Deterministic Discrepancy Minimization via the Multiplicative Weight Update Method
Spencer的一个著名定理表明，任何在$n$元素上具有$n$集合的集合系统允许差异着色$O(\sqrt{n})$。虽然最初的证明是非建设性的，但最近的进展带来了Bansal，Lovett和Meka以及Rothvoss的多项式时间算法。所有这些算法都是随机的，尽管Bansal的算法承认一个复杂的去随机化。我们提出了一个优雅的确定性的多项式时间算法的灵感来自Lovett-Meka以及乘法权重更新方法。该算法迭代地更新分数着色，同时控制分配给集合约束的指数权重。Meka的一个猜想表明Spencer界可以推广到对称矩阵。我们证明了$n \times n$矩阵是块对角的块大小$q$允许染色的差异$O(\sqrt{n} \cdot \sqrt{\log(q)})$。Bansal，Dadush和Garg最近给出了一个随机算法来在多项式时间内找到一个在$\lbrace{-1,1\rbrace}$中具有$\|Ax\|_{\infty} \leq O(\sqrt{\log n})$的条目的向量$x$，其中$A$是列长度至多为1的任何矩阵。我们表明，我们的方法可以用来确定性地获得这样一个向量。
2017-03-11 cs.CG cs.DM cs.DS
Constructive Discrepancy Minimization by Walking on The Edges
最小化集合系统的差异是组合数学中的一个基本问题。这一领域的基石之一是著名的六个标准偏差结果斯宾塞（AMS 1985）：在任何系统的n套在宇宙大小为n，总是存在一个着色，实现差异6 \sqrt{n}。Spencer的原始证明本质上是存在性的，并且没有给出一个有效的算法来找到这样的着色。最近，Bansal（FOCS 2010）的突破性工作给出了一个有效的算法，找到这样的着色。他的算法是基于一个SDP松弛的差异问题和一个聪明的舍入程序。在这项工作中，我们给出了一个新的随机算法，找到一个着色的斯宾塞的结果的基础上的限制随机游动，我们称之为“边行走”。我们的算法和它的分析只使用基本的线性代数，是“真正的”建设性的，因为它不呼吁存在的论点，给斯宾塞定理和部分着色引理的一个新的证明。
2012-10-11 cs.DM cs.DS math.CO
Algorithmic Discrepancy Minimization
本文将对算法差异理论的一个结果进行文献综述。我们将首先简要介绍差异理论和该领域的一些主要结果，然后重点介绍Shachar Lovett和Raghu Meka的一个重要结果。我们重述了本文的主要算法和思想，并对文中的一些主要结果重新进行了证明。
2019-11-18 cs.DS
Constructive Discrepancy Minimization with Hereditary L2 Guarantees
在差异最小化问题中，我们给出一族集合$\mathcal{S} = \{S_1,\dots,S_m\}$，每个$S_i \in \mathcal{S}$是$n$元素的某个论域$U = \{u_1,\dots,u_n\}$的子集。目标是找到$U$的元素的着色$χ: U \to \{-1,+1\}$，使得每个集合$S \in \mathcal{S}$尽可能均匀地着色。两种经典的差异测量是$\ell_\infty$ -定义为$\textrm{disc}_\infty(\mathcal{S},χ):=\max_{S \in \mathcal{S}} | \sum_{u_i \in S} χ(u_i) |$的差异和$\ell_2$ -定义为$\textrm{disc}_2(\mathcal{S},χ):=\sqrt{(1/|\mathcal{S}|)\sum_{S \in \mathcal{S}} \left(\sum_{u_i \in S}χ(u_i)\right)^2}$的差异。突破性的工作由Bansal给出了一个多项式时间算法，基于舍入的SDP，为找到一个着色$χ$，使$\textrm{disc}_\infty(\mathcal{S},χ) = O(\lg n \cdot \textrm{herdisc}_\infty(\mathcal{S}))$其中$\textrm{herdisc}_…
2018-12-13 cs.DM cs.DS math.CO
Fast Discrepancy Minimization with Hereditary Guarantees
自Bansal（FOCS 2010）的突破性工作以来，有效地计算各种集合系统的低差异着色已经得到了广泛的研究，Bansal给出了几个重要设置的第一个多项式时间算法，包括一般集合系统，稀疏集合系统和具有有界遗传差异的集合系统。集合系统的遗传差异是通过删除基元的子集而获得的所有集合系统的最大差异。虽然是多项式时间，班萨尔的算法是不实用的，例如，他的算法的遗传设置运行在时间$Ω(m n^{4.5})$为集系统与$m$集在一个地面集的$n$元素。更有效的算法，从那时起已开发的一般和稀疏集系统，然而，对于遗传的情况下，Bansal的算法仍然是最先进的。在这项工作中，我们给出了一个显着更快的算法与遗传的保证，运行在$O(mn^2\lg(2 + m/n) + n^3)$的时间。我们的算法是基于新的结构见解集系统有界遗传差异。我们还实现了我们的算法，并通过实验表明，它计算的着色显着优于随机和完成在一个合理的时间，即使在集系统上有数千套超过地面集的数千个元素。
2022-11-24 cs.CG cs.DS
Online Envy Minimization and Multicolor Discrepancy: Equivalences and Separations
本文解决在线嫉妒最小化与多色偏差的开放问题，证明无感知对抗者下二者等价（均为Θ(√log T)界），独立同分布对抗者下二者分离（向量平衡有下界、嫉妒最小化达常数上界）。
2025-05-20 cs.DS cs.GT
Online Discrepancy for Sub-Exponential Product Distributions via Regularization
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
该研究针对亚高斯输入的在线偏差最小化问题，提出结合ℓ_∞-范数正则化与自适应坐标限制的多项式时间算法，得到不依赖时间T的偏差界，推广了相关定理并接近最优。
2026-10-20 cs.DM cs.DS math.CO
Online Matrix Factorization, Online Private Query Release, and Online Discrepancy Minimization
University of Toronto（多伦多大学）；Northeastern University（东北大学）
本文研究了几个相关的在线计算问题，提出在线矩阵分解算法在不预先知道所有查询的情况下，可实现与离线方法相当的误差界，同时改进了在线偏差最小化算法。
2026-05-08 cs.DS
Geometric Barriers for Stable and Online Algorithms for Discrepancy Minimization
对于许多涉及随机性的计算问题，解空间的复杂几何特征已被用来严格排除强大的算法类别。这通常是通过多重重叠间隙属性（$m$ -OGP）来实现的，这是对表现出输入稳定性的算法的严格障碍。在本文中，我们专注于两个模型的算法的易处理性：（i）差异最小化，和（ii）对称二进制感知器（\texttt{SBP}），一个随机约束满足问题，以及玩具模型的单层神经网络。我们首先关注的是在线算法的局限性。通过建立和利用一个新的几何障碍，我们获得了尖锐的硬度保证对在线算法的\texttt{SBP}和差异最小化。我们的结果匹配最知名的算法保证，常数因子。我们的第二个重点是有效地找到一个常数差异的解决方案，给定一个随机矩阵$\mathcal{M}\in\mathbb{R}^{M\times n}$。在平滑设置中，其中$\mathcal{M}$的条目是i.i.d.标准正常，我们确定$n=Θ(M\log M)$存在$m$-OGP。因此，我们排除了这类稳定的算法在这个值。这些结果为Altschuler和Niles-Weed~ \cite [猜想~1]{altschuler 2021 discrimination}的一个猜想提供了第一个严格的证据.我们的方法使用复杂的几何形状的解决方案空间，以证明紧硬度在线算法的结果。我们建立的屏障是$m$ -OGP的新变体。此外，它认为$m$ -元组的解决方案相对于相关的情况下，随着…
2023-02-13 cs.CC cs.DS math-ph
Online Carpooling using Expander Decompositions
我们考虑在线拼车问题：给定$n$顶点，一系列边随着时间的推移到达。当边$e_t = (u_t, v_t)$到达时间步长$t$时，算法必须将边定向为$v_t \rightarrow u_t$或$u_t \rightarrow v_t$，目的是最小化任何顶点的最大差异，即，它的入度和出度之间的绝对差。边缘对应于想要一起乘坐的成对的人，并且定向表示指定驾驶员。然后，差异目标对应于每个人驾驶接近他们参与的乘坐的公平份额。在本文中，我们设计了有效的算法，可以保持polylog $(n,T)$最大差异（w.h.p）的任何序列的$T$到达时，到达的边缘是独立和均匀地从任何给定的图$G$采样。这为在线（随机）拼车问题提供了第一个多对数边界。在此之前的工作，最有名的界限是$O(\sqrt{n \log n})$ -差异的任何敌对序列的到来，或$O(\log\!\log n)$ -差异界限的随机到来时，$G$是完整的图形。我们的论文的技术关键是在表明，简单的贪婪算法，它具有可证明的好的差异界限时，到达的边缘均匀随机从完整的图，也有polylog差异时，$G$是一个扩展图。然后，我们将其与已知的扩展器分解结果相结合，设计我们的整体算法。
2020-10-03 cs.DS cs.GT
Efficient Algorithms for Discrepancy Minimization in Convex Sets
Spencer的一个结果表明，在一个大小为$n$的宇宙上，每个$n$集合的集合都有一个与$\{-1,+1\}$有差异的着色$O(\sqrt{n})$。一个几何推广这一结果是由Gluskin（也见Giannopoulos）谁表明，每一个对称凸体$K\subseteq R^n$高斯措施至少$e^{-εn}$，为一个小$ε>0$，包含一个点$y\in K$的一个常数分数的坐标$y$是在$\{-1,1\}$。这通常被称为部分着色结果。虽然这两个结果是固有的非算法，最近Bansal（也见洛维特，麦卡）了一个多项式时间算法斯宾塞的设置和Rothvoss了一个随机多项式时间算法获得相同的保证结果Gluskin和Giannopoulos。本文有几个相关的结果。首先，我们证明了另一个建设性的版本的结果Gluskin和Giannopoulos通过优化的线性函数。这意味着基于线性规划的组合差异算法获得与斯宾塞相同的结果。我们的第二个结果给出了一种新的方法来获得部分着色，并表明，每个凸体$K\subseteq R^n$，可能是非对称的，高斯测度至少$e^{-εn}$，对于一个小的$ε>0$，包含一个点$y\in K$，其中一个常数分数的坐标的$y$是在$\{-1,1\}$。最后，我们给出了一个简单的证明，表明对于任何$δ>0$存在一个常数$c>0$，这样，给定一个身体$K$与$γ_n(K)\geq δ$，…
2014-09-09 cs.CG cs.DS math.PR
Optimal Online Discrepancy Minimization in Linear Time
该研究提供在线算法，对固定向量序列，为每个向量随机分配符号，使前缀和可写成三个耦合标准高斯向量之和，算法运行于$O(dT)$时间，实现最优前缀差异界。
2026-07-07 cs.DS
Optimal Online Discrepancy Minimization
本文提出一种最优在线算法，通过推广前缀平衡结果与克隆论证，将向量序列前缀和的次高斯性界改进为常数级，并给出匹配的差异下界。
2023-08-02 cs.DS
The Cube-Root Phenomenon in Online Carpooling
University of Michigan（密歇根大学）；School of Computer Science, Georgia Tech（佐治亚理工学院计算机学院）
该论文研究在线拼车问题，证明贪心算法达到最优立方根差异界，并推广到随机到达场景，改进了此前平方根上界。
2026-09-21 cs.DS
Discrepancy Minimization in Input-Sparsity Time
我们提出一种输入稀疏时间的组合算法，近似最小化矩阵差异，达到与Larsen相同的近似比，并突破立方时间障碍，几乎弥合实值与二元矩阵的计算差距。
2025-05-25 cs.DS
Constructive l2-Discrepancy Minimization with Additive Deviations
本文提出一种多项式时间随机算法，解决了l2范数下的构造性偏差最小化问题，并在Steinitz问题中达到Banaszczyk的理论界。
2026-01-05 cs.DM cs.DS math.PR
Discrepancy Algorithms for the Binary Perceptron
本文分析经典差异最小化算法在二元感知器问题中的性能，在零截距和大截距情形下获得新算法结果，并在负无穷截距下刻画存储容量并给出匹配下界。
2025-05-23 cs.CC cs.DS math-ph
A Size-Sensitive Discrepancy Bound for Set Systems of Bounded Primal Shatter Dimension
设$(X,§)$是$n$ -点集$X$上的集合系统. $§$的\emph{discrepancy}被定义为在$X$上的$S \in §$和双色$χ$的所有子集上，与偶数分割的最大偏差的最小值。我们考虑的情况下，对于任何子集$X' \subseteq X$的大小为$m \le n$和任何参数$1 \le k \le m$，$§$到$X'$的集合的限制的数量最多$k$的大小为只有$O(m^{d_1} k^{d-d_1})$，对于固定整数$d > 0$和$1 \le d_1 \le d$（这推广了标准的概念时，\emph{bounded primal shatter dimension} $d_1 = d$）。在这种情况下，我们表明，存在一个着色$χ$的差异界$O^{*}(|S|^{1/2 - d_1/(2d)} n^{(d_1 - 1)/(2d)})$，对于每个$S \in §$，其中$O^{*}(\cdot)$隐藏在$n$的多对数因子。这个界限是紧到一个多对数因子\cite{Mat-95, Mat-99}和相应的着色$χ$可以计算在预期的多项式时间使用最近的机器Lovett和Meka建设性差异最小化\cite{LM-12}。我们的界改进和推广的界限，从机器的哈Peled和Sharir \cite{HS-11}（和后续工作\cite{SZ-12}）的点和半空间中的$d$ -空间$d \…
2013-07-30 cs.CG cs.DS
Online Discrepancy with Recourse for Vectors and Graphs
向量平衡问题是差异理论中的一个基本问题：给定$[-1,1]^n$中的T个向量，找到每个向量$a$的符号$σ(a) \in \{\pm 1\}$，以最小化差异$\| \sum_{a} σ(a) \cdot a \|_{\infty}$。这个问题已经在静态/离线设置中得到了广泛的研究。在本文中，我们在具有追索权的全动态设置中开始研究：该算法看到T个向量的插入和删除流，并且每次必须保持低差异签名，同时还最小化每次更新的摊销追索权（任何向量改变其符号的次数）。对于一般向量，我们展示了几乎匹配斯宾塞的$O(\sqrt{n})$离线差异界限的算法，每次更新的${O}(n\cdot poly\!\log T)$摊销追索权。关键的想法是以分布式和递归的方式计算线性松弛的基本可行解，这有助于找到低差异的签名。为了约束追索权，我们认为只有一小部分的实例需要重新计算在每次更新。由于向量平衡也被大量研究稀疏向量，我们然后给出算法的低差异的边缘方向，我们动态地保持签名的2稀疏向量。或者，这可以被看作是定向n顶点图的动态边集，以最小化任何顶点处的入度和出度之间的绝对差。本文提出了一个具有$O(poly\!\log n)$差异和$O(poly\!\log n)$摊销追索权的确定性算法。核心思想是动态地保持具有低追索权的扩展器分解，然后表明，随着扩展器随时间的推移而变化，自然的局部搜索算法快速收敛（即，具有低追索…
2021-11-11 cs.DS math.CO
Deterministically Simulating Barely Random Algorithms in the Random-Order Arrival Model
University of Toronto（多伦多大学）
研究通过随机顺序到达提取随机位以去随机化算法，提出一种提取过程在最坏情况下偏移为2−√2，用于模拟多种随机算法以理解其与确定性算法的比较优势。
2026-03-26 cs.DS
Stochastic Online Metric Matching
研究在线身份识别到达下的最小代价度量完美匹配问题。我们在每个点上都有一个固定的度量，然后请求在线到达，每个请求都独立于点上的已知概率分布。每个请求都必须匹配到一个免费的服务器，成本等于距离。目标是最小化匹配的预期总成本。这种随机到达模型已被广泛研究的最大化变量的在线匹配问题，然而，唯一已知的结果是一个紧密的$O(\log n)$ -竞争力的随机顺序到达模型的最小化问题。这与对抗模型形成对比，在对抗模型中，$O(\log n)$的最佳竞争比早已被证明，并且仍然是一个诱人的开放问题。在本文中，我们改进的i.i.d到达模型的结果。我们展示了如何i.i.d模型可以用来给更好的算法：我们的主要结果是一个$O((\log \log \log n)^2)$竞争力的算法在这个模型中。在此过程中，我们给出了一个$9$ -竞争算法的线和树的度量。这两个结果都意味着i.i.d模型与对抗和随机顺序模型之间的严格分离，无论是对于一般度量还是这些研究较多的度量。
2019-04-19 cs.DS
Online Scheduling with Makespan Minimization: State of the Art Results, Research Challenges and Open Problems
自Graham的开创性工作以来，在线调度在过去的五十年中一直是一个备受关注和具有挑战性的研究问题，在各种应用中具有巨大的实际意义，例如交互式并行处理，通信网络中的路由，分布式数据管理，客户端-服务器通信，交通运输，工业制造和生产中的交通管理。在这个问题中，一个序列的工作被接收一个接一个的顺序，由调度器调度的机器数量。作业到达时，调度器在下一个作业可用之前将该作业分配给机器，目标是最小化已调度作业的完成时间。本文重点介绍了在线调度的一系列独立的工作在相同的和统一的相关机器的优先和非优先处理格式考虑最大完工时间最小化的最优性标准的最新贡献。我们从初学者的角度提出了在线调度的基本方面，以及一般调度框架的背景。著名的确定性和随机在线调度算法在文献中获得的重要竞争力的分析结果，以及研究的挑战和开放的问题。讨论了最近出现的两个趋势，例如资源增加和半在线调度，作为未来研究工作的动力。
2020-01-14 cs.DS cs.OS
The threshold for online balancing of i.i.d. binary vectors
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该论文研究了随机到达的稀疏二元向量的在线平衡问题，确定了最优前缀偏差的量级为 $\Theta(\max\{\sqrt d,\log\log n\})$，并给出了达到上界的有效在线算法，揭示了稀疏度影响在线偏差的阈值。
2026-09-15 cs.DS math.CO math.PR
Online Total Completion Time Scheduling on Parallel Identical Machines
本文研究了具有延迟承诺的确定性非抢占式在线调度问题。在这个问题中，工件一个接一个地到达，它们的处理时间在到达时显示。在线算法可以在机器到达后的任何时候将作业分配给机器。我们既不允许抢占，也不允许重新启动作业，也就是说，一旦启动，作业就占用分配的机器，直到完成为止。我们的目标是最小化所有工件的完工时间之和。在更一般的加权版本的问题，我们乘以一个工作的完成时间的个人权重的工作。我们应用竞争分析来评估我们的算法。我们通过优化一个简单的工作模式，改进了这个问题的竞争比的25岁下界。这些下限随着机器数量的增加而减小。基于作业模式，我们开发了一个在线算法，这是一个扩展的延迟SPT（最短处理时间优先）方法的并行机环境。我们表明，竞争比是最多1.546为任何偶数的机器数量，这是一个显着的改善，以前已知的最好的竞争比1.791。对于两机环境，该算法实现了紧竞争比。这是第一个算法，最佳地解决了在线总完成时间问题的并行机环境。最后，我们给出了加权和未加权版本的问题之间的第一个分离表明，在两台机器的环境中，加权完成时间目标的竞争比严格大于1.546。
2022-07-18 cs.DS
Exact Universality of Online Discrepancy
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文证明在线向量平衡问题的最优值在随机输入下具有分布无关的普适极限，并据此构造了达到该极限的随机在线算法，同时应用于对称二元感知器的在线阈值普适性。
2026-10-02 cs.DS math.PR
Prophet Inequalities for Cost Minimization
报酬最大化的预言不等式是最优停止理论的基础，在机制设计和在线优化中有着广泛的应用。我们研究的\emph{cost minimization}对应的经典先知不等式：决策者面临的成本序列$X_1, X_2, \dots, X_n$从已知的分布在网上的方式和\emph{must} "停止“在某个点，并采取最后看到的成本。我们的目标是与一个"先知“竞争，他可以提前看到所有$X_i$的实现，并且总是选择最小值，从而获得$\mathbb{E}[\min_i X_i]$的成本。如果$X_i$不是同分布的，则没有策略可以实现有界近似，即使对于随机到达顺序和$n = 2$也是如此。这使我们考虑$X_i$是独立同分布的情况。为了身份证的情况下，我们表明，如果分布满足一个温和的条件，最优停止策略实现了（分布依赖）常数因子近似先知的成本。此外，对于MHR分布，该常数至多为$2$。所有的结果都很接近。我们还展示了一个例子的分布，不满足条件，任何算法的竞争比是无限的。把我们的注意力转向单阈值策略，我们设计了一个阈值，实现了$O\left(polylog{n}\right)$因子近似，其中对数因子中的指数是一个依赖于分布的常数，我们显示了匹配的下限。最后，我们注意到，我们的研究结果可以用来设计近似最优的公布价格式的采购拍卖可能是独立的利益机制。我们的技术利用\emph{hazard rate}的分布在一个新的方…
2023-02-23 cs.DS cs.GT
Balanced Interval Coloring
考虑用$k$颜色对$n$区间着色的差异问题，使得在直线上的每一点上，任意两种颜色的区间数的最大差异最小.令人惊讶的是，最大差异最多为1的着色总是存在的。并给出了一个具有运行时间的构造算法$O(n \log n + kn \log k)$.这是特别有趣的，因为许多已知的差异问题的结果是非建设性的。这个问题自然地模拟了负载均衡场景，其中具有给定开始和结束时间的$n$任务必须在$k$服务器之间分布。我们的研究结果表明，这可以做到理想的平衡。当推广到$d$维盒（而不是区间）时，最多相差1的解并不总是可能的。我们表明，对于任何$d \ge 2$和任何$k \ge 2$，它是NP-完全的，以决定是否存在这样的解决方案，这意味着也NP-困难的相应的最小化问题。在在线场景中，间隔随着时间的推移而到达，并且颜色必须在到达时决定，颜色类大小的最大差异对于任何在线算法都可以变得任意高。
2010-12-17 cs.DS
