Tight bounds for positive discrepancy via eigenvalues
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Umeå University（于默奥大学）；Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
通过特征值引理证明正偏差的紧下界，改进最大割、二分宽度和偏差结果，并证实Räty-Sudakov-Tomon猜想。
2026-10-14 math.CO
On The Hereditary Discrepancy of Homogeneous Arithmetic Progressions
我们证明了齐次等差数列的遗传差异是由$n^{1/O(\log \log n)}$下界。这个界限紧到指数中的常数。我们的下界是通过证明布尔立方体$\{0, 1\}^d$的子立方体的集合系统的差异的指数下界。
2015-04-09 math.CO math.NT
Polynomial upper bounds on the number of differing columns of $Δ$-modular integer programs
研究了整值行列式有界的矩阵。这样的矩阵出现在有界行列式的整数规划理论中。例如，Artmann等人证明，如果约束矩阵是双模的，即行列式的绝对值以2为界，则IP可以在强多项式时间内求解。行列式也被用来约束IP解决方案和其线性松弛的解决方案之间的$\ell_1$ -距离。最早量化有界行列式IP复杂性的工作之一是Heller的工作，他确定了完全幺模矩阵中不同列的最大数量。Heller界到一般行列式的每一次推广都是行列式或方程个数的超多项式。我们提供了第一个列界，这是多项式的两个值。对于带框约束的整数规划，我们的结果给出了第一个$\ell_1$ -距离界，该界是关于行列式和方程个数的多项式。我们的结果也可以用来推导Graver基元的高度上的界，该界在行列式和方程个数上是多项式的。此外，我们显示了一个紧界的数目不同的列在一个双模矩阵，这是第一紧界以来海勒。我们的分析揭示了双模IP的组合性质，可能是独立的利益。
2022-11-16 math.CO math.OC
Discrepancy of arithmetic progressions in grids
我们证明了$d$维网格$\{1, \dots, N\}^d$中的等差数列的差异在一个仅取决于$N^{\frac{d}{2d+2}}$的$d$的常数因子内。这扩展了$d=1$的情况，这是Roth和Matoušek和Spencer的著名结果，并从大约20年前的Valkó的前上界中删除了多对数因子。在许多情况下，我们进一步证明了类似的紧边界不同的边长的网格。
2021-10-28 math.CO math.NT
Discrepancy of High-Dimensional Permutations
令$L$为一阶- $n$拉丁方。对于$X, Y, Z \subseteq \{1, ... ,n\}$，令$L(X, Y. Z)$为三元组$i\in X, j\in Y, k\in Z$的数量，使得$L(i,j) = k$。我们猜想几乎每个拉丁方对每个$X, Y$和$Z$都渐近地满足$|L(X, Y, Z) - \frac 1n |X||Y||Z||\le O(\sqrt{|X||Y||Z|})$.当$L(X, Y, Z)=0$时，让$\varepsilon(L):= \max |X||Y||Z|$。上述猜想意味着$\varepsilon(L) \le O(n^2)$几乎必然渐近成立（这个界显然是紧的）。我们表明，存在拉丁广场与$\varepsilon(L) \le O(n^2)$，并$\varepsilon(L) \le O(n^2 \log^2 n)$几乎每一个订单- $n$拉丁广场。另一方面，如果$L$是一个阶$n$群的乘法表，则我们还记得$\varepsilon(L)\geq Ω(n^{33/14})$.其中一些结果扩展到更高的维度。许多悬而未决的问题仍然存在。
2016-07-25 math.CO
A New Formula for the Determinant and Bounds on Its Tensor and Waring Ranks
本文提出项数超指数减少的行列式显式公式，由此将行列式张量秩的上界改进为Bell数，并改进Waring秩上界及构造新的铺砌多胞形。
2025-01-06 math.CO math.RA
Upper and Lower bounds for matrix discrepancy
本文的目的是研究矩阵不等式问题。假设$ξ_1,\ldots,ξ_n$和$\mathbf{u}_1,\ldots,\mathbf{u}_n\in \mathbb{C}^d$是具有有限支撑的独立标量随机变量。设$\mathcal{C}_0$为最小常数，满足以下条件：\[ {\rm Disc}(\mathbf{u}_1\mathbf{u}_1^*,\ldots,\mathbf{u}_n\mathbf{u}_n^*; ξ_1,\ldots,ξ_n)\,\,:=\,\,\min_{\varepsilon_1\in \mathcal{S}_1,\ldots,\varepsilon_n\in \mathcal{S}_n}\bigg\|\sum_{i=1}^n\mathbb{E}[ξ_i]\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^*-\sum_{i=1}^n\varepsilon_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^*\bigg\|\leq \mathcal{C}_0\cdotσ, \]其中$σ^2 = \big\|\sum_{i=1}^n \mathbf{Var}[ξ_i](\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^*)^2\big\|$和$\mathcal{S}_j$表示$ξ_j, j=1,\ldots,n$的支持。由Bownik，Casazza，Marcus和…
2021-05-22 math.CO
Almost Envy-Freeness for Groups: Improved Bounds via Discrepancy Theory
我们研究了不可分割的货物之间的分配群体的代理商使用众所周知的公平概念，如嫉妒自由和比例。虽然这些概念不能总是得到满足，我们提供了几个界限上的最佳松弛，可以保证。例如，我们的界限意味着，当组的数量是恒定的，$n$代理被划分成任意组，存在一个分配，是羡慕免费的$Θ(\sqrt{n})$商品，这个界限是紧的。此外，我们表明，虽然这样的分配可以有效地找到，它是NP-难计算的分配是无羡慕$o(\sqrt{n})$商品，即使当一个完全无羡慕的分配存在。我们的证明广泛使用差异理论的工具。
2022-08-04 cs.DM cs.GT math.CO
Constructing expander graphs by 2-lifts and discrepancy vs. spectral gap
我们提出了一个新的显式构造的扩展图的近最佳谱隙。建筑是基于一系列的2电梯操作。设$G$是以$n$为顶点的图。$G$的2-提升是$2n$顶点上的图$H$，具有覆盖映射$π:H \to G$。不难看出，$G$的所有特征值也是$H$的特征值。此外，$H$具有$n$ "新“特征值。我们猜想每个$d$ -正则图都有一个2-提升，使得所有新的特征值都在$[-2\sqrt{d-1},2\sqrt{d-1}]$的范围内（如果是真的，这是紧的，例如Alon-Boppana界）。在这里，我们表明，每个图的最大程度$d$有一个2-提升，使所有的“新”的特征值是在范围$[-c \sqrt{d \log^3d}, c \sqrt{d \log^3d}]$为一些常数$c$。这导致了构造任意大的$d$ -正则图的多项式时间算法，具有第二特征值$O(\sqrt{d \log^3 d})$。证明使用以下引理：设$A$是实对称矩阵，使得$A$中每行的$l_1$范数至多为$d$。让$α= \max_{x,y \in \{0,1\}^n, supp(x)\cap supp(y)=\emptyset} \frac {|xAy|} {||x||||y||}$。则对于某个普适常数$c$，$A$的谱半径至多为$c α\log(d/α)$。这个引理的一个有趣的推论是扩展混合引理的逆。
2004-04-08 math.CO
Factorization Norms and Hereditary Discrepancy
实$m\times n$矩阵$A$的$γ_2$范数是使得$A$的列向量包含在以$0$为中心的椭圆体$E\subseteq\mathbb{R}^m$中的最小数$t$，该椭圆体又包含在超立方体$[-t, t]^m$中.我们证明了这个经典量近似\emph{hereditary discrepancy} $\mathrm{herdisc}\ A$如下：$γ_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc}\ A$和$\mathrm{herdisc}\ A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdotγ_2(A) $。由于$γ_2$是多项式时间可计算的，这给出了遗传差异的多项式时间近似算法。这两个不等式被证明是渐近紧。然后，我们证明了几个例子的权力$γ_2$规范作为一种工具，证明在差异理论的下限和上限。最值得注意的是，我们证明了一个新的下界$Ω(\log^{d-1} n)$的\emph{$d$-dimensional Tusnády problem}，要求的组合差异的$n$ -点集在$\mathbb{R}^d$轴平行盒。对于$d>2$，这改进了以前的最佳下界，这是大约$\log^{(d-1)/2}n$的顺序，它接近最好的已知的上界的$O(\log^{d+1/2}n)$，我们也得到了一个新的，非常简单的证明。
2015-04-09 cs.CG cs.DS math.CO
Prefix Discrepancy, Smoothed Analysis, and Combinatorial Vector Balancing
Banaszczyk在差异理论中的一个著名结果涉及前缀差异问题（也称为有符号级数问题）：给定$\mathbb{R}^d$中的一系列$T$单位向量，找到它们中的每一个的$\pm$符号，使得沿着任何前缀的有符号和向量具有小的$\ell_\infty$-范数？这个问题是证明斯坦尼茨问题的上界的核心，而流行的Komlós问题是一个特例，其中只关心最终的有符号和向量而不是所有前缀。Banaszczyk给出了前缀差异问题的$O(\sqrt{\log d+ \log T})$界。我们调查的Banaszczyk的界的紧密性，并考虑自然的概括前缀的差异：我们首先考虑一个平滑的分析设置，其中少量的加性噪声扰动的输入向量。与Banaszczyk的界相比，我们在$T$中显示出指数级的改进。使用原始-对偶的方法和一个仔细的链接参数，我们表明，一个可以实现的$O(\sqrt{\log d+ \log\!\log T})$与高概率的平滑设置的约束。此外，这个平滑的分析界是最好的可能的，在最坏的情况下，没有进一步的改进Banaszczyk的界。我们还介绍了一个推广的前缀差异问题的差异约束对应的路径上的DAG上的$T$顶点。我们表明，Banaszczyk的$O(\sqrt{\log d+ \log T})$绑定的模拟继续持有在这种设置为adversarially给定的单位向量和$\sqrt{\log T}$因素是不…
2021-11-13 cs.DM cs.DS math.CO
New results on the coarseness of bicolored point sets
设$S$为平面中$n$点的双色（红色和蓝色）集合。如果存在凸集$C$使得$I=C\cap S$，则$S$的子集$I$是岛.一个岛的差异是它所包含的红色点的数量减去蓝色点的数量的绝对值。$S$的凸划分是将$S$划分为具有成对不相交凸包的岛。凸划分的差异是其最小差异岛的差异。$S$的粗糙度是具有最大偏差的$S$的凸划分的偏差。Bereg等人最近定义了这一概念[CGTA 2013]。在本文中，我们研究以下问题：给定一个集合$S$的$n$点在平面上的一般位置，如何将他们中的每一个（红色或蓝色），使所产生的2色点集具有小粗糙度？证明了每个$n$ -点集$S$都可以着色，使得其粗度为$O(n^{1/4}\sqrt{\log n})$ .这个界几乎是紧的，因为存在$n$ -点集，使得每一个2-着色至少给出$Ω(n^{1/4})$粗糙度.此外，我们证明了存在一种近似算法用于计算2色点集的粗糙度，其比率介于$1/128$和$1/64$之间，解决了Bereg等人[CGTA 2013]提出的一个开放问题。我们所有的结果考虑$k$ -可分离的岛屿的$S$，对于一些$k$，这是由相交的$S$与最多$k$半平面。
2013-11-29 cs.DM math.CO math.MG
