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$XX^\prime$ 矩阵的线性特征值统计量

Linear Eigenvalue Statistics of $XX^\prime$ matrices

Kiran Kumar A. S, Shambhu Nath Maurya, Koushik Saha

备注：
30 pages
发表信息：
J. Math. Phys. 64, 123302 (2023)
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AI总结：

本文利用矩方法研究了矩形 Toeplitz 矩阵及其转置乘积的线性特征值统计量，证明了其依分布收敛于高斯随机变量，并推广到 Hankel 矩阵情形，同时给出了 Schettan 范数的依概率极限和中心极限定理型结果。

摘要：

本文研究 $T_{n\times p}T'_{n\times p}$ 的线性特征值统计量的波动，其中 $T_{n\times p}$ 是一个具有实数、复数或时间依赖元素的 $n\times p$ Toeplitz 矩阵。我们证明，当 $n \rightarrow \infty$ 且 $p/n \rightarrow \lambda \in (0, \infty)$ 时，这些矩阵在多项式检验函数下的线性特征值统计量依分布收敛于高斯随机变量。我们还讨论了当 $H_{n\times p}$ 是一个 $n\times p$ Hankel 矩阵时，$H_{n\times p}H'_{n\times p}$ 的线性特征值统计量。作为我们研究的结果，我们还推导了矩形 Toeplitz 矩阵的 Schettan 范数的依概率极限和一个中心极限定理类型的结果。为了建立这些结果，我们使用了矩方法。

英文摘要：

This article focuses on the fluctuations of linear eigenvalue statistics of $T_{n\times p}T'_{n\times p}$, where $T_{n\times p}$ is an $n\times p$ Toeplitz matrix with real, complex or time-dependent entries. We show that as $n \rightarrow \infty$ and $p/n \rightarrow λ\in (0, \infty)$, the linear eigenvalue statistics of these matrices for polynomial test functions converge in distribution to Gaussian random variables. We also discuss the linear eigenvalue statistics of $H_{n\times p}H'_{n\times p}$, when $H_{n\times p}$ is an $n\times p$ Hankel matrix. As a result of our studies, we also derive in-probability limit and a central limit theorem type result for Schettan norm of rectangular Toeplitz matrices. To establish the results, we use method of moments.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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