The polylog quotient and the Goncharov quotient in computational Chabauty-Kim theory I
多项式是那些通过三次穿孔线的de Rham基本群的某个商（称为多项式对数商）进行因子分解的多重多项式。丹科恩，Wewers和布朗的工作的基础上，我们推动我们的明确motivic版本的金的方法的情况下，三次穿孔线的情况下，在一个开放的子计划$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$的计算边界。要做到这一点，我们开发了一个非常完善的版本的算法丹科恩专门针对这种情况下，我们把注意力集中在多对数商。这使我们能够将具有motivic迭代积分的微积分限制在Goncharov广泛研究的混合泰特伽罗瓦群的所谓深度一部分。我们还发现了一个有趣的后果，打破性质的polylog商，迫使我们对称化我们的polylogarithmic版本的金猜想。在这两部分系列的第一部分，我们专注于一个具体的例子，这使我们能够验证金猜想的一个有趣的新案例。
2020-08-21 math.NT
Refined Selmer equations for the thrice-punctured line in depth two
针对Kim证明西格尔定理的方法中S规模增大计算复杂度剧增的问题，本文实现了[BD19]提出的改进方法，显式计算S大小为2的三穿孔直线S-整点实例，给出Kim猜想自然推广的新例子。
2023-04-28 math.NT
An effective Chabauty-Kim theorem
Chabauty-Kim方法是一种在一定技术条件下求曲线上的有理点的方法，推广了Chabauty对Mordell猜想的证明，适用于Mordell-Weil秩小于其亏格的曲线。我们展示了如何Chabauty-金方法，当这些技术条件满足深度2，可应用于绑定的数量有理点的曲线上的更高的秩。这提供了一个非交换的推广科尔曼的有效Chabauty定理。
2018-05-11 math.AG math.NT
Explicit Motivic Mixed Elliptic Chabauty-Kim
本文的主要观点是将Dan-Cohen-Wewers和Dan-Cohen等人的论文中提出的显式动力学Chabauty-Kim方法推广到非有理曲线上。特别地，我们计算了穿孔椭圆曲线上$\mathbb{Z}[1/\ell]$ -点的Chabauty-Kim理想的元素的抽象形式，为某些高亏格曲线的构造奠定了基础.为此，我们开发了一个“显式Tannakian Chabauty-Kim方法”使用$\mathbb{Q}_{p}$ -Tannakian类别的伽罗瓦表示的地方$\mathbb{Q}$ -线性动机。在未来的工作中，我们打算使用这种方法来明确地应用Chabauty-Kim方法的曲线的正亏格的情况下，二次Chabauty不适用。
2021-02-16 math.AG math.NT
Unlikely intersections and the Chabauty-Kim method over number fields
Chabauty-Kim方法是一种通过某些超越$p$ -adic解析函数来寻找数域上的簇上的积分或有理点的工具，这些解析函数来自于与簇的基本群相关联的某些Selmer方案。本文建立了数域上曲线的Chabauty-Kim方法的几个基本结果。在证明这些结果的两个主要成分是一个不太可能的交叉结果为零的迭代积分，并仔细分析交叉的Selmer计划的原始曲线与单能阿尔巴尼亚品种的某些$\mathbf{Q} _p $ -subvariants的限制标量的曲线。主要定理还部分回答了Siksek关于数域上Chabauty方法的一个问题，并给出了Siksek问题的强形式的一个明确的反例.
2021-11-30 math.AG math.NT
Polylogarithmic motivic Chabauty-Kim for $\mathbb{P}^1 \setminus \{ 0,1,\infty \}$: the geometric step via resultants
De Vinci Higher Education, De Vinci Research Center（德芬奇高等教育）；Leiden University, Mathematical Institute（莱顿大学数学研究所）；École Polytechnique, Centre de Mathématiques Laurent Schwartz（巴黎综合理工学院洛朗·施瓦茨数学中心）；Weizmann Institute of Science, Department of Mathematics（魏茨曼科学研究所数学系）；The Ohio State University, Department of Mathematics（俄亥俄州立大学数学系）；Trinity College, Department of Mathematics（三一学院数学系）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文提出了一种基于结果抗的多项对数动机Chabauty-Kim方法，用于P¹ \ {0,1,∞}，并构造了非平凡的Chabauty-Kim函数，证明了不存在更小深度和次数的函数。
2026-02-05 math.AG math.NT
Integral Points on Elliptic Curves and Modularity
本文利用Chabauty-Kim方法证明了无复乘的穿孔有理椭圆曲线的S-整点集的有限性。这推广了Kim在复乘情形下的结果.我们的方法的关键输入是使用模块化技术来证明消失的某些Selmer组中涉及的Chabauty-Kim方法。
2020-06-08 math.NT
Quadratic Chabauty for (bi)elliptic curves and Kim's conjecture
我们探讨了一些有关的问题，二次Chabauty方法确定积分点的双曲曲线。我们删除了半稳定性的假设，在描述的二次Chabauty集$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2$包含整点$\mathcal{X}(\mathbb{Z})$的秩最多$1$的椭圆曲线。出于金的猜想，我们然后从理论上和计算上研究集理论的差异$\mathcal{X}(\mathbb{Z}_p)_2\setminus \mathcal{X}(\mathbb{Z})$。我们还考虑了Balakrishnan-Dogra的显式二次Chabauty的有理点的亏格2双椭圆曲线的算法问题。作为一个例子，我们提供了一个新的解决方案的丢番图，这是第一次解决了Wetherell。在计算上，与之前的二次Chabauty方法的主要区别是使用$p$ -adic σ函数代替双Coleman积分。
2020-06-20 math.AG math.NT
Explicit Chabauty-Kim for the Split Cartan Modular Curve of Level 13
我们扩展显式二次Chabauty方法在以前的工作中开发的前两个作者的情况下，非超椭圆曲线。这导致一个算法来计算曲线上的有理点亏格$g \ge 2$在有理数的雅可比矩阵具有Mordell-Weil秩$g$和Picard数大于1，并满足一些额外的条件。然后将该算法应用于模曲线$X_{s}(13)$上，完成了$\mathbf{Q}$上非CM椭圆曲线的分类，由于Bilu-Parent和Bilu-Parent-Rebolledo的存在，使其具有分裂Cartan水平结构.
2017-11-15 math.AG math.NT
The motivic Selmer scheme of the thrice-punctured line
Institut für Mathematik, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg（奥尔登堡卡尔·冯·奥西茨基大学数学研究所）
本文研究数域S整数环上三次穿孔射影直线的动机塞尔默概型，证明其同构于仿射空间并构造坐标，为一般情形下具体化动机Chabauty-Kim方法提供关键基础。
2026-11-13 math.NT
The Chabauty-Kim Method for Relative Completions
在这篇论文中，我们发展了一个Chabauty-Kim理论，用于motivic基本群的相对完备化，包括Selmer栈和de Rham基本群的相对完备化的容许扭子的模空间。一方面，这项工作推广了金（因此Chabauty）的结果，在单幂的情况下，通过添加一个还原商的基本群。从这个角度来看，添加一个约化部分允许将Chabauty型方法应用于具有平凡幂幺完备的基本群，例如$SL_2(\mathbb{Z})$。另一方面，幂幺部分是Lawrence和Venkatesh最近工作的自然扩张。我们表明，他们的关注与弗罗贝纽斯的中心化消失，因为一个移动到幂幺之塔，远离还原世界的旗帜品种和高斯-马宁连接。人们不禁希望，相对完备化将提供一个统一的证明莫德尔猜想，利用这两种方法的优势。为此，我们将我们的工作应用于勒让德家庭的投影线减去三个点，一个特殊的例子，劳伦斯和Venkatesh的方法失败。
2020-06-18 math.AG math.NT
p-adic elliptic polylogarithms and cubic Chabauty
Boston University（波士顿大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究p进椭圆多项式对数在立方查巴图方法中的应用，通过p进log和局部p进高度构造有限集，验证Kim猜想新实例。
2026-04-22 math.AG math.NT
The polylog quotient and the Goncharov quotient in computational Chabauty-Kim theory II
基于Dan-Cohen-Wewers，Dan-Cohen [DC]和Brown的工作，我们在Spec ZZ的开放子方案上的三次穿孔线的情况下，将Kim方法的显式motivic版本的计算边界推高。为此，我们开发了一个专门针对这种情况的[DC]算法的改进版本。我们还充分致力于处理多对数商。这使我们能够将具有motivic迭代积分的微积分限制在Goncharov广泛研究的混合泰特伽罗瓦群的所谓深度一部分。第一部分给出了一个应用，我们在一个有趣的新情况下验证了Kim猜想。
2019-12-29 math.AG math.KT math.NT
Linear and quadratic Chabauty for affine hyperbolic curves
该研究给出仿射双曲曲线线性与二次精细化Chabauty-Kim轨迹有限性的充分条件，通过构造基本群深度≤2商群实现，并结合Betts权滤波机制给出S-整点数量的无条件显式上界。
2023-07-27 math.NT
Chabauty--Kim, finite descent, and the Section Conjecture for locally geometric sections
本文研究了Chabauty-Kim猜想与局部几何截面猜想，证明了在满足Kim猜想的条件下，X/Q满足截面猜想，并推广到超几何曲线的S-整点。
2026-04-11 math.AG math.NT
Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty
研究了$\mathbb{Q}$上定义的亏格至少为2的光滑射影曲线的Selmer簇，这些曲线在CM Jacobian下几何占优.我们推广了Coates和Kim的一个结果，证明了Kim的非阿贝尔Chabauty方法适用于这样的曲线。结合Bogomolov-Tschinkel和Poonen关于非分歧对应的结果，我们推导出$\mathbf{P}^1$上任何具有可解伽罗瓦群的覆盖，特别是$\mathbb{Q}$上的任何超椭圆曲线，在$\mathbb{Q}$上只有1000个有理点.
2022-08-14 math.AG math.NT
A cubic Chabauty criterion for hyperelliptic curves
King’s College London（伦敦国王学院）
本文为具有有理 Weierstrass 点的超椭圆曲线建立了深度 3 Chabauty--Kim 集合的有限性判据，并给出一个亏格 2 曲线的实例，其雅可比簇的 Néron--Severi 秩为 1，Mordell--Weil 秩为 4。
2026-10-05 math.NT
$M_{0,5}$: Towards the Chabauty-Kim method in higher dimensions
本文研究 Chabauty–Kim 方法向高维的推广，在半权重4的 ZZ[1/6] 情形下，利用权重优势构造并计算出曲面 $M_{0,5}$ 上首个非平凡 Kim 函数。
2023-06-06 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty and rational points I: p-adic heights
我们给出的第一个明确的例子超出了Chabauty-Coleman方法，金的nonabelian Chabauty程序确定的一组有理点的曲线定义在$\mathbb{Q}$或二次数域。我们通过研究$p$ -进高度在显式非阿贝尔Chabauty中的作用来实现这一点。
2018-05-01 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty and rational points II: Generalised height functions on Selmer varieties
我们给出了新的例子，Chabauty-金集可以被证明是有限的，通过发展的概念“广义高度函数”的Selmer品种。我们还解释了如何计算这些广义高度的迭代积分，并给出第一个明确的nonabelian Chabauty结果曲线$X/\mathbb{Q}$的雅可比矩阵的Mordell-Weil秩大于其属。
2018-07-20 math.AG math.NT
The Unipotent Chabauty-Kim-Kantor Method for Relative Completions
Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
该研究基于Kantor的相对完备化思路，开发了新的p进解析方法，验证了相关维数不等式，得到Faltings与Siegel定理的新条件证明，还取得多项关键技术贡献。
2026-09-09 math.AG math.NT
Quadratic Chabauty for Modular Curves
设$X/\mathbb{Q}$是亏格为$g \ge 2$的曲线，其Jacobian为$J$，$\ell$是良好约化的素数.利用Selmer簇，Kim定义了一个降序序列\[ X(\mathbb{Q}_\ell) \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_1 \supseteq X(\mathbb{Q}_\ell)_2 \supseteq \cdots \]，它包含$X$的有理点。由于科尔曼的工作，“Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_1$被称为是有限的，提供了$J$的Mordell-Weil秩小于$g$。在这种情况下，人们有一个实用的策略，往往成功地计算$X$的有理点集。Balakrishnan和Dogra最近证明了“二次Chabauty集”$X(\mathbb{Q}_\ell)_2$是有限的，只要Mordell-Weil秩小于$g + ρ-1$，其中$ρ$是$J/\mathbb{Q}$的Néron-Severi秩。鉴于这一点，这是有趣的家庭曲线，其中$ρ\ge 2$，因此二次Chabauty更有可能成功比经典Chabauty。本文证明了亏格至少为3的所有模曲线都是如此。
2017-04-03 math.NT
Functional transcendence for the unipotent Albanese map
在混合Hodge结构变分的Ax-Schanuel猜想的条件下，证明了光滑簇的幂幺Albanese映射的超越性.我们表明，这个属性允许Chabauty-Kim方法推广到高维品种。特别是，我们有条件地推广了Chabauty-Kim理论中的几个主要丢番图有限性结果到任意数域。
2021-01-02 math.AG math.NT
$p$-adic Periods and Selmer Scheme Images
本文旨在为扩展Chabauty-Kim方法到更一般的超曲线上奠定基础，通过定义更一般的$p$-adic周期映射和非交换Chabauty框架，连接$p$-adic迭代积分与Goncharov的动机迭代积分理论。
2026-04-13 math.AG math.NT
Two recent p-adic approaches towards the (effective) Mordell conjecture
我们给出了一个介绍性的帐户最近的两种方法对有效的证明莫德尔猜想，由于劳伦斯-文卡特什和金。后一种方法，通常被称为方法的Chabauty-金或非阿贝尔Chabauty在文献中，具有的优点是，在某些情况下，它已变成一种有效的方法来确定一组曲线上的有理点，我们说明这一点，提出三个新的例子，模曲线，这一套可以确定。
2020-01-19 math.AG math.NT
Integral points on curves, the unit equation, and motivic periods
本文重述了一些最近的文献金的Chabauty的方法在语言的motivic周期的曲线上的边界点的扩展。定义了一个变种的高Albanese流形，它配备了一个典型的德拉姆路径。
2017-04-03 math.NT
Geometric quadratic Chabauty
本文仅用 jacobian 线丛与整数模型等简单代数几何语言，重新几何化阐述二次 Chabauty 方法。
2021-06-18 math.AG math.NT
Generalised height pairings and the Albanese kernel
本文研究深度二Chabauty-Coleman-Kim方法中广义高度配对的定义域与计算问题，证明若曲线X的Albanese核为挠群，则存在算法计算Jacobian上有理点对的广义高度配对。
2026-06-15 math.AG math.NT
Mixed Tate motives and the unit equation II
在过去的15年左右，Minhyong Kim开发了一个有效利用基本群来绑定（甚至计算）双曲曲线上的积分点的框架。这是一个系列的第三部分，其目标是实现金的方法在三次穿刺线的情况下的潜在有效性。正如在上一期文章中所设想的，我们构造了一个算法，它在停止时的输出是可证明的整点集，并且它的停止将遵循代数。我们的结果在很大程度上实现了我们在有理数上的目标，同时提出了更高数字域的主题。
2019-12-02 math.AG math.NT
2-descent for Bloch--Kato Selmer groups and rational points on hyperelliptic curves II
该研究提出精细化方法证明带单有理魏尔斯特拉斯点的超椭圆曲线的Chabauty--Coleman--Kim集合有限性，给出模2 Bloch--Kato塞尔默群的2进与实进塞尔默条件计算方法，验证了多数LMFDB中秩2亏格2曲线的有限性，还得到超椭圆曲线雅可比簇二次下降的域论描述。
2024-03-12 math.NT
