Improved Lower Bound for Locating-Dominating Codes in Binary Hamming Spaces
本文研究二元Hamming空间$\mathbb{F}^n$中的位置控制码。自从Slater和Rall在20世纪80年代提出定位控制码以来，定位控制码得到了广泛的研究。它们是适合于区分图中顶点的控制集。Hamming空间中的控制集和位置控制码已经在多篇文章中得到了研究。在此之前，Honkala等人（2004）已经给出了二元Hamming空间中位置控制码的一个下界。在本文中，我们改进了所有值$n\geq10$的下界。特别是，当$n=11$，我们设法提高以前的下界从$309$到$317$。该值非常接近$320$的当前最佳已知上界。
2021-02-10 math.CO
Strong Identification Codes for Graphs
对任意图~ \(G,\)，称一个顶点集~ \({\cal V}\)是控制的，如果~ \(G\)的每个顶点都至少包含~ \(G\)的一个节点，并且如果每个顶点~ \(v\)都包含一个唯一的邻居~ \(u_v \in {\cal V}\)，并且该邻居不与~ \(G.\)的其它顶点相邻。如果~ \({\cal V}\)是控制的和分离的，则~ \({\cal V}\)被定义为一个标识码。本文研究了以~ \(r,\)为指标的强识别码，通过对~ \(G\)的每个顶点在~ \({\cal V}.\)中至少包含~ \(r\)唯一邻点的约束，利用概率方法研究了强识别码的最小码长和允许识别码具有给定指标的图的存在性.
2021-08-15 math.CO
Locating-Dominating Sets and Identifying Codes of a Graph Associated to a Finite Vector Space
本文研究了Das \cite{Das}在有限向量空间中引入的图的顶点覆盖问题，使得我们可以通过检查覆盖它的顶点来唯一地识别任何顶点，我们使用了与此密切相关的定位控制集和识别码.这些集合由图的一个控制集组成，使得每个顶点在控制集中由其邻域唯一标识。给出了图的位置控制数和识别数，并研究了图的位置控制集和识别码的交换性质。
2017-01-30 math.CO
On Stronger Types of Locating-dominating Codes
本文研究能定位单目标并检测多目标的更强定位支配码，给出其最小尺寸界及在树和笛卡尔积中的性质，并证明与最优定位支配码共存的实现定理。
2019-04-02 math.CO
Identifying codes and locating-dominating sets on paths and cycles
设$G=(V,E)$是一个图，$r\ge 1$是一个整数。对于集合$D \subseteq V$，定义$N_r[x] = \{y \in V: d(x, y) \leq r\}$和$D_r(x) = N_r[x] \cap D$，其中$d(x,y)$表示$x$和$y$之间任何最短路径中的边数。如果对于所有顶点$x\in V$（分别为$x \in V\backslash D$），$D_r(x)$都非空且不同，则$D$称为$r$ -标识码（分别为$r$ -定位-支配集）.本文给出了路和奇圈中PDMATHAMV-可识别码的完整结果，也给出了圈中2-定位-控制集的完整结果。
2009-08-19 math.CO
Optimal bounds on codes for location in circulant graphs
近年来，$C_n(1,2,3,\dots, r)$型循环图的识别和定位控制码得到了广泛的研究。在2013年，Ghebleh和Niepel研究了$d=3$循环图$C_n(1,d)$中的位置控制码和识别码，并提出了$d > 3$的情况作为一个开放问题。本文研究了图$C_n(1,d)$、$C_n(1,d-1,d)$和$C_n(1,d-1,d,d+1)$中的可识别码、定位控制码和自识别码。我们给出了一种新的方法来研究这三个代码在循环图中使用适当的网格的下界。此外，我们表明，这些边界达到无穷多个参数$n$和$d$。此外，还提出了新的方法，给出了$C_n(1,3)$和$C_n(1,4).$中最佳自识别码的精确值
2018-02-05 cs.DM math.CO
Optimal $(1,\le \ell)$-locating-dominating codes in infinite triangular grid
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）；University of Turku（图尔库大学）；Indian Institute of Technology Dharwad（达瓦德印度理工学院）
本文研究无限三角网格中允许同时定位多达 $\ell$ 个顶点的定位控制码变体，并针对每个 $\ell$ 值确定了这些集合的精确最小密度。
2026-10-05 math.CO
The Interplay Between Domination and Separation in Graphs
LIMOS, Université Clermont Auvergne, CNRS, Mines Saint-Étienne, Clermont Auvergne INP（克莱蒙奥弗涅大学，法国国家科学研究中心，圣艾蒂安矿业学院，克莱蒙奥弗涅国立高等理工学院）；Department of Computer Science and Mathematics, Lebanese American University（黎巴嫩美国大学）
本文研究了图中支配与分离的相互作用，探讨了四种分离性质及它们与代码的关系，揭示了分离性质在图及其补图上的对称性。
2026-01-28 cs.CC cs.DM math.CO
Locating dominating codes: Bounds and extremal cardinalities
在这项工作中，两种类型的代码，使他们都支配和定位图的顶点进行了研究。这些代码可能是网络中的检测器组，也可能是控制系统的处理器组，它们的一组响应应该确定发生故障的处理器或入侵者。在这里，我们对λ-码和η-码的有关界、极值和实现定理作了较有意义的研究。
2012-05-10 cs.IT math.CO math.IT
Extremal digraphs for open neighbourhood location-domination and identifying codes
本文研究开邻域定位支配集等于全部顶点的极值有向图，证明其一般结构性质并给出构造方法，同时为已有结果提供新证明并刻画极值有向树。
2024-01-16 cs.DM math.CO
Bounds and extremal graphs for total dominating identifying codes
本文研究了图的全控制识别码，刻画了达到最大界的极图，证明了无孪生树和围长至少为5的无孪生图存在紧的3n/4上界，并建立了该参数与相关识别及定位控制参数间的界。
2023-07-29 math.CO
Nordhaus-Gaddum bounds for locating domination
图G的一个控制集S称为度量定位控制集，如果它也是定位的，即如果每个顶点v都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。此外，如果每个不在S中的顶点v也由v属于S的邻居集唯一确定，则称它是定位控制的。最小基数的定位、度量定位控制和定位控制集分别称为b-码、e-码和l-码。Nordhaus-Gaddum界是图G与其补图G的参数之和或乘积的紧下界或上界。本文给出了位置数b、度量位置数e和位置控制数l的Nordhaus-Gaddum界。此外，在每种情况下，图族达到相应的界限的特点。
2012-07-27 math.CO
Optimal open-locating-dominating sets in infinite triangular grids
开定位支配集（OLD-set）是图的顶点子集，使得图中的每个顶点在集合中至少有一个邻居，并且图中没有两个顶点在集合中有相同的邻居集。这是一个类似的充分研究的识别码在文献中。本文证明了无限三角形网格上OLD-集的最优密度为$4/13$。
2014-03-27 math.CO
The Identifying Code problem on $P_4$-tidy graphs
本文首先分析了图的并运算和联运算下的识别码数的性质。本文的研究迫使我们分析了与互补图的识别码、控制集和全控制集有关的三个新参数。我们得到这些参数的蜘蛛和准蜘蛛图的闭公式。这些结果很容易在基于线性动态规划算法的$P_4$ -整洁图的识别码问题中得到.
2014-12-09 math.CO
A generalization of perfect codes in the presence of star multiset transpositions
本研究将图的完美码推广为完美$^\ell$码（非码顶点恰有$\ell$个码内邻居），并将其应用于多重集排列构造的星型$j$-集对换图，可得到全染色、完美码等结构。
2024-06-21 math.CO
On global location-domination in graphs
图$G$的控制集$S$称为定位-控制集，简称LD-集，如果$S$中所有不属于$S$的顶点$v$都由属于$S$的$v$的邻居集唯一确定.最小基数的位置控制集称为$LD$ -码，LD-码的基数是位置控制数$λ(G)$。图$G$的LD-集$S$是全局的，如果它是$G$及其补图$\overline{G}$的LD-集。全局位置控制数$λ_g(G)$是$G$的全局LD-集的最小基数。本文给出了图及其补图的位置控制集与位置控制数之间的一些关系。
2013-12-03 math.CO
The growth rate over trees of any family of set defined by a monadic second order formula is semi-computable
一元二阶逻辑可以用来表达图的顶点集合的许多经典概念，例如：支配集，诱导匹配，完美码，独立集或无冗余集。从组合的角度来看，任何这样的集合族的集合数的界都是有趣的，并且具有算法应用。许多这样的界限上的不同家庭的集合在不同类别的图已经在文献中提供。特别是，罗特最近表明，最小的控制集的数量在树的顺序$n$是最多$95^{\frac{n}{13}}$和这一界是渐近尖锐的乘法常数。我们建立在他的工作表明，他所做的最小支配集可以做任何家庭的集定义的一元二阶公式。我们首先证明，对于任何一元二阶公式的图，它的顶点的一个给定的子集的特征，在一棵树中的最大数量的这样的集可以表示为\textit{growth rate of a bilinear system}。这主要依赖于树上的一元二阶逻辑与树自动机和基本树自动机操作之间的众所周知的联系。然后我们证明了双线性系统的这种“增长率”可以从上面近似得到，并利用这个结果的实现给出了树上独立控制集、完全控制集、诱导匹配、最大诱导匹配、最小完全控制集、完美码和最大无冗余集的个数的界。我们还解决了D. Y. Kang等人关于$r$ -匹配，并改进了Górska和Skupiestan关于树上最大匹配数的界。注意，这种方法很容易推广到有界树宽度或团宽度的图（或树自动机有意义的任何类似的图类）。
2020-05-07 cs.DM math.CO
On the number of k-dominating independent sets
研究了某些图族中$k$ -控制独立集的存在性和个数。虽然情况$k=1$即情况下的最大独立集-这是起源于埃尔德什和莫泽-被广泛研究，更少的是已知的一般。本文解决了树的问题，证明了当$k\geq 2$为$n$ -顶点图时，$k$ -控制独立集的最大数目介于$c_k\cdot\sqrt[2k]{2}^n$和$c_k'\cdot\sqrt[k+1]{2}^n$之间，并且$n$ -顶点图中$2$ -控制独立集的最大数目介于$c\cdot 1.22^n$和$c'\cdot1.246^n$之间.含有大量$k$ -支配独立集的图的构造来自于乘积图、完全二部图和有限几何图。乘积图的构造与某些MDS码的数目相关联。
2015-05-07 math.CO
Locating and Identifying Codes in Circulant Networks
一个图G的顶点集S称为G的控制集，如果G的每个顶点u要么在S中，要么在S中有一个邻点。换句话说，S是支配的，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）和N[u]表示u在G中的闭邻域，都是非空的。一个集合S \subseteq V（G）称为G中的定位码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）\setminus S都是非空且不同的.一个集合S \subseteq V（G）称为G中的一个识别码，如果集合S \cap N[u]，其中u \in V（G）都是非空且不同的.研究了循环网络C_n（1，3）中码的定位和识别问题.对于n>6，图C_n（1，3）有顶点集Z_n和边xy，其中x，y \in Z_n和|X-Y| \in {1，3}。证明了C_n（1，3）中的最小定位码的大小为\lceil n/3 \rceil + c，其中c \in {0，1}; C_n（1，3）中的最小识别码的大小为\lceil 4 n/11 \rceil + c '，其中c' \in {0，1}.
2012-07-19 cs.DM math.CO
Bounding the number of $(σ,ρ)$-dominating sets in trees, forests and graphs of bounded pathwidth
$(σ,ρ)$ -控制集的概念推广了控制集、诱导匹配、完美码和独立集等概念。对于不同的$σ$和$ρ$以及不同的图类，建立了这种（最大，最小）集的最大数目的界。特别地，Rote证明了$n$阶树的最小控制集的个数至多为$95^{\frac{n}{13}}$，Golovach等人计算了所有$σ$和$ρ$的路的$(σ,ρ)$ -控制集的个数的渐近性。在这里，我们提出了一种方法来计算的$(σ,ρ)$ -支配集的数量在图或有界路宽，树和森林的条件下，$σ$和$ρ$是（可能是无限的）等差数列的有限并。这种方法似乎并不总是有效，但在实际中，我们可以直接应用这种方法给出许多尖锐的界限。此外，在有界路径宽度的图形的情况下，我们推导出存在的算法，可以输出abritrarily良好的近似的增长率。
2019-04-05 math.CO
On three domination-based identification problems in block graphs
Université Clermont-Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）；CNRS Mines de Saint-Étienne Clermont-Auvergne-INP LIMOS（法国国家科学研究中心圣艾蒂安矿业学院克莱蒙奥弗涅国立理工学院LIMOS）；Univ Lyon CNRS INSA Lyon UCBL Centrale Lyon Univ Lyon 2 LIRIS UMR5205（里昂大学法国国家科学研究中心里昂国立应用科学学院里昂第一大学里昂中央理工学院里昂第二大学LIRIS UMR5205）
研究块图中识别码、定位支配码和开定位支配码的最小规模问题，通过确定块图中最大团数量和图阶数来获得紧界，验证文献中的猜想并证明下界线性关系。
2024-07-04 cs.DM math.CO
A Generalization of Lee Codes
受计算机体系结构中的一个问题的启发，我们在图中引入了完美距离-支配集的概念。PDDS构成了完美Lee码、直径完美码以及其他码和控制集的推广。在本文中，我们开始了系统的研究PDDS。将构建与应用程序相关的PDDS，并显示某些PDDS不存在。此外，长期存在的Golomb-Welch猜想的扩展，在PDDS方面，将被陈述。我们注意到，所有构造的PDDS都是格状的，从实用的角度来看，这是一个非常重要的特征，因为在这种情况下，解码算法往往要简单得多。
2013-08-04 cs.DM cs.IT math.CO
Identification, location-domination and metric dimension on interval and permutation graphs. II. Algorithms and complexity
本文研究区间图或置换图的最优识别码、（开）定位支配集和分解集（记为识别码、（开）定位支配集和度量维数）的求法问题。在这些问题中，人们要求通过顶点的子集来区分图的所有顶点，使用解集内的邻域或到解顶点的距离。使用这类问题的一般减少，我们证明了与这四个概念相关的决策问题是NP-完全的，即使是区间图的直径$2$和置换图的直径$2$。当用解的大小进行参数化时，识别码和（开）定位支配集是平凡的固定参数可处理的，而已知在相同的设置下，度量维数是$W[2]$ -难的。我们表明，对于区间图，这种参数化的度量维数是固定参数，听话。
2016-07-11 cs.DM cs.DS math.CO
Characterizing extremal digraphs for identifying codes and extremal cases of Bondy's theorem on induced subsets
（di）图$G$的标识码是$G$的顶点的支配子集$C$，使得$G$的所有不同顶点在$C$内具有不同的（内）邻域。本文对所有在任一识别码中只允许其整个顶点集的有限有向图进行了分类。我们也分类所有这样的无限定向图。此外，通过将这一概念与A.邦迪集系统，我们分类的极值情况下，这一定理。
2012-02-15 cs.DM math.CO
Private neighbors, perfect codes and their relation with the $\mathtt{v}$-number of closed neighborhood ideals
Universidad de La Laguna（拉帕鲁纳大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文研究图中支配集、隐私邻居和完美码之间的关系及其与交换代数的联系，探讨闭邻域理想v-数的估计方法，并证明v-数是 bipartite、very well-covered 和 chordal 图正则度的下界。
2026-04-06 math.AC math.CO
On Iiro Honkala's contributions to identifying codes
Télécom Paris（巴黎电信学院）；University of Turku（图尔库大学）；CNRS Université Paris-Saclay（法国国家科学研究中心巴黎萨克雷大学）
本文综述了伊罗·洪卡拉在识别码研究中的多方面贡献，包括计算复杂性、二进制汉明空间的组合学、无限网格、识别码与常规图参数的关系、允许识别码的图结构特性以及最优识别码数量。
2024-07-04 cs.DM math.CO
On global location-domination in bipartite graphs
图$G$的控制集$S$称为定位-控制集，简称LD-集，如果$S$中所有不属于$S$的顶点$v$都由属于$S$的$v$的邻居集唯一确定.最小基数的定位控制集称为$LD$ -码，LD-码的基数是\emph{location-domination number} $λ(G)$。图$G$的LD-集$S$是\emph{global}，如果它是$G$及其补图$\overline{G}$的LD-集。\emph{global location-domination number} $λ_g(G)$是$G$的全局LD集的最小基数。对于给定图$G$的任意LD-集$S$，引入了所谓的\emph{S-associated graph} $G^S$.这种边标记的二部图被证明是非常有帮助的方法研究图中的LD-集，特别是当$G$是二部的。本文主要研究了图$G$及其补图$\overline{G}$中的全局LD-集、LD-码和位置控制数之间的关系.
2015-06-10 math.CO
Self-identifying codes in direct products of complete graphs with paths and cycles
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数学与物理学院）；School of Mathematical Sciences, Zhejiang Normal University（浙江师范大学数学科学学院）
研究直接积K_m×P_n和K_m×C_n中的自识别码最小规模，得出线性上界，且渐近紧致，接近同图识别码大小。
2026-05-08 math.CO
Twins and Vertex- Identification on Graphs
最近，引入了几个顶点标识概念（标识着色，盖着色，.），这些概念的灵感来自于识别代码。所有这些算法以及原始的识别码都是基于两个顶点在其闭邻域上的某些条件下的分离。因此，双胞胎无法识别。因此，目前已知的结果大多集中在无孪生图上。在这里，我们展示了如何双胞胎可以修改最优值的顶点识别参数识别着色和局部识别着色。\textbf{Keyword :}识别着色，局部识别着色，孪生，分离。
2017-08-10 math.CO
Identifying codes of Cartesian product of two cliques
图$G$中的标识码是控制集$C$，使得$G$中每个顶点的闭邻域与$C$具有不同的交集。2008年，Gravier等人确定了两个大小相同的团的笛卡儿积的识别码的最小基数。本文将这一结果推广到任意两个非平凡团的笛卡儿积。
2014-12-08 math.CO
Perfect codes in 2-valent Cayley digraphs on abelian groups
研究阿贝尔群上强连通2价Cayley有向图的完美码问题，完成图的分类并完全确定其所有完美码。
2024-06-17 math.CO
Extremal graphs for the identifying code problem
图G的一个标识码是一个支配集C，使得G的每个顶点x与所有其他顶点的区别在于C中距离x至多为1的顶点的集合。找到一个尽可能小的识别码的问题被证明是一个具有挑战性的问题。N. Bertrand证明了如果n个顶点上的至少有一条边的图允许一个标识码，则最小标识码的大小至多为n-1。一些最小标识码为n-1的图类已经被知道，并且很少有公式化的图来分类所有这些图。在本文中，反驳这些命题，我们分类所有的有限图，其中所有的顶点，但其中之一是需要形成一个识别码。我们还分类所有的无限图需要在任何识别码的顶点的整个集合。同时给出了图的顶点数和最大度的新的上界。
2011-02-24 cs.DM math.CO
A note on some variations of the $γ$-graph
对于图$G$，$G$的$γ$ -图，$G(γ)$，是其顶点对应于$G$的最小控制集的图，并且其中$G(γ)$的两个顶点相邻当且仅当它们在$G$中对应的控制集恰好相差两个邻顶点。本文给出了$γ$ -图的几种变形，包括使用标识码、位置控制、全控制、成对控制和上控制数的变形.对于每一个，我们表明，对于任何图$H$，存在无穷多个图的$γ$ -图变体是同构的$H$。
2017-07-07 math.CO
Identifying codes of the direct product of two cliques
图中的标识码是支配集，支配集还具有图中每个顶点的闭邻域与集合具有不同的交集的性质。最近Gravier、Moncel和Semri证明了两个同阶n的团的笛卡儿积的识别码的最小基数是3 n/2的底数。我们考虑两个集团的直积的识别码。特别地，我们回答了Klavzar的一个问题，并确定了任何两个集团的直积的识别码的最小基数。
2012-06-15 math.CO
Random subgraphs make identification affordable
一个图的标识码是一个控制集，它通过所有顶点在码内的邻域唯一地确定所有顶点。而具有大的最小度的图具有小的控制数，这不是识别码数（最小识别码的大小）的情况，它甚至不是图包含的单调参数。我们证明了对于某个常数$c>0$，每个顶点数为$n$，最大度为$Δ=ω(1)$，最小度为$δ\geq c\logΔ$的图$G$都包含一个大生成子图，该图允许一个识别码的大小为$O\left(\frac{n\logΔ}δ\right)$ .特别地，如果$δ=Θ(n)$，则$G$具有带有标识码$O\left(\log n\right)$的稠密生成子图，即具有渐近最优大小。我们构建的子图是使用概率方法创建的，我们使用各种随机方法的相互作用来分析它。此外，我们表明，无论是在删除边的数量和识别码的大小方面，结果基本上是最好的。
2013-06-04 cs.DM math.CO
On the size of identifying codes in triangle-free graphs
在无向图$G$中，一个子集$C\subseteq V(G)$，使得$C$是$G$的支配集，并且$V(G)$中的每个顶点都被来自$C$的一个不同的顶点子集支配，称为$G$的标识码。识别码的概念是由Karpovsky，Chakrabarty和Levitin在1998年提出的。对于给定的可识别图$G$，令$\M(G)$是$G$中的识别码的最小基数。本文证明了：对于任意连通可识别无三角形图$G$，$n$上的顶点具有最大度$Δ\geq 3$，$\M(G)\le n-\tfrac{n}{Δ+o(Δ)}$ .这个界限是渐近紧的常数，由于各种类别的图，包括$(Δ-1)$ -ary树，这是已知的有其最小识别码的大小$n-\tfrac{n}{Δ-1+o(1)}$。我们还提供了改进的限制性的无三角形图的子族的界限，并猜想存在一些常数$c$，使得界$\M(G)\le n-\tfrac{n}Δ+c$保持任何非平凡的连接可识别图$G$。
2012-06-29 cs.DM math.CO
On minimum identifying codes in some Cartesian product graphs
图中的标识码是支配集，支配集还具有图中每个顶点的闭邻域与集合具有不同的交集的性质。图$G$中的标识码或ID码的最小基数称为$G$的ID码号，并表示为$\gid(G)$。本文给出了图的棱柱的ID码数的上、下界，即$G\Box K_2$。特别是，我们表明，$\gid(G \Box K_2) \ge \gid(G)$，我们表明，这个界限是尖锐的。给出了格图ID码数的上、下界和$\gid(G\Box K_2)$的一般上界。
2016-02-12 math.CO
Solving a Conjecture on Identification in Hamming Graphs
自Karpovsky、Chakrabarty和Levitin在1998年提出图中的识别码以来，图中的识别码得到了广泛的研究。特别地，关于二元超立方体，即Hamming图$K_2^n$，已有很多结果。2008年，Gravier等人开始研究$K_q^2$中的识别。Goddard和Wash在2013年研究了一般Hamming图$K_q^n$中的识别码。例如，他们指出，任何$q$和$n\geq3$的$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-1}$。此外，他们还强调了$γ^{ID}(K_q^3)=q^2$。在这篇文章中，我们表明，$γ^{ID}(K_q^3)\leq q^2-q/4$当$q$是一个4的权力，反驳了猜想。我们的方法是基于递归使用合适的设计。Goddard和Wash也给出了下面的下限$γ^{ID}(K_q^3)\ge q^2-q\sqrt{q}$。我们将此界改进为$γ^{ID}(K_q^3)\ge q^2-\frac{3}{2} q$。用于获得识别码的下限的常规方法在这里没有帮助。因此，我们提供了一个不同的技术戈达德和华盛顿的方法的建设。此外，当$q$是素数幂时，我们将上述的界$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-1}$改进为$γ^{ID}(K_q^n)\leq q^{n-k}$（对于$n=3\frac{q^k-1}{q-1}$）.对于这个界，我们利用有限域上合适…
2018-05-04 math.CO
Separating hash families: A Johnson-type bound and new constructions
分离散列族是一种有用的组合结构，它是组合学、密码学和编码理论中许多研究对象的推广。本文利用图论和加法数论的工具，解决了几个关于分离散列族的界和构造的公开问题和解答。首先，我们发现分离哈希族的基数满足一个Johnson型不等式。结果，我们得到了一个新的上界，这是优于以往的。其次，我们提出了一个无限类的完美哈希家庭的建设。它以编码理论中的Hamming图为基础，推广了以前出现的许多构造。它对Bazrafshan-Trung提出的关于分离散列族的公开问题和Alon-Stav提出的关于双亲识别码的猜想都给出了肯定的回答。第三，令$p_t(N,q)$表示长度为$N$的$t$完美散列族在大小为$q$的字母表上的最大基数。Walker II和Colbourn证实了$p_3(3,q)=o(q^2)$。我们通过证明$q^{2-o(1)}<p_3(3,q)=o(q^2)$来验证这个猜想。我们的证明可以看作是Ruzsa-Szemer{é}di（6，3）-定理的一个应用。我们还证明了$q^{2-o(1)}<p_4(4,q)=o(q^2)$。引入图论和加法数论中的两个新概念，即彩虹圈和$R$ -无和集，证明了这一结果.这两个界限支持了布莱克本、埃锡安、斯丁森和扎韦鲁查的问题。最后，我们在完美散列族和超图Tur{á}n问题之间建立了一座桥梁.这种联系以前没有被注意到。因此，出现了许多新的结果和问题。
2016-10-25 cs.DM cs.IT math.CO
Perfect domination in rectangular grid graphs
一个图$G$中的控制集$S$称为完美的，如果$G$的每个不在$S$中的顶点都只与$S$的一个顶点相邻。给定$m\times n$格图$G$的边$P_m$的顶点子集$S'$，通过运行时的穷举算法$Θ$ $O(2^{m+n})$，可以确定具有$S'=S\cap V(P_m)$的$G$中的完美控制集$S$.将$Θ$扩展到宽度为$m-1$的无限网格图，周期性使得$Θ$的二叉决策树可被打印成有限线索树，其闭行走产生所有这样的集合$S$ .这些集合$S$的补集所诱导的图可以通过$Θ$由正整数的有序对的阵列编码，对于其生长和确定，存在更快的%贪婪算法。%及其周期结构，进一步研究。最近的一个特征的网格图具有完全完美的代码$S$（只有1-立方体作为诱导组件），由于Klostermeyer和Goldwasser，在$Θ$方面，它允许显示，这些集$S$的限制只有一个完全代码$S_1$的整数格图$Λ$的$\R^2$。此外，补$Λ-S_1$产生非周期性平铺，如彭罗斯平铺。相反，$Λ$中的平行、水平、完全完美码与双无限$\{0,1\}$ -序列1-1对应。
2007-11-27 math.CO
Solving Two Conjectures regarding Codes for Location in Circulant Graphs
本文证明了Ghebleh和Niepel关于循环图$C_n(1,3)$中定位控制码和识别码最小基数下界的两个猜想，采用利用码与图全局性质的新方法。
2018-12-19 math.CO
On tight bounds for binary frameproof codes
本文研究$w$ -防帧码，它等价于$\{1,w\}$ -分离散列族.我们的主要结果涉及二进制码，这是定义在一个字母表的两个符号。对于所有的$w \geq 3$和$w+1 \leq N \leq 3w$，我们证明了一个$SHF(N; n,2, \{1,w \})$存在，只有当$n \leq N$，和一个$SHF(N; N,2, \{1,w \})$必须是一个置换矩阵的程度$N$。
2014-06-26 cs.IT math.CO math.IT
Improved Lower Bounds on the Domination Number of Hypercubes and Binary Codes with Covering Radius One
本文针对超立方体支配数问题，利用同余性质提出新方法，在n为6的倍数时将下界从2^n/n改进为(n-2)2^n/(n^2-2n-2)。
2023-10-20 math.CO
Revisiting and improving upper bounds for identifying codes
图$G$的标识码$C$是$G$的支配集，使得$G$的任何两个不同的顶点在$C$内具有不同的闭邻域。这些代码已被广泛研究了二十多年。我们给出了一个改进的所有最有名的上界，其中一些已经站了20多年，用于识别代码的树，证明了上界的$(n+\ell)/2$，其中$n$是顺序和$\ell$是叶子（悬垂顶点）的图。除了尺寸上的改进，新的上界也是一般性的改进，因为它实际上适用于没有2度或更大的孪生（具有相同闭或开邻域的顶点对）的二分图。我们还表明，绑定是紧的无限类的图，有几个结构不同的家庭的树达到的界限。然后，我们使用我们的界得到了一个紧的上界$2n/3$的twin-free二部图的顺序$n$，和特征的极值的例子，$2$ -冠图的二部图。这是最可能的，因为存在无孪生图和具有孪生的树，它们的任何标识码都需要$n-1$顶点。我们还推广了现有的上界$5n/7$图的顺序$n$和周长至少为5时，没有叶子，上界$\frac{5n+2\ell}{7}$时，叶子是允许的。这对于$7$循环$C_7$和所有恒星来说都是紧的。
2022-11-11 math.CO
Identifying Codes on Directed De Bruijn Graphs
对于有向图$G$，$t$标识码是子集$S\subseteq V(G)$，其具有如下性质：对于每个顶点$v\in V(G)$，通过长度至多为$t$的有向路径从$v$可达的$S$的顶点集是非空的且唯一的.如果存在一个$t$标识码，则一个图称为{ \it $t$-identifiable}.本文证明了de~Bruijn图$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$是$t$ -可识别的当且仅当$n \geq 2t-1$ .证明了$t$-可识别de~Bruijn图的$t$-可识别码必须至少包含$d^{n-1}(d-1)$顶点，并给出了该下界可达到的构造$n \geq 2t$ .此外，当$n=2t-1$ .此外，对于$\vec{\mathcal{B}}(d,n)$，我们提供了最小\textit{$t$-dominating set}大小的上限和下限（具有每个顶点与子集的距离至多为\textit{directed resolving set}的属性的子集），即\textit{directed resolving set}的最小大小（具有图的每个顶点可以通过其到$S$的顶点的有向距离来区分的性质的子集）是$d^{n-1}(d-1)$，并且如果$d>n$，{ \it确定集}（具有固定$S$的唯一自同构是平凡自同构的性质的子集$S$）的最小大小是$\left\lceil \frac{d-1}{n}…
2017-06-22 math.CO
On regular sets in Cayley graphs
本文研究凯莱图中的$(a,b)$-正则集，重点聚焦$(0,k)$-正则集，确定了正规子群、二面体群与广义四元数群子群成为$(0,k)$-正则集的条件，给出超立方体等图存在$(0,k)$-正则集的充要条件，推广了完美码的相关已知结果。
2024-04-12 math.CO
Identifying open codes in trees and 4-cycle-free graphs of given maximum degree
Centrale Méditerranée（地中海中央理工学院）；Laboratoire d’Informatique et de Systèmes, UMR 7020（信息与系统实验室，联合研究单位7020）
本研究针对最大度不超过固定值Δ≥3的无4-环无开放孪生点连通图，给出了识别开放码最小规模的上界公式，指出唯一例外图类，并构造紧例证明上界最优。
2026-10-05 math.CO
