正偏差的紧界：通过特征值方法
Tight bounds for positive discrepancy via eigenvalues
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中文总结 AI 辅助
通过特征值引理证明正偏差的紧下界，改进最大割、二分宽度和偏差结果，并证实Räty-Sudakov-Tomon猜想。
中文摘要 AI 辅助
给定一个 $n\times n$ 对称矩阵 $M$，其最大特征值为 $\lambda_1\geq 0$，容易证明优化问题 $\max_{v\in [-1,1]^n}v^TMv$ 的解至多为 $\lambda_1 n$。我们证明如下逆命题：如果 $M$ 的每个 $n'\times n'$ 主子矩阵的最大特征值至少为 $\lambda$，则 $\max_{v\in [-1,1]^n}v^TMv\geq \lambda(n-n'+1)$。我们利用此引理改进了关于图的最大割（MaxCut）、二分宽度（bisection width）和偏差（discrepancy）的若干近期结果。其中，我们证明：每个远离不相交团并的 $n$ 顶点 $m$ 边图，存在一个大小至少为 $m/2+n^{5/4-o(1)}$ 的割，该结果在 $o(1)$ 项内是紧的。此外，我们证明：对于 $d\leq (1-\varepsilon)n/2$，每个 $d$-正则 $n$ 顶点图的二分宽度至多为 $dn/4-\Omega_{\varepsilon}(d^{1/3}n)$，当 $d=\Omega(n)$ 时该结果是最优的。这证实了 Räty、Sudakov 和 Tomon 的一个猜想。
英文摘要
Given an $n\times n$ symmetric matrix $M$ with largest eigenvalue $λ_1\geq 0$, it is easy to show that the solution of the optimisation problem $\max_{v\in [-1,1]^n}v^TMv$ is at most $λ_1 n$. We prove the following converse: if every $n'\times n'$ principal submatrix of $M$ has maximal eigenvalue at least $λ$, then $\max_{v\in [-1,1]^n}v^TMv\geq λ(n-n'+1)$. We use this lemma to improve a number of recent results on the MaxCut, bisection width, and discrepancy of graphs. Among others, we prove that every $n$-vertex $m$-edge graph that is far from a disjoint union of cliques has a cut of size at least $m/2+n^{5/4-o(1)}$, which is sharp up to the $o(1)$-term. Moreover, we prove that every $d$-regular $n$-vertex graph has bisection width at most $dn/4-Ω_{\varepsilon}(d^{1/3}n)$ for $d\leq (1-\varepsilon)n/2$, which is optimal for $d=Ω(n)$. This confirms a conjecture of Räty, Sudakov and Tomon.
发表机构
- EPFL（洛桑联邦理工学院）
- Umeå University（于默奥大学）
- Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
