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$L^r(μ)$ 与 $H^r(\mathbb T)$ 中的均值遍历定理，$0<r<1$

Mean ergodic theorems in $L^r(μ)$ and $H^r(\mathbb T)$, $0<r<1$

el Houcein el Abdalaoui, Michael Lin

备注：
18 pages, 25 references, 3 Lemmas, 6 Theorems, 12 Propositions and 7 Remarks
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AI总结：

本文研究了 $0<r<1$ 时 Koopman 算子平均值的收敛性质，证明了积分收敛与函数空间的包含关系，并给出了几乎处处发散的稠密集结果。

摘要：

设 $T$ 为保测变换 $θ$ 在概率空间 $(X,Σ,μ)$ 上的 Koopman 算子。我们研究当 $f \in L^r(μ)$ 且 $0<r<1$ 时，平均值 $M_nf:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}T^kf$ 的收敛性质。我们证明若 $\int |M_nf|^r dμ\to 0$，则 $f \in \overline{(I-T)L^r}$，并证明当 $θ$ 为遍历非周期时逆命题不成立。当 $θ$ 为可逆遍历非周期时，我们证明对于 $0<r<1$，存在 $f_r \in (I-T)L^r$ 使得 $M_nf_r$ 不几乎处处收敛（尽管 $\int |M_nf|^r dμ\to 0$）。我们进一步证明，对于 $1 \leq p <\frac{1}{r}$，存在 $L^p(X,μ)$ 中的稠密 $G_δ$ 集 ${\mathcal F}$，使得对任意 $h \in {\mathcal F}$，均有 $\limsup_n \frac{|T^nh|}{n^r}=\infty$ 几乎处处成立。

英文摘要：

Let $T$ be the Koopman operator of a measure preserving transformation $θ$ of a probability space $(X,Σ,μ)$. We study the convergence properties of the averages $M_nf:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}T^kf$ when $f \in L^r(μ)$, $0<r<1$. We prove that if $\int |M_nf|^r dμ\to 0$, then $f \in \overline{(I-T)L^r}$, and show that the converse fails whenever $θ$ is ergodic aperiodic. When $θ$ is invertible ergodic aperiodic, we show that for $0<r<1$ there exists $f_r \in (I-T)L^r$ for which $M_nf_r$ does not converge a.e. (although $\int |M_nf|^r dμ\to 0$). We further establish that for $1 \leq p <\frac{1}{r},$ there is a dense $G_δ$ subset ${\mathcal F}\subset L^p(X,μ)$ such that $\limsup_n \frac{|T^nh|}{n^r}=\infty$ a.e. for any $h \in {\mathcal F}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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