Algorithmic Discrepancy Minimization
本文将对算法差异理论的一个结果进行文献综述。我们将首先简要介绍差异理论和该领域的一些主要结果，然后重点介绍Shachar Lovett和Raghu Meka的一个重要结果。我们重述了本文的主要算法和思想，并对文中的一些主要结果重新进行了证明。
2019-11-18 cs.DS
Online Geometric Discrepancy for Stochastic Arrivals with Applications to Envy Minimization
考虑单位间隔$[0,1]$，其中$n$点一个接一个地独立且均匀地随机到达。在到达一个点时，问题是立即以$\{+1,-1\}$对其进行可替换的着色，同时确保每个间隔$[a,b] \subseteq [0,1]$接近平衡。我们将\emph{discrepancy}定义为整个过程中任何时间间隔的最大不平衡。如果所有的到达点都是已知的，那么我们可以交替地对它们进行着色，以实现$1$的差异。当我们在线给点着色时，最小可能的预期差异是多少？我们表明，上述问题的差异是次多项式在$n$，没有算法可以实现一个常数的差异。这是对仅得到$\widetilde{O}(\sqrt n)$差异的平凡随机着色的实质性改进。然后，我们得到了类似的结果，自然推广这个问题的$2$ -维的点均匀随机到达一个单位正方形。这种推广使我们能够改善最近的结果Benade等人。\cite{BenadeKPP-EC18}的在线嫉妒最小化问题时，到达是随机的。
2019-10-02 cs.CG cs.DM cs.DS
Deterministic Discrepancy Minimization via the Multiplicative Weight Update Method
Spencer的一个著名定理表明，任何在$n$元素上具有$n$集合的集合系统允许差异着色$O(\sqrt{n})$。虽然最初的证明是非建设性的，但最近的进展带来了Bansal，Lovett和Meka以及Rothvoss的多项式时间算法。所有这些算法都是随机的，尽管Bansal的算法承认一个复杂的去随机化。我们提出了一个优雅的确定性的多项式时间算法的灵感来自Lovett-Meka以及乘法权重更新方法。该算法迭代地更新分数着色，同时控制分配给集合约束的指数权重。Meka的一个猜想表明Spencer界可以推广到对称矩阵。我们证明了$n \times n$矩阵是块对角的块大小$q$允许染色的差异$O(\sqrt{n} \cdot \sqrt{\log(q)})$。Bansal，Dadush和Garg最近给出了一个随机算法来在多项式时间内找到一个在$\lbrace{-1,1\rbrace}$中具有$\|Ax\|_{\infty} \leq O(\sqrt{\log n})$的条目的向量$x$，其中$A$是列长度至多为1的任何矩阵。我们表明，我们的方法可以用来确定性地获得这样一个向量。
2017-03-11 cs.CG cs.DM cs.DS
Online Discrepancy Minimization for Stochastic Arrivals
在随机在线向量平衡问题中，从$\mathbb{R}^n$中的任意分布独立选择的向量$v_1,v_2,\ldots,v_T$逐个到达，并且必须立即给予$\pm$符号。目标是保持差异向量的范数，即，有符号前缀和，对于给定的目标范数尽可能小。我们认为，在上述在线随机设置的差异理论中的一些最知名的问题，并给出算法，匹配已知的离线界限高达$\mathsf{polylog}(nT)$因素。这实质上推广和改进了Bansal，Jiang，Singla和Sinha（STOC '20）以前的结果。特别是，对于Komlós问题，其中$\|v_t\|_2\leq 1$为每个$t$，我们的算法实现$\tilde{O}(1)$差异的概率很高，提高了以前的$\tilde{O}(n^{3/2})$绑定。对于Tusnády的最小化轴对齐盒的差异的问题，我们得到了一个$O(\log^{d+4} T)$界任意分布的点。以前的技术只适用于产品分布，并给出了较弱的$O(\log^{2d+1} T)$界。我们还考虑了Banaszczyk设置，其中给定一个对称凸体$K$，高斯测度至少为$1/2$，我们的算法实现了$\tilde{O}(1)$差异，相对于$K$给出的次指数尾输入分布的范数。我们的关键思想是引入一个势，它也对差异向量如何演化施加约束，使我们能够保持某些反集中特性。对于Banaszczyk设置，我们通过将其与通用链接…
2020-07-21 cs.CG cs.DM cs.DS
Improved Algorithmic Bounds for Discrepancy of Sparse Set Systems
我们考虑的问题，找到一个低的差异着色的稀疏集系统中的每个元素位于最多$t$集。我们给出了一个算法，找到一个着色与差异$O((t \log n \log s)^{1/2})$，其中$s$是一个集的最大基数。这改进了基于部分着色方法的算法变体的$O(t^{1/2} \log n)$的先前构造性界限，并且对于小$s$（例如$s=\textrm{poly}(t)$），由于Banaszczyk而接近非构造性$O((t \log n)^{1/2})$界限。以前，即使对于$s = O(t^2)$，也没有已知比$O(t^{1/2}\log n)$更好的算法结果。我们的方法是相当强大的，我们给出了一些改进和扩展。例如，我们得到的着色满足更强的大小敏感性，在集合系统中的每个集合$S$招致$O((t \log n \log |S|)^{1/2})$的差异。另一个变体可以用来基本上匹配Banaszczyk的边界，即使$s$是任意大的实例。最后，这些结果也直接扩展到更一般的Komlós设置。
2016-02-02 cs.DM cs.DS
Algorithmic Discrepancy Beyond Partial Coloring
部分着色方法是求解组合差异问题的一种最有效、最广泛的方法。然而，在许多情况下，它会导致次优边界，因为部分着色步骤必须迭代对数次数，并且错误可以以对抗的方式增加。我们给出了一个新的和一般的算法框架，克服了部分着色方法的局限性，并可以应用在一个黑盒的方式来解决各种问题。利用这个框架，我们给出了几个经典的差异问题的新的改进的边界和算法。特别是，对于Tusnady的问题，我们给出了一个改进的$O(\log^2 n)$界的差异轴平行矩形和更一般的$O_d(\log^dn)$界的$d$维盒$\mathbb{R}^d$。以前，即使是非建设性的，最佳界限分别是$O(\log^{2.5} n)$和$O_d(\log^{d+0.5}n)$。类似地，对于Steinitz问题，我们给出了第一个算法，该算法在$\ell_\infty$情况下与Banaszczyk [Banaszczyk 2012]的最佳已知非构造性边界相匹配，并在$\ell_2$情况下大幅改进了以前的算法边界。我们的框架是基于最近在Komlós差异问题[BDG16]的背景下开发的技术的实质性概括。
2017-07-11 cs.DM cs.DS
Online Discrepancy for Sub-Exponential Product Distributions via Regularization
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
该研究针对亚高斯输入的在线偏差最小化问题，提出结合ℓ_∞-范数正则化与自适应坐标限制的多项式时间算法，得到不依赖时间T的偏差界，推广了相关定理并接近最优。
2026-10-20 cs.DM cs.DS math.CO
Fast Discrepancy Minimization with Hereditary Guarantees
自Bansal（FOCS 2010）的突破性工作以来，有效地计算各种集合系统的低差异着色已经得到了广泛的研究，Bansal给出了几个重要设置的第一个多项式时间算法，包括一般集合系统，稀疏集合系统和具有有界遗传差异的集合系统。集合系统的遗传差异是通过删除基元的子集而获得的所有集合系统的最大差异。虽然是多项式时间，班萨尔的算法是不实用的，例如，他的算法的遗传设置运行在时间$Ω(m n^{4.5})$为集系统与$m$集在一个地面集的$n$元素。更有效的算法，从那时起已开发的一般和稀疏集系统，然而，对于遗传的情况下，Bansal的算法仍然是最先进的。在这项工作中，我们给出了一个显着更快的算法与遗传的保证，运行在$O(mn^2\lg(2 + m/n) + n^3)$的时间。我们的算法是基于新的结构见解集系统有界遗传差异。我们还实现了我们的算法，并通过实验表明，它计算的着色显着优于随机和完成在一个合理的时间，即使在集系统上有数千套超过地面集的数千个元素。
2022-11-24 cs.CG cs.DS
Online Envy Minimization and Multicolor Discrepancy: Equivalences and Separations
本文解决在线嫉妒最小化与多色偏差的开放问题，证明无感知对抗者下二者等价（均为Θ(√log T)界），独立同分布对抗者下二者分离（向量平衡有下界、嫉妒最小化达常数上界）。
2025-05-20 cs.DS cs.GT
Constructive l2-Discrepancy Minimization with Additive Deviations
本文提出一种多项式时间随机算法，解决了l2范数下的构造性偏差最小化问题，并在Steinitz问题中达到Banaszczyk的理论界。
2026-01-05 cs.DM cs.DS math.PR
Near-Optimal Constructive Bounds for $\ell_2$ Prefix Discrepancy and Steinitz Problems via Affine Spectral Independence
University of Warsaw（华沙大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
本文提出一种高效算法，针对ℓ₂Steinitz问题在d≥Ω(log⁷n条件下达到O(√d)的猜想界，并扩展到更难的ℓ₂前缀偏差问题。
2026-04-14 cs.DM cs.DS
Online Matrix Factorization, Online Private Query Release, and Online Discrepancy Minimization
University of Toronto（多伦多大学）；Northeastern University（东北大学）
本文研究了几个相关的在线计算问题，提出在线矩阵分解算法在不预先知道所有查询的情况下，可实现与离线方法相当的误差界，同时改进了在线偏差最小化算法。
2026-05-08 cs.DS
Geometric Barriers for Stable and Online Algorithms for Discrepancy Minimization
对于许多涉及随机性的计算问题，解空间的复杂几何特征已被用来严格排除强大的算法类别。这通常是通过多重重叠间隙属性（$m$ -OGP）来实现的，这是对表现出输入稳定性的算法的严格障碍。在本文中，我们专注于两个模型的算法的易处理性：（i）差异最小化，和（ii）对称二进制感知器（\texttt{SBP}），一个随机约束满足问题，以及玩具模型的单层神经网络。我们首先关注的是在线算法的局限性。通过建立和利用一个新的几何障碍，我们获得了尖锐的硬度保证对在线算法的\texttt{SBP}和差异最小化。我们的结果匹配最知名的算法保证，常数因子。我们的第二个重点是有效地找到一个常数差异的解决方案，给定一个随机矩阵$\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{M\times n}$。在平滑设置中，其中$\mathcal{M}$的条目是i.i.d.标准正常，我们确定$n=Θ(M\log M)$存在$m$-OGP。因此，我们排除了这类稳定的算法在这个值。这些结果为Altschuler和Niles-Weed~ \cite [猜想~1]{altschuler 2021 discrimination}的一个猜想提供了第一个严格的证据.我们的方法使用复杂的几何形状的解决方案空间，以证明紧硬度在线算法的结果。我们建立的屏障是$m$ -OGP的新变体。此外，它认为$m$ -元组的解决方案相对于相关的情况下，随着…
2023-02-13 cs.CC cs.DS math-ph
Optimal Online Discrepancy Minimization in Linear Time
该研究提供在线算法，对固定向量序列，为每个向量随机分配符号，使前缀和可写成三个耦合标准高斯向量之和，算法运行于$O(dT)$时间，实现最优前缀差异界。
2026-07-07 cs.DS
Optimal Online Discrepancy Minimization
本文提出一种最优在线算法，通过推广前缀平衡结果与克隆论证，将向量序列前缀和的次高斯性界改进为常数级，并给出匹配的差异下界。
2023-08-02 cs.DS
An Algorithm for Komlós Conjecture Matching Banaszczyk's bound
我们考虑的问题，找到一个低的差异着色的稀疏集系统，每个元素位于最多t集。我们给出了一个有效的算法，找到一个着色与差异O（（t log n）^{1/2}），匹配的最佳已知的非建设性的问题，由于Banaszczyk的界限。以前的算法只能达到O（t^{1/2} log n）界。结果也扩展到更一般的Komlós设置，并给出了一个算法的O（log^{1/2} n）界。
2016-09-10 cs.DM cs.DS
Efficient Algorithms for Discrepancy Minimization in Convex Sets
Spencer的一个结果表明，在一个大小为$n$的宇宙上，每个$n$集合的集合都有一个与$\{-1,+1\}$有差异的着色$O(\sqrt{n})$。一个几何推广这一结果是由Gluskin（也见Giannopoulos）谁表明，每一个对称凸体$K\subseteq R^n$高斯措施至少$e^{-εn}$，为一个小$ε>0$，包含一个点$y\in K$的一个常数分数的坐标$y$是在$\{-1,1\}$。这通常被称为部分着色结果。虽然这两个结果是固有的非算法，最近Bansal（也见洛维特，麦卡）了一个多项式时间算法斯宾塞的设置和Rothvoss了一个随机多项式时间算法获得相同的保证结果Gluskin和Giannopoulos。本文有几个相关的结果。首先，我们证明了另一个建设性的版本的结果Gluskin和Giannopoulos通过优化的线性函数。这意味着基于线性规划的组合差异算法获得与斯宾塞相同的结果。我们的第二个结果给出了一种新的方法来获得部分着色，并表明，每个凸体$K\subseteq R^n$，可能是非对称的，高斯测度至少$e^{-εn}$，对于一个小的$ε>0$，包含一个点$y\in K$，其中一个常数分数的坐标的$y$是在$\{-1,1\}$。最后，我们给出了一个简单的证明，表明对于任何$δ>0$存在一个常数$c>0$，这样，给定一个身体$K$与$γ_n(K)\geq δ$，…
2014-09-09 cs.CG cs.DS math.PR
Discrepancy Minimization in Input-Sparsity Time
我们提出一种输入稀疏时间的组合算法，近似最小化矩阵差异，达到与Larsen相同的近似比，并突破立方时间障碍，几乎弥合实值与二元矩阵的计算差距。
2025-05-25 cs.DS
The Gram-Schmidt Walk: A Cure for the Banaszczyk Blues
一个重要的结果，在差异，由于Banaszczyk指出，任何一组$n$向量在$\mathbb{R}^m$的$\ell_2$规范至多$1$和任何凸体$K$在$\mathbb{R}^m$的高斯措施至少一半，存在一个$\pm 1$组合这些向量在于$5K$。这一结果意味着最好的知名的界限，几个问题的差异。Banaszczyk对这一结果的证明是非建设性的，一个主要的开放问题是给出一个有效的算法来找到这样一个$\pm 1$向量组合。本文解决了这一问题，并给出了一个有效的随机算法来寻找位于$cK$中的向量的$\pm 1$组合，其中$c>0$是一个绝对常数。这导致新的高效算法的差异理论中的几个问题。
2017-08-03 cs.DM cs.DS
Discrepancy Algorithms for the Binary Perceptron
本文分析经典差异最小化算法在二元感知器问题中的性能，在零截距和大截距情形下获得新算法结果，并在负无穷截距下刻画存储容量并给出匹配下界。
2025-05-23 cs.CC cs.DS math-ph
Online Discrepancy with Recourse for Vectors and Graphs
向量平衡问题是差异理论中的一个基本问题：给定$[-1,1]^n$中的T个向量，找到每个向量$a$的符号$σ(a) \in \{\pm 1\}$，以最小化差异$\| \sum_{a} σ(a) \cdot a \|_{\infty}$。这个问题已经在静态/离线设置中得到了广泛的研究。在本文中，我们在具有追索权的全动态设置中开始研究：该算法看到T个向量的插入和删除流，并且每次必须保持低差异签名，同时还最小化每次更新的摊销追索权（任何向量改变其符号的次数）。对于一般向量，我们展示了几乎匹配斯宾塞的$O(\sqrt{n})$离线差异界限的算法，每次更新的${O}(n\cdot poly\!\log T)$摊销追索权。关键的想法是以分布式和递归的方式计算线性松弛的基本可行解，这有助于找到低差异的签名。为了约束追索权，我们认为只有一小部分的实例需要重新计算在每次更新。由于向量平衡也被大量研究稀疏向量，我们然后给出算法的低差异的边缘方向，我们动态地保持签名的2稀疏向量。或者，这可以被看作是定向n顶点图的动态边集，以最小化任何顶点处的入度和出度之间的绝对差。本文提出了一个具有$O(poly\!\log n)$差异和$O(poly\!\log n)$摊销追索权的确定性算法。核心思想是动态地保持具有低追索权的扩展器分解，然后表明，随着扩展器随时间的推移而变化，自然的局部搜索算法快速收敛（即，具有低追索…
2021-11-11 cs.DS math.CO
A Size-Sensitive Discrepancy Bound for Set Systems of Bounded Primal Shatter Dimension
设$(X,§)$是$n$ -点集$X$上的集合系统. $§$的\emph{discrepancy}被定义为在$X$上的$S \in §$和双色$χ$的所有子集上，与偶数分割的最大偏差的最小值。我们考虑的情况下，对于任何子集$X' \subseteq X$的大小为$m \le n$和任何参数$1 \le k \le m$，$§$到$X'$的集合的限制的数量最多$k$的大小为只有$O(m^{d_1} k^{d-d_1})$，对于固定整数$d > 0$和$1 \le d_1 \le d$（这推广了标准的概念时，\emph{bounded primal shatter dimension} $d_1 = d$）。在这种情况下，我们表明，存在一个着色$χ$的差异界$O^{*}(|S|^{1/2 - d_1/(2d)} n^{(d_1 - 1)/(2d)})$，对于每个$S \in §$，其中$O^{*}(\cdot)$隐藏在$n$的多对数因子。这个界限是紧到一个多对数因子\cite{Mat-95, Mat-99}和相应的着色$χ$可以计算在预期的多项式时间使用最近的机器Lovett和Meka建设性差异最小化\cite{LM-12}。我们的界改进和推广的界限，从机器的哈Peled和Sharir \cite{HS-11}（和后续工作\cite{SZ-12}）的点和半空间中的$d$ -空间$d \…
2013-07-30 cs.CG cs.DS
Linear-Sized Sparsifiers via Near-Linear Time Discrepancy Theory
本文提出一个基于差异理论的新框架，通过低精度正则化优化近似部分着色，实现近线性时间构建线性大小稀疏化器，并改进谱稀疏化、超稀疏化及Spencer定理的算法。
2023-05-15 cs.DS
Weighted Equitability and Matroid-Constrained Discrepancy
MTA-ELTE Matroid Optimization Research Group and HUN-REN-ELTE Egerváry Research Group, Department of Operations Research, ELTE Eötvös Loránd University（MTA-ELTE拟阵优化研究组和HUN-REN-ELTE埃格瓦里研究组，运筹学系，布达佩斯罗兰大学）；HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Microsoft Research（微软研究院）
本文证明加权拟阵公平性，基于局部交换定理给出两种证明并得到强多项式算法，推广 Beck–Fiala 框架，提出前缀约束拟阵基猜想并证偏差界，还给出加权拼车猜想等的反例。
2026-08-17 cs.DS
Approximate Hypergraph Coloring under Low-discrepancy and Related Promises
一个超图称为$χ$ -可着色的，如果它的顶点可以用$χ$颜色着色，使得没有超边是单色的。$2$ -可着色性是超图的一个基本性质（称为性质B），在组合数学中得到了广泛的研究。然而，在数学上，给定一个$2$ -可着色的$k$ -均匀超图，要找到一个小于一部分超边$2^{-k+1}$的$2$-着色错误是NP-困难的（这是通过随机$2$ -着色实现的），并且正确着色超图的最佳算法需要$\approx n^{1-1/k}$颜色，随着$k$的增加，接近$n$的平凡界。在这项工作中，我们研究了近似超图着色的复杂性，对于最大化（找到具有最少错色边的$2$着色）和最小化（使用最少数量的颜色找到适当的着色）版本，当输入超图被保证具有比$2$ -可着色性更强的以下属性时：（A）低差异：如果超图具有$\ell \ll \sqrt{k}$不一致性，给出了用$\approx n^{O(\ell^2/k)}$颜色对超图着色的算法.然而，对于最大化的版本，我们证明了NP-困难的找到一个$2$着色miscoloring小于$2^{-O(k)}$（分别。$k^{-O(k)}$（分别为$\ell=2$）。在UGC假设下，对于几乎不一致的$1$超图，我们将后者的硬度因子改进为$2^{-O(k)}$. (B)彩虹可着色性：如果超图有一个$(k-\ell)$ -着色，使得每个超边都是多色的，我们给出了一个$2$ -着色算法，…
2015-06-22 cs.CC cs.DS
Balanced Interval Coloring
考虑用$k$颜色对$n$区间着色的差异问题，使得在直线上的每一点上，任意两种颜色的区间数的最大差异最小.令人惊讶的是，最大差异最多为1的着色总是存在的。并给出了一个具有运行时间的构造算法$O(n \log n + kn \log k)$.这是特别有趣的，因为许多已知的差异问题的结果是非建设性的。这个问题自然地模拟了负载均衡场景，其中具有给定开始和结束时间的$n$任务必须在$k$服务器之间分布。我们的研究结果表明，这可以做到理想的平衡。当推广到$d$维盒（而不是区间）时，最多相差1的解并不总是可能的。我们表明，对于任何$d \ge 2$和任何$k \ge 2$，它是NP-完全的，以决定是否存在这样的解决方案，这意味着也NP-困难的相应的最小化问题。在在线场景中，间隔随着时间的推移而到达，并且颜色必须在到达时决定，颜色类大小的最大差异对于任何在线算法都可以变得任意高。
2010-12-17 cs.DS
