈和四个顶点上的双色路。这个概念最早由Grünbaum在1973年提出，但没有给出具体的名称。通过定义一个$H$ -避免$k$ -染色为一个禁止双色子图$H$的真$k$ -染色，我们恢复了这个概念.当把不含$F$的图类$\mathcal C$作为诱导子图时，不难看出$\mathcal C$中的每个图都有界色数当且仅当$F$是大小不超过2的完全图.我们研究了一类没有$F$作为$H$ -避免着色的子图的图的这种现象。我们完全刻画了所有的图$F$，其中没有$F$作为子图的图类对于一大类图$H$具有有界$H$ -避免色数.作为推论，我们的主要结果暗示了图$F$的一个特征，其中没有$F$作为子图的图类具有有界星色数。我们还得到了无循环色数的完整刻画。
2018-12-04 math.CO
Total Coloring and Total Matching: Polyhedra and Facets
图的全染色$G = (V, E)$是指给顶点和边分配颜色，使得两个相邻的顶点和两个关联的边都不具有相同的颜色，并且对于每条边，端点和边本身具有不同的颜色。任何有效的全染色都将$G$的元素划分为全匹配，全匹配被定义为可以采用相同颜色的顶点和边的子集。本文提出了全染色和全匹配问题的双线性规划模型，并研究了相应的线性规划松弛的强度。全染色问题的公式化的问题，找到最小数量的全匹配，覆盖所有的图元素。这个覆盖公式可以通过列生成算法来求解，其中定价子问题对应于加权总匹配问题。因此，我们研究全匹配多面体。我们引入了三类非平凡有效不等式：基于稳定集多面体的标准团不等式的顶点团不等式，基于由圈诱导的顶点集奇偶性的全等$2k3$圈不等式，以及由偶数阶完全子图诱导的偶数团不等式.证明了同余$2k3$循环不等式只有当$k = 4$满足时才是面定义的，而顶点团和偶团总是面定义的.最后，我们提出了一个列生成算法的全着色问题和全匹配问题的切割平面算法的初步计算结果。
2022-02-02 cs.DM math.CO math.OC
On uniquely list colorable graphs
设G是n个顶点的图，对G中的每个顶点v，存在一个k色表L（v），使得G在这个表集合中有唯一的真染色，则G称为唯一k-表可着色图.最近M。Mahdian和E.S. Mahmoodian刻画了唯一2-列表可着色图。在这里，我们陈述的一些结果，这将铺平道路的唯一k-列表着色图的特征。这一概念与图着色中的定义集和拉丁方中的临界集之间存在联系。
1999-06-02 math.CO
Latin squares and their defining sets
拉丁方$L(n,k)$是一种$n$阶的正方形，其条目用$k$颜色着色，因此一行或一列中的所有条目都具有不同的颜色。令$d(L(n,k))$为$n \times n$正方形的着色项的最小数目，使得存在对尚未着色的项着色的唯一方式，以获得拉丁正方形$L(n, k)$。本文讨论了$k=2n-1$和$k=2n-2$的$d(L(n,k))$的性质。我们给出了$d(L(n, 2n-1))=n^2-n$恒等式的另一个证明，它对偶数$n$成立，我们建立了新的结果$d(L(n, 2n-2)) \geq n^2-\lfloor\frac{8n}{5}\rfloor$，并证明了这个界对于可被10整除的$n$是紧的。
2005-09-19 math.CO
Graph Coloring and Function Simulation
证明了任意值域有限的部分函数都可以通过图的顺序着色来有效地模拟。也就是说，我们证明了给定一个有限集$S=\{0,1,\ldots,m-1\}$和一个数$n \geq \max\{m,3\}$，任何部分函数$φ:S^{^p} \to S^{^q}$（即，它可能不会在其域$S^{^p}$的某些元素上定义）可以有效地（即，在多项式时间内）变换为简单图$\matr{G}_{_{φ,n}}$以及三组指定顶点$$X = \{x_{_{0}},x_{_{1}},\ldots,x_{_{p-1}}\}, \ \ Y = \{y_{_{0}},y_{_{1}},\ldots,y_{_{q-1}}\}, \ \ R = \{\Kv{0},\Kv{1},\ldots,\Kv{n-1}\},$$，使得对于所有$0 \leq i < n$具有$σ_{_{0}}(\Kv{i})=i$的任何分配$σ_{_{0}}: X \cup R \to \{0,1,\ldots,n-1\} $，是{ \it唯一地}和{ \it有效地}可扩展到$\matr{G}_{_{φ,n}}$的适当的$n$ -着色$σ$，对于该$\matr{G}_{_{φ,n}}$，我们有$$φ(σ(x_{_{0}}),σ(x_{_{1}}),\ldots,σ(x_{_{p-1}}))=(σ(y_{_{0}}),σ(y_{_{1}}),\ldots,σ…
2010-08-18 math.CO
On strongly and robustly critical graphs
University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文提出鲁棒k-临界图的概念，并证明通过将临界图与足够大的完全图连接可得到鲁棒临界图。
2026-02-25 math.CO
Coloring locally sparse graphs
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文提出(k, F)-局部稀疏性概念，利用Rödl nibble方法证明了双色图F下图G的色数界，改进了现有结果并适用于更广泛的着色场景。
2025-12-16 math.CO
Counting Strict Gridlock on Graphs
本文研究图上分布式着色问题，提出一种新的着色框架，用于分析网络上达成共识的障碍。通过定义一种特定的着色方式，探讨了在有限信息下群体无法达成统一着色的数学度量。
2026-03-18 math.CO physics.soc-ph
Circular Game Coloring of Signed Graphs
本文将圆形博弈色数理论扩展至符号图，基于切换等价原理和基本圈性质，证明了平衡与反平衡符号图及二部图的紧致界限，并提出了计算复杂性与平面图扩展的开放问题。
2025-05-27 math.CO
A New Class of Geometrically Defined Hypergraphs Arising from the Hadwiger Nelson Problem
针对欧几里得空间单位距离图色数问题，通过推广Erdos-De-Bruijn定理构造有限图序列，得到一类几何定义超图，其正常着色与单位距离图一致，并部分推广至任意实赋范向量空间。
2024-11-08 math.CO
Distributed coloring in sparse graphs with fewer colors
本文研究了分布环境下稀疏图的有效着色问题，并给出了一个尽可能少的着色数。根据著名的四色定理，可平面图最多可以用4种颜色着色，并给出了求这类图着色的（序贯）二次算法。一个自然的问题是在分布式环境中提高这种复杂性。Goldberg，Plotkin和Shannon利用可平面图线性地包含许多度至多为6的顶点这一事实，得到了一个在$O(\log n)$轮中用7种颜色着色$n$ -顶点可平面图的确定性分布式算法。在这里，我们展示了如何在$\mbox{polylog}(n)$轮中使用6种颜色对可平面图进行着色。我们的算法确实更一般地工作在列表着色设置和稀疏图（对于这样的图，我们提高了至少一个颜色的数量，从一个有效的算法Barenboim和埃尔金，在一个稍微最坏的复杂性为代价）。我们对颜色数量的界限一般来说是相当清晰的。在其他的结果中，我们证明了没有分布式算法可以在$o(n)$轮中用4种颜色对每个$n$ -顶点可平面图进行着色。
2018-12-19 cs.DC cs.DS math.CO
Polyhedral study of the Convex Recoloring problem
一个连通图的顶点着色是凸的，如果每个色类诱导一个连通子图。我们解决如下定义的凸包围（CR）问题。给定一个图$G$及其顶点的着色，对$G$的最小数量的顶点重新着色，以便得到的着色是凸的。这个问题，已知是NP-困难的，即使在路径上，首先是出于应用程序的完美的遗传。在这项工作中，我们研究CR一般图从多面体的角度来看。首先，基于连通子图的思想，引入了一个全维多面体，并给出了一类有效的不等式，当输入图是树时，该不等式包含所有二元系数的面定义不等式.在$\{1, \ldots, k\}$中定义了一类一般的右端不等式，其中$k$是初始着色的颜色数，并给出了这类不等式成立的充分条件.最后，我们报告的计算实验的移动网络上的应用程序，可以模拟的多面体CR路径。我们评估了所提出的不等式的潜力，以减少完整性差距。
2019-11-25 cs.DM math.CO
Distributed coloring of graphs with an optimal number of colors
本文研究了图的最优着色问题的有效分布式算法的充分条件。具有最小数量的颜色）。到目前为止，大多数关于分布式顶点着色的工作都集中在最大程度$Δ$的着色上，最多使用$Δ+1$颜色（或当一些简单的障碍物被禁止时使用$Δ$颜色）。当$Δ$足够大且$c\ge Δ-k_Δ+1$，对于某个整数$k_Δ\approx \sqrtΔ-2$，给出了一个分布式算法，该算法在给定最大度$Δ$的$c$ -可着色图$G$的情况下，以高概率在$\min\{O((\logΔ)^{1/12}\log n), 2^{O(\log Δ+\sqrt{\log \log n})}\}$轮中找到$G$的一个$c$ -着色.下界$Δ-k_Δ+1$是最好的可能的意义上说，对于无限多的值的$Δ$，我们证明，当$χ(G)\le Δ-k_Δ$，找到一个最佳着色的$G$需要$Ω(n)$轮。我们的证明是Molloy和Reed的一个显著结果的轻微改编，他们证明了对于足够大的$Δ$，对于任何$c\ge Δ- k_Δ$，决定$χ(G)\le c$是否在{ \textsf{P} }中，而Embden-Weinert \emph{et al.} \证明了对于$c\le Δ-k_Δ-1$，同样的问题是{ \textsf{NP} }-完全的。请注意，顺序阈值和分布式阈值相差1。我们还表明，对于任何足够大的$Δ$，和$Ω(\log Δ)\le k \le …
2019-01-24 cs.DC cs.DS math.CO
Eigenvalue bounds for the quantum chromatic number of graph powers
本文定义了图的量子k-距离色数，并证明三个经典的k-距离色数特征值界在量子情形下同样成立，由此确定了更多使量子参数与经典参数相等的图类。
2025-03-04 math.CO
