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弱型 $L^d$ 空间中 Navier-Stokes 方程温和解的唯一性

Uniqueness of mild solutions to the Navier-Stokes equations in weak-type $L^d$ space

Zhirun Zhan

备注：
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AI总结：

本文研究全空间受迫 Navier-Stokes 方程在弱型 L^d 空间中的温和解唯一性，通过引入闭包空间并利用一个正则参考解，将唯一性结果推广到更一般的时空混合范数框架。

摘要：

本文研究全空间中受迫或非受迫 Navier-Stokes 方程温和解的唯一性。已知当 $d\geq 4$ 时，非受迫 Navier-Stokes 方程温和解的唯一性在 $L^{\infty}(0,T;L^d(\mathbb{R}^d))$ 中成立；当 $d\geq3$ 时，在 $C([0,T];L^d(\mathbb{R}^d))$ 中成立。对于受迫 Navier-Stokes 方程，当 $d\geq3$ 且外力 $f$ 与初值 $u_{0}$ 属于某些适当的 Lorentz 空间时，$C([0,T];L^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$ 中温和解的唯一性已知。本文证明：当 $d\geq3$ 时，若存在一个具有相同初值和外力的温和解属于 $C([0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$，则受迫 Navier-Stokes 方程在空间 $C((0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))\cap L^\beta(0,T;\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$（其中 $\beta>2d/(d-2)$）中的温和解唯一性成立。这里 $\widetilde{L}^{d,\infty}$ 是 ${L^{\infty}\cap L^{d,\infty}}$ 关于 $L^{d,\infty}$ 范数的闭包。

英文摘要：

This paper deals with the uniqueness of mild solutions to the forced or unforced Navier-Stokes equations in the whole space. It is known that the uniqueness of mild solutions to the unforced Navier-Stokes equations holds in $L^{\infty}(0,T;L^d(\mathbb{R}^d))$ when $d\geq 4$, and in $C([0,T];L^d(\mathbb{R}^d))$ when $d\geq3$. As for the forced Navier-Stokes equations, when $d\geq3$ the uniqueness of mild solutions in $C([0,T];L^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$ with force $f$ and initial data $u_{0}$ in some proper Lorentz spaces is known. In this paper we show that for $d\geq3$, the uniqueness of mild solutions to the forced Navier-Stokes equations in $ C((0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))\cap L^β(0,T;\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$ for $β>2d/(d-2)$ holds when there is a mild solution in $C([0,T];\widetilde{L}^{d,\infty}(\mathbb{R}^d))$ with the same initial data and force. Here $\widetilde{L}^{d,\infty}$ is the closure of ${L^{\infty}\cap L^{d,\infty}}$ with respect to $L^{d,\infty}$ norm.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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