Positive Geometries and Canonical Forms
近年来，散射振幅物理学与一类数学对象--正格拉斯曼、正环格拉斯曼、树和环振幅面体--之间出现了令人惊讶的联系，它们被松散地称为“正几何”。几何和物理之间的联系是由一个唯一的微分形式提供的，该微分形式由空间的所有边界上（仅）具有对数奇点的性质正则地确定，每个边界上的余数由该边界上的正则形式给出。在本文中，我们开始探索“正几何”和“标准形式”作为研究对象在自己的权利，在一个更一般的数学设置。我们给出了一个精确的定义，积极的几何形状和规范形式，介绍了一般的方法，寻找形式更复杂的积极的几何形状从简单的，并提出了许多例子，积极的几何形状在射影空间，格拉斯曼，复曲面，集群和旗品种。我们还说明了一些战略计算规范的形式，产生有趣的陈述形式与广泛的正几何类，从最简单的振幅面体的体积的任意凸多面体的新表达式。
2017-07-30 hep-th math.AG math.CO
Boundaries of the Amplituhedron with amplituhedronBoundaries
正几何为计算各种物理模型中的散射振幅提供了一种现代方法。为了便于探索这些新的几何方法，我们引入了一个Mathematica软件包，称为“振幅边界”，用于计算三个正几何的边界结构：振幅面体$\mathcal{A}_{n,k}^{(m)}$，动量振幅面体$\mathcal{M}_{n,k}^{(m)}$和超单纯形$Δ_{k,n}$。前两种几何形状与平面$\mathcal{N}=4$ SYM中的散射振幅有关，而最后一种几何形状是在数学中的许多上下文中出现的经过充分研究的多面体，并且与$\mathcal{M}_{n,k}^{(2)}$密切相关。该软件包包括一系列有用的工具，用于研究这些积极的几何，包括他们的边界分层，绘制他们的边界偏序集，以及其他工具，用于操纵组合结构的积极格拉斯曼。
2020-02-17 hep-th
Amplituhedra, and Beyond
这篇评论是对最近建立的量子场论中可观测量的几何方法的一个入门。主要的重点是振幅面体，即几何编码散射振幅的各种理论。这些属于一个更广泛的家庭的几何称为积极的几何，其基础知识，我们审查。我们还描述了这个家庭的其他成员，与不同的物理量，并简要地考虑最近的发展有关的积极的几何形状。最后，我们讨论了该领域的主要开放问题。这是《物理学报A辑：数学与理论》邀请的一篇专题评论。
2020-07-08 hep-th
Non-planar BCFW Grassmannian Geometries
本文研究了非邻接BCFW递归关系及其与正几何的关系。对于相邻的BCFW位移，${\cal N}=4$ SYM理论中的$n$ -点N $^k$ MHV树级振幅表示为平面壳层图上的和，对应于正格拉斯曼$G_+(k,n)$中细胞上的正则dlog形式。不相邻的BCFW移位自然地导致振幅在不同的对象集合方面的扩展，这不表现出振幅的循环排序和隐藏的杨氏对称性。我们表明，这些条款可以被解释为dlog形式的非平面格拉斯曼几何，推广细胞的积极格拉斯曼$G_+(k,n)$到一个更大的类的对象生活在$G(k,n)$。我们主要集中在NMHV振幅的情况下，并详细讨论了格拉斯曼几何。我们还提出了另一种方法来计算相关的壳函数和dlog形式使用一个有趣的格拉斯曼配置和几何在运动学空间之间的连接。
2022-08-03 hep-th
Prescriptive Unitarity from Positive Geometries
本文在对偶动量的四维分裂符号空间中定义了动量Amplituhedron，利用该几何的规范微分形式推导出N=4超Yang-Mills的单圈振幅积分核新公式，并证明其与prescriptive unitarity结果一致，使该幺正性方法自然涌现。
2023-08-04 hep-th
Pushforwards via Scattering Equations with Applications to Positive Geometries
在本文中，我们探索和扩展的散射振幅的两个现代描述，CHY形式主义和框架的积极的几何形状，促进散射方程之间的联系。对于CHY族中的理论，其$S$ -矩阵被运动学空间中的某个正几何捕获，相应的标准形可以通过定义在CHY模空间中的正几何的标准形的散射方程作为前推而获得。为了在运动学空间中计算这些标准形，我们研究了通过散射方程推进任意有理微分形式的一般问题。我们开发了三种方法，实现这一点，而不需要明确地解决任何散射方程。我们的结果使用计算代数几何，包括同伴矩阵和全球对偶的残留物的技术，他们扩展了有理函数的有理微分形式的类似结果的应用。
2022-06-28 hep-th math.AG
Positive geometries and canonical forms via mixed Hodge theory
本文用混合Hodge理论重新表述正几何及其典范形式，提出亏格零对作为统一框架，证明相关基本性质，并详析超平面排列与凸多胞形案例。
2025-09-09 hep-th math-ph math.AG
Accordiohedra as positive geometries for generic scalar field theories
本文在文献[1 - 3]的基础上研究了多项式相互作用下无质量标量场理论的树能级平面振幅。专注于一个具体的例子，其中的相互作用是由$λ_3ϕ^{3}\ +λ_4 ϕ^{4}$，我们表明，一个特定的凸实现一个简单的多面体称为accordiohedron在运动空间是这个理论的正几何。与前面的情况一样，在运动学空间中存在唯一的平面散射形式，与产生平面散射振幅的每个正几何形状相关联。
2019-12-09 hep-th math-ph math.MP
On Positive Geometries of Quartic Interactions II : Stokes polytopes, Lower Forms on Associahedra and Worldsheet Forms
在文献[1]中，两位作者与拉曼一起试图将标量场理论的振幅面体程序[2]扩展到四次标量相互作用。在本文中，我们开发这个建议的各个方面。利用表示论[3，4]中最近的开创性结果，我们证明了散射形式的投影性和运动空间缔合面体的存在性完全捕获了四次相互作用的平面振幅。我们推广了[1]的结果，并证明了对于任何$n$ -粒子振幅，与投影散射形式相关联的正几何是Stokes多面体的凸实现，它可以自然地嵌入到[2，5]中定义的ABHY结合面之一中。对于一类特殊的超立方拓扑的Stokes多面体，我们证明了它们在运动空间中有一个规范的凸实现作为运动空间的结合面的边界。然后，我们使用这些运动空间的几何结构写世界片形式的$ϕ^{4}$理论，这是形式的低秩的CHY模空间。我们认为，就像在双伴随$ϕ^3$标量振幅的情况下，散射方程可以被用来作为某些$\frac{n-4}{2}$形式的世界表和$\frac{n-4}{2}$形式的ABHY联想面体，产生四次振幅之间的同构。
2020-01-12 hep-th
Nonperturbative Negative Geometries: Amplitudes at Strong Coupling and the Amplituhedron
振幅面决定散射振幅在平面${\cal N}=4$超级杨米尔斯由一个单一的“正几何”的空间中的运动学和循环变量。我们研究了一个密切相关的定义的振幅面体的最简单的情况下，四粒子散射，作为一个总和超过互补的“负几何”，这提供了一个自然的几何理解的指数的红外（IR）发散，以及红外有限可观测${\cal F}(g,z)$的新几何定义-双重解释为零多边形威尔逊圈的期望值与一个单一的拉格朗日插入-这是直接由这些负的几何形状。这提供了一个长期寻求的正（负）几何的规范形式之间的直接联系，和一个完全IR有限的后环积分观察到的依赖于一个单一的运动学变量$z$，从中尖点异常尺寸$Γ_{\rm cusp}(g)$也可以直接获得。我们研究了一个特别简单的类的负几何在所有的循环顺序，与一个“树”结构的负性条件，其中的贡献${\cal F}(g,z)$和$Γ_{\rm cusp}$可以很容易地确定一个有趣的非线性微分方程紧接着从组合的负几何。这使我们可以计算这些“树”对${\cal F}(g,z)$和$Γ_{\rm cusp}$的贡献，以得到所有“t Hooft”耦合值。$Γ_{\rm cusp}$的结果显著地共享使用可积性获得的已知精确结果的所有主要定性特征。
2021-12-13 hep-th
Positive Geometries for Scattering Amplitudes in N=4 SYM and ABJM
本文利用正几何框架研究了N=4 SYM和ABJM理论中的散射振幅，详细论述了多种几何的边界分层与奇点结构，并建立了基于光锥交集的新框架以描述圈级几何，导出了单圈被积函数的通用公式。
2024-09-23 hep-th math.AG math.CO
From positive geometries to a coaction on hypergeometric functions
众所周知，维数正则化中的Feynman积分往往计算超几何型函数。受最近一个关于维正则化中单圈Feynman积分的共同作用的建议的启发，我们使用交叉数和扭曲的同调理论来定义某些超几何函数的共同作用。我们考虑的功能承认一个积分表示，其中被积函数和积分的轮廓都与正几何。在维数正则化的费曼积分，端点奇点正则化的指数控制的一个小参数$ε$。我们表明，这类积分定义的共同作用是一致的，在$ε$扩展后，与众所周知的共同作用多个polygonms。我们说明了我们的建设的有效性，明确确定各种类型的超几何${}_{p+1}F_p$和Appell函数的相互作用。
2019-10-18 hep-th math-ph math.MP
Kleiss-Kuijf Relations from Momentum Amplituhedron Geometry
近年来，人们已经认识到，色序散射振幅可以编码为对数微分形式的正几何。特别地，在旋量螺旋度空间中的最大超对称杨-米尔斯理论中，振幅由动量振幅面体控制。由于色分解的群论结构，色序振幅享有不同的身份，涉及不同的排序。在本文中，我们展示了如何产生的Kleiss-Kuijf关系的动量振幅面体的几何。我们还展示了如何类似的关系可以实现的运动associahedron，这是双伴随标量立方理论的正几何。
2021-03-25 hep-th
Positive Geometries, Corolla Polynomial and Gauge Theory Amplitudes
本研究利用Corolla多项式与ABHY结合多面体、D̂ₙ多面体的典范形式，通过多向量场缩并得到杨-米尔斯理论的S矩阵与单圈平面积被函数，还拓展出胶子振幅的曲线积分公式。
2024-05-17 hep-th
Positive Geometries and Differential Forms with Non-Logarithmic Singularities I
正几何编码的物理散射振幅在平坦的时空和宇宙学的波函数的宇宙模型的一大类。它们独特的正则形式，提供了这样的量子力学观测值，其特点是沿着正几何的所有边界只有对数奇点。然而，物理可观测量只有理论的一个子集才有对数奇点。因此，了解在更一般的情况下，类似的范式是否可以作为其结构的基础变得至关重要。在本文中，我们开始了系统的调查的几何组合特征的微分形式与非对数奇点，专注于投影多面体和相关的亚纯形式与多极。我们引入了协变形式和协变配对的概念。协变形式只在给定多面体的边界上有极点;而且，它们在任何边界上的前导洛朗系数仍然是特定边界上的协变形式。而与多面体协变配对的亚纯形式与特定的（有符号的）三角剖分相关联，其中虚假边界上的极点不完全抵消，但它们的阶降低了。这些亚纯形式可以完全特征化，如果他们相关联的多面体被看作是一个更高的维一个超平面的限制。后者的标准形式可以通过协变限制映射成协变形式或协变配对形式。我们展示了如何确定这些微分形式的结构的高维多面体的几何。最后，我们讨论了这些概念是如何相关的Jeffrey-Kirwan剩余和宇宙多面体。
2020-05-07 hep-th math.CO
Open associahedra and scattering forms
我们继续研究与arXiv：1912.08307中开始的双色散射振幅相关的开放缔合面体。我们专注于小平面几何的开放associahedra，揭示了许多新的现象，如纤维产品的几何形状。然后，我们提供了新的递归程序计算的标准形式的开放associahedra，推广递归关系的有界多面体无界多面体。
2020-08-14 hep-th math.CO
Towards Positive Geometries of Massive Scalar field theories
在文献[1]的基础上，我们在运动空间中找到了一族正几何，它们是结合面体的一类特殊的凸实现。这些实现是通过缩放和平移Arkani-Hamed，Bai，He和Yan（ABHY）发现的运动学空间关联面体而获得的。我们称由此产生的多面体为协面体的变形实现。变形的实现揭示了新的光的CHY公式。[2]中一个引人注目的发现是CHY散射方程在（紧化的）CHY模空间和ABHY结合面体之间产生了同构。正如我们所讨论的，变形的实现的associahedron也可以被解释为一个单纯图像的散射方程，我们称之为变形散射方程下的CHY模空间。因此，运动学空间中的标准形再次是帕克-泰勒形式的向前推进。我们的分析的一个自然的分支是Parke-Taylor形式作为一类（树水平和平面）多标量场振幅的CHY被积函数的普适性。这些想法有助于我们证明某些特定的多标量相互作用的正几何的存在。证明了在一个无质量和一个有质量双伴随标量场通过立方相互作用相互作用的场论中，具有无质量外态和至多一个有质量传播子的树级S-矩阵是由伴随面体的某些变形实现所定义的正则型的加权和.最后，我们表明，这些想法承认一个循环的扩展。特别地，具有至多一个重传播子的单圈S-矩阵被积函数是在[3，4]中发现的D型簇多面体的变形实现族的标准形上的加权和。
2022-06-16 hep-th math-ph math.MP
Which Functions Admit a Positive Geometry? From Branch Cuts to String Amplitudes
University of Hertfordshire（赫特福德大学）；Charles University（查理大学）
本文探讨正几何中允许的函数，通过分支割线和弦幅度扩展了正几何的框架，引入伪亏格分类meromorphic函数，并展示d log形式与弦幅的正几何关系。
2026-03-30 hep-th math.CV
On Positive Geometry and Scattering Forms for Matter Particles
我们开始研究正几何和散射形式的树级振幅与物质粒子的（反）基本表示的颜色/味道组。作为一个玩具的例子，我们研究了双色标量理论，它补充了双伴随理论与标量的（反）基本表示的两个群体。使用递归构造，我们得到一类无界多面体称为开放的associahedra（或associahedra与某些方面在无穷远），其规范形式计算振幅在双色理论，为任意数量的腿和风味分配。此外，我们还讨论了色因子和楔积之间的对偶性，或者说“色是运动学”，以及与物质粒子的振幅。
2020-06-05 hep-th math.CO
Wormhole geometries supported by quark matter at ultra-high densities
虫洞物理学的一个基本要素是奇异物质的存在，这涉及到零能量条件的违反。在这种情况下，我们调查的可能性，虫洞可以支持夸克物质在极端密度。对重子结构的理论和实验研究表明，由u、d和s夸克组成的奇异夸克物质是重子物质中能量最有利的状态。此外，在超高密度下，夸克物质可能以各种超导状态存在，即色味锁定（CFL）相。受这些理论模型的启发，我们探讨了在何种条件下虫洞的几何形状可以支持的夸克胶子相互作用的理论研究中考虑的状态方程。对于正常夸克物质的描述，我们采用麻省理工学院（MIT）的袋模型状态方程，而色超导夸克相的描述则采用自由能的一阶近似。通过假设袋和间隙函数的特定形式，得到了几个正常和超导夸克物质的虫洞模型。电荷存在的影响也被考虑在内。
2014-10-28 astro-ph.HE gr-qc hep-th
The induced Cosmological Constant as a tool for exploring geometries
在给定的背景下，由引力子的量子涨落引起的宇宙学常数被认为是建立不同几何谱的工具。特别地，我们将该方法应用于史瓦西背景与正负质量参数。这样，我们把相关的裸奇点（-M）和正质量虫洞放在同一水平上进行比较。我们使用Wheeler-De Witt方程作为基本方程来执行这样的分析被视为Sturm-Liouville问题。宇宙学常数被认为是相关的本征值。所使用的方法来研究这样一个问题是一个高斯试探波泛函的变分方法。我们近似方程的一个环在史瓦西背景。一个zeta函数正则化涉及到处理的分歧。正则化是密切相关的减法程序出现在计算卡西米尔能量在弯曲的背景。引入了一个重整化过程和一个重整化群方程来消除无穷大。
2008-12-21 gr-qc hep-th
Negativity of the Casimir self-entropy in spherical geometries
一段时间以来，人们已经认识到，即使是完美的导体，由于量子/热涨落，相互作用的卡西米尔熵也可能是负的。这个结果并没有被认为是有问题的，因为人们认为物体的自熵会抵消这种负的相互作用熵，产生一个正的总熵。事实上，这种取消似乎不会发生。一个完美导电球体的正自熵确实正好抵消了一个由完美导电球体和平板组成的系统的负相互作用熵，但是一个耦合较弱的模型通常具有一个出现负自熵的区域。这个令人惊讶的结果的物理意义仍然模糊不清。在本文中，我们重新审视这些问题，使用改进的物理和数学技术，部分基于阿贝尔-普拉纳公式，并提出了数值结果为任意温度和耦合，表现出相同的显着特点。
2021-01-30 hep-th quant-ph
Positive Singularities and Volumes in Scattering Amplitudes
Max Planck Institute for Physics（马克斯·普朗克物理研究所）
本论文围绕正几何，从对偶体积表示、圈级振幅奇点结构、朗道奇点与簇代数的猜想关系三方面展开研究，确立正几何为散射振幅的分析与几何组织提供统一语言。
2026-08-18 hep-th math.AG
Canonical Forms as Dual Volumes
该研究提出正几何典范形式的对偶体积表示，识别出由双曲多项式边界刻画的完全单调正几何类，计算了平面正几何的对应测度，建立了多领域新联系。
2026-11-03 hep-th math.AG math.AP
Scattering Forms and the Positive Geometry of Kinematics, Color and the Worldsheet
对S-矩阵理论的探索揭示了从世界面到振幅面的振幅背后令人惊讶的几何结构，但这些都是辅助空间中的几何，而不是振幅存在的运动学空间。在本文中，我们提出了一个新的几何理解的振幅的一大类理论。关键是把振幅看作是运动空间上的微分形式。我们探索这一图片的广泛的无质量理论在一般时空维度。对于双伴随立方标量，我们建立了它的“散射形式”和一个经典的多面体-associahedron-自20世纪60年代以来，数学家已知的直接连接。我们发现一个associahedron自然生活在运动空间，和树振幅只是“规范形式”与此“正几何”。基本的物理性质，如局域性，幺正性和新的“软”限制完全由几何形状决定。此外，开弦世界面的模空间也一直被认为是一个协面体。我们表明，散射方程作为一个旧的“世界片associahedron”和新的“运动associahedron”之间的同构，提供了一个几何解释和新颖的推导的双伴随CHY公式。我们还发现了Yang-Mills模型和非线性西格玛模型在运动学空间上的“散射形式”，尽管没有显式的颜色因子，但它们与颜色修饰的振幅是对偶的。这是可能的，由于一个显着的事实-“颜色是Kinectin”-从而运动楔产品的散射形式满足相同的雅可比关系的颜色因素。最后，我们的散射形式是定义良好的投影运动空间，属性，提供了一个几何起源的颜色运动学的二元性。
2018-03-28 hep-th math.CO
Classical Boundary-value Problem in Riemannian Quantum Gravity and Self-dual Taub-NUT-(anti)de Sitter Geometries
本文研究了具有任意宇宙学常数的爱因斯坦场方程的经典边值问题，在紧致的情形下（$S^{3}$）边界给定双轴Bianchi-IX正定三度规，由两个半径$(a,b).$指定对于具有此边界的流形的最简单的四球拓扑，正则经典解是在具有自对偶Weyl曲率的Taub-NUT-（anti）de Sitter度量族中找到的。对于任意选择的正半径$(a,b),$，我们发现有三个解决方案，这种类型的填充几何。我们得到精确的解决方案，他们和他们的欧几里德行动。进一步研究了负宇宙学常数的情况。对于合理的挤压的三个球，所有三个填充解决方案具有实值的行动，拥有一个“尖点灾难”的结构与非自相交的“灾难流形”，这意味着占主导地位的贡献来自唯一的真正的正定解决方案的球。只要$a$和$b$之间存在一定的不等式，即使对于三球的较大变形，也存在正定解。对于大的$a (\sim b)$，该溶液的作用与$-a^{3}$成比例，因此更大的半径是有利的。同样的边界值问题，更复杂的内部拓扑结构包含一个“螺栓”的研究在即将到来的文件。
2002-12-03 gr-qc hep-th
Grassmannian Geometries for Non-Planar On-Shell Diagrams
Center for Quantum Mathematics and Physics (QMAP), University of California, Davis（加州大学戴维斯分校量子数学与物理中心）；Department of Mathematics, University of California, Davis（加州大学戴维斯分校数学系）
本文研究非平面外接图的格拉斯曼几何特性，揭示其伪正几何性质，并证明恒等移动的完备性。
2025-12-31 hep-th math.CO
Hopf superpolynomial from topological vertices
链环/纽结不变量是整系数的级数，如何使其为正的并具有上同调解释是一个长期存在的问题。构造正的“超多项式”并不简单，特别是对于有色不变量。一个更简单的替代方案是字符扩展的多参数泛化，这导致了有色的“超多项式”。第三种构造涉及到分解锥上的膜，这又产生了另一个与复合表示相关的不变量家族。我们重新审视这个triality问题在简单的情况下的霍普夫链接，并发现一个以前被忽视的方式来产生积极的彩色超多项式从DIM管理的四点函数，从而铺平了道路，超级和超多项式之间的新关系。
2020-03-17 hep-th math.GT
Large color $R$-matrix for knot complements and strange identities
Gukov-Manolescu级数，记作$F_K$，是纽结补的一个拓扑不变量，在某种意义上，它解析地延续了有色琼斯多项式。本文利用大型彩色$R$ -矩阵研究了几种简单链环的$F_K$.具体来说，我们给出了一个定义的$F_K$的积极辫子结，并计算$F_K$的各种结和链接。作为推论，我们提出了一类“奇怪的身份”积极辫子结。
2020-07-30 hep-th math-ph math.GT
All spacetimes beyond Einstein (Obergurgl Lectures)
光滑流形上的哪些几何（除了洛伦兹度规）可以作为时空结构？这个问题是全面解决的第一原则在八个讲座，探索运动学和引力动力学的所有张量几何光滑流形上，可以携带预测的物质方程，是时间定向的，并允许区分正负粒子能量。
2011-11-21 gr-qc hep-th math-ph
