Computing a Geodesic Two-Center of Points in a Simple Polygon
给定一个简单多边形$P$和$P$中包含的点的集合$Q$，我们考虑测地线$k$ -中心问题，其中我们要在$P$中找到$k$点，称为\emph{centers}，以最小化$Q$中任何点到其最近中心的最大测地线距离。在本文中，我们专注于$k=2$的情况下，并提出了第一个精确的算法，有效地计算一个最佳的$2$ -中心的$Q$相对于测地距离在$P$。
2019-10-27 cs.CG
Computing the $L_1$ Geodesic Diameter and Center of a Simple Polygon in Linear Time
本文证明了简单多边形的$L_1$测地直径和中心可以在线性时间内计算。为此，我们着重揭示了$L_1$测地球，即度量球关于$L_1$测地距离的基本几何性质。更具体地说，在本文中，我们证明了任何家庭的$L_1$测地球在任何简单的多边形有Helly数2，和$L_1$测地中心组成的最短路径之间的直径对的中点。这些性质对于我们的线性时间算法是至关重要的，并且不适用于欧几里德情况。
2015-01-12 cs.CG
Geodesic-Preserving Polygon Simplification
多边形是计算几何中一种重要的数据结构。虽然许多简单多边形或带孔多边形算法的复杂性取决于输入多边形的大小，但这些算法解决的问题的内在复杂性通常与多边形的反射顶点有关。本文给出了一个易于描述的线性时间方法，用多边形$\mathcal{P}'$代替输入多边形$\mathcal{P}$，使得（1）$\mathcal{P}'$包含$\mathcal{P}$，（2）$\mathcal{P}'$的反射顶点与$\mathcal{P}$的位置相同，（3）$\mathcal{P}'$的顶点数与反射顶点数成线性关系.由于多边形上的许多问题（包括最短路径，测地线外壳，分离点集，和沃罗诺伊图）的解决方案是等价的$\mathcal{P}$和$\mathcal{P}'$，我们的算法可以被用来作为一个预处理步骤的几个算法，使其运行时间依赖于反射顶点的数量，而不是对$\mathcal{P}$的大小。
2013-09-16 cs.CG
A Time-space Trade-off for Computing the Geodesic Center of a Simple Polygon
本文研究了工作空间有限时简单多边形测地线中心的计算问题。对于一个$n$ -顶点简单多边形，我们给出了一个时空权衡算法，找到测地线中心在$O(T(n, s) \log^2 n+ \frac{n^2}{s} \log n)$预期的时间，并使用$O(s)$额外的空间字，其中$s\in Ω(\log n) \cap O(n)$，和$T(n, s)$是所需的时间构造一个简单多边形内的一个给定的点的最短路径树，在深度优先顺序，与$O(s)$额外的空间。将Oh和Ahn（Mammica 2019）的最短路径树应用于当前已知的最佳时空权衡，我们的算法在$O(\frac{n^2}{s} \log^3 n)$预期时间内运行。
2019-08-29 cs.CG
A linear-time algorithm for the geodesic center of a simple polygon
给定$n$顶点的简单多边形$P$中的两个点，其测地距离是在$P$内的所有路径中连接它们的最短路径的长度。$P$的测地中心是$P$中唯一的点，它使到$P$中所有其他点的最大测地距离最小。1989年，Pollack，Sharir和Rote [Disc。计算（& C）。89]示出了计算$P$的测地中心的$O(n\log n)$时间算法。从那时起，一个长期存在的问题是这个运行时间是否可以改进（由Mitchell [计算几何手册，2000]明确提出）。本文对这一问题作了肯定的回答，并提出了一个求解这一问题的线性时间算法。
2015-01-03 cs.CG
Voronoi Diagrams for a Moderate-Sized Point-Set in a Simple Polygon
给定一个简单多边形中的一组站点，站点的测地线沃罗诺伊图根据到站点的距离在测地线度量下将多边形划分为区域。本文提出了计算简单n边形中m个点的测地线最近点、高阶和最远点沃罗诺伊图的算法，改进了m <= n/ polylog n时已知的算法.此外，对于m <= n/ polylog n，测地线最近点和最远点的沃罗诺伊图的算法是最优的。这部分回答了米切尔在《计算几何手册》中提出的一个问题。
2018-01-08 cs.CG
A near-linear time exact algorithm for the $L_1$-geodesic Fréchet distance between two curves on the boundary of a simple polygon
针对简单多边形边界上两条曲线的L₁-测地线Fréchet距离计算问题，提出近线性时间精确算法，时间复杂度为O(k log nm + (n+m)(log² nm log k + log⁴ nm))。
2025-04-18 cs.CG
Decomposing a Simple Polygon with Geodesic Unit-Balls
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Stony Brook University（石溪大学）
研究如何用\(\ell_2\)度量将简单多边形覆盖和分割为具有单位测地半径或直径的部分，针对半径问题给出覆盖和分割的9近似算法，针对直径问题的分割版本给出15近似算法，改进了前人复杂算法。
2026-07-14 cs.CG
Improved Dynamic Geodesic Nearest Neighbor Searching in a Simple Polygon
我们提出了一个有效的动态数据结构，支持测地线最近邻查询的一组$S$点的网站在一个静态的简单多边形$P$。我们的数据结构允许我们在$S$中插入一个新站点，从$S$中删除一个站点，并在$S$中请求最接近任意查询点$q \in P$的站点。所有距离都使用测地线距离测量，即完全包含在$P$中的最短路径的长度。我们的数据结构实现了多对数更新和查询时间，并使用$O(n\log^3n\log m + m)$空间，其中$n$是$S$中的站点数，$m$是$P$中的顶点数。我们的数据结构中的关键成分是测地线距离函数的垂直浅切割的隐式表示。我们表明，这样一个隐式表示存在，我们可以有效地计算它。
2018-03-15 cs.CG
A Nearly Optimal Algorithm for the Geodesic Voronoi Diagram in a Simple Polygon
在n个顶点的简单多边形内的m个点站点的测地线沃罗诺伊图是将多边形细分成m个单元，每个单元一个站点，使得单元中的所有点在测地线距离下共享相同的最近站点。最著名的建造时间的下限是Omega（n + m log m），而匹配的上限是一个长期存在的开放问题。最新的构造算法实现了O（（n+m）log（n +m））和O（n+ mlog mlog^2 n）时间，分别对于m=Omega（n）和m=O（n / log^3 n）是最优的。本文给出了一个时间复杂度为O（n+m（log m+ log^2 n））的构造算法，并且在O（log n）时间内计算一个Voronoi顶点的意义下，该构造算法几乎是最优的，因此构造时间也是O（n+ mlog m）.换句话说，我们把在最佳时间内构造图的问题简化为在O（log n）时间内计算单个Voronoi顶点的问题。
2018-03-09 cs.CG
Geodesic Order Types
简单多边形$P$内部两点$a$和$b$之间的测地线是$P$内部连接$a$和$b$的最短多边形路径。因此，它是无约束点集上的直线段到多边形环境的自然推广。在本文中，我们使用这个扩展推广的概念的顺序类型的一组点在欧几里德平面测地线顺序类型。特别地，我们证明了，对于任何点集$S$和至少四个点的有序子集$\mathcal{B} \subseteq S$，总是可以构造多边形$P$，使得$\mathcal{B}$的点定义~ $S$ w.r.t.~的测地线壳。$P$，按指定顺序。此外，我们表明，一个抽象的秩序类型来自对偶的帕普斯安排可以实现为测地线秩序类型。
2017-08-21 cs.CG
Dynamic Geodesic Nearest Neighbor Searching in a Simple Polygon
我们提出了一个有效的动态数据结构，支持测地线最近邻查询的一组点的网站$S$在一个静态的简单多边形$P$。我们的数据结构允许我们在$S$中插入一个新站点，从$S$中删除一个站点，并在$S$中请求最接近任意查询点$q \in P$的站点。所有距离都使用测地线距离测量，即完全包含在$P$中的最短路径的长度。我们的数据结构支持$O(\sqrt{n}\log n\log^2 m)$时间查询，其中$n$是$S$中当前的站点数，$m$是$P$的顶点数，并在$O(\sqrt{n}\log^3 m)$时间更新。空间使用率为$O(n\log m + m)$。如果只允许插入，我们可以支持最坏情况下的$O(\log^2 n\log^2 m)$时间查询，同时允许$O(\log n\log^3 m)$分摊时间插入。我们可以在插入和删除的情况下实现相同的运行时间，但是这些操作的顺序是预先知道的。
2017-07-10 cs.CG
Geodesic diameter of a polygonal domain in O(n^4 log n) time
我们证明了n个顶点的多边形区域的测地直径可以通过考虑O（n^3）个候选直径端点来在O（n^4 log n）时间内计算;端点是从域的顶点的最短路径映射的覆盖的顶点的子集。
2011-05-31 cs.CG cs.DS
Geodesic Fréchet Distance Inside a Simple Polygon
我们推出了一个诱人的替代参数搜索，适用于非测地线和测地线Fréchet优化问题。这种随机化方法是基于红-蓝交叉点的一种变体，与参数搜索相比，它的优雅和实用效率很有吸引力。我们提出了两个多边形曲线之间的测地线Fréchet距离的第一个算法$A$和$B$内的一个简单的边界多边形$P$。测地线Fréchet决策问题的求解速度几乎与其非测地线同胞一样快，并且在$O(k)$预处理之后需要$O(N^{2\log k)$时间和$O(k+N)$空间，其中$N$是$A$和$B$的复杂度中较大的一个，$k$是$P$的复杂度。在$O(k+N^{2\log kN\log N)$期望时间和$O(k+N^{2)$空间中用随机方法求解测地线Fréchet优化问题.这个运行时间只比标准的非测地线Fréchet算法大一个对数因子（Alt and Godau 1995）。结果还提出了测地Fréchet距离在一个多边形域的障碍和测地Hausdorff距离套点或套线段内的一个简单的多边形$P$。
2008-02-20 cs.CG cs.DS
The Geodesic Fréchet Distance Between Two Curves Bounding a Simple Polygon
本文研究界定简单多边形的两条曲线之间的测地弗雷歇距离，提出了任意精度下的近线性时间近似算法，并在凸多边形情形下给出线性时间精确算法，显著改进了此前的2-近似结果。
2025-05-08 cs.CG
Kinetic Geodesic Voronoi Diagrams in a Simple Polygon
本文研究简单多边形内线性运动站点的测地Voronoi图，证明平分线和Voronoi中心的变化次数至多为$O(m^3)$且紧，并基于此构建了线性空间、每事件$O(\log^2 m)$时间的紧凑动力学数据结构。
2023-07-09 cs.CG
Computing the $L_1$ Geodesic Diameter and Center of a Polygonal Domain
对于具有$h$孔洞和$n$顶点的多边形区域，我们分别给出了在$O(n^2+h^4)$时间计算$L_1$测地直径和在$O((n^4+n^2 h^4)α(n))$时间计算$L_1$测地中心的算法，其中$α(\cdot)$表示逆Ackermann函数.以前没有已知的算法来解决这些问题。对于欧几里得对应体，最好的算法在$O(n^{7.73})$或$O(n^7(h+\log n))$时间内计算测地线直径，并在$O(n^{11}\log n)$时间内计算测地线中心。因此，我们的算法是显着快于欧几里德问题的算法。我们的算法是基于几个有趣的观察$L_1$最短路径的多边形域。
2016-11-09 cs.CG cs.DS
The Visibility Center of a Simple Polygon
我们引入多边形内一组点的\emph{visibility center}-一个点$c_V$，使得从$c_V$到该组中任何点的最大测地距离最小化。对于一个由$n$顶点和一组$m$点组成的简单多边形，我们给出了一个寻找可见性中心的$O((n+m) \log {(n+m)})$时间算法。我们在$O(n \log n)$时间内找到了简单多边形中\emph{all}点的可见中心。我们的算法减少了可见性中心的问题，找到一组半多边形内的多边形，这是独立的利益的测地线中心的问题。我们给出了该问题的一个$O((n+k) \log (n+k))$时间算法，其中$k$是半多边形的个数.
2022-12-04 cs.CG
On the Geodesic Centers of Polygonal Domains
本文研究了具有全部$n$顶点的多边形区域$\mathcal{P}$的欧氏测地中心的计算问题。我们发现了许多有趣的观察结果。给出了点是测地线中心的一个必要条件。我们证明了$\mathcal{P}$中所有具有拓扑等价最短路径映射的点之间至多存在一个测地线中心。这意味着测地线中心的总数由$\mathcal{P}$的最短路径映射等价分解的组合大小来限制，该最短路径映射等价分解已知为$O(n^{10})$。一个关键的观察是当点移动时关于最短路径长度的$π$ -范围属性。有了这些观察，我们提出了一个算法，计算所有的测地线中心在$O(n^{11}\log n)$时间。以前，对于任何$ε>0$，对于该问题已知$O(n^{12+ε})$时间的算法。
2016-07-20 cs.CG cs.DS
Approximating the Smallest $k$-Enclosing Geodesic Disc in a Simple Polygon
针对简单多边形内找最小k点包围测地圆盘（SKEG disc）问题，提出精确算法及两种2-近似算法，分别适配不同k值场景，给出各算法的时间与空间复杂度。
2024-02-01 cs.CG
The Polygon Burning Problem
受位置分析中$k$ -中心问题的启发，我们考虑了\emph{polygon burning}（PB）问题：给定一个多边形区域$P$，其上有$h$洞和$n$顶点，求出一个由$P$的$k$顶点组成的集合$S$，该集合使得从$P$中的任意点到$S$中最近的顶点的最大测地线距离最小.或者，将$S$中的每个顶点视为起火点，目标是选择$S$，使得从$S$同时均匀燃烧的火焰（仅限于$P$）尽可能快地消耗$P$。证明了当$k$是任意的时，PB是NP-难的.我们证明了$k$ -中心的$P$下的测地度量$P$的顶点提供了一个$2$ -近似PB，从而在$O(n^2 \log n + hkn \log n)$ -时间$3$ -近似算法PB。最后，我们定义并刻画了一种新的多边形--可切片多边形。可切片多边形是凸多边形，其不包含来自其顶点的Voronoi图的Voronoi顶点。本文给出了一个动态规划算法，在$O(kn^2)$时间内精确求解可切片多边形上的PB。
2021-11-17 cs.CG
Maximal Distortion of Geodesic Diameters in Polygonal Domains
Algoresearch L.L.C.（Algoreresearch有限责任公司）；Research Institute of the University of Bucharest（布加勒斯特大学研究所）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；California State University Northridge（北岭加州州立大学）；Tufts University（塔夫茨大学）
研究了多边形域中测地直径与欧几里得直径的比值，证明了在具有凸孔的凸多边形中，该比值的上界随孔数变化而变化，并探讨了不同条件下该比值的性质。
2026-02-09 cs.CG math.GT
An Optimal Deterministic Algorithm for Geodesic Farthest-Point Voronoi Diagrams in Simple Polygons
给定$n$顶点的简单多边形$P$中的$m$点集$S$，考虑$P$中$S$的测地线最远点Voronoi图的计算问题.已知该问题具有$Ω(n+m\log m)$时间下限。之前，提出了一种随机算法[Barba，SoCG 2019]，可以在$O(n+m\log m)$预期时间内解决该问题。之前的最佳确定性算法在$O(n\log \log n+ m\log m)$时间[Oh，Barba，and Ahn，SoCG 2016]或在$O(n+m\log m+m\log^2 n)$时间[Oh and Ahn，SoCG 2017]中解决了该问题。本文提出了一种确定性的$O(n+m\log m)$时间算法，它是最优的.这就回答了二十年前米切尔在《计算几何手册》中提出的一个悬而未决的问题。
2021-05-22 cs.CG cs.DS
Shortest Paths in Geodesic Unit-Disk Graphs
Kahlert School of Computing, University of Utah（犹他大学卡尔赫特计算机学院）
本文研究了在简单多边形中计算几何单位圆图中最短路径的问题，提出了两种子二次时间算法，分别适用于加权和非加权情况，并引入了新的数据结构以提高效率。
2026-03-25 cs.CG
Dispersive Vertex Guarding for Simple and Non-Simple Polygons
本文研究带顶点守卫的分散式美术馆问题，证明带洞多边形中判定分散距离为2的顶点守卫集是NP完全的，并给出简单多边形中分散距离至少为2的放置算法，且该界是紧的。
2024-06-09 cs.CG
Covering Convex Polygons by Two Congruent Disks
考虑凸多边形的平面双中心问题：给定平面上的一个凸多边形，求两个半径最小的全等圆，其并集包含该凸多边形。提出了求解凸多边形两中心问题的一个$O(n\log n)$时间算法，其中$n$是多边形的顶点数.这改进了以前的最佳算法的问题。
2021-05-13 cs.CG
Piercing Pairwise Intersecting Geodesic Disks by Five Points
给定$n$顶点上的简单多边形$P$，以及$P$中$m$两两相交测地圆盘的集合$D$，我们证明了$P$中的5个点总是足以穿透$D$中的所有圆盘.这改进了Bose、Carmi和Shermer得到的14的上界。
2021-12-11 cs.CG
Approximation algorithms for the two-center problem of convex polygon
给定一个凸多边形$P$，其顶点为$n$，双中心问题是寻找两个全等的最小半径闭圆，使它们完全覆盖$P$。我们提出了一个算法，这个问题的流设置，其中输入流是多边形的顶点按顺时针顺序。它使用$O(1)$空间产生满足$r\leq2r_{opt}$的半径$r$，其中$r_{opt}$是最优解。接下来，我们表明，在非流设置，我们可以提高近似因子的$r\leq 1.84 r_{opt}$，保持算法的时间复杂度$O(n)$，并使用$O(1)$额外的空间，除了存储输入所需的空间。
2015-12-08 cs.CG
A Coreset for Approximate Furthest-Neighbor Queries in a Simple Polygon
本研究针对简单多边形内的近似最远邻查询问题，证明存在大小为O(1/ε²)的核集，可支持存储需求与点集规模无关的ε-近似查询，并给出了相应的核集构建时间复杂度。
2024-03-07 cs.CG
Dynamic algorithms for visibility polygons in simple polygons
我们设计了以下动态算法，用于在对简单多边形的顶点插入和/或删除中维护和查询可见性和弱可见性多边形。* 一种全动态算法，用于在对简单多边形的顶点插入和删除过程中保持位于简单多边形内部的固定点的可见性多边形。更新点$q$的可见性多边形的时间复杂度（分别为删除）的顶点$v$到（相应地，根据由于插入（resp.）而需要对$q$的可见性多边形进行的组合改变的数目来表示当前简单多边形。$v$的缺失。* 提出了一种输出敏感的查询算法，用于在对简单多边形进行顶点插入和删除操作时，回答与$\mathbb{R}^2$中任意点$p$对应的可见性多边形查询。如果$p$不在当前简单多边形的外部，则计算$p$的可见性多边形。否则，我们的算法输出与$p$的外部可见性相对应的可见性多边形。* 一种增量算法，用于在顶点插入到简单多边形中保持位于简单多边形内部的固定线段的弱可见多边形。将顶点$v$插入到当前简单多边形中而更新线段$pq$的弱可见多边形的时间复杂度表示为由于插入$v$而对以$p$和$q$为根的测地最短路径树所需的组合更新次数之和。* 一种输出敏感的算法，用于在对简单多边形的顶点插入和删除中计算位于简单多边形内部的任何查询线段所对应的弱可见多边形。这些算法都需要对初始简单多边形进行预处理。
2020-04-20 cs.CG
Computing the minimal perimeter polygon for digital objects in the triangular tiling
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados (CINVESTAV-IPN)（高级研究与教育学院中心）
本文提出算法计算三角形平铺中数字对象的最小周长多边形，利用可见性锥和规范边界路径，并给出边界追踪方法，实现相对凸包的求解。
2026-09-15 cs.CG
Geodesic farthest-point Voronoi diagram in linear time
设$P$是具有$n$顶点的简单多边形。对于$P$中的任意两点，它们之间的测地线距离是$P$中包含的所有路径中连接它们的最短路径的长度。给定$m$点的集合$S$是$P$的顶点的子集，我们提出了一个随机算法来计算$P$在期望$O(n + m)$时间内运行的$S$的测地线最远点沃罗诺伊图.也就是说，将$P$划分为单元，每个站点最多一个单元，使得单元中的每个点相对于测地线距离具有相同的最远站点。特别地，当$S$是包含在$P$中的$m$位点的任意集合时，该算法可以扩展到在预期的$O(n + m\log m)$时间内运行，从而解决了Mitchell在《计算几何手册》第27章中提出的公开问题。
2018-09-07 cs.CG
An Experimental Study of Algorithms for Geodesic Shortest Paths in the Constant-Workspace Model
我们进行了实验评估算法，在一个简单的多边形内的恒定工作空间模型中的两点之间的测地线最短路径。在这个模型中，输入驻留在一个可以随机访问的只读数组中。此外，该算法可以使用恒定数量的单词来进行读取和写入。恒定工作空间模型近年来得到了广泛的研究，测地线最短路径的算法得到了特别的关注。我们已经在Python中实现了三个这样的算法，并将它们与Lee和Jesus使用线性时间和线性空间的经典算法进行了比较。我们还澄清了一些在算法的原始描述中缺失的实现细节。我们的实验表明，所有的算法执行广告在原来的作品，并根据理论保证。然而，运行时间中的常数因子对于算法在实践中完全有用来说是相当大的。
2019-04-05 cs.CG
Existence of a polyhedron which does not have a non-overlapping pseudo-edge unfolding
存在一个凸多面体P的表面和P的一个划分为测地凸多边形的划分L，使得P没有连通的“边”展开而没有自相交（其生成树是L的边骨架的子集）。
2008-10-06 cs.CG
Degree of Convexity and Expected Distances in Polygons
我们提出了一个算法，用于计算所谓的啤酒指数的多边形$P$在$O(n^2)$时间，其中$n$是角的数量。多边形$P$可以具有孔。啤酒指数是在$P$中随机独立一致地选择的两个点可以看到彼此的概率。给定一个有限集$M$的$m$点在一个简单的多边形$P$，我们还展示了如何在$M$，看到对方的数量可以计算在$O(n\log n+m^{4/3}\log^αm\log n)$时间，其中$α<1.78$是一个常数。我们同样研究了在简单多边形$P$中随机独立均匀选择的两点之间的期望测地线距离的计算问题。我们展示了如何预期的$L_1$距离可以计算在最佳的$O(n)$时间由一个概念上非常简单的算法。然后，我们描述了一个算法，输出一个封闭形式的表达式预期的$L_2$距离在$O(n^2)$时间。
2022-10-29 cs.CG math.MG
Clustering Geometrically-Modeled Points in the Aggregated Uncertainty Model
针对区域不确定性模型中的k-中心问题，提出聚合不确定性模型，并给出线段与多边形集合的近似算法，理论下界为1.822，实验验证性能。
2022-01-26 cs.CG
Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane
给定一个点$s$和一组完全$n$顶点的$h$两两不相交的多边形障碍物，我们提出了一个新的算法，用于在$O(T)$时间和O（n）空间中构造大小为O（n）的$L_1$最短路径图，使得对于任何查询点$t$，$L_1$最短障碍物的长度-可以在$O(\log n)$时间内报告从$s$到$t$的回避路径，并且可以在与路径的边的数量成比例的附加时间内找到实际的最短路径，其中$T$是用于对自由空间进行三角测量的时间。目前已知，对于任意小的常数$ε>0$，$T=O(n+h\log^{1+ε}h)$。如果三角测量可以最优地完成（即，$T=O(n+h\log h)$），则我们的算法是最优的。以前，最好的算法在$O(n\log n)$时间和O（n）空间中计算这样的$L_1$最短路径图。我们的技术可以扩展到其他相关问题，例如，为多边形域中的一组点位置计算$L_1$测地Voronoi图，找到具有固定方向的最短路径，找到近似欧几里德最短路径等。
2012-02-26 cs.CG cs.DS
The Complexity of Geodesic Spanners
该研究针对受限二维环境下的几何t-生成树问题，提出生成树复杂度的新概念，给出简单多边形和带洞多边形域下不同松弛程度测地线生成树的构造算法与复杂度上界，并证明了生成树复杂度的下界。
2024-04-11 cs.CG cs.DS
