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Besov空间中的跳跃以及Besov函数与分数阶Sobolev函数的精细性质

Jumps in Besov spaces and fine properties of Besov and fractional Sobolev functions

Paz Hashash, Arkady Poliakovsky

发表信息：
Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Volume 63, article number 28, (2024)
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AI总结：

本文研究Besov空间与分数阶Sobolev空间函数的精细性质，证明了Besov函数跳跃集上单侧极限差的可和性及最优上界，以及两类空间函数在对应Hausdorff测度意义下的局部振荡极限性质。

摘要：

本文分析了Besov空间$B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$（$q\in (1,\infty)$）中的函数，以及分数阶Sobolev空间$W^{r,q}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$（$r\in (0,1),q\in [1,\infty)$）中的函数。对于Besov函数$u\in B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$，我们证明了沿其跳跃集$\mathcal{J}_u$、关于Hausdorff测度$\mathcal{H}^{N-1}$，单侧近似极限之差的$q$次幂$|u^+-u^-|^q$的可和性，并以Besov常数为参数建立了积分$\int_{\mathcal{J}_u}|u^+-u^-|^qd\mathcal{H}^{N-1}$的最优上界。我们证明，对于$u\in B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$（$q\in (1,\infty)$），除了一个$\mathcal{H}^{N-1}$-σ有限集外，对所有$x$都有$\liminf\limits_{\varepsilon \to 0^+}\fint_{B_{\varepsilon}(x)} |u(z)-u_{B_{\varepsilon}(x)}|^qdz=0$。对于分数阶Sobolev函数$u\in W^{r,q}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$，我们证明当$q\in[1,\infty)$、$r\in(0,1)$且$rq\leq N$时，对$\mathcal{H}^{N-rq}$几乎处处的$x$，有$\lim_{ρ\to 0^+}\fint_{B_ρ(x)}\fint_{B_ρ(x)} |u(z)-u(y)|^qdzdy=0$。对于$u\in W^{1,q}(\mathbb{R}^N)$（$1<q\leq N$），我们证明对$\mathcal{H}^{N-q}$几乎处处的$x\in \mathbb{R}^N$，有$\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}\fint_{B_{\varepsilon}(x)} |u(z)-u_{B_{\varepsilon}(x)}|^qdz=0$。

英文摘要：

In this paper we analyse functions in Besov spaces $B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d),q\in (1,\infty)$, and functions in fractional Sobolev spaces $W^{r,q}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d),r\in (0,1),q\in [1,\infty)$. We prove for Besov functions $u\in B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$ the summability of the difference between one-sided approximate limits in power $q$, $|u^+-u^-|^q$, along the jump set $\mathcal{J}_u$ of $u$ with respect to Hausdorff measure $\mathcal{H}^{N-1}$, and establish the best bound from above on the integral $\int_{\mathcal{J}_u}|u^+-u^-|^qd\mathcal{H}^{N-1}$ in terms of Besov constants. We show for functions $u\in B^{1/q}_{q,\infty}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d),q\in (1,\infty)$ that \begin{equation} \liminf\limits_{\varepsilon \to 0^+}\fint_{B_{\varepsilon}(x)} |u(z)-u_{B_{\varepsilon}(x)}|^qdz=0 \end{equation} for every $x$ outside of a $\mathcal{H}^{N-1}$-sigma finite set. For fractional Sobolev functions $u\in W^{r,q}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}^d)$ we prove that \begin{equation} \lim_{ρ\to 0^+}\fint_{B_ρ(x)}\fint_{B_ρ(x)} |u\big(z\big)-u(y)|^qdzdy=0 \end{equation} for $\mathcal{H}^{N-rq}$ a.e. $x$, where $q\in[1,\infty)$, $r\in(0,1)$ and $rq\leq N$. We prove for $u\in W^{1,q}(\mathbb{R}^N),1<q\leq N$, that \begin{equation} \lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}\fint_{B_{\varepsilon}(x)} |u(z)-u_{B_{\varepsilon}(x)}|^qdz=0 \end{equation} for $\mathcal{H}^{N-q}$ a.e. $x\in \mathbb{R}^N$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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